Matematyka · Poziom podstawowy

Wyrażenia algebraiczne

49zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 7

6. Wzory skróconego mnożenia — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 49

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Liczba

(π + 1)^{2} - (π - 1)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń oba kwadraty — wyrazy z $π^{2}$ i liczby się zredukują.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(π + 1)^{2} = π^{2} + 2 π + 1$ .
2 $(π - 1)^{2} = π^{2} - 2 π + 1$ .
3Odejmujemy: $(π^{2} + 2 π + 1) - (π^{2} - 2 π + 1) = 4 π$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $4 π$

Prawidłowa odpowiedź: C. $4 π$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

x^{3} - 2 x^{2} + x

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyłącz $x$ przed nawias i przyjrzyj się temu, co zostanie w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $x$ : $x^{3} - 2 x^{2} + x = x (x^{2} - 2 x + 1)$ .
2W nawiasie rozpoznajemy kwadrat różnicy: $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ .
3Zatem wyrażenie jest równe $x (x - 1)^{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $x (x - 1)^{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x (x - 1)^{2}$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} + 10 x + 25

dla

x = 2 - 5

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwiń wyrażenie do kwadratu sumy, zanim podstawisz liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zauważamy, że $x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$ .
2Podstawiamy $x = 2 - 5$ : $(2 - 5 + 5)^{2} = (2)^{2}$ .
3Otrzymujemy $2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 4

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

wartość wyrażenia

(3 x + y)^{2} - (3 x - y)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po rozwinięciu kwadratów zostaną tylko wyrazy z iloczynem $x y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x + y)^{2} = 9 x^{2} + 6 x y + y^{2}$ .
2 $(3 x - y)^{2} = 9 x^{2} - 6 x y + y^{2}$ .
3Różnica: $6 x y - (- 6 x y) = 12 x y$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $12 x y$

Prawidłowa odpowiedź: A. $12 x y$

Zadanie 5

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

(3 x + 2)^{2} - (2 x - 3)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń oba kwadraty osobno i pamiętaj o zmianie znaków przy odejmowaniu całego nawiasu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x + 2)^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4$ .
2 $(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .
3Odejmujemy: $9 x^{2} + 12 x + 4 - 4 x^{2} + 12 x - 9$ .
4Redukujemy: $5 x^{2} + 24 x - 5$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $5 x^{2} + 24 x - 5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5 x^{2} + 24 x - 5$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat sumy z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(210 + 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ i uprość $20$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(210)^{2} = 4 \cdot 10 = 40$ , $(2)^{2} = 2$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 210 \cdot 2 = 420$ .
3Upraszczamy: $420 = 4 \cdot 25 = 85$ .
4Razem: $40 + 2 + 85 = 42 + 85$ .
5Prawidłowa odpowiedź: D. $42 + 85$

Prawidłowa odpowiedź: D. $42 + 85$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wyrażenia wymierne

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

- 1

0

1

wartość wyrażenia

\frac{2 x ^{2}}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x}

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż mianownik $x^{2} - 1$ na czynniki — wtedy zobaczysz, co można skrócić.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozkładamy: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
2Iloczyn: $\frac{2 x ^{2} ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) x}$ .
3Skracamy $(x + 1)$ oraz jedno $x$ : $\frac{2 x}{x - 1}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 x}{x - 1}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 x}{x - 1}$

Zadanie 8

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

wartość wyrażenia

(2 a + b)^{2} - (2 a - b)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po rozwinięciu zostaną wyłącznie podwójne iloczyny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 a + b)^{2} = 4 a^{2} + 4 ab + b^{2}$ .
2 $(2 a - b)^{2} = 4 a^{2} - 4 ab + b^{2}$ .
3Różnica: $4 ab + 4 ab = 8 ab$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $8 ab$

Prawidłowa odpowiedź: B. $8 ab$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadraty liczb przeciwnych

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(2 - 3)^{2} - (3 - 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Porównaj liczby w nawiasach — czym one się różnią i jak to wpływa na kwadrat?

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczby $2 - 3$ i $3 - 2$ są przeciwne.
2Kwadraty liczb przeciwnych są równe: $(2 - 3)^{2} = (3 - 2)^{2}$ .
3Ich różnica wynosi $0$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Liczba

(1 + 5)^{2} - (1 - 5)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń oba kwadraty — zostaną tylko podwójne iloczyny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1 + 5)^{2} = 1 + 25 + 5$ .
2 $(1 - 5)^{2} = 1 - 25 + 5$ .
3Różnica: $25 + 25 = 45$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Zadanie 11

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wyrażenie

(2 a - 3)^{2} - (2 a + 3)^{2}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwróć uwagę na kolejność nawiasów — od mniejszego odejmujemy większy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 a - 3)^{2} = 4 a^{2} - 12 a + 9$ .
2 $(2 a + 3)^{2} = 4 a^{2} + 12 a + 9$ .
3Różnica: $- 12 a - 12 a = - 24 a$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $- 24 a$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 24 a$

Zadanie 12

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wartość wyrażenia

(3 + 4 a)^{2} - (3 - 4 a)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Możesz też skorzystać ze wzoru $p^{2} - q^{2} = (p - q) (p + q)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 + 4 a)^{2} = 9 + 24 a + 16 a^{2}$ .
2 $(3 - 4 a)^{2} = 9 - 24 a + 16 a^{2}$ .
3Różnica: $24 a + 24 a = 48 a$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $48 a$

Prawidłowa odpowiedź: C. $48 a$

Zadanie 13

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki (dwie odpowiedzi)

Matura · 2 pkt

Wybierz **dwie** właściwe odpowiedzi. Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

wyrażenie

9 - (x^{2} - 2 x y + y^{2})

jest równe

A.

[3 - (x - 2 y)]^{2}

[3 + (x - 2 y)]^{2}

[3 - (x + 2 y)]^{2}

[3 - (x - y)] \cdot [3 + (x - y)]

[3 - (x + 2 y)] \cdot [3 + (x + 2 y)]

- [(x - y) - 3] \cdot [(x - y) + 3]

Wskazówka

Nawias zwiń najpierw do kwadratu różnicy — potem zostanie różnica dwóch kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1W nawiasie mamy kwadrat różnicy: $x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2}$ .
2Wyrażenie przyjmuje postać $9 - (x - y)^{2}$ .
3To różnica kwadratów: $9 - (x - y)^{2} = [3 - (x - y)] \cdot [3 + (x - y)]$ — odpowiedź D.
4Odpowiedź F: $- [(x - y) - 3] \cdot [(x - y) + 3] = - [(x - y)^{2} - 9] = 9 - (x - y)^{2}$ — również poprawna.
5Prawidłowa odpowiedź: D, F

Odpowiedź: D, F

Zadanie 14

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Liczba

(5 - 23)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że $(23)^{2} = 4 \cdot 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5^{2} = 25$ , $(23)^{2} = 12$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 5 \cdot 23 = 203$ .
3Razem: $25 + 12 - 203 = 37 - 203$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $37 - 203$

Prawidłowa odpowiedź: D. $37 - 203$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Iloczyn sumy i różnicy

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wyrażenie

5 - (4 + 2 a) (4 - 2 a)

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn sumy i różnicy zapisz od razu jako różnicę kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(4 + 2 a) (4 - 2 a) = 16 - 4 a^{2}$ .
2Podstawiamy: $5 - (16 - 4 a^{2})$ .
3Otrzymujemy $4 a^{2} - 11$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $4 a^{2} - 11$

Prawidłowa odpowiedź: B. $4 a^{2} - 11$

Zadanie 16

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wyrażenia z warunkiem

Matura · 1 pkt

Dodatnie liczby

x

y

spełniają warunek

2 x = 3 y

. Wynika stąd, że wartość wyrażenia

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x \cdot y}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz $x$ w zależności od $y$ i podstaw do wyrażenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z warunku: $x = \frac{3}{2} y$ .
2Licznik: $(\frac{3}{2} y)^{2} + y^{2} = \frac{9}{4} y^{2} + y^{2} = \frac{13}{4} y^{2}$ .
3Mianownik: $\frac{3}{2} y \cdot y = \frac{3}{2} y^{2}$ .
4Dzielimy: $\frac{13}{4} : \frac{3}{2} = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{6}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{13}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{13}{6}$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

(x - 1)^{2} - (2 - x)^{2}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń oba kwadraty — wyrazy z $x^{2}$ powinny się zredukować.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ .
2 $(2 - x)^{2} = 4 - 4 x + x^{2}$ .
3Odejmujemy: $x^{2} - 2 x + 1 - 4 + 4 x - x^{2} = 2 x - 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $2 x - 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2 x - 3$

Zadanie 18

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(6 - 2)^{2} - 23

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podwójny iloczyn daje $12$ — uprość go przed dalszymi działaniami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(6)^{2} + (2)^{2} = 6 + 2 = 8$ .
2Podwójny iloczyn: $262 = 212 = 43$ .
3Zatem $(6 - 2)^{2} = 8 - 43$ .
4Odejmujemy $23$ : $8 - 43 - 23 = 8 - 63$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $8 - 63$

Prawidłowa odpowiedź: A. $8 - 63$

Zadanie 19

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat sumy z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(5 + 23)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno kwadraty i osobno podwójny iloczyn.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5)^{2} = 5$ , $(23)^{2} = 12$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 5 \cdot 23 = 415$ .
3Razem: $17 + 415$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $17 + 415$

Prawidłowa odpowiedź: C. $17 + 415$

Zadanie 20

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} - 6 x + 9

dla

x = 3 + 3

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwiń wyrażenie do postaci $(x - 3)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ .
2Podstawiamy: $(3 + 3 - 3)^{2} = (3)^{2}$ .
3Otrzymujemy $3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Kwadrat liczby

8 - 37

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $(37)^{2}$ dokładnie — to nie jest $21$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8^{2} = 64$ , $(37)^{2} = 9 \cdot 7 = 63$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 8 \cdot 37 = 487$ .
3Razem: $64 + 63 - 487 = 127 - 487$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $127 - 487$

Prawidłowa odpowiedź: B. $127 - 487$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

(3 x - 2)^{2} - (2 x - 3) (2 x + 3)

jest po uproszczeniu równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Drugi iloczyn to różnica kwadratów — zapisz go krótko przed odejmowaniem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x - 2)^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4$ .
2 $(2 x - 3) (2 x + 3) = 4 x^{2} - 9$ .
3Odejmujemy: $9 x^{2} - 12 x + 4 - 4 x^{2} + 9$ .
4Redukujemy: $5 x^{2} - 12 x + 13$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $5 x^{2} - 12 x + 13$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5 x^{2} - 12 x + 13$

Zadanie 23

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Równość z parametrem

Matura · 1 pkt

Równość

(a + 23)^{2} = 13 + 43

jest prawdziwa dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń lewą stronę i porównaj osobno część wymierną i część z $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona: $a^{2} + 4 a 3 + 12$ .
2Porównujemy części niewymierne: $4 a 3 = 43$ , więc $a = 1$ .
3Sprawdzamy część wymierną: $1 + 12 = 13$ — zgadza się.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $a = 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $a = 1$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Dla

x = \frac{2}{2} + 1

oraz

y = 2 - 1

wartość wyrażenia

x^{2} - 2 x y + y^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwiń wyrażenie do $(x - y)^{2}$ i usuń niewymierność z mianownika w $x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Upraszczamy $x$ : $\frac{2}{2} = 2$ , więc $x = 2 + 1$ .
2 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2}$ .
3Liczymy różnicę: $(2 + 1) - (2 - 1) = 2$ .
4Zatem wartość wyrażenia to $2^{2} = 4$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $4$

Zadanie 25

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z potęgami

Matura · 1 pkt

Niech

a = - 2

b = 3

. Wartość wyrażenia

a^{b} - b^{a}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uważaj na znak potęgi liczby ujemnej i na ujemny wykładnik w drugim składniku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{b} = (- 2)^{3} = - 8$ .
2 $b^{a} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ .
3Odejmujemy: $- 8 - \frac{1}{9} = - \frac{72}{9} - \frac{1}{9} = - \frac{73}{9}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $- \frac{73}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $- \frac{73}{9}$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Iloczyn kwadratów

Matura · 1 pkt

Liczba

(27 - 5)^{2} \cdot (27 + 5)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz oba nawiasy w jeden iloczyn i podnieś wynik do kwadratu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Korzystamy z własności: $p^{2} q^{2} = (pq)^{2}$ .
2 $(27 - 5) (27 + 5) = (27)^{2} - 25 = 28 - 25 = 3$ .
3Zatem całość to $3^{2} = 9$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $9$

Prawidłowa odpowiedź: A. $9$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

x^{6} - 2 x^{3} - 3

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $t = x^{3}$ i rozłóż trójmian $t^{2} - 2 t - 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Podstawiamy $t = x^{3}$ : $t^{2} - 2 t - 3$ .
2Rozkładamy: $t^{2} - 2 t - 3 = (t - 3) (t + 1)$ .
3Wracamy do $x$ : $(x^{3} - 3) (x^{3} + 1)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $(x^{3} - 3) (x^{3} + 1)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(x^{3} - 3) (x^{3} + 1)$

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(b - a)^{2}

dla

a = 23

b = 75

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uprość najpierw $75$ do postaci z $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $75 = 25 \cdot 3 = 53$ .
2Różnica: $53 - 23 = 33$ .
3Kwadrat: $(33)^{2} = 9 \cdot 3 = 27$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $27$

Prawidłowa odpowiedź: B. $27$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów w rachunkach

Matura · 1 pkt

Różnica

5000 1^{2} - 4999 9^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nie licz potęg — użyj wzoru $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Stosujemy wzór: $(50001 - 49999) (50001 + 49999)$ .
2Pierwszy nawias: $2$ , drugi: $100000$ .
3Iloczyn: $2 \cdot 100000 = 200000$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $200000$

Prawidłowa odpowiedź: B. $200000$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Najmniejsza wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Najmniejsza wartość wyrażenia

(x - y) (x + y)

dla

x, y \in {2, 3, 4}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz iloczyn jako $x^{2} - y^{2}$ — wtedy widać, kiedy wynik jest najmniejszy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ .
2Wartość jest najmniejsza, gdy $x$ jest najmniejsze, a $y$ największe: $x = 2$ , $y = 4$ .
3Obliczamy: $4 - 16 = - 12$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $- 12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 12$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Mnożenie sum algebraicznych

Matura · 1 pkt

Dane są dwie sumy algebraiczne

3 x^{3} - 2 x

oraz

- 3 x^{2} - 2

. Iloczyn tych sum jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wymnóż każdy wyraz przez każdy i dopiero potem redukuj wyrazy podobne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x^{3} \cdot (- 3 x^{2}) = - 9 x^{5}$ , $3 x^{3} \cdot (- 2) = - 6 x^{3}$ .
2 $- 2 x \cdot (- 3 x^{2}) = 6 x^{3}$ , $- 2 x \cdot (- 2) = 4 x$ .
3Sumujemy: $- 9 x^{5} - 6 x^{3} + 6 x^{3} + 4 x$ .
4Wyrazy $- 6 x^{3}$ i $6 x^{3}$ się redukują: $- 9 x^{5} + 4 x$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $- 9 x^{5} + 4 x$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 9 x^{5} + 4 x$

Zadanie 32

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Równość z parametrem

Matura · 1 pkt

Równość

(22 - a)^{2} = 17 - 122

jest prawdziwa dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń lewą stronę i porównaj współczynniki przy $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona: $8 - 4 a 2 + a^{2}$ .
2Porównujemy części z $2$ : $- 4 a 2 = - 122$ , więc $a = 3$ .
3Sprawdzamy: $8 + 9 = 17$ — zgadza się.
4Prawidłowa odpowiedź: A. $a = 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a = 3$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia wymiernego

Matura · 1 pkt

Jeśli

a = \frac{3}{2}

b = 2

, to wartość wyrażenia

\frac{a \cdot b}{a + b}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno licznik i mianownik, a potem podziel ułamki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $\frac{3}{2} \cdot 2 = 3$ .
2Mianownik: $\frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$ .
3Dzielimy: $3 : \frac{7}{2} = 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{6}{7}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{6}{7}$

Zadanie 34

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Porównywanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(a + 5)^{2}

jest większa od wartości wyrażenia

a^{2} + 10 a

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odejmij drugie wyrażenie od pierwszego i zobacz, co zostanie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a + 5)^{2} = a^{2} + 10 a + 25$ .
2Odejmujemy: $(a^{2} + 10 a + 25) - (a^{2} + 10 a) = 25$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $25$

Prawidłowa odpowiedź: D. $25$

Zadanie 35

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

3 a^{2} - 12 ab + 12 b^{2}

może być przekształcone do postaci

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz najpierw wspólny czynnik $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $3$ : $3 (a^{2} - 4 ab + 4 b^{2})$ .
2W nawiasie rozpoznajemy kwadrat różnicy: $a^{2} - 4 ab + 4 b^{2} = (a - 2 b)^{2}$ .
3Zatem wyrażenie to $3 (a - 2 b)^{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $3 (a - 2 b)^{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3 (a - 2 b)^{2}$

Zadanie 36

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat sumy trzech wyrazów

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

(3 x + 1 + y)^{2}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Kwadraty: $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ , $1^{2} = 1$ , $y^{2}$ .
2Podwójne iloczyny: $2 \cdot 3 x \cdot 1 = 6 x$ , $2 \cdot 3 x \cdot y = 6 x y$ , $2 \cdot 1 \cdot y = 2 y$ .
3Razem: $9 x^{2} + y^{2} + 6 x y + 6 x + 2 y + 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $9 x^{2} + y^{2} + 6 x y + 6 x + 2 y + 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $9 x^{2} + y^{2} + 6 x y + 6 x + 2 y + 1$

Zadanie 37

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Przekształcanie wzorów

Matura · 1 pkt

Jeśli

a = \frac{b}{c - b}

, to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez mianownik i zbierz wszystkie wyrazy z $b$ po jednej stronie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez $(c - b)$ : $a (c - b) = b$ .
2Rozwijamy: $a c - ab = b$ .
3Przenosimy: $a c = b + ab = b (1 + a)$ .
4Dzielimy: $b = \frac{a c}{a + 1}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $b = \frac{a \cdot c}{a + 1}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b = \frac{a \cdot c}{a + 1}$

Zadanie 38

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki przez grupowanie

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

wyrażenie

ab + a - b - 1

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pogrupuj wyrazy parami tak, aby w każdej parze dało się wyłączyć wspólny czynnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1Grupujemy: $(ab + a) - (b + 1)$ .
2Wyłączamy: $a (b + 1) - (b + 1)$ .
3Wyłączamy $(b + 1)$ : $(b + 1) (a - 1)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $(a - 1) (b + 1)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(a - 1) (b + 1)$

Zadanie 39

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

16 - (3 x + 1)^{2}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $16 = 4^{2}$ , i zastosuj wzór $p^{2} - q^{2} = (p - q) (p + q)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy jako różnicę kwadratów: $4^{2} - (3 x + 1)^{2}$ .
2Stosujemy wzór: $[4 - (3 x + 1)] \cdot [4 + (3 x + 1)]$ .
3Upraszczamy nawiasy: $(3 - 3 x) (5 + 3 x)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $(3 - 3 x) (5 + 3 x)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(3 - 3 x) \cdot (5 + 3 x)$

Zadanie 40

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Układ warunków

Matura · 1 pkt

Liczby rzeczywiste

a

b

c

spełniają warunki:

a + b = 3

b + c = 4

c + a = 5

. Wtedy suma

a + b + c

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj wszystkie trzy równania i zobacz, ile razy pojawi się każda litera.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dodajemy równania: $(a + b) + (b + c) + (c + a) = 3 + 4 + 5 = 12$ .
2Po lewej: $2 (a + b + c) = 12$ .
3Zatem $a + b + c = 6$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $6$

Prawidłowa odpowiedź: B. $6$

Zadanie 41

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki przez grupowanie

Matura · 1 pkt

Dla każdych liczb rzeczywistych

a

b

wyrażenie

a - b + ab - 1

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Poukładaj wyrazy tak, by z jednej pary wyłączyć $a$ , a z drugiej liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Porządkujemy: $(ab + a) - (b + 1)$ .
2Wyłączamy: $a (b + 1) - (b + 1)$ .
3Wyłączamy $(b + 1)$ : $(b + 1) (a - 1)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $(a - 1) (b + 1)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(a - 1) (b + 1)$

Zadanie 42

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

4 x^{2} - 12 x + 9

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, czy wyrażenie jest kwadratem różnicy: $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ , $9 = 3^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ , $9 = 3^{2}$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x$ — zgadza się ze środkowym wyrazem.
3Zatem $4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2} = (2 x - 3) (2 x - 3)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $(2 x - 3) (2 x - 3)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(2 x - 3) (2 x - 3)$

Zadanie 43

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Potęga ilorazu

Matura · 1 pkt

Potęga

(\frac{y}{x})^{5}

(gdzie

x

y

są różne od zera) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przypomnij sobie, że ujemny wykładnik odwraca ułamek.

Rozwiązanie krok po kroku

1Korzystamy ze wzoru $(\frac{p}{q})^{- n} = (\frac{q}{p})^{n}$ .
2Zatem $(\frac{x}{y})^{- 5} = (\frac{y}{x})^{5}$ .
3To dokładnie nasza potęga.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $(\frac{x}{y})^{- 5}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(\frac{x}{y})^{- 5}$

Zadanie 44

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów z warunkiem

Matura · 1 pkt

Dla pewnych liczb

a

b

zachodzą równości:

a^{2} - b^{2} = 200

a + b = 8

. Dla tych liczb wartość wyrażenia

a - b

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż $a^{2} - b^{2}$ na iloczyn i podstaw znaną sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
2Podstawiamy: $(a - b) \cdot 8 = 200$ .
3Stąd $a - b = \frac{200}{8} = 25$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $25$

Prawidłowa odpowiedź: A. $25$

Zadanie 45

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wyłączanie wspólnego czynnika

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

5 a^{2} - 10 ab + 15 a

jest równe iloczynowi

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znajdź największy wspólny czynnik wszystkich trzech wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wspólny czynnik to $5 a$ .
2Dzielimy każdy wyraz: $5 a^{2} : 5 a = a$ , $- 10 ab : 5 a = - 2 b$ , $15 a : 5 a = 3$ .
3Zatem wyrażenie to $5 a (a - 2 b + 3)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $5 a (a - 2 b + 3)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $5 a (a - 2 b + 3)$

Zadanie 46

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat sumy z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Kwadrat liczby

x = 5 + 23

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nie zapomnij o podwójnym iloczynie ze wzoru $(a + b)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5^{2} = 25$ , $(23)^{2} = 12$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 5 \cdot 23 = 203$ .
3Razem: $25 + 12 + 203 = 37 + 203$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $37 + 203$

Prawidłowa odpowiedź: C. $37 + 203$

Zadanie 47

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Iloczyn trzech czynników

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

x (x - 1) (x + 1)

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż najpierw dwa nawiasy — powstanie różnica kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ .
2Mnożymy przez $x$ : $x (x^{2} - 1) = x^{3} - x$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $x^{3} - x$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x^{3} - x$

Zadanie 48

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Kwadrat liczby

x = 2 - 3

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zastosuj wzór $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2^{2} = 4$ , $(3)^{2} = 3$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 43$ .
3Razem: $4 + 3 - 43 = 7 - 43$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $7 - 43$

Prawidłowa odpowiedź: A. $7 - 43$

Zadanie 49

Oryginalne zadanie: zad. 49

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Liczby wymierne i niewymierne (dwie odpowiedzi)

Matura · 2 pkt

Dana jest liczba

x = a - (3 - 2)^{2}

, gdzie

a

jest liczbą rzeczywistą. Zaznacz **dwie** odpowiedzi, dla których liczba

x

jest wymierna.

A.

a = 5

a = - 3 + 2

a = (2 - 3)^{2} + 0, 3

a = 6

a = - 26 + 12, 5

a = (2 - 3)^{2} - 26

a = - 6

Wskazówka

Policz najpierw $(3 - 2)^{2}$ i sprawdź, która część wyniku jest niewymierna.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obliczamy: $(3 - 2)^{2} = 3 + 2 - 26 = 5 - 26$ .
2Zatem $x = a - 5 + 26$ — liczba $a$ musi „usunąć” składnik $26$ .
3Odpowiedź C: $a = 5 - 26 + 0, 3$ , więc $x = 0, 3$ — liczba wymierna.
4Odpowiedź E: $a = - 26 + 12, 5$ , więc $x = 12, 5 - 5 = 7, 5$ — liczba wymierna.
5W pozostałych przypadkach składnik $26$ nie znika, więc $x$ jest niewymierna.
6Prawidłowa odpowiedź: C, E

Odpowiedź: C, E