Matematyka · Poziom podstawowy

Ciągi

207zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 9–11

8. Ciągi — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} (q \neq = 1)

K_{n} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 207

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 5}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $n = 3$ i pamiętaj, że $(\frac{1}{2})^{- 2} = 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{3 - 5} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{- 2}$ .
2 $(\frac{1}{2})^{- 2} = 2^{2} = 4$ .
3 $a_{3} = 32 \cdot 4 = 128$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $128$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór rekurencyjny

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 2

oraz

a_{n + 1} = a_{n} - 6

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Piąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Każdy kolejny wyraz jest o 6 mniejszy od poprzedniego.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = 2 - 6 = - 4$ , $a_{3} = - 10$ , $a_{4} = - 16$ .
2 $a_{5} = - 16 - 6 = - 22$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 22)$

Zadanie 3

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{32 \cdot ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n - 1}}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla $n = 6$ mamy $(- 1)^{6} = 1$ oraz $2^{5} = 32$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{6} = \frac{32 \cdot 1}{2 ^{5}} = \frac{32}{32} = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma początkowych wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Suma

S_{3}

trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz po kolei $a_{1}$ , $a_{2}$ i $a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 3 - 3 = 0$ , $a_{2} = 12 - 6 = 6$ , $a_{3} = 27 - 9 = 18$ .
2 $S_{3} = 0 + 6 + 18 = 24$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $24$

Zadanie 5

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór rekurencyjny

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 2

oraz

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz $a_{2}$ , potem $a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ .
2 $a_{3} = 2 \cdot 5 + 1 = 11$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $11$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz z sumy $S_n$

Matura · 1 pkt

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

wyraża się wzorem

S_{n} = n^{2} + 2 n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z zależności $a_{3} = S_{3} - S_{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{3} = 9 + 6 = 15$ , $S_{2} = 4 + 4 = 8$ .
2 $a_{3} = 15 - 8 = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $7$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma początkowych wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n + 1} + 5

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyrazy przyjmują na przemian dwie wartości — pogrupuj je w pary.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $n$ nieparzystych $a_{n} = 2 + 5 = 7$ , dla $n$ parzystych $a_{n} = - 2 + 5 = 3$ .
2Każda para daje $7 + 3 = 10$ , a par jest pięć.
3 $S_{10} = 5 \cdot 10 = 50$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $50$

Zadanie 8

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Prawda / fałsz

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (n - 5)

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.
2. Wszystkie wyrazy ciągu

(a_{n})

są dodatnie.

Wskazówka

Policz $a_{1}$ , $a_{2}$ i $a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = (- 1) \cdot (1 - 5) = 4$ , $a_{2} = 1 \cdot (2 - 5) = - 3$ , $a_{3} = (- 1) \cdot (3 - 5) = 2$ .
2Stwierdzenie 1: $4 = 2 \cdot 2$ — PRAWDA.
3Stwierdzenie 2: $a_{2} = - 3 < 0$ — FAŁSZ.

Odpowiedź: P, F

Zadanie 9

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Prawda / fałsz

Matura · 1 pkt

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest określona wzorem

S_{n} = 4 \cdot (2^{n} - 1)

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy 4.
2. Drugi wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy 12.

Wskazówka

$a_{1} = S_{1}$ , a $a_{2} = S_{2} - S_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{1} = 4 \cdot (2 - 1) = 4$ , więc $a_{1} = 4$ — PRAWDA.
2 $S_{2} = 4 \cdot (4 - 1) = 12$ , więc $a_{2} = 12 - 4 = 8$ — FAŁSZ.

Odpowiedź: P, F

Zadanie 10

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{n + 1}{2}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(- 1)^{3} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 1) \cdot \frac{4}{2} = - 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 2)$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{n - 2}{3}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż nierówność $\frac{n - 2}{3} < 10$ w liczbach naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{n - 2}{3} < 10 ⟺ n - 2 < 30 ⟺ n < 32$ .
2Zatem $n \in {1, 2, \dots, 31}$ — 31 wyrazów.

Prawidłowa odpowiedź: B. $31$

Zadanie 12

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2^{n} \cdot (n + 1)

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Wyraz

a_{4}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $n = 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{4} = 2^{4} \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $80$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Prawda / fałsz

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2} + n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest malejący.
2. Ósmy wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy 136.

Wskazówka

Zbadaj znak różnicy $a_{n + 1} - a_{n}$ i policz $a_{8}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1)^{2} + (n + 1) - 2 n^{2} - n = 4 n + 3 > 0$ , więc ciąg jest rosnący — FAŁSZ.
2 $a_{8} = 2 \cdot 64 + 8 = 136$ — PRAWDA.

Odpowiedź: F, P

Zadanie 14

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{7 ^{n}}{21}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu

(a_{n})

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $21 = 3 \cdot 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{50} = \frac{7 ^{50}}{21} = \frac{7 ^{50}}{3 \cdot 7}$ .
2 $= \frac{7 ^{49}}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{7 ^{49}}{3}$

Zadanie 15

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Czy liczba jest wyrazem ciągu

Matura · 1 pkt

Dane są ciągi

a_{n} = 3 n

oraz

b_{n} = 4 n - 2

, określone dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Liczba 10

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż równania $3 n = 10$ oraz $4 n - 2 = 10$ w liczbach naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 n = 10 \Rightarrow n = \frac{10}{3}$ — nie jest liczbą naturalną.
2 $4 n - 2 = 10 \Rightarrow n = 3$ — jest liczbą naturalną.

Prawidłowa odpowiedź: C. nie jest wyrazem ciągu $(a_{n})$ i jest wyrazem ciągu $(b_{n})$ .

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{n - 2}{2 n ^{2}}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $n = 5$ : licznik $3$ , mianownik $2 \cdot 25$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5} = \frac{5 - 2}{2 \cdot 25} = \frac{3}{50}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{3}{50}$

Zadanie 17

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{2 n ^{2} - 30 n}{n}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Wtedy

a_{7}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skróć wzór: $a_{n} = 2 n - 30$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = \frac{n ( 2 n - 30 )}{n} = 2 n - 30$ .
2 $a_{7} = 14 - 30 = - 16$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 16$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu

Matura · 1 pkt

Dane są ciągi określone dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

a_{n} = 20 n + 3

b_{n} = 2 n^{2} - 3

c_{n} = n^{2} + 10 n - 2

d_{n} = \frac{n + 187}{n}

. Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $n = 10$ do każdego wzoru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{10} = 203$ , $b_{10} = 200 - 3 = 197$ .
2 $c_{10} = 100 + 100 - 2 = 198$ , $d_{10} = \frac{197}{10} = 19, 7$ .
3Zatem 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu $(b_{n})$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(b_{n})$

Zadanie 19

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ciąg

(b_{n})

jest określony wzorem

b_{n} = 3 n^{2} - 25 n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu

(b_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż nierówność $n (3 n - 25) ⩽ 0$ dla $n$ naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 n^{2} - 25 n ⩽ 0 ⟺ n (3 n - 25) ⩽ 0$ .
2Dla $n ⩾ 1$ warunek daje $n ⩽ \frac{25}{3} \approx 8, 33$ .
3Zatem $n \in {1, \dots, 8}$ — 8 wyrazów.

Prawidłowa odpowiedź: D. $8$

Zadanie 20

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 2)^{n} \cdot n + 1

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(- 2)^{3} = - 8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 8) \cdot 3 + 1 = - 24 + 1 = - 23$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 23$

Zadanie 21

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2}

dla

n ⩾ 1

. Różnica

a_{5} - a_{4}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno $a_{5}$ i $a_{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5} = 50$ , $a_{4} = 32$ .
2 $a_{5} - a_{4} = 18$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $18$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór z przesuniętym indeksem

Matura · 1 pkt

W ciągu

(a_{n})

określonym dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

spełniony jest warunek

a_{n + 3} = - 2 \cdot 3^{n + 1}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Aby otrzymać $a_{5}$ , przyjmij $n + 3 = 5$ , czyli $n = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $n = 2$ : $a_{5} = - 2 \cdot 3^{3} = - 2 \cdot 27 = - 54$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a_{5} = - 54$

Zadanie 23

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg liczbowy określony jest wzorem

a_{n} = \frac{2 ^{n} - 1}{2 ^{n} + 1}

dla

n ⩾ 1

. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$2^{5} = 32$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5} = \frac{32 - 1}{32 + 1} = \frac{31}{33}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{31}{33}$

Zadanie 24

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{24 - 4 n}{n}

dla

n ⩾ 1

. Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przekształć wzór do postaci $a_{n} = \frac{24}{n} - 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = \frac{24}{n} - 4$ , więc wyraz jest całkowity, gdy $n$ jest dzielnikiem 24.
2Nieujemność: $\frac{24}{n} ⩾ 4 ⟺ n ⩽ 6$ .
3Dzielniki 24 nie większe od 6: $1, 2, 3, 4, 6$ — 5 wyrazów.

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 25

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (n + 3) (n - 5)

dla

n ⩾ 1

. Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest ujemny, gdy $n < 5$ (bo $n + 3 > 0$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $n ⩾ 1$ mamy $n + 3 > 0$ , więc $a_{n} < 0 ⟺ n - 5 < 0 ⟺ n < 5$ .
2Zatem $n \in {1, 2, 3, 4}$ — 4 wyrazy.

Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Który wyraz ma daną wartość

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = n^{2} - n

dla

n ⩾ 1

. Który wyraz tego ciągu jest równy 6?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż równanie $n^{2} - n = 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $n^{2} - n - 6 = 0 ⟺ (n - 3) (n + 2) = 0$ .
2W liczbach naturalnych $n = 3$ — trzeci wyraz.

Prawidłowa odpowiedź: B. trzeci

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Który wyraz ma daną wartość

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

określony jest wzorem

a_{n} = - 2 + \frac{12}{n}

dla

n ⩾ 1

. Równość

a_{n} = 4

zachodzi dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przenieś $- 2$ na drugą stronę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 + \frac{12}{n} = 4 ⟺ \frac{12}{n} = 6 ⟺ n = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $n = 2$

Zadanie 28

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2} - 9

dla

n ⩾ 1

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż $2 n^{2} < 9$ dla $n$ naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 n^{2} - 9 < 0 ⟺ n^{2} < 4, 5$ .
2Dla $n$ naturalnych: $n = 1$ i $n = 2$ — 2 wyrazy.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 29

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (3 - n)

dla

n = 1, 2, 3, \dots

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla $n = 3$ czynnik $3 - n$ jest równy zero.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 1)^{3} \cdot (3 - 3) = 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{3} = 0$

Zadanie 30

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Monotoniczność ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = n^{2} - n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

jest **A.** rosnący / **B.** malejący / **C.** stały, ponieważ dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

różnica

a_{n + 1} - a_{n}

jest **1.** liczbą ujemną / **2.** równa zero / **3.** liczbą dodatnią.

Wskazówka

Policz i uprość różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = (n + 1)^{2} - (n + 1) - n^{2} + n = 2 n$ .
2Dla $n ⩾ 1$ mamy $2 n > 0$ , więc ciąg jest rosnący.

Odpowiedź: A, 3

Zadanie 31

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} (n^{2} - 2 n)

dla

n ⩾ 1

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $a_{3}$ i porównaj z podanymi warunkami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 1) (9 - 6) = - 3$ .
2 $- 3 < 2$ , więc prawdziwy jest warunek $a_{3} < 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $a_{3} < 2$

Zadanie 32

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 3)^{n} \cdot (9 - n^{2})

dla

n ⩾ 1

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla $n = 3$ drugi czynnik jest równy zero.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 27) \cdot (9 - 9) = 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $a_{3} = 0$

Zadanie 33

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Dowód

Matura · 2 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2} + 2 n

dla

n ⩾ 1

. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Wskazówka

Dodaj $a_{n}$ i $a_{n + 1}$ , a potem spróbuj zwinąć wynik do postaci $(\dots)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n^{2} + 2 n + 2 (n + 1)^{2} + 2 (n + 1)$ .
2 $= 2 n^{2} + 2 n + 2 n^{2} + 4 n + 2 + 2 n + 2 = 4 n^{2} + 8 n + 4$ .
3 $= 4 (n^{2} + 2 n + 1) = (2 n + 2)^{2}$ .
4Liczba $2 n + 2$ jest naturalna, co kończy dowód.

Zadanie 34

Matura: maj 2003

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór rekurencyjny

Matura · 3 pkt

Ciąg

(a_{n})

określony jest wzorem:

a_{1} = 1

a_{2} = 2

a_{n + 2} = 2^{n - 1} + a_{n} + a_{n + 1}

. Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Najpierw policz $a_{3}$ (dla $n = 1$ ), potem $a_{4}$ (dla $n = 2$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $n = 1$ : $a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2} = 1 + 1 + 2 = 4$ .
2Dla $n = 2$ : $a_{4} = 2^{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 2 + 4 = 8$ .

Odpowiedź: $a_{4} = 8$

Zadanie 35

Matura: maj 2005

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy spełniające nierówność

Matura · 4 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

, gdzie

a_{n} = \frac{n + 2}{3 n + 1}

dla

n = 1, 2, 3, \dots

. Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od

\frac{1}{2}

Wskazówka

Pomnóż nierówność na krzyż — mianowniki są dodatnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{n + 2}{3 n + 1} > \frac{1}{2} ⟺ 2 (n + 2) > 3 n + 1$ .
2 $2 n + 4 > 3 n + 1 ⟺ n < 3$ .
3Zatem $n = 1$ lub $n = 2$ : $a_{1} = \frac{3}{4}$ , $a_{2} = \frac{4}{7}$ .

Odpowiedź: $a_{1} = \frac{3}{4}$ , $a_{2} = \frac{4}{7}$

Zadanie 36

Matura: wrzesień 2001

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Dowód monotoniczności

Matura · 4 pkt

Ciąg liczbowy

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = n + n^{2}

. Wykaż, że jest to ciąg rosnący.

Wskazówka

Wystarczy pokazać, że $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ dla każdego $n ⩾ 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = (n + 1) + (n + 1)^{2} - n - n^{2}$ .
2 $= 1 + 2 n + 1 = 2 n + 2$ .
3Dla $n ⩾ 1$ mamy $2 n + 2 > 0$ , więc ciąg jest rosnący.

Zadanie 37

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór rekurencyjny

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem rekurencyjnym:

a_{1} = - 2

a_{n + 1} = n \cdot a_{n} + 4

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Licz kolejno $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ — pamiętaj, że mnożnik $n$ zmienia się w każdym kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = 1 \cdot (- 2) + 4 = 2$ .
2 $a_{3} = 2 \cdot 2 + 4 = 8$ .
3 $a_{4} = 3 \cdot 8 + 4 = 28$ .
4 $S_{4} = - 2 + 2 + 8 + 28 = 36$ .

Odpowiedź: $36$

Zadanie 38

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy ciągu

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \frac{2 - n}{n ^{2}}

dla

n = 1, 2, 3, \dots

. Oblicz

a_{2}

a_{4}

a_{5}

Wskazówka

Pamiętaj o znaku czynnika $(- 1)^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = 1 \cdot \frac{2 - 2}{4} = 0$ .
2 $a_{4} = 1 \cdot \frac{2 - 4}{16} = - \frac{1}{8}$ .
3 $a_{5} = (- 1) \cdot \frac{2 - 5}{25} = \frac{3}{25}$ .

Odpowiedź: $a_{2} = 0$ , $a_{4} = - \frac{1}{8}$ , $a_{5} = \frac{3}{25}$

Zadanie 39

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 2 pkt

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = n^{2} - 2 n - 24

dla

n ⩾ 1

Wskazówka

Rozłóż trójmian na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $n^{2} - 2 n - 24 = (n - 6) (n + 4)$ .
2Dla $n ⩾ 1$ mamy $n + 4 > 0$ , więc $a_{n} < 0 ⟺ n < 6$ .
3Zatem $n \in {1, 2, 3, 4, 5}$ — 5 wyrazów.

Odpowiedź: $5$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 2

a_{n + 1} = a_{n} - 6

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.
2. Ciąg

(a_{n})

jest malejący.

Wskazówka

Sprawdź, ile wynosi różnica $a_{n + 1} - a_{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = - 6$ — różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (PRAWDA).
2Różnica jest ujemna, więc ciąg jest malejący (PRAWDA).

Odpowiedź: P, P

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 2 pkt

Czterowyrazowy ciąg

(7, a_{2}, a_{3}, a_{4})

jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Zapisz sumę jako $4 a_{1} + 6 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 \cdot 7 + 6 r = 54$ , czyli $6 r = 26$ , więc $r = \frac{13}{3}$ .
2 $a_{2} = 7 + \frac{13}{3} = \frac{34}{3} = 11 \frac{1}{3}$ .

Odpowiedź: $a_{2} = 11 \frac{1}{3}$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. W tym ciągu

a_{1} = 1

oraz

a_{5} = 17

. Dziewiąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz różnicę z warunku $a_{5} = a_{1} + 4 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $17 = 1 + 4 r \Rightarrow r = 4$ .
2 $a_{9} = 1 + 8 \cdot 4 = 33$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $33$

Zadanie 4

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 5

a_{n + 1} = a_{n} + 2

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

To ciąg arytmetyczny o $a_{1} = 5$ i $r = 2$ ; skorzystaj ze wzoru na $S_{100}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{100} = 5 + 99 \cdot 2 = 203$ .
2 $S_{100} = \frac{100 ( 5 + 203 )}{2} = 50 \cdot 208 = 10400$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $10400$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Różnica tego ciągu jest równa

(- 4)

oraz

a_{10} = - 24

. Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Od $a_{10}$ cofnij się o cztery różnice.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{6} = a_{10} - 4 r = - 24 - 4 \cdot (- 4) = - 24 + 16 = - 8$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 8)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.
2. Wszystkie wyrazy ciągu

(a_{n})

są liczbami parzystymi.

Wskazówka

Zauważ, że $a_{n} = 3 n (n - 1)$ — iloczyn kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 0$ , $a_{2} = 6$ , $a_{3} = 18$ — różnice $6$ i $12$ nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny (FAŁSZ).
2 $a_{n} = 3 n (n - 1)$ , a iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty, więc każdy wyraz jest parzysty (PRAWDA).

Odpowiedź: F, P

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 15.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są wyrazy

a_{1} = 52

oraz

a_{25} = 2

. Różnica ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{25} = a_{1} + 24 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 = 52 + 24 r \Rightarrow 24 r = - 50$ .
2 $r = - \frac{50}{24} = - \frac{25}{12}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{25}{12})$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 15.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są wyrazy

a_{1} = 52

oraz

a_{25} = 2

. Suma

S_{25}

dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{25} = \frac{25 ( a _{1} + a _{25} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{25} = \frac{25 ( 52 + 2 )}{2} = \frac{25 \cdot 54}{2} = 675$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $675$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(5 m, 4 + 2 m, m)

jest arytmetyczny, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 (4 + 2 m) = 5 m + m$ , czyli $8 + 4 m = 6 m$ .
2 $2 m = 8 \Rightarrow m = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 10

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(2 m - 5, 4, 9)

jest arytmetyczny. Dokończ zdanie: ten ciąg jest **A.** rosnący / **B.** malejący oraz **1.**

m = - 1

/ **2.**

m = 2

/ **3.**

m = 3

Wskazówka

Skorzystaj z warunku $2 \cdot 4 = (2 m - 5) + 9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = 2 m + 4 \Rightarrow m = 2$ .
2Ciąg ma postać $(- 1, 4, 9)$ — jest rosnący.

Odpowiedź: A, 2

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są wyrazy

a_{1} = 7

oraz

a_{2} = 13

. Wyraz

a_{10}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = a_{2} - a_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 13 - 7 = 6$ .
2 $a_{10} = 7 + 9 \cdot 6 = 61$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $61$

Zadanie 12

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. W tym ciągu

a_{2} = 4

oraz

a_{3} = 9

. Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = a_{3} - a_{2}$ , a $a_{6} = a_{3} + 3 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 9 - 4 = 5$ .
2 $a_{6} = 9 + 3 \cdot 5 = 24$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $24$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1, 4, a + 5)

jest arytmetyczny. Liczba

a

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$2 \cdot 4 = 1 + (a + 5)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = a + 6 \Rightarrow a = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 14

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = - 3 n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Liczby

2

(- 1)

(- 4)

są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu

(a_{n})

.
2.

(a_{n})

jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej 5.

Wskazówka

Policz trzy pierwsze wyrazy i różnicę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 2$ , $a_{2} = - 1$ , $a_{3} = - 4$ — PRAWDA.
2Różnica jest równa $- 3$ , a nie $5$ — FAŁSZ.

Odpowiedź: P, F

Zadanie 15

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Pięciowyrazowy ciąg

(- 3, \frac{1}{2}, x, y, 11)

jest arytmetyczny. Liczby

x

oraz

y

są równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Różnicę wyznacz z pierwszych dwóch wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = \frac{1}{2} - (- 3) = \frac{7}{2}$ .
2 $x = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 4$ , $y = 4 + \frac{7}{2} = \frac{15}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 4$ oraz $y = \frac{15}{2}$

Zadanie 16

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Monotoniczność ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Ciąg

(a_{n})

jest **A.** rosnący / **B.** malejący / **C.** stały, ponieważ dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

: **1.**

a_{n + 1} - a_{n} = - 1

/ **2.**

a_{n + 1} - a_{n} = 0

/ **3.**

a_{n + 1} - a_{n} = 3

Wskazówka

Policz różnicę kolejnych wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = 3 (n + 1) - 1 - (3 n - 1) = 3$ .
2Różnica jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Odpowiedź: A, 3

Zadanie 17

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Nierówność dla wyrazu ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

. Najmniejszą wartością

n

, dla której wyraz

a_{n}

jest większy od 25, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż nierówność $3 n - 1 > 25$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 n > 26 \Rightarrow n > \frac{26}{3} \approx 8, 67$ .
2Najmniejsze naturalne: $n = 9$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $9$

Zadanie 18

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

. Suma

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa 57 dla

n

równego

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ , gdzie $a_{1} = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{n} = \frac{n ( 2 + 3 n - 1 )}{2} = \frac{n ( 3 n + 1 )}{2} = 57$ .
2 $3 n^{2} + n - 114 = 0 \Rightarrow n = 6$ (drugi pierwiastek nie jest naturalny).

Prawidłowa odpowiedź: A. $6$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma różnicę równą 2 oraz

a_{8} = 48

. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{8} - 4 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{4} = 48 - 4 \cdot 2 = 40$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $40$

Zadanie 20

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

mamy

a_{5} = - 31

oraz

a_{10} = - 66

. Różnica tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Między $a_{5}$ i $a_{10}$ jest pięć różnic.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{10} - a_{5} = 5 r \Rightarrow - 66 + 31 = 5 r$ .
2 $5 r = - 35 \Rightarrow r = - 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 7$

Zadanie 21

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własność wyrazów sąsiednich

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

spełnia warunek

a_{3} + a_{5} = 58

. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4}$ jest średnią arytmetyczną $a_{3}$ i $a_{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} + a_{5} = 2 a_{4} = 58$ .
2 $a_{4} = 29$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $29$

Zadanie 22

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma różnicę równą 5, a pierwszy wyraz równy

(- 3)

. Wtedy iloraz

\frac{a _{4}}{a _{2}}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $a_{2}$ i $a_{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = - 3 + 5 = 2$ , $a_{4} = - 3 + 15 = 12$ .
2 $\frac{a _{4}}{a _{2}} = \frac{12}{2} = 6$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $6$

Zadanie 23

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciągi są określone wzorami:

a_{n} = 6 n^{2} - n^{3}

b_{n} = 2 n + 13

c_{n} = 2^{n}

. Wskaż zdanie prawdziwe.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ciąg o wzorze liniowym $an + b$ jest arytmetyczny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b_{n + 1} - b_{n} = 2 (n + 1) + 13 - (2 n + 13) = 2$ — stała różnica.
2Pozostałe wzory nie są liniowe, więc te ciągi nie są arytmetyczne.

Prawidłowa odpowiedź: B. Ciąg $(b_{n})$ jest arytmetyczny.

Zadanie 24

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 2

a_{2} = 5

. Stąd wynika, że

n

-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 3$ .
2 $a_{n} = 2 + 3 (n - 1) = 3 n - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a_{n} = 3 n - 1$

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własność wyrazów symetrycznych

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

spełnia warunek

a_{4} = 2020

. Suma

a_{2} + a_{6}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{2}$ i $a_{6}$ leżą symetrycznie wokół $a_{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} + a_{6} = 2 a_{4} = 2 \cdot 2020 = 4040$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $4040$

Zadanie 26

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cofnij się od $a_{4}$ i dodaj cztery wyrazy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = - 2$ , $a_{2} = - 7$ , $a_{1} = - 12$ .
2 $S_{4} = - 12 - 7 - 2 + 3 = - 18$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 18$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = - 11

a_{9} = 5

. Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{9} = \frac{9 ( - 11 + 5 )}{2} = \frac{9 \cdot ( - 6 )}{2} = - 27$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 27$

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własności wyrazów

Matura · 1 pkt

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

o wyrazach dodatnich. Jeśli

a_{2} + a_{9} = a_{4} + a_{k}

, to

k

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

W ciągu arytmetycznym suma wyrazów zależy tylko od sumy indeksów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 + 9 = 4 + k \Rightarrow k = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $7$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczby podzielne — ciąg arytmetyczny

Matura · 1 pkt

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza to 12, ostatnia 96, różnica 6.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $96 = 12 + (n - 1) \cdot 6 \Rightarrow n - 1 = 14$ .
2 $n = 15$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $15$

Zadanie 30

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 7

a_{8} = - 49

. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{8} = \frac{8 ( a _{1} + a _{8} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{8} = 4 \cdot (7 - 49) = 4 \cdot (- 42) = - 168$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 168$

Zadanie 31

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własność wyrazów sąsiednich

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

spełnia warunek

a_{3} + a_{4} + a_{5} = 15

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Suma trzech kolejnych wyrazów to trzykrotność wyrazu środkowego.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 3 a_{4} = 15$ .
2 $a_{4} = 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a_{4} = 5$

Zadanie 32

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 16 - \frac{1}{2} n

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

We wzorze $a_{n} = an + b$ różnicą jest współczynnik $a$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $r = - \frac{1}{2}$

Zadanie 33

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{5 - 2 n}{6}

dla

n ⩾ 1

. Ciąg ten jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz wzór jako $\frac{5}{6} - \frac{n}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} n$ — wzór liniowy, więc ciąg jest arytmetyczny.
2 $r = - \frac{1}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r = - \frac{1}{3}$

Zadanie 34

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własność wyrazów sąsiednich

Matura · 1 pkt

Dla ciągu arytmetycznego

(a_{n})

spełniony jest warunek

a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Suma trzech kolejnych wyrazów to $3 a_{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 a_{5} = 12 \Rightarrow a_{5} = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a_{5} = 4$

Zadanie 35

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczby podzielne — ciąg arytmetyczny

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza to 1000, ostatnia 2015.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2015 = 1000 + (n - 1) \cdot 5 \Rightarrow n - 1 = 203$ .
2 $n = 204$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $204$

Zadanie 36

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Który wyraz ma daną wartość

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 2

a_{2} = 9

. Wtedy

a_{n} = 79

dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = 7$ , więc $a_{n} = 2 + 7 (n - 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 + 7 (n - 1) = 79 \Rightarrow 7 (n - 1) = 77$ .
2 $n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $n = 12$

Zadanie 37

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

spełniony jest warunek

2 a_{3} = a_{2} + a_{1} + 1

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wszystkie wyrazy zapisz przez $a_{1}$ i $r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 (a_{1} + 2 r) = (a_{1} + r) + a_{1} + 1$ .
2 $2 a_{1} + 4 r = 2 a_{1} + r + 1 \Rightarrow 3 r = 1$ .
3 $r = \frac{1}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{3}$

Zadanie 38

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczby podzielne — ciąg arytmetyczny

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Od 12 do 99 co 3.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $99 = 12 + (n - 1) \cdot 3 \Rightarrow n - 1 = 29$ .
2 $n = 30$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $30$

Zadanie 39

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz z sumy $S_n$

Matura · 1 pkt

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest określona wzorem

S_{n} = 2 n^{2} + n

. Wtedy wyraz

a_{2}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{2} = S_{2} - S_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{2} = 8 + 2 = 10$ , $S_{1} = 3$ .
2 $a_{2} = 10 - 3 = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $7$

Zadanie 40

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 6 (n - 16)

dla

n ⩾ 1

. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $a_{1}$ i $a_{10}$ , potem użyj wzoru na sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 6 (1 - 16) = - 90$ , $a_{10} = 6 (10 - 16) = - 36$ .
2 $S_{10} = \frac{10 ( - 90 - 36 )}{2} = 5 \cdot (- 126) = - 630$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 630$

Zadanie 41

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa

(- \frac{3}{2})

. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{7} = a_{14} - 7 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{7} = 8 - 7 \cdot (- \frac{3}{2}) = 8 + \frac{21}{2} = \frac{37}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{37}{2}$

Zadanie 42

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczby podzielne — ciąg arytmetyczny

Matura · 1 pkt

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwszy wyraz to 14, różnica 7.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{12} = 14 + 11 \cdot 7 = 14 + 77 = 91$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $91$

Zadanie 43

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własności wyrazów

Matura · 1 pkt

Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Porównaj sumy indeksów: $1 + 6 = 3 + 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} + a_{6} = 2 a_{1} + 5 r$ oraz $a_{3} + a_{4} = 2 a_{1} + 5 r$ .
2Obie sumy są równe, więc $a_{3} + a_{4} = 13$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $13$

Zadanie 44

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 1 pkt

Mural tworzą trójkąty równoboczne: najmniejszy ma bok długości 1 m, a bok każdego następnego jest o 10 cm dłuższy od poprzedniego. Ostatni trójkąt ma bok długości 5,9 m. Ile trójkątów przedstawia mural?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Boki tworzą ciąg arytmetyczny: $100$ cm, $110$ cm, …, $590$ cm.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $590 = 100 + (n - 1) \cdot 10 \Rightarrow n - 1 = 49$ .
2 $n = 50$ trójkątów.

Prawidłowa odpowiedź: B. $50$

Zadanie 45

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równa 35, a

a_{1} = 3

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw do wzoru $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 (3 + a_{10}) = 35 \Rightarrow 3 + a_{10} = 7$ .
2 $a_{10} = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{10} = 4$

Zadanie 46

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{2} = 11

a_{4} = 7

. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz $r$ z zależności $a_{4} = a_{2} + 2 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $7 = 11 + 2 r \Rightarrow r = - 2$ , więc $a_{1} = 13$ , $a_{3} = 9$ .
2 $S_{4} = 13 + 11 + 9 + 7 = 40$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $40$

Zadanie 47

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Liczby

2

- 1

- 4

są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego

(a_{n})

. Wzór ogólny tego ciągu ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = - 3$ , $a_{1} = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = 2 - 3 (n - 1) = - 3 n + 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $a_{n} = - 3 n + 5$

Zadanie 48

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Liczby

7

a

49

w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy

a

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Środkowy wyraz to średnia skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{7 + 49}{2} = 28$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $28$

Zadanie 49

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, w którym

r = - 2

oraz

a_{20} = 17

. Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{1} = a_{20} - 19 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 17 - 19 \cdot (- 2) = 17 + 38 = 55$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $55$

Zadanie 50

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny oraz

a_{3} = 10

a_{4} = 14

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = a_{4} - a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 4$ .
2 $a_{1} = a_{3} - 2 r = 10 - 8 = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{1} = 2$

Zadanie 51

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = - 2 n + 1

dla

n ⩾ 1

. Różnica tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Różnicą jest współczynnik przy $n$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = - 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 2$

Zadanie 52

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

a_{1} = 3

oraz

a_{20} = 7

. Wtedy suma

S_{20}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{20} = \frac{20 ( a _{1} + a _{20} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{20} = 10 \cdot (3 + 7) = 100$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $100$

Zadanie 53

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

mamy

a_{2} = 5

a_{4} = 11

. Oblicz

a_{5}

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{2} + 2 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $11 = 5 + 2 r \Rightarrow r = 3$ .
2 $a_{5} = 11 + 3 = 14$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $14$

Zadanie 54

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{3} = 13

a_{5} = 39

. Wtedy wyraz

a_{1}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{3} + 2 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $39 = 13 + 2 r \Rightarrow r = 13$ .
2 $a_{1} = 13 - 2 \cdot 13 = - 13$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 13$

Zadanie 55

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Różnica tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Między wyrazami trzecim i jedenastym jest osiem różnic.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $34 - 14 = 8 r \Rightarrow 8 r = 20$ .
2 $r = \frac{5}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{5}{2}$

Zadanie 56

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Liczby

1

3

x - 11

w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$2 \cdot 3 = 1 + (x - 11)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 = x - 10 \Rightarrow x = 16$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $16$

Zadanie 57

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Liczby

x - 1

4

8

(w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$2 \cdot 4 = (x - 1) + 8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = x + 7 \Rightarrow x = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 58

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Układ warunków na $a_1$ i $r$

Matura · 3 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Suma

S_{10}

dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa 90. Średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa 10. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Zapisz oba warunki przez $a_{1}$ i $r$ , a potem rozwiąż układ równań.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{10} = \frac{10 ( 2 a _{1} + 9 r )}{2} = 5 (2 a_{1} + 9 r) = 90$ , czyli $2 a_{1} + 9 r = 18$ .
2 $a_{1} + a_{7} + a_{8} = 3 a_{1} + 13 r = 30$ .
3Z pierwszego równania $a_{1} = \frac{18 - 9 r}{2}$ ; po podstawieniu: $54 - 27 r + 26 r = 60$ .
4 $- r = 6 \Rightarrow r = - 6$ , a wtedy $a_{1} = \frac{18 + 54}{2} = 36$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 36$ , $r = - 6$

Zadanie 59

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 3 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{3 n + 9}{n + 1}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Wyznacz wszystkie wartości

x

, dla których trzywyrazowy ciąg

(a_{5}, 2 x^{2}, 3 x^{2} + 5)

jest arytmetyczny.

Wskazówka

Policz $a_{5}$ , a potem wykorzystaj warunek na średnią.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5} = \frac{24}{6} = 4$ .
2 $2 \cdot 2 x^{2} = 4 + 3 x^{2} + 5 \Rightarrow 4 x^{2} = 3 x^{2} + 9$ .
3 $x^{2} = 9 \Rightarrow x = - 3$ lub $x = 3$ .

Odpowiedź: $x = - 3$ lub $x = 3$

Zadanie 60

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 3 pkt

Wyznacz wartość

m

, dla której trzywyrazowy ciąg

(2 m + 11, m^{2} + 3, 5 - m)

jest arytmetyczny i malejący.

Wskazówka

Najpierw wyznacz kandydatów z warunku na średnią, a potem sprawdź monotoniczność.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 (m^{2} + 3) = (2 m + 11) + (5 - m) \Rightarrow 2 m^{2} + 6 = m + 16$ .
2 $2 m^{2} - m - 10 = 0$ , $Δ = 81$ , więc $m = \frac{1 \pm 9}{4}$ : $m = \frac{5}{2}$ lub $m = - 2$ .
3Dla $m = \frac{5}{2}$ ciąg to $(16, 9 \frac{1}{4}, 2 \frac{1}{2})$ — malejący.
4Dla $m = - 2$ ciąg to $(7, 7, 7)$ — stały, więc odpada.

Odpowiedź: $m = \frac{5}{2}$

Zadanie 61

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica z sumy wyrazów

Matura · 2 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma trzeci wyraz równy

(- 1)

, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

(- 165)

. Oblicz różnicę tego ciągu.

Wskazówka

Dla nieparzystej liczby wyrazów $S_{15} = 15 a_{8}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{15} = 15 a_{8} = - 165 \Rightarrow a_{8} = - 11$ .
2 $a_{8} - a_{3} = 5 r \Rightarrow - 11 + 1 = 5 r$ .
3 $r = - 2$ .

Odpowiedź: $r = - 2$

Zadanie 62

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 2 pkt

Ciąg

(3 x^{2} + 5 x, x^{2}, 20 - x^{2})

jest arytmetyczny. Oblicz

x

Wskazówka

$2 \cdot x^{2}$ musi być sumą wyrazów skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 x^{2} = 3 x^{2} + 5 x + 20 - x^{2} = 2 x^{2} + 5 x + 20$ .
2 $0 = 5 x + 20 \Rightarrow x = - 4$ .

Odpowiedź: $x = - 4$

Zadanie 63

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 2 pkt

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Wskazówka

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o $r = - 30$ i $S_{18} = 8910$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{18} = \frac{18 ( 2 a _{1} + 17 \cdot ( - 30 ))}{2} = 9 (2 a_{1} - 510) = 8910$ .
2 $2 a_{1} - 510 = 990 \Rightarrow 2 a_{1} = 1500$ .
3 $a_{1} = 750$ zł.

Odpowiedź: $750$ zł

Zadanie 64

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy z układu warunków

Matura · 2 pkt

Trójwyrazowy ciąg

(x, y - 4, y)

jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wskazówka

Zapisz dwa równania: warunek na średnią i warunek na sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 (y - 4) = x + y \Rightarrow x = y - 8$ .
2 $x + (y - 4) + y = 6 \Rightarrow x + 2 y = 10$ .
3 $(y - 8) + 2 y = 10 \Rightarrow y = 6$ , więc $x = - 2$ .
4Ciąg ma postać $(- 2, 2, 6)$ .

Odpowiedź: $- 2, 2, 6$

Zadanie 65

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma stu wyrazów

Matura · 2 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

mamy

a_{1} = - 1

a_{4} = 8

. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Wskazówka

Najpierw wyznacz $r$ z $a_{4} = a_{1} + 3 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = - 1 + 3 r \Rightarrow r = 3$ .
2 $S_{100} = \frac{100 ( 2 \cdot ( - 1 ) + 99 \cdot 3 )}{2} = 50 (- 2 + 297)$ .
3 $S_{100} = 50 \cdot 295 = 14750$ .

Odpowiedź: $14750$

Zadanie 66

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica z warunku na sumę

Matura · 2 pkt

Suma dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równa

20 a_{21} + 62

. Oblicz różnicę ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Zapisz obie strony przez $a_{1}$ i $r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{20} = 10 (2 a_{1} + 19 r) = 20 a_{1} + 190 r$ .
2 $20 a_{21} + 62 = 20 (a_{1} + 20 r) + 62 = 20 a_{1} + 400 r + 62$ .
3 $190 r = 400 r + 62 \Rightarrow - 210 r = 62$ .
4 $r = - \frac{31}{105}$ .

Odpowiedź: $r = - \frac{31}{105}$

Zadanie 67

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Sumy wyrazów parzystych i nieparzystych

Matura · 4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{40})

suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Każdy wyraz parzysty jest o $r$ większy od poprzedniego nieparzystego — takich par jest 20.

Rozwiązanie krok po kroku

1Różnica sum: $1340 - 1400 = 20 r \Rightarrow r = - 3$ .
2 $S_{40} = 1340 + 1400 = 2740 = 20 (a_{1} + a_{40})$ , więc $a_{1} + a_{40} = 137$ .
3 $a_{40} = a_{1} + 39 \cdot (- 3) = a_{1} - 117$ , zatem $2 a_{1} - 117 = 137$ i $a_{1} = 127$ .
4 $a_{40} = 127 - 117 = 10$ .

Odpowiedź: $a_{40} = 10$

Zadanie 68

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz i numer wyrazu

Matura · 4 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma różnicę

r = - 4

, a średnia arytmetyczna sześciu początkowych wyrazów jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę

k

, dla której

a_{k} = - 78

Wskazówka

Ze średniej wyznacz $S_{6}$ , a stąd $a_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{6} = 6 \cdot 16 = 96$ , a $S_{6} = 6 a_{1} + 15 r = 6 a_{1} - 60$ .
2 $6 a_{1} = 156 \Rightarrow a_{1} = 26$ .
3 $a_{k} = 26 - 4 (k - 1) = - 78 \Rightarrow - 4 (k - 1) = - 104$ .
4 $k - 1 = 26 \Rightarrow k = 27$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 26$ , $k = 27$

Zadanie 69

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Układ warunków na $a_1$ i $r$

Matura · 2 pkt

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Wskazówka

Dwa równania: $a_{1} + 8 r = 34$ oraz $8 a_{1} + 28 r = 110$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z pierwszego: $a_{1} = 34 - 8 r$ .
2 $8 (34 - 8 r) + 28 r = 110 \Rightarrow 272 - 64 r + 28 r = 110$ .
3 $- 36 r = - 162 \Rightarrow r = 4, 5$ .
4 $a_{1} = 34 - 36 = - 2$ .

Odpowiedź: $a_{1} = - 2$ , $r = 4 \frac{1}{2}$

Zadanie 70

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Układ warunków na $a_1$ i $r$

Matura · 4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

wyraz szósty jest dwa razy większy od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów jest równa

S_{10} = \frac{15}{4}

. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Wskazówka

Warunek $a_{6} = 2 a_{5}$ zapisz przez $a_{1}$ i $r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} + 5 r = 2 (a_{1} + 4 r) \Rightarrow - a_{1} = 3 r$ , czyli $a_{1} = - 3 r$ .
2 $S_{10} = 10 a_{1} + 45 r = - 30 r + 45 r = 15 r = \frac{15}{4}$ .
3 $r = \frac{1}{4}$ , więc $a_{1} = - \frac{3}{4}$ .

Odpowiedź: $a_{1} = - \frac{3}{4}$ , $r = \frac{1}{4}$

Zadanie 71

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz z sumy

Matura · 2 pkt

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wskazówka

$S_{12} = \frac{12 ( a _{1} + a _{12} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 (a_{1} + 30) = 162 \Rightarrow a_{1} + 30 = 27$ .
2 $a_{1} = - 3$ .

Odpowiedź: $a_{1} = - 3$

Zadanie 72

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własności wyrazów symetrycznych

Matura · 2 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

spełniona jest równość

a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100

. Oblicz sumę

a_{25} + a_{26}

Wskazówka

Porównaj sumy indeksów: $21 + 30 = 24 + 27 = 25 + 26$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{21} + a_{30} = a_{24} + a_{27} = a_{25} + a_{26}$ .
2Zatem $2 (a_{25} + a_{26}) = 100$ .
3 $a_{25} + a_{26} = 50$ .

Odpowiedź: $a_{25} + a_{26} = 50$

Zadanie 73

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica z sumy wyrazów

Matura · 2 pkt

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równa 30, a

a_{30} = 30

. Oblicz różnicę tego ciągu.

Wskazówka

Z sumy wyznacz $a_{1}$ , a potem skorzystaj z $a_{30} = a_{1} + 29 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{30} = 15 (a_{1} + 30) = 30 \Rightarrow a_{1} + 30 = 2$ , więc $a_{1} = - 28$ .
2 $30 = - 28 + 29 r \Rightarrow 29 r = 58$ .
3 $r = 2$ .

Odpowiedź: $r = 2$

Zadanie 74

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów dodatnich

Matura · 4 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

określony jest wzorem

a_{n} = 2016 - 3 n

dla

n ⩾ 1

. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Wskazówka

Najpierw sprawdź, ile wyrazów jest dodatnich.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2016 - 3 n > 0 ⟺ n < 672$ , więc dodatnie są wyrazy od $a_{1}$ do $a_{671}$ .
2 $a_{1} = 2013$ , $a_{671} = 2016 - 2013 = 3$ .
3 $S_{671} = \frac{671 ( 2013 + 3 )}{2} = \frac{671 \cdot 2016}{2} = 676368$ .

Odpowiedź: $676368$

Zadanie 75

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Układ warunków na $a_1$ i $r$

Matura · 5 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2016

oraz

a_{5} + a_{6} + \dots + a_{12} = 2016

. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Zapisz obie sumy przez $a_{1}$ i $r$ : pierwsza ma 4 wyrazy, druga 8.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 a_{1} + 6 r = 2016 \Rightarrow 2 a_{1} + 3 r = 1008$ .
2 $8 a_{1} + 60 r = 2016 \Rightarrow 2 a_{1} + 15 r = 504$ .
3Odejmując: $12 r = - 504 \Rightarrow r = - 42$ , a wtedy $a_{1} = 567$ .
4 $a_{n} = 609 - 42 n > 0 ⟺ n < 14, 5$ , więc najmniejszy dodatni to $a_{14} = 21$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 567$ , $r = - 42$ , $a_{14} = 21$

Zadanie 76

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz i różnica

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, w którym

a_{5} = 22

oraz

a_{10} = 47

. Oblicz pierwszy wyraz

a_{1}

i różnicę

r

tego ciągu.

Wskazówka

Między $a_{5}$ i $a_{10}$ jest pięć różnic.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $47 - 22 = 5 r \Rightarrow r = 5$ .
2 $a_{1} = a_{5} - 4 r = 22 - 20 = 2$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 2$ , $r = 5$

Zadanie 77

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 2 pkt

Liczby

6

2 x + 4

x + 26

w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę

r

tego ciągu.

Wskazówka

Skorzystaj z warunku $2 (2 x + 4) = 6 + (x + 26)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 x + 8 = x + 32 \Rightarrow 3 x = 24$ , czyli $x = 8$ .
2Ciąg ma postać $(6, 20, 34)$ .
3 $r = 20 - 6 = 14$ .

Odpowiedź: $r = 14$

Zadanie 78

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 2 pkt

Liczby

2 x + 1

6

16 x + 2

są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

x

Wskazówka

$2 \cdot 6$ jest sumą wyrazów skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 = (2 x + 1) + (16 x + 2) = 18 x + 3$ .
2 $18 x = 9 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $x = \frac{1}{2}$

Zadanie 79

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy z układu równań

Matura · 2 pkt

Liczby

x

y

19

w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym

x + y = 8

. Oblicz

x

y

Wskazówka

Drugi warunek to $2 y = x + 19$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 8 - y$ , więc $2 y = (8 - y) + 19$ .
2 $3 y = 27 \Rightarrow y = 9$ , a wtedy $x = - 1$ .

Odpowiedź: $x = - 1$ , $y = 9$

Zadanie 80

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz z sumy

Matura · 2 pkt

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Dla pięciu wyrazów $S_{5} = 5 a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 a_{3} = 70 \Rightarrow a_{3} = 14$ .
2 $a_{5} - a_{3} = 2 r \Rightarrow 12 = 2 r$ , czyli $r = 6$ .
3 $a_{1} = 14 - 2 \cdot 6 = 2$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 2$

Zadanie 81

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Dowód

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdego

m

ciąg

(\frac{m + 1}{4}, \frac{m + 3}{6}, \frac{m + 9}{12})

jest arytmetyczny.

Wskazówka

Sprawdź, czy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma wyrazów skrajnych: $\frac{m + 1}{4} + \frac{m + 9}{12} = \frac{3 m + 3 + m + 9}{12} = \frac{4 m + 12}{12} = \frac{m + 3}{3}$ .
2Połowa tej sumy: $\frac{m + 3}{6}$ — dokładnie środkowy wyraz.
3Warunek na ciąg arytmetyczny jest spełniony dla każdego $m$ .

Zadanie 82

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Dowód

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 4 n - 9

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Wykaż, że ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.

Wskazówka

Policz różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = 4 (n + 1) - 9 - (4 n - 9) = 4$ .
2Różnica jest stała i niezależna od $n$ , więc ciąg jest arytmetyczny o $r = 4$ .

Zadanie 83

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy spełniające nierówność

Matura · 2 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są wyrazy

a_{3} = 4

a_{6} = 19

. Wyznacz wszystkie wartości

n

, dla których wyrazy ciągu

(a_{n})

są mniejsze od 200.

Wskazówka

Najpierw wyznacz wzór ogólny ciągu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $19 - 4 = 3 r \Rightarrow r = 5$ , więc $a_{1} = 4 - 10 = - 6$ .
2 $a_{n} = - 6 + 5 (n - 1) = 5 n - 11$ .
3 $5 n - 11 < 200 ⟺ n < 42, 2$ .
4Zatem $n \in {1, 2, \dots, 42}$ .

Odpowiedź: $n \in {1, 2, 3, \dots, 42}$

Zadanie 84

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Równanie z sumą ciągu

Matura · 3 pkt

Rozwiąż równanie

(2 x + 1) + (2 x + 4) + (2 x + 7) + \dots + (2 x + 28) = 155

, jeśli składniki po lewej stronie są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.

Wskazówka

Policz najpierw, ile jest składników: stałe wyrazy tworzą ciąg $1, 4, 7, \dots, 28$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $28 = 1 + (n - 1) \cdot 3 \Rightarrow n = 10$ składników.
2Suma stałych: $\frac{10 ( 1 + 28 )}{2} = 145$ .
3 $10 \cdot 2 x + 145 = 155 \Rightarrow 20 x = 10$ .
4 $x = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $x = \frac{1}{2}$

Zadanie 85

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 2 pkt

Liczby

x - 2

3

x + 6

są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

x

Wskazówka

$2 \cdot 3 = (x - 2) + (x + 6)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 = 2 x + 4 \Rightarrow 2 x = 2$ .
2 $x = 1$ .

Odpowiedź: $x = 1$

Zadanie 86

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy o zadanych numerach

Matura · 2 pkt

Liczby

2

x - 3

8

są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

x

Wskazówka

Uwaga: trzecia liczba jest wyrazem czwartym, więc $a_{4} - a_{1} = 3 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 - 2 = 3 r \Rightarrow r = 2$ .
2 $a_{2} = 2 + 2 = 4$ , czyli $x - 3 = 4$ .
3 $x = 7$ .

Odpowiedź: $x = 7$

Zadanie 87

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg z warunkiem podzielności

Matura · 2 pkt

Wyrazami ciągu arytmetycznego

(a_{n})

są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto

a_{3} = 12

. Oblicz

a_{15}

Wskazówka

Kolejne takie liczby różnią się o 5.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 5$ , więc $a_{1} = 12 - 2 \cdot 5 = 2$ .
2 $a_{15} = 2 + 14 \cdot 5 = 72$ .

Odpowiedź: $a_{15} = 72$

Zadanie 88

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Sumy kolejnych bloków wyrazów

Matura · 2 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma różnicę równą 4, a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Każdy wyraz drugiej piątki jest o $5 r$ większy od odpowiadającego wyrazu pierwszej piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma następnych pięciu wyrazów to $S_{5} + 5 \cdot 5 r = S_{5} + 100$ .
2 $3 S_{5} = S_{5} + 100 \Rightarrow 2 S_{5} = 100$ , czyli $S_{5} = 50$ .
3 $S_{5} = 5 a_{1} + 10 \cdot 4 = 5 a_{1} + 40 = 50$ .
4 $a_{1} = 2$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 2$

Zadanie 89

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 35.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 1 pkt

Pani Joanna 1 czerwca 2020 roku wpłaciła na subkonto 300 zł, a pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o 25 zł więcej niż w miesiącu poprzednim. Oblicz kwotę, jaką wpłaciła 1 czerwca 2022 roku.

Wskazówka

Od czerwca 2020 do czerwca 2022 minęły 24 miesiące.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wpłata z 1 czerwca 2022 to wyraz $a_{25}$ ciągu o $a_{1} = 300$ i $r = 25$ .
2 $a_{25} = 300 + 24 \cdot 25 = 300 + 600 = 900$ zł.

Odpowiedź: $900$ zł

Zadanie 90

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 35.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 2 pkt

Pani Joanna 1 czerwca 2020 roku wpłaciła na subkonto 300 zł i pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o pewną stałą kwotę więcej. Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim powinna odkładać, aby 1 czerwca 2025 roku (razem z wpłatą w tym dniu) na subkoncie była kwota 76 860 zł.

Wskazówka

Policz, ile wpłat przypada od czerwca 2020 do czerwca 2025 włącznie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczba wpłat: $5 \cdot 12 + 1 = 61$ .
2 $S_{61} = 61 \cdot 300 + d \cdot \frac{61 \cdot 60}{2} = 18300 + 1830 d = 76860$ .
3 $1830 d = 58560 \Rightarrow d = 32$ zł.

Odpowiedź: $32$ zł

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 5}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Ciąg

(a_{n})

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz iloraz $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{2}$ — iloraz jest stały, więc ciąg jest geometryczny.
2 $q = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ przy dodatnich wyrazach, więc ciąg jest malejący.

Prawidłowa odpowiedź: D. geometryczny i malejący

Zadanie 2

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, x + 4, 2 x + 8)

, o wszystkich wyrazach dodatnich, jest geometryczny. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z warunku $(x + 4)^{2} = x (2 x + 8)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 8 x + 16 = 2 x^{2} + 8 x \Rightarrow x^{2} = 16$ .
2Wyrazy są dodatnie, więc $x = 4$ i ciąg to $(4, 8, 16)$ .
3 $q = \frac{8}{4} = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloczyn wyrazów

Matura · 1 pkt

Pięciowyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{2}, 2, a_{4}, a_{5})

jest geometryczny. Iloczyn

a_{1} \cdot a_{2} \cdot 2 \cdot a_{4} \cdot a_{5}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyrazy skrajne mnożą się do kwadratu wyrazu środkowego.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{4} = a_{3}^{2} = 4$ .
2Iloczyn wszystkich wyrazów $= 4 \cdot 4 \cdot 2 = 32$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $32$

Zadanie 4

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest malejący, a jego wyrazy spełniają warunek

a_{6} = 25 \cdot a_{8}

. Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{8} = a_{6} q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{6} = 25 a_{6} q^{2} \Rightarrow q^{2} = \frac{1}{25}$ .
2 $q = \frac{1}{5}$ lub $q = - \frac{1}{5}$ ; ciąg malejący daje $q = \frac{1}{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{5}$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

o wyrazach różnych od 0 spełnia warunek

a_{3} = - 8 \cdot a_{6}

. Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{6} = a_{3} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = - 8 a_{3} q^{3} \Rightarrow q^{3} = - \frac{1}{8}$ .
2 $q = - \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- \frac{1}{2})$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(5, 1, x)

jest arytmetyczny, a ciąg

(5, 1, y)

jest geometryczny. Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $x = 2 - 5$ i $y = \frac{1}{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Arytmetyczny: $2 \cdot 1 = 5 + x \Rightarrow x = 2 - 5 \approx - 0, 24 < 0$ .
2Geometryczny: $1 = 5 \cdot y \Rightarrow y = \frac{5}{5} > 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x < 0$ i $y > 0$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(4, m, m - 1)

jest geometryczny, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$m^{2} = 4 (m - 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m^{2} - 4 m + 4 = 0 ⟺ (m - 2)^{2} = 0$ .
2 $m = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 8

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 2

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.
2. Ciąg

(a_{n})

jest geometryczny.

Wskazówka

Policz trzy pierwsze wyrazy i sprawdź różnice oraz ilorazy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 5$ , $a_{3} = 11$ .
2Różnice: $3$ i $6$ — nie jest arytmetyczny (FAŁSZ).
3Ilorazy: $\frac{5}{2}$ i $\frac{11}{5}$ — nie jest geometryczny (FAŁSZ).

Odpowiedź: F, F

Zadanie 9

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 27

oraz

a_{2} = 9

. Czwarty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{2}}{a _{1}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{1}{3}$ .
2 $a_{4} = 27 \cdot (\frac{1}{3})^{3} = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 10

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 \cdot (- 1)^{n} + 10

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest geometryczny.
2. Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa 80.

Wskazówka

Wyrazy przyjmują naprzemiennie dwie wartości.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 7$ , $a_{2} = 13$ , $a_{3} = 7$ — iloraz nie jest stały, więc ciąg nie jest geometryczny (FAŁSZ).
2Każda para daje $7 + 13 = 20$ , a par jest cztery: $S_{8} = 80$ (PRAWDA).

Odpowiedź: F, P

Zadanie 11

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{2} = \frac{1}{6}

oraz

a_{3} = \frac{1}{9}

. Piąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{3}}{a _{2}}$ , a $a_{5} = a_{3} q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{1/9}{1/6} = \frac{2}{3}$ .
2 $a_{5} = \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{81}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{4}{81}$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{2} = 2

oraz

a_{5} = 54

. Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{2} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $54 = 2 q^{3} \Rightarrow q^{3} = 27$ .
2 $q = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n + 1} + 5

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest malejący.
2. Ciąg

(a_{n})

jest geometryczny.

Wskazówka

Policz kilka pierwszych wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 7$ , $a_{2} = 3$ , $a_{3} = 7$ — ciąg nie jest malejący (FAŁSZ).
2Ilorazy $\frac{3}{7}$ i $\frac{7}{3}$ są różne — ciąg nie jest geometryczny (FAŁSZ).

Odpowiedź: F, F

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(- 1, 2, x)

jest arytmetyczny, a ciąg

(- 1, 2, y)

jest geometryczny. Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

W ciągu geometrycznym $q = \frac{2}{- 1} = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Arytmetyczny: $4 = - 1 + x \Rightarrow x = 5 > 0$ .
2Geometryczny: $q = - 2$ , więc $y = 2 \cdot (- 2) = - 4 < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x > 0$ i $y < 0$

Zadanie 15

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(12, 6, 2 m - 1)

jest geometryczny. Dokończ zdanie: ten ciąg jest **A.** rosnący / **B.** malejący oraz **1.**

m = \frac{1}{2}

/ **2.**

m = 2

/ **3.**

m = 3

Wskazówka

Wyznacz iloraz z dwóch pierwszych wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , więc $2 m - 1 = 3$ i $m = 2$ .
2Ciąg $(12, 6, 3)$ jest malejący.

Odpowiedź: B, 2

Zadanie 16

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1 - 2 a, 12, 48)

jest geometryczny. Liczba

a

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{48}{12}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = 4$ , więc $12 = (1 - 2 a) \cdot 4$ , czyli $1 - 2 a = 3$ .
2 $a = - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 1)$

Zadanie 17

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Znaki wyrazów ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 128

, a iloraz jest równy

(- \frac{1}{2})

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Wyraz

a_{2023}

jest liczbą ujemną.
2. Różnica

a_{3} - a_{2}

jest równa 96.

Wskazówka

Znak wyrazu zależy od parzystości wykładnika $n - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2023} = 128 \cdot (- \frac{1}{2})^{2022}$ — wykładnik parzysty, więc wyraz jest dodatni (FAŁSZ).
2 $a_{2} = - 64$ , $a_{3} = 32$ , więc $a_{3} - a_{2} = 96$ (PRAWDA).

Odpowiedź: F, P

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

a_{1} = 3, 75

oraz

a_{2} = - 7, 5

. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloraz jest równy $- 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{- 7 , 5}{3 , 75} = - 2$ , więc $a_{3} = 15$ .
2 $S_{3} = 3, 75 - 7, 5 + 15 = 11, 25$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $11, 25$

Zadanie 19

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(27, 9, a - 1)

jest geometryczny. Liczba

a

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a - 1 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$ .
2 $a = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Zadanie 20

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = - 5

a_{2} = 15

a_{3} = - 45

. Wskaż **dwie** poprawne postacie wzoru ogólnego: **A.**

a_{n} = - 5 \cdot (- 3)^{n - 1}

, **B.**

a_{n} = - 5 \cdot (- 3)^{n}

, **C.**

a_{n} = - 5 \cdot 3^{n - 1}

, **D.**

a_{n} = - 5 \cdot \frac{( - 3 ) ^{n}}{3}

, **E.**

a_{n} = 5 \cdot \frac{( - 3 ) ^{n}}{3}

, **F.**

a_{n} = 5 \cdot (- 3)^{n} \cdot 3

Wskazówka

Iloraz jest równy $- 3$ ; sprawdź każdą postać dla $n = 1$ i $n = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{15}{- 5} = - 3$ , więc $a_{n} = - 5 \cdot (- 3)^{n - 1}$ (odpowiedź A).
2 $5 \cdot \frac{( - 3 ) ^{n}}{3}$ dla $n = 1$ daje $- 5$ , dla $n = 2$ daje $15$ — ta sama postać (odpowiedź E).

Odpowiedź: A, E

Zadanie 21

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{7 ^{n}}{21}

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest geometryczny.
2. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa 20.

Wskazówka

Policz iloraz oraz trzy pierwsze wyrazy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 7$ — ciąg jest geometryczny (PRAWDA).
2 $S_{3} = \frac{7 + 49 + 343}{21} = \frac{399}{21} = 19 \neq = 20$ (FAŁSZ).

Odpowiedź: P, F

Zadanie 22

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

drugi wyraz oraz iloraz są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz $a_{1} = \frac{a _{2}}{q}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 1$ , więc kolejne wyrazy to $1, 2, 4, 8, 16$ .
2 $S_{5} = 31$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $31$

Zadanie 23

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie i

9 a_{5} = 4 a_{3}

. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{3} q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 q^{2} = 4 \Rightarrow q^{2} = \frac{4}{9}$ .
2Wyrazy są dodatnie, więc $q = \frac{2}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{2}{3}$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zależność między $a_1$ i $q$

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest rosnący, wszystkie jego wyrazy są dodatnie i spełniony jest warunek

a_{3} = a_{1} \cdot a_{2}

. Niech

q

oznacza iloraz ciągu. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $a_{2}$ i $a_{3}$ przez $a_{1}$ i $q$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} q^{2} = a_{1} \cdot a_{1} q$ .
2Dzielimy przez $a_{1} q \neq = 0$ : $q = a_{1}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{1} = q$

Zadanie 25

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(15, 3 x, \frac{5}{3})

jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(3 x)^{2} = 15 \cdot \frac{5}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 x^{2} = 25 \Rightarrow 3 x = 5$ (wyrazy dodatnie).
2 $x = \frac{5}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $x = \frac{5}{3}$

Zadanie 26

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloczyn wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy 64. Stąd wynika, że

y

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z $x z = y^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x y z = y^{2} \cdot y = y^{3} = 64$ .
2 $y = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Znaki wyrazów ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

spełnia

a_{2} = 6

a_{5} = - 48

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz $q$ z $a_{5} = a_{2} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 48 = 6 q^{3} \Rightarrow q^{3} = - 8$ , więc $q = - 2$ .
2 $a_{7} = a_{2} q^{5} = 6 \cdot (- 32) = - 192 < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{7} < 0$

Zadanie 28

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie. Drugi wyraz jest równy 162, a piąty 48. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{2} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $48 = 162 q^{3} \Rightarrow q^{3} = \frac{8}{27}$ .
2 $q = \frac{2}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{2}{3}$

Zadanie 29

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie i

\frac{a _{5}}{a _{3}} = \frac{1}{9}

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$\frac{a _{5}}{a _{3}} = q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q^{2} = \frac{1}{9}$ , a wyrazy są dodatnie.
2 $q = \frac{1}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{3}$

Zadanie 30

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Dla pewnej liczby

x

ciąg

(x, x + 4, 16)

jest geometryczny. Liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(x + 4)^{2} = 16 x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 8 x + 16 = 16 x ⟺ x^{2} - 8 x + 16 = 0$ .
2 $(x - 4)^{2} = 0 \Rightarrow x = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie i

3 a_{2} = 2 a_{3}

. Stąd wynika, że iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{3} = a_{2} q$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 a_{2} = 2 a_{2} q \Rightarrow 3 = 2 q$ .
2 $q = \frac{3}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $q = \frac{3}{2}$

Zadanie 32

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 2

a_{2} = 22

a_{3} = 42

. Wzór na

n

-ty wyraz tego ciągu ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloraz jest równy 2, więc $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = \frac{2 ^{n} 2}{2} = \frac{2 ^{n}}{2}$ .
2Sprawdzenie dla $n = 1$ : $\frac{2}{2} = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{n} = \frac{2 ^{n}}{2}$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich

(81, 3 x, 4)

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(3 x)^{2} = 81 \cdot 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 x^{2} = 324 \Rightarrow x^{2} = 36$ .
2Wyrazy dodatnie, więc $x = 6$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 6$

Zadanie 34

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(x, 2 x^{2}, 4 x^{3}, 8)

o wyrazach nieujemnych. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloraz wynosi $2 x$ ; zastosuj go do przejścia z $4 x^{3}$ do $8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{2 x ^{2}}{x} = 2 x$ .
2 $4 x^{3} \cdot 2 x = 8 \Rightarrow 8 x^{4} = 8$ .
3 $x^{4} = 1$ , a wyrazy są nieujemne, więc $x = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Zadanie 35

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz jest równy

(- 216)

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 216 = 8 q^{3} \Rightarrow q^{3} = - 27$ .
2 $q = - 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 3$

Zadanie 36

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 72

a_{4} = 9

. Iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 = 72 q^{3} \Rightarrow q^{3} = \frac{1}{8}$ .
2 $q = \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $q = \frac{1}{2}$

Zadanie 37

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Ciąg

(x, 2 x + 3, 4 x + 3)

jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(2 x + 3)^{2} = x (4 x + 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 x^{2} + 12 x + 9 = 4 x^{2} + 3 x \Rightarrow 9 x = - 9$ .
2 $x = - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Zadanie 38

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2^{n}

dla

n ⩾ 1

. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{10} = a_{1} \frac{1 - q ^{10}}{1 - q}$ dla $a_{1} = 2$ i $q = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{10} = 2 \cdot \frac{1 - 2 ^{10}}{1 - 2} = - 2 (1 - 2^{10})$ .
2Liczbowo: $2^{11} - 2 = 2046$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2 (1 - 2^{10})$

Zadanie 39

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W rosnącym ciągu geometrycznym

(a_{n})

spełniony jest warunek

a_{4} = 3 a_{1}

. Iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q^{3} = 3$ .
2 $q = 33$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $q = 33$

Zadanie 40

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = - 2

a_{2} = 2

a_{3} = - 22

. Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{2}{- 2} = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{10} = - 2 \cdot (- 2)^{9} = (2)^{10}$ .
2 $(2)^{10} = 2^{5} = 32$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $32$

Zadanie 41

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

określony jest wzorem

a_{n} = - \frac{3 ^{n}}{4}

dla

n ⩾ 1

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{3 ^{n + 1}}{3 ^{n}} = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 42

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

mamy

a_{1} = 5

oraz

q = - 2

. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{10} = a_{1} \frac{1 - q ^{10}}{1 - q}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{10} = 5 \cdot \frac{1 - 1024}{1 + 2} = 5 \cdot \frac{- 1023}{3}$ .
2 $S_{10} = 5 \cdot (- 341) = - 1705$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 1705$

Zadanie 43

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Liczby

x - 2

6

12

w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{12}{6} = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 = (x - 2) \cdot 2 \Rightarrow x - 2 = 3$ .
2 $x = 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $5$

Zadanie 44

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz środkowy

Matura · 1 pkt

W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy 3, a ostatni 12. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5}^{2} = a_{1} \cdot a_{9}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5}^{2} = 3 \cdot 12 = 36$ .
2Wyrazy dodatnie, więc $a_{5} = 6$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $6$

Zadanie 45

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Liczby

3 x - 4

8

2

w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = (3 x - 4) \cdot \frac{1}{4} \Rightarrow 3 x - 4 = 32$ .
2 $3 x = 36 \Rightarrow x = 12$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $x = 12$

Zadanie 46

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

pierwszy wyraz jest równy

\frac{9}{8}

, a czwarty wyraz jest równy

\frac{1}{3}

. Wówczas iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{3} = \frac{9}{8} q^{3} \Rightarrow q^{3} = \frac{8}{27}$ .
2 $q = \frac{2}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $q = \frac{2}{3}$

Zadanie 47

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Ciąg

(27, 18, x + 5)

jest geometryczny. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x + 5 = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ .
2 $x = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 7$

Zadanie 48

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

dane są

a_{2} = \frac{3}{2}

a_{3} = - \frac{3}{2}

. Wtedy wyraz

a_{1}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{3}}{a _{2}}$ , a $a_{1} = \frac{a _{2}}{q}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = - 3$ .
2 $a_{1} = \frac{\frac{3}{2}}{- 3} = - \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- \frac{1}{2}$

Zadanie 49

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

mamy

a_{3} = 5

a_{4} = 15

. Wtedy wyraz

a_{5}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{4}}{a _{3}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = 3$ .
2 $a_{5} = 15 \cdot 3 = 45$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $45$

Zadanie 50

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{3} = 1

a_{4} = \frac{2}{3}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{1} = \frac{a _{3}}{q ^{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{2}{3}$ , więc $q^{2} = \frac{4}{9}$ .
2 $a_{1} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $a_{1} = \frac{9}{4}$

Zadanie 51

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 2

a_{2} = 12

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{4} = 2 \cdot 6^{3} = 2 \cdot 216 = 432$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{4} = 432$

Zadanie 52

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W malejącym ciągu geometrycznym

(a_{n})

mamy

a_{1} = - 2

a_{3} = - 4

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{3} = a_{1} q^{2}$ , a potem sprawdź monotoniczność.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 4 = - 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 2$ , więc $q = \pm 2$ .
2Dla $a_{1} = - 2$ ciąg jest malejący przy $q = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 53

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 3

a_{4} = 24

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $24 = 3 q^{3} \Rightarrow q^{3} = 8$ .
2 $q = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 54

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 32

a_{4} = - 4

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 4 = 32 q^{3} \Rightarrow q^{3} = - \frac{1}{8}$ .
2 $q = - \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- \frac{1}{2}$

Zadanie 55

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy

(- 2)

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{4}}{a _{3}}$ , a $a_{1} = \frac{a _{3}}{q ^{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = - \frac{1}{2}$ , $q^{2} = \frac{1}{4}$ .
2 $a_{1} = \frac{4}{\frac{1}{4}} = 16$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $16$

Zadanie 56

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piąty wyraz tego ciągu jest równy 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{3} q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1 = 4 q^{2} \Rightarrow q^{2} = \frac{1}{4}$ .
2 $a_{1} = \frac{a _{3}}{q ^{2}} = \frac{4}{\frac{1}{4}} = 16$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $16$

Zadanie 57

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Liczby

- 8

4

x + 1

(w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{4}{- 8} = - \frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x + 1 = 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 2$ .
2 $x = - 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 3$

Zadanie 58

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Dane są liczby

a = 22

b = 4

c = 42

. Liczby

a

b

c

tworzą w podanej kolejności **A.** ciąg arytmetyczny / **B.** ciąg geometryczny, ponieważ **1.**

b = \frac{a + c}{2}

/ **2.**

b = \frac{( c - a ) ^{2}}{2}

/ **3.**

b^{2} = a \cdot c

Wskazówka

Sprawdź, czy kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b^{2} = 16$ oraz $a \cdot c = 22 \cdot 42 = 16$ .
2Warunek $b^{2} = a c$ jest spełniony, więc ciąg jest geometryczny.

Odpowiedź: B, 3

Zadanie 59

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloczyn wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

spełnia warunek

a_{3} \cdot a_{6} = 18

. Uzupełnij: iloczyn

a_{2} \cdot a_{7}

jest równy …

Wskazówka

W ciągu geometrycznym iloczyn zależy tylko od sumy indeksów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} a_{6} = a_{1}^{2} q^{7}$ oraz $a_{2} a_{7} = a_{1}^{2} q^{7}$ .
2Zatem $a_{2} \cdot a_{7} = 18$ .

Odpowiedź: $18$

Zadanie 60

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 3 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzywyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{9}, a_{k})

jest geometryczny. Oblicz

k

Wskazówka

Policz $a_{1}$ i $a_{9}$ , a potem zastosuj warunek $a_{9}^{2} = a_{1} \cdot a_{k}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 8$ , $a_{9} = 32$ .
2 $3 2^{2} = 8 \cdot a_{k} \Rightarrow a_{k} = 128$ .
3 $3 k + 5 = 128 \Rightarrow 3 k = 123$ , czyli $k = 41$ .

Odpowiedź: $k = 41$

Zadanie 61

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 1 pkt

Masa

m

leku zmienia się zgodnie z zależnością

m (t) = m_{0} \cdot (0, 6)^{0, 25 t}

, gdzie

t

to czas w godzinach. Liczby

m (2, 5)

m (4, 5)

m (6, 5)

tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

Wskazówka

Podziel $m (4, 5)$ przez $m (2, 5)$ i skorzystaj z własności potęg.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{m ( 4 , 5 )}{m ( 2 , 5 )} = (0, 6)^{0, 25 (4, 5 - 2, 5)}$ .
2 $q = (0, 6)^{0, 5} = 0, 6$ .

Odpowiedź: $q = 0, 6^{0, 5} = 0, 6$

Zadanie 62

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 2 pkt

Trójwyrazowy ciąg

(x, 3 x + 2, 9 x + 16)

jest geometryczny. Oblicz

x

Wskazówka

$(3 x + 2)^{2} = x (9 x + 16)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 x^{2} + 12 x + 4 = 9 x^{2} + 16 x$ .
2 $4 x = 4 \Rightarrow x = 1$ .

Odpowiedź: $x = 1$

Zadanie 63

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 35

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 5 pkt

Rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma sumę pierwszych pięciu wyrazów równą 10, a wyrazy

a_{3}, a_{5}, a_{13}

tworzą — w podanej kolejności — ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Z sumy pięciu wyrazów wyznacz $a_{3}$ , potem zastosuj warunek $a_{5}^{2} = a_{3} a_{13}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{5} = 5 a_{3} = 10 \Rightarrow a_{3} = 2$ .
2 $a_{5} = 2 + 2 r$ , $a_{13} = 2 + 10 r$ , więc $(2 + 2 r)^{2} = 2 (2 + 10 r)$ .
3 $4 + 8 r + 4 r^{2} = 4 + 20 r \Rightarrow 4 r^{2} = 12 r$ , czyli $r = 3$ (ciąg rosnący).
4 $a_{1} = 2 - 2 \cdot 3 = - 4$ , zatem $a_{n} = - 4 + 3 (n - 1) = 3 n - 7$ .

Odpowiedź: $a_{n} = 3 n - 7$

Zadanie 64

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 2 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg

(x + 2, 4 x + 2, x + 11)

. Oblicz wszystkie wartości

x

, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Wskazówka

$(4 x + 2)^{2} = (x + 2) (x + 11)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $16 x^{2} + 16 x + 4 = x^{2} + 13 x + 22$ .
2 $15 x^{2} + 3 x - 18 = 0 ⟺ 5 x^{2} + x - 6 = 0$ .
3 $Δ = 121$ , więc $x = - \frac{6}{5}$ lub $x = 1$ .

Odpowiedź: $x = - \frac{6}{5}$ lub $x = 1$

Zadanie 65

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz z równania

Matura · 4 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie i spełniają warunek

6 a_{1} - 5 a_{2} + a_{3} = 0

. Oblicz iloraz

q

tego ciągu należący do przedziału

⟨ 22, 32 ⟩

Wskazówka

Podziel równanie przez $a_{1}$ i rozwiąż równanie kwadratowe względem $q$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 - 5 q + q^{2} = 0$ , więc $q = 2$ lub $q = 3$ .
2 $22 \approx 2, 83$ , $32 \approx 4, 24$ .
3Do przedziału należy tylko $q = 3$ .

Odpowiedź: $q = 3$

Zadanie 66

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz i wyraz z sum

Matura · 2 pkt

W ciągu geometrycznym

S_{n}

oznacza sumę

n

początkowych wyrazów. Wiadomo, że

S_{1} = 2

S_{2} = 12

. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Wskazówka

$a_{1} = S_{1}$ , a $a_{2} = S_{2} - S_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 12 - 2 = 10$ , więc $q = 5$ .
2 $a_{5} = 2 \cdot 5^{4} = 2 \cdot 625 = 1250$ .

Odpowiedź: $q = 5$ , $a_{5} = 1250$

Zadanie 67

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

taki, że

a_{5} = 18

. Wyrazy

a_{1}

a_{3}

a_{13}

są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Zapisz $a_{1}$ , $a_{3}$ , $a_{13}$ przez $a_{5}$ i $r$ , a potem użyj warunku $a_{3}^{2} = a_{1} a_{13}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 18 - 4 r$ , $a_{3} = 18 - 2 r$ , $a_{13} = 18 + 8 r$ .
2 $(18 - 2 r)^{2} = (18 - 4 r) (18 + 8 r)$ , czyli $324 - 72 r + 4 r^{2} = 324 + 72 r - 32 r^{2}$ .
3 $36 r^{2} = 144 r \Rightarrow r = 4$ (ciąg rosnący), więc $a_{1} = 2$ .
4 $a_{n} = 2 + 4 (n - 1) = 4 n - 2$ .

Odpowiedź: $a_{n} = 4 n - 2$

Zadanie 68

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 5 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

suma jedenastu początkowych wyrazów jest równa 187, a średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu jest równa 12. Wyrazy

a_{1}, a_{3}, a_{k}

tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz

k

Wskazówka

Z sumy wyznacz $a_{6}$ , a ze średniej drugie równanie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{11} = 11 a_{6} = 187 \Rightarrow a_{6} = 17$ , czyli $a_{1} + 5 r = 17$ .
2 $a_{1} + a_{3} + a_{9} = 3 a_{1} + 10 r = 36$ ; po podstawieniu $a_{1} = 17 - 5 r$ : $51 - 15 r + 10 r = 36$ , więc $r = 3$ i $a_{1} = 2$ .
3 $a_{3} = 8$ , a z warunku $a_{3}^{2} = a_{1} a_{k}$ : $64 = 2 a_{k}$ , czyli $a_{k} = 32$ .
4 $2 + 3 (k - 1) = 32 \Rightarrow k = 11$ .

Odpowiedź: $k = 11$

Zadanie 69

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 2 pkt

Kwadrat

K_{1}

ma bok długości

a

. Każdy następny kwadrat

K_{2}, K_{3}, \dots

ma bok o połowę krótszy od boku poprzedniego. Wyznacz pole kwadratu

K_{12}

Wskazówka

Boki tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $\frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Bok kwadratu $K_{12}$ : $a \cdot (\frac{1}{2})^{11} = \frac{a}{2048}$ .
2Pole: $(\frac{a}{2048})^{2} = \frac{a ^{2}}{4 194 304}$ .

Odpowiedź: $\frac{a ^{2}}{4 194 304}$

Zadanie 70

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 2 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 7 \cdot 3^{n + 1}

dla

n ⩾ 1

. Oblicz iloraz

q

tego ciągu.

Wskazówka

Podziel $a_{n + 1}$ przez $a_{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{7 \cdot 3 ^{n + 2}}{7 \cdot 3 ^{n + 1}} = 3$ .

Odpowiedź: $q = 3$

Zadanie 71

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 2 pkt

Liczby

64

x

4

są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Wskazówka

$x^{2} = 64 \cdot 4$ ; wybierz wartość zgodną z malejącym ciągiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} = 256 \Rightarrow x = 16$ (ciąg malejący o wyrazach dodatnich).
2 $q = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$ .
3 $a_{5} = 64 \cdot (\frac{1}{4})^{4} = \frac{64}{256} = \frac{1}{4}$ .

Odpowiedź: $a_{5} = \frac{1}{4}$

Zadanie 72

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Ciąg

(1, x, y - 1)

jest arytmetyczny, natomiast ciąg

(x, y, 12)

jest geometryczny. Oblicz

x

oraz

y

i podaj ten ciąg geometryczny.

Wskazówka

Z pierwszego warunku otrzymasz $y = 2 x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Arytmetyczny: $2 x = 1 + (y - 1) = y$ .
2Geometryczny: $y^{2} = 12 x$ , więc $4 x^{2} = 12 x$ i $x = 3$ .
3 $y = 6$ , a ciąg geometryczny to $(3, 6, 12)$ .

Odpowiedź: $x = 3$ , $y = 6$ , ciąg $(3, 6, 12)$

Zadanie 73

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Liczby

a, b, c

tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny, a ich suma jest równa 93. Te same liczby są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

a, b, c

Wskazówka

Zapisz $b = a + d$ i $c = a + 6 d$ , a następnie użyj $b^{2} = a c$ oraz sumy.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z sumy: $3 a + 7 d = 93$ . Z warunku geometrycznego: $(a + d)^{2} = a (a + 6 d)$ , czyli $d^{2} = 4 a d$ .
2Stąd $d = 0$ lub $d = 4 a$ .
3Dla $d = 0$ : $3 a = 93$ , więc $a = b = c = 31$ .
4Dla $d = 4 a$ : $3 a + 28 a = 93 \Rightarrow a = 3$ , $d = 12$ , więc $a = 3$ , $b = 15$ , $c = 75$ .

Odpowiedź: $a = 3$ , $b = 15$ , $c = 75$ lub $a = b = c = 31$

Zadanie 74

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{x}

dla

x \neq = 0

. Oblicz wartość

m

, dla której liczby

f (m)

f (1)

f (2)

są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Wskazówka

Warunek to $f (1)^{2} = f (m) \cdot f (2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1 = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 m}$ .
2 $2 m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $m = \frac{1}{2}$

Zadanie 75

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Wyznacz wzór na

n

-ty wyraz ciągu arytmetycznego, wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Wskazówka

Z sumy wynika $a_{3} = 2$ ; rozważ także przypadek $r = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{5} = 5 a_{3} = 10 \Rightarrow a_{3} = 2$ .
2 $(2 + 2 r)^{2} = 2 (2 + 10 r) \Rightarrow 4 r^{2} = 12 r$ , czyli $r = 0$ lub $r = 3$ .
3Dla $r = 0$ : $a_{n} = 2$ . Dla $r = 3$ : $a_{1} = - 4$ i $a_{n} = 3 n - 7$ .

Odpowiedź: $a_{n} = 2$ lub $a_{n} = 3 n - 7$

Zadanie 76

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów z sumy

Matura · 3 pkt

Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy

\frac{1}{3}

, trzeci wyraz tego ciągu jest równy

\frac{1}{9}

, a suma wszystkich wyrazów to

\frac{364}{243}

. Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg.

Wskazówka

Najpierw wyznacz $a_{1}$ , a potem rozwiąż równanie na sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = a_{1} q^{2} = \frac{a _{1}}{9} = \frac{1}{9} \Rightarrow a_{1} = 1$ .
2 $S_{n} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n}) = \frac{364}{243}$ .
3 $1 - (\frac{1}{3})^{n} = \frac{728}{729} \Rightarrow (\frac{1}{3})^{n} = \frac{1}{729}$ .
4 $n = 6$ .

Odpowiedź: $6$ wyrazów

Zadanie 77

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Liczby

x, y, z

, których suma jest równa 114, tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, w którym

x = a_{1}

y = a_{4}

z = a_{25}

. Oblicz liczby

x, y, z

Wskazówka

Zapisz $y = x + 3 d$ , $z = x + 24 d$ i wykorzystaj $y^{2} = x z$ oraz sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma: $3 x + 27 d = 114$ , czyli $x + 9 d = 38$ .
2Warunek geometryczny: $(x + 3 d)^{2} = x (x + 24 d) \Rightarrow 9 d^{2} = 18 x d$ , więc $d = 0$ lub $d = 2 x$ .
3Dla $d = 0$ : $x = y = z = 38$ .
4Dla $d = 2 x$ : $x + 18 x = 38 \Rightarrow x = 2$ , $d = 4$ , więc $y = 14$ i $z = 98$ .

Odpowiedź: $x = y = z = 38$ lub $x = 2$ , $y = 14$ , $z = 98$

Zadanie 78

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Trzy liczby, których suma jest równa 24, tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o 4, 10 i 40 będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny. Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny.

Wskazówka

Zapisz liczby jako $8 - d$ , $8$ , $8 + d$ — środkowa wynika z sumy.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma $= 3 \cdot$ (wyraz środkowy) $= 24$ , więc liczby to $8 - d$ , $8$ , $8 + d$ .
2Po zwiększeniu: $(12 - d, 18, 48 + d)$ — ciąg geometryczny, więc $324 = (12 - d) (48 + d)$ .
3 $324 = 576 - 36 d - d^{2} \Rightarrow d^{2} + 36 d - 252 = 0$ , $Δ = 2304$ .
4 $d = 6$ lub $d = - 42$ , czyli liczby $2, 8, 14$ lub $50, 8, - 34$ .

Odpowiedź: $2, 8, 14$ lub $50, 8, - 34$