Matematyka · Poziom podstawowy

Liczby rzeczywiste

12zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 4

1. Wartość bezwzględna liczby — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

∣ x ∣ = {x - x dla x \geq 0 dla x < 0

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ∣ x \cdot y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣ \frac{x}{y} = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}

∣ x - a ∣ \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 12

Zadanie 1

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

∣ 5 - 3∣ + ∣ 5 - 1∣

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź najpierw znak każdego wyrażenia pod modułem — pamiętaj, że $5 \approx 2, 24$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Szacujemy: $5 \approx 2, 24$ .
2Zatem $5 - 3 < 0$ , więc $∣ 5 - 3∣ = 3 - 5$ .
3Oraz $5 - 1 > 0$ , więc $∣ 5 - 1∣ = 5 - 1$ .
4Dodajemy: $(3 - 5) + (5 - 1) = 2$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Liczby

x_{1}

x_{2}

są różnymi rozwiązaniami równania

∣ x - 6∣ = 4

. Iloczyn

x_{1} \cdot x_{2}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpisz równanie na dwa przypadki: wyrażenie w module równe $4$ albo $- 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpatrujemy dwa przypadki: $x - 6 = 4$ lub $x - 6 = - 4$ .
2Z pierwszego: $x_{1} = 10$ .
3Z drugiego: $x_{2} = 2$ .
4Iloczyn: $10 \cdot 2 = 20$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $20$

Prawidłowa odpowiedź: B. $20$

Zadanie 3

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Liczby

x_{1}

x_{2}

są różnymi rozwiązaniami równania

∣ x + 4∣ = 7

. Suma

x_{1} + x_{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znajdź oba rozwiązania z dwóch przypadków, a dopiero potem je dodaj.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpatrujemy: $x + 4 = 7$ lub $x + 4 = - 7$ .
2Z pierwszego: $x_{1} = 3$ .
3Z drugiego: $x_{2} = - 11$ .
4Suma: $3 + (- 11) = - 8$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $- 8$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 8$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

∣9 - 2∣ - ∣4 - 7∣

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wykonaj odejmowanie wewnątrz każdego modułu, a potem usuń moduły.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣9 - 2∣ = ∣7∣ = 7$ .
2 $∣4 - 7∣ = ∣ - 3∣ = 3$ .
3Odejmujemy: $7 - 3 = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $4$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{∣3 - 9∣}{- 3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Moduł zawsze daje liczbę nieujemną — znak minus pozostaje tylko w mianowniku.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $∣3 - 9∣ = ∣ - 6∣ = 6$ .
2Dzielimy: $\frac{6}{- 3} = - 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2$

Zadanie 6

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Nierówności z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność

∣ x + 4, 5∣ ⩾ 6

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nierówność $∣ a ∣ ⩾ 6$ oznacza $a ⩾ 6$ lub $a ⩽ - 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpisujemy: $x + 4, 5 ⩾ 6$ lub $x + 4, 5 ⩽ - 6$ .
2Z pierwszej: $x ⩾ 1, 5$ .
3Z drugiej: $x ⩽ - 10, 5$ — tu nie ma liczb dodatnich.
4Najmniejsza liczba całkowita dodatnia spełniająca $x ⩾ 1, 5$ to $2$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 2$

Zadanie 7

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

∣3 x + 1∣ = 4 x

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prawa strona musi być nieujemna — to od razu odrzuca część odpowiedzi; pozostałe podstaw.

Rozwiązanie krok po kroku

1Moduł jest nieujemny, więc musi być $4 x ⩾ 0$ , czyli $x ⩾ 0$ — odpadają odpowiedzi z liczbami ujemnymi.
2Podstawiamy $x = 1$ : $∣3 \cdot 1 + 1∣ = ∣4∣ = 4$ oraz $4 \cdot 1 = 4$ — równość zachodzi.
3Podstawiamy $x = 2$ : $∣7∣ = 7$ , a $4 \cdot 2 = 8$ — równość nie zachodzi.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Liczbami spełniającymi równanie

∣2 x + 3∣ = 5

są

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpisz na dwa przypadki: $2 x + 3 = 5$ oraz $2 x + 3 = - 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwszy przypadek: $2 x + 3 = 5$ , czyli $2 x = 2$ i $x = 1$ .
2Drugi przypadek: $2 x + 3 = - 5$ , czyli $2 x = - 8$ i $x = - 4$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $1$ i $- 4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$ i $- 4$

Zadanie 9

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Nierówności z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba

π

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw przybliżenie $π \approx 3, 14$ do każdej nierówności i sprawdź, która jest prawdziwa.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przyjmujemy $π \approx 3, 14$ .
2A: $∣3, 14 + 1∣ = 4, 14$ , a $4, 14 > 5$ jest fałszem.
3B: $∣3, 14 - 1∣ = 2, 14$ , a $2, 14 < 2$ jest fałszem.
4C: $∣3, 14 + \frac{2}{3} ∣ \approx 3, 81$ , a $3, 81 ⩽ 4$ jest prawdą.
5D: $∣3, 14 - \frac{1}{3} ∣ \approx 2, 81$ , a $2, 81 ⩾ 3$ jest fałszem.
6Prawidłowa odpowiedź: C. $x + \frac{2}{3} ⩽ 4$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x + \frac{2}{3} ⩽ 4$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

∣4 x - 5∣ = x

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prawa strona nie może być ujemna, więc sprawdzaj tylko liczby dodatnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Moduł jest nieujemny, więc musi być $x ⩾ 0$ — odpadają odpowiedzi ujemne.
2Podstawiamy $x = 1$ : $∣4 \cdot 1 - 5∣ = ∣ - 1∣ = 1$ i prawa strona też wynosi $1$ — równość zachodzi.
3Podstawiamy $x = 2$ : $∣4 \cdot 2 - 5∣ = 3$ , a prawa strona to $2$ — równość nie zachodzi.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Zadanie 11

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

∣5 - 2∣ + ∣1 - 6∣

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno wartość każdego modułu, a potem dodaj wyniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣5 - 2∣ = ∣3∣ = 3$ .
2 $∣1 - 6∣ = ∣ - 5∣ = 5$ .
3Dodajemy: $3 + 5 = 8$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $8$

Prawidłowa odpowiedź: A. $8$

Zadanie 12

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

∣5 - 7∣ - ∣ - 3 + 4∣

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uporządkuj działania wewnątrz modułów, zanim je usuniesz.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣5 - 7∣ = ∣ - 2∣ = 2$ .
2 $∣ - 3 + 4∣ = ∣1∣ = 1$ .
3Odejmujemy: $2 - 1 = 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$