Kombinatoryka

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra jedności i tysięcy może być jedną z cyfr $2,4,6,8$, czyli mamy $4$ możliwości.
2. 2Cyfrę setek wybieramy na $10$ sposobów i cyfrę dziesiątek także na $10$ sposobów.
3. 3Z reguły mnożenia otrzymujemy $4\cdot 10\cdot 10=400$.

Prawidłowa odpowiedź: A. 400

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dla pierwszego obszaru mamy $7$ możliwych kolorów.
2. 2Każdy następny obszar graniczący z już pokolorowanym ma $6$ możliwych kolorów, bo odpada kolor sąsiada.
3. 3Dla pięciu kolejnych obszarów otrzymujemy $6^5$ możliwości, więc razem $7\cdot 6^5$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $7\cdot 6^5$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Jeśli zero jest cyfrą jedności, to setki i dziesiątki wybieramy spośród $1,\dots ,9$: $9\cdot 9=81$.
2. 2Jeśli zero jest cyfrą dziesiątek, to cyfra setek ma $9$ możliwości, a cyfra jedności musi być jedną z $2,4,6,8$, czyli $4$ możliwości.
3. 3Razem $81+9\cdot 4=81+36=117$.

Prawidłowa odpowiedź: B. 117

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Zero może wystąpić tylko na miejscu dziesiątek.
2. 2Cyfrę setek wybieramy na $9$ sposobów, a cyfrę jedności spośród $1,3,5,7,9$, czyli na $5$ sposobów.
3. 3Otrzymujemy $9\cdot 5=45$ liczb.

Prawidłowa odpowiedź: A. 45

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra jedności ma $2$ możliwości: $2$ lub $4$.
2. 2Każda z trzech pozostałych cyfr może być jedną z $2,4,7$, czyli ma $3$ możliwości.
3. 3Razem jest $3^3\cdot 2=54$ liczb.

Prawidłowa odpowiedź: C. 54

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Na pierwszym miejscu można ustawić jedną z $4$ cyfr, na drugim jedną z $3$, na trzecim jedną z $2$, a na czwartym ostatnią cyfrę.
2. 2Zatem liczba kodów to $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$.

Prawidłowa odpowiedź: C. 24

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfrę tysięcy wybieramy na $9$ sposobów: od $1$ do $9$.
2. 2Cyfrę setek wybieramy na $9$ sposobów, bo można użyć zera, ale nie można powtórzyć pierwszej cyfry.
3. 3Dalej zostaje $8$ i $7$ możliwości, więc wynik to $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra dziesiątek tysięcy ma $2$ możliwości: $5$ albo $7$.
2. 2Każda z czterech pozostałych cyfr ma $3$ możliwości: $0,5,7$.
3. 3Razem otrzymujemy $2\cdot 3^4$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2\cdot 3^4$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfrę setek wybieramy spośród $1,3,4,5,6,7,8,9$, czyli na $8$ sposobów.
2. 2Cyfrę dziesiątek i jedności wybieramy spośród wszystkich cyfr oprócz $2$, czyli każdą na $9$ sposobów.
3. 3Wynik to $8\cdot 9\cdot 9=648$.

Prawidłowa odpowiedź: C. 648

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dwie ostatnie cyfry mogą tworzyć końcówkę $25$ albo $75$, więc są $2$ możliwości.
2. 2Cyfra tysięcy ma $9$ możliwości, a cyfra setek ma $10$ możliwości.
3. 3Wynik to $9\cdot 10\cdot 2$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $9\cdot 10\cdot 2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra setek może być jedną z $4,6,8$, czyli ma $3$ możliwości.
2. 2Cyfra dziesiątek i jedności może być jedną z $0,2,4,6,8$, czyli każda ma $5$ możliwości.
3. 3Razem mamy $3\cdot 5\cdot 5$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $3\cdot 5\cdot 5$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfrę setek wybieramy spośród $7,8,9$, czyli na $3$ sposoby.
2. 2Po wyborze cyfry setek zostaje $5$ cyfr na miejsce dziesiątek i $4$ cyfry na miejsce jedności.
3. 3Otrzymujemy $3\cdot 5\cdot 4=60$.

Prawidłowa odpowiedź: B. 60

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra setek ma $3$ możliwości: $7$, $8$ albo $9$.
2. 2Dwie pozostałe cyfry wybieramy bez powtórzeń: $5\cdot 4$ możliwości.
3. 3Razem $3\cdot 5\cdot 4=60$.

Prawidłowa odpowiedź: B. 60

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Jeśli $7$ jest cyfrą setek, to cyfra dziesiątek ma $9$ możliwości, a cyfra jedności $5$ możliwości: $45$ liczb.
2. 2Jeśli $7$ jest cyfrą dziesiątek, to cyfra setek ma $8$ możliwości, a cyfra jedności $5$ możliwości: $40$ liczb.
3. 3Razem $45+40=85$.

Prawidłowa odpowiedź: A. 85

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra tysięcy ma $5$ możliwości i cyfra setek też ma $5$ możliwości.
2. 2Cyfra dziesiątek ma $6$ możliwości i cyfra jedności także ma $6$ możliwości.
3. 3Wynik to $5\cdot 5\cdot 6\cdot 6$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $5\cdot 5\cdot 6\cdot 6$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfrę dziesiątek wybieramy na $5$ sposobów.
2. 2Cyfrę jedności wybieramy na $4$ sposoby, bo nie może się powtórzyć.
3. 3Otrzymujemy $5\cdot 4=20$ liczb.

Prawidłowa odpowiedź: C. 20

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra jedności jest ustalona: musi być $2$.
2. 2Każda z trzech pozostałych cyfr ma $3$ możliwości: $1,2,3$.
3. 3Razem $3^3=27$.

Prawidłowa odpowiedź: D. 27

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwsza cyfra ma $2$ możliwości: $2$ albo $5$.
2. 2Każda z czterech pozostałych cyfr ma $3$ możliwości: $0,2,5$.
3. 3Wynik to $2\cdot 3^4=162$.

Prawidłowa odpowiedź: C. 162

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Po wykluczeniu $0$ i $2$ zostaje $8$ cyfr do wyboru na trzy pierwsze miejsca.
2. 2Na końcu może stać jedna z cyfr $4,6,8$, czyli są $3$ możliwości.
3. 3Wynik to $8\cdot 8\cdot 8\cdot 3$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $8\cdot 8\cdot 8\cdot 3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra tysięcy jest ustalona i wynosi $3$.
2. 2Każde z trzech pozostałych miejsc można uzupełnić jedną z cyfr $1,2,3$.
3. 3Otrzymujemy $3^3=27$ liczb.

Prawidłowa odpowiedź: D. 27

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wybieramy $2$ osoby z $10$, więc korzystamy z symbolu Newtona $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)$.
2. 2$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=\frac{10\cdot 9}{2}=45$.

Prawidłowa odpowiedź: C. 45

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Liczba uścisków to liczba par wśród $12$ osób.
2. 2$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2}\right)=\frac{12\cdot 11}{2}=66$.

Prawidłowa odpowiedź: A. 66

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Liczb trzycyfrowych jest $900$.
2. 2Co piąta z nich jest podzielna przez $5$, więc $900:5=180$.

Prawidłowa odpowiedź: C. 180

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Zupę wybieramy na $5$ sposobów, a drugie danie na $4$ sposoby.
2. 2Z reguły mnożenia jest $5\cdot 4=20$ obiadów.

Prawidłowa odpowiedź: B. 20

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dla każdego z $6$ punktów są $2$ możliwości: wypukły albo niewypukły.
2. 2Wszystkich układów jest $2^6=64$.
3. 3Odrzucamy układ bez żadnego punktu wypukłego, więc zostaje $64-1=63$.

Odpowiedź: 63

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Koszulę można wybrać na $4$ sposoby, spodnie na $3$ sposoby, a buty na $5$ sposobów.
2. 2Z reguły mnożenia jest $4\cdot 3\cdot 5=60$ zestawów.

Prawidłowa odpowiedź: C. 60

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra dziesiątek może być jedną z $2,4,6,8$, więc są $4$ możliwości.
2. 2Cyfra jedności może być jedną z $0,2,4,6,8$, więc jest $5$ możliwości.
3. 3Razem $4\cdot 5=20$.

Prawidłowa odpowiedź: B. 20

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra dziesiątek ma $4$ możliwości: $1,2,3,4$.
2. 2Cyfra jedności ma $5$ możliwości: $0,1,2,3,4$.
3. 3Razem $4\cdot 5=20$.

Prawidłowa odpowiedź: B. 20

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Ala może wybrać jedno z $5$ miejsc.
2. 2Bartek może usiąść na jednym z pozostałych $4$ miejsc.
3. 3Razem $5\cdot 4=20$ sposobów.

Prawidłowa odpowiedź: B. 20

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Gdy $5$ jest cyfrą setek, pozostałe dwie cyfry nie mogą być $5$: $9\cdot 9=81$.
2. 2Gdy $5$ jest cyfrą dziesiątek lub jedności, cyfra setek ma $8$ możliwości, a druga pozostała cyfra $9$ możliwości: po $72$ liczby.
3. 3Razem $81+72+72=225$.

Prawidłowa odpowiedź: B. 225

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Książki biograficzne można ustawić na $4!$ sposobów, a książki fantasy na $5!$ sposobów.
2. 2Są $2$ możliwości przypisania rodzaju książek do półek.
3. 3Razem $4!\cdot 5!\cdot 2$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $4!\cdot 5!\cdot 2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Kolor pasów zewnętrznych można wybrać na $5$ sposobów.
2. 2Kolor pasa wewnętrznego musi być inny, więc ma $4$ możliwości.
3. 3Kolor lamówki ma $3$ możliwości, zatem razem $5\cdot 4\cdot 3$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $5\cdot 4\cdot 3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Trzy pierwsze cyfry mają postać $(a,a-3,a-6)$, więc możliwe są $4$ trójki: $(6,3,0)$, $(7,4,1)$, $(8,5,2)$, $(9,6,3)$.
2. 2Po wybraniu takiej trójki zostaje $7$ cyfr na czwarte miejsce, $6$ na piąte i $5$ na szóste.
3. 3Liczba numerów to $4\cdot 7\cdot 6\cdot 5=840$.

Odpowiedź: 840

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wszystkich par uporządkowanych bez zwracania jest $15\cdot 14=210$.
2. 2Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Liczb nieparzystych jest $8$, więc takich par jest $8\cdot 7=56$.
3. 3Szukana liczba par to $210-56=154$.

Odpowiedź: 154

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Jeśli cyfra setek to $b$, to cyfra jedności wynosi $b+3$, więc $b$ może być jedną z cyfr $0,1,2,3,4,5,6$ — jest $7$ możliwości.
2. 2Cyfra tysięcy ma $9$ możliwości, a cyfra dziesiątek ma $10$ możliwości.
3. 3Wynik to $9\cdot 10\cdot 7=630$.

Odpowiedź: 630

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Trzy ostatnie cyfry wybieramy spośród $0,2,4,6,8$ i ustawiamy malejąco. Wystarczy wybrać $3$ z $5$ cyfr: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$.
2. 2Cyfra dziesiątek tysięcy nie może być $0$ ani $9$, więc ma $8$ możliwości.
3. 3Cyfra tysięcy może być dowolną cyfrą od $0$ do $8$, czyli ma $9$ możliwości.
4. 4Razem $10\cdot 8\cdot 9=720$.

Odpowiedź: 720

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwsza cyfra może być jedną z $2,4,6,8$, więc ma $4$ możliwości.
2. 2Każda z pozostałych cyfr może być jedną z $1,3,5,7,9$, czyli ma $5$ możliwości.
3. 3Razem $4\cdot 5^3=500$.

Odpowiedź: 500

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Niebieska koszula: spodnie niebieskie odpadają, więc $2$ możliwości, a buty niebieskie odpadają, więc $4$ możliwości. Razem $8$.
2. 2Niebieskie spodnie: koszula nie może być niebieska ($3$ możliwości), buty nie mogą być niebieskie ($4$ możliwości). Razem $12$.
3. 3Niebieskie buty: koszula nie może być niebieska ($3$ możliwości), spodnie nie mogą być niebieskie ($2$ możliwości). Razem $6$.
4. 4Suma: $8+12+6=26$.

Odpowiedź: 26

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Jeśli cyfra nieparzysta jest cyfrą tysięcy, mamy $5\cdot 5^3=625$ liczb.
2. 2Jeśli cyfra nieparzysta stoi na jednym z trzech dalszych miejsc, to cyfra tysięcy ma $4$ parzyste niezerowe możliwości, cyfra nieparzysta ma $5$ możliwości, a dwa pozostałe miejsca mają po $5$ możliwości.
3. 3Dla tych trzech położeń mamy $3\cdot 4\cdot 5\cdot 5^2=1500$ liczb.
4. 4Razem $625+1500=2125$.

Odpowiedź: 2125

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dwucyfrowe wielokrotności $15$ to $15,30,45,60,75,90$ — jest ich $6$.
2. 2Dwucyfrowe wielokrotności $20$ to $20,40,60,80$ — jest ich $4$.
3. 3Liczba $60$ została policzona dwa razy, więc wynik to $6+4-1=9$.

Odpowiedź: 9

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Jeśli cyfra jedności to $c$, to cyfra dziesiątek wynosi $c+2$.
2. 2Cyfra jedności może być jedną z $0,1,2,3,4,5,6,7$, czyli ma $8$ możliwości.
3. 3Cyfra setek ma $9$ możliwości, więc razem $9\cdot 8=72$.

Odpowiedź: 72

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z $7$ punktów można wybrać $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$ trójek.
2. 2Nie powstaje trójkąt, gdy wszystkie trzy punkty leżą na jednej prostej. Odpada $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=1$ trójka z pierwszej prostej oraz $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ trójki z drugiej.
3. 3Wynik to $35-1-4=30$.

Odpowiedź: 30

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra setek może być jedną z $1,2,3$, a pozostałe cyfry jedną z $0,1,2,3$, więc jest $3\cdot 4\cdot 4=48$ liczb.
2. 2Na miejscu setek każda z cyfr $1,2,3$ występuje $16$ razy, więc wkład setek to $(1+2+3)\cdot 16\cdot 100=9600$.
3. 3Na miejscu dziesiątek każda z cyfr $0,1,2,3$ występuje $12$ razy, więc wkład to $(0+1+2+3)\cdot 12\cdot 10=720$.
4. 4Na miejscu jedności wkład wynosi $(0+1+2+3)\cdot 12=72$.
5. 5Suma wszystkich liczb to $9600+720+72=10392$.

Odpowiedź: 10392

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra setek: $6$ możliwości (bez $0$).
2. 2Cyfra dziesiątek: $7$ możliwości.
3. 3Cyfra jedności nieparzysta: $1,3,5$ — $3$ możliwości.
4. 4Razem: $6\cdot 7\cdot 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $6\cdot 7\cdot 3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra setek: $5,7,9$ — $3$ możliwości (liczba $500$ ma cyfry parzyste, więc nie trzeba jej wykluczać).
2. 2Dziesiątki i jedności: po $5$ możliwości.
3. 3$3\cdot 5\cdot 5=75$

Prawidłowa odpowiedź: C. $75$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwsza cyfra: $3$ możliwości, trzy środkowe: po $4$, ostatnia ($1$ lub $3$): $2$.
2. 2$3\cdot 4^3\cdot 2=384$

Prawidłowa odpowiedź: B. $384$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Cyfra jedności $j\in \{0,1,\dots ,6\}$, wtedy dziesiątek $j+3⩽9$.
2. 2Liczby: $30,41,52,63,74,85,96$ — razem $7$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $7$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$300$, $210$, $201$, $120$, $102$, $111$
2. 2Razem $6$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $6$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Tysiące $3$: $3000$ — $1$ liczba.
2. 2Tysiące $2$: jedna jedynka na trzech pozostałych miejscach — $3$ liczby.
3. 3Tysiące $1$: suma $2$ na trzech miejscach: dwójka ($3$ sposoby) lub dwie jedynki ($3$ sposoby) — $6$ liczb.
4. 4Razem: $1+3+6=10$

Prawidłowa odpowiedź: B. $10$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Liczby $1000,1004,\dots ,2016$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $4$.
2. 2$\frac{2016-1000}{4}+1=254+1=255$

Prawidłowa odpowiedź: D. $255$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$2016-1000+1=1017$

Prawidłowa odpowiedź: D. $1017$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wielokrotności $6$: $12,18,\dots ,96$ — $15$ liczb.
2. 2Podzielne też przez $9$ (czyli przez $18$): $18,36,54,72,90$ — $5$ liczb.
3. 3$15-5=10$

Prawidłowa odpowiedź: B. $10$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$2000$, $1100$, $1010$, $1001$
2. 2Razem $4$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a\in \{3,5\}$, $b=1$.
2. 2Pary: $(3,1)$, $(5,1)$ — $2$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Podzielne przez $6$: $15$; przez $10$: $9$.
2. 2Przez $30$: $30,60,90$ — $3$.
3. 3$15+9-3=21$

Prawidłowa odpowiedź: C. $21$