Matematyka · Poziom podstawowy

Logarytmy

66zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 5–6

3. Logarytmy — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b a^{l o g_{a} b} = b

lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

lo g_{a} x^{r} = r \cdot lo g_{a} x lo g_{b} c = \frac{lo g _{a} c}{lo g _{a} b}

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 66

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma i różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{8} 4 + lo g_{8} 32 - lo g_{8} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sumę logarytmów zamień na logarytm iloczynu, różnicę — na logarytm ilorazu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{8} 4 + lo g_{8} 32 - lo g_{8} 2 = lo g_{8} \frac{4 \cdot 32}{2}$ .
2 $\frac{4 \cdot 32}{2} = 64$ , a $64 = 8^{2}$ .
3Zatem wartość wyrażenia to $2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z pierwiastka

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{5} 325

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz pierwiastek jako potęgę: $325 = 5^{\frac{2}{3}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $325 = 3 5^{2} = 5^{\frac{2}{3}}$ .
2 $lo g_{5} 5^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2}{3}$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{8} 4 - lo g_{8} 32

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{8} 4 - lo g_{8} 32 = lo g_{8} \frac{4}{32} = lo g_{8} \frac{1}{8}$ .
2 $\frac{1}{8} = 8^{- 1}$ , więc wartość wynosi $- 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 1)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 1)$

Zadanie 4

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z pierwiastka

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{8} 52

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz i podstawę, i liczbę logarytmowaną jako potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $52 = 2^{\frac{1}{5}}$ oraz $8 = 2^{3}$ .
2Szukamy $x$ takiego, że $(2^{3})^{x} = 2^{\frac{1}{5}}$ , czyli $3 x = \frac{1}{5}$ .
3Stąd $x = \frac{1}{15}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{15}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{15}$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} 2 - lo g_{3} 18

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw zamień różnicę na logarytm ilorazu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 2 - lo g_{3} 18 = lo g_{3} \frac{2}{18} = lo g_{3} \frac{1}{9}$ .
2 $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ , więc wartość wynosi $- 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 2)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 2)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Własności logarytmów — prawda/fałsz

Matura · 1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

1. Iloczyn

2 \cdot lo g_{3} 5

jest równy

lo g_{3} 25

.
2. Suma

2 + lo g_{3} 5

jest równa

lo g_{3} 10

Wskazówka

Pamiętaj, że $n lo g_{a} b = lo g_{a} b^{n}$ , a liczbę $2$ przy podstawie $3$ zapiszesz jako $lo g_{3} 9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Stwierdzenie 1: $2 lo g_{3} 5 = lo g_{3} 5^{2} = lo g_{3} 25$ — PRAWDA.
2Stwierdzenie 2: $2 = lo g_{3} 9$ , więc $2 + lo g_{3} 5 = lo g_{3} 45 \neq = lo g_{3} 10$ — FAŁSZ.
3Prawidłowa odpowiedź: P, F

Odpowiedź: P, F

Zadanie 7

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} 108 - 2 lo g_{3} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $2 lo g_{3} 2$ na $lo g_{3} 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 4$ .
2 $lo g_{3} 108 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{108}{4} = lo g_{3} 27$ .
3 $27 = 3^{3}$ , więc wartość wynosi $3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Matura · 1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

wartość wyrażenia

lo g_{7} x + 6 lo g_{7} y

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Współczynnik przy logarytmie przenieś do wykładnika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 lo g_{7} y = lo g_{7} y^{6}$ .
2 $lo g_{7} x + lo g_{7} y^{6} = lo g_{7} (x y^{6})$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $lo g_{7} (x y^{6})$

Prawidłowa odpowiedź: D. $lo g_{7} (x y^{6})$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Funkcja logarytmiczna — prawda/fałsz

Matura · 1 pkt

Funkcja logarytmiczna

f

jest określona wzorem

f (x) = lo g_{6} x

dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Wartość funkcji

f

dla argumentu

36

jest równa

6

.
2. Funkcja

f

jest rosnąca.

Wskazówka

Policz $lo g_{6} 36$ i sprawdź, czy podstawa logarytmu jest większa od $1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Stwierdzenie 1: $f (36) = lo g_{6} 36 = 2$ , a nie $6$ — FAŁSZ.
2Stwierdzenie 2: podstawa $6 > 1$ , więc funkcja logarytmiczna jest rosnąca — PRAWDA.
3Prawidłowa odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 10

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Wybór dwóch prawdziwych równości

Matura · 2 pkt

Wskaż **dwie** prawdziwe równości.

A.

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = lo g_{2} 25

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = 2 \cdot lo g_{2} 5

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = lo g_{2} 144

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = lo g_{4} 144

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = 4 + 2 \cdot lo g_{2} 3

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = 2 \cdot lo g_{4} 12

Wskazówka

Policz najpierw $lo g_{2} 16 = 4$ i zapisz $lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = lo g_{2} (16 \cdot 9) = lo g_{2} 144$ — prawdziwa jest równość C.
2Ponadto $lo g_{2} 16 = 4$ oraz $lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3$ , więc suma to $4 + 2 lo g_{2} 3$ — prawdziwa jest równość E.
3Prawidłowa odpowiedź: C oraz E

Odpowiedź: C, E

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} (\frac{3}{2}) + lo g_{3} (\frac{2}{9})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sumę logarytmów zamień na logarytm iloczynu i skróć ułamki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$ .
2 $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 1)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 1)$

Zadanie 12

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} 9

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz obie liczby jako potęgi trójki: $3 = 3^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Szukamy $x$ : $(3^{\frac{1}{2}})^{x} = 3^{2}$ , czyli $\frac{x}{2} = 2$ .
2Stąd $x = 4$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 96 - lo g_{2} 3

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} 96 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{96}{3} = lo g_{2} 32$ .
2 $32 = 2^{5}$ , więc wartość wynosi $5$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $5$

Prawidłowa odpowiedź: D. $5$

Zadanie 14

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z jedynki

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{25} 1 - \frac{1}{2} lo g_{25} 5

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytm z jedynki jest zawsze równy $0$ , a $lo g_{25} 5 = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{25} 1 = 0$ .
2 $lo g_{25} 5 = \frac{1}{2}$ , bo $2 5^{\frac{1}{2}} = 5$ .
3 $0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{1}{4})$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{1}{4})$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} \frac{1}{8} + lo g_{2} 4

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz każdy logarytm osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , $lo g_{2} 4 = 2$ .
2 $- 3 + 2 = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 1)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 1)$

Zadanie 16

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{9} 27 + lo g_{9} 3

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień sumę na logarytm iloczynu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{9} 27 + lo g_{9} 3 = lo g_{9} 81$ .
2 $81 = 9^{2}$ , więc wartość wynosi $2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 17

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{7} 98 - lo g_{7} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{7} \frac{98}{2} = lo g_{7} 49 = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 18

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Funkcja logarytmiczna

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = - lo g x

dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych

x

. Wartość funkcji

f

dla argumentu

x = 10

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że $lo g$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, a $10 = 1 0^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ .
2 $f (10) = - \frac{1}{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $(- \frac{1}{2})$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- \frac{1}{2})$

Zadanie 19

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

2 lo g_{5} 5 + 1 - \frac{1}{2} lo g_{5} 625

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $lo g_{5} 5$ oraz $lo g_{5} 625$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{5} 5 = 1$ , $lo g_{5} 625 = 4$ .
2 $2 \cdot 1 + 1 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 + 1 - 2 = 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Zadanie 20

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 32 - lo g_{2} 8

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz oba logarytmy osobno — to potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} 32 = 5$ , $lo g_{2} 8 = 3$ .
2 $5 - 3 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 21

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm dziesiętny

Matura · 1 pkt

Liczba dwukrotnie większa od

lo g 3 + lo g 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw dodaj logarytmy, potem pomnóż wynik przez $2$ i wciągnij $2$ do wykładnika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g 3 + lo g 2 = lo g 6$ .
2 $2 lo g 6 = lo g 6^{2} = lo g 36$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 36$

Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 36$

Zadanie 22

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Liczba

4 lo g_{4} 2 + 2 lo g_{4} 8

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ i $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ , bo $4^{\frac{1}{2}} = 2$ .
2 $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ , bo $4^{\frac{3}{2}} = 8$ .
3 $4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} = 2 + 3 = 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 23

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z parametrem

Matura · 1 pkt

Niech

lo g_{3} 18 = c

. Wtedy

lo g_{3} 54

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $54 = 18 \cdot 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 54 = lo g_{3} (18 \cdot 3) = lo g_{3} 18 + lo g_{3} 3$ .
2 $lo g_{3} 3 = 1$ , więc wynik to $c + 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $c + 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $c + 1$

Zadanie 24

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm dziesiętny

Matura · 1 pkt

Suma

2 lo g 10 + lo g 1 0^{3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$lo g 10 = \frac{1}{2}$ , a $lo g 1 0^{3} = 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g 10 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ .
2 $lo g 1 0^{3} = 3$ .
3 $1 + 3 = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Zadanie 25

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Liczba

2 lo g_{5} 4 - 3 lo g_{5} \frac{1}{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $4$ i $\frac{1}{2}$ jako potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g_{5} 4 = 2 lo g_{5} 2^{2} = 4 lo g_{5} 2$ .
2 $3 lo g_{5} \frac{1}{2} = 3 lo g_{5} 2^{- 1} = - 3 lo g_{5} 2$ .
3 $4 lo g_{5} 2 - (- 3 lo g_{5} 2) = 7 lo g_{5} 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $7 lo g_{5} 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $7 lo g_{5} 2$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Matura · 1 pkt

Liczba

2 lo g 5 + 3 lo g 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Współczynnik przy logarytmie to wykładnik liczby logarytmowanej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g 5 = lo g 5^{2}$ oraz $3 lo g 2 = lo g 2^{3}$ .
2Suma logarytmów to logarytm iloczynu: $lo g (5^{2} \cdot 2^{3})$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $lo g (5^{2} \cdot 2^{3})$

Prawidłowa odpowiedź: D. $lo g (5^{2} \cdot 2^{3})$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 4^{8}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $4^{8}$ jako potęgę dwójki i skorzystaj z $2 = 2^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16}$ .
2Szukamy $x$ : $(2^{\frac{1}{2}})^{x} = 2^{16}$ , czyli $\frac{x}{2} = 16$ .
3Stąd $x = 32$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $32$

Prawidłowa odpowiedź: C. $32$

Zadanie 28

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z pierwiastka

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{5} 125

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $125$ jako potęgę piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $125 = 5^{3} = 5^{\frac{3}{2}}$ .
2 $lo g_{5} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{3}{2}$

Zadanie 29

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ile razy trzeba pomnożyć $2$ przez siebie, aby otrzymać $2$ ?

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2)^{2} = 2$ .
2Zatem $lo g_{2} 2 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Iloraz logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{l o g _{3} 27}{l o g _{3} 27}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno licznik i mianownik — nie skracaj logarytmów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 27 = 3$ .
2 $lo g_{3} 27 = lo g_{3} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$ .
3 $\frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 31

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{7} 7

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z równości $(7)^{2} = 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(7)^{2} = 7$ , więc szukany wykładnik to $2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 32

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{4} 96 - lo g_{4} 6

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{4} \frac{96}{6} = lo g_{4} 16 = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 33

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Porównywanie logarytmów

Matura · 1 pkt

Dane są liczby:

a = lo g_{\frac{1}{2}} 8

b = lo g_{4} 8

c = lo g_{4} \frac{1}{2}

. Liczby te spełniają warunek

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz każdą z liczb osobno; dwie z nich są ujemne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = lo g_{\frac{1}{2}} 8 = - 3$ , bo $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ .
2 $b = lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ .
3 $c = lo g_{4} \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$ .
4Porządek: $\frac{3}{2} > - \frac{1}{2} > - 3$ , czyli $b > c > a$ .
5Prawidłowa odpowiedź: D. $b > c > a$

Prawidłowa odpowiedź: D. $b > c > a$

Zadanie 34

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Liczba

2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $2 lo g_{3} 6$ na $lo g_{3} 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g_{3} 6 = lo g_{3} 36$ .
2 $lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} 9 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 35

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{4} 8 + 5 lo g_{4} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $lo g_{4} 8$ i $lo g_{4} 2$ jako liczby.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ , $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ .
2 $\frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Zadanie 36

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z jedynki

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} 27 - lo g_{3} 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$lo g_{a} 1 = 0$ dla każdej dopuszczalnej podstawy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 27 = 3$ , $lo g_{3} 1 = 0$ .
2 $3 - 0 = 3$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 37

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Iloraz logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{l o g _{3} 729}{l o g _{6} 36}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno $lo g_{3} 729$ i $lo g_{6} 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $729 = 3^{6}$ , więc $lo g_{3} 729 = 6$ .
2 $36 = 6^{2}$ , więc $lo g_{6} 36 = 2$ .
3 $\frac{6}{2} = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 38

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{3} \frac{3}{2} + lo g_{3} \frac{2}{9}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż liczby logarytmowane i skróć ułamek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$ .
2 $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 1$

Zadanie 39

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} (22)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $22$ jako potęgę $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $22 = (2)^{2} \cdot 2 = (2)^{3}$ .
2Zatem logarytm jest równy $3$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 40

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{5} 0, 04 - \frac{1}{2} lo g_{25} 5 \cdot lo g_{25} 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $lo g_{25} 1 = 0$ , więc cały drugi składnik znika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 04 = \frac{1}{25} = 5^{- 2}$ , więc $lo g_{5} 0, 04 = - 2$ .
2 $lo g_{25} 1 = 0$ , więc $\frac{1}{2} lo g_{25} 5 \cdot 0 = 0$ .
3Wartość wyrażenia to $- 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $- 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 2$

Zadanie 41

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Iloczyn liczb z logarytmami

Matura · 1 pkt

Dane są liczby

a = - \frac{1}{27}

b = lo g_{\frac{1}{4}} 64

c = lo g_{\frac{1}{3}} 27

. Iloczyn

ab c

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytmy o podstawie mniejszej od $1$ z liczby większej od $1$ są ujemne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b = lo g_{\frac{1}{4}} 64 = - 3$ , bo $(\frac{1}{4})^{- 3} = 64$ .
2 $c = lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3$ .
3 $ab c = - \frac{1}{27} \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - \frac{9}{27} = - \frac{1}{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{1}{3}$

Zadanie 42

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Równanie wykładnicze i logarytm

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

4^{x} = 9

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z definicji logarytmu $x = lo g_{4} 9$ — a $9 = 3^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z definicji logarytmu: $x = lo g_{4} 9$ .
2 $lo g_{4} 9 = lo g_{4} 3^{2} = 2 lo g_{4} 3$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $2 lo g_{4} 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2 lo g_{4} 3$

Zadanie 43

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Definicja logarytmu

Matura · 1 pkt

Liczba

c = lo g_{3} 2

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytm to wykładnik: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z definicji logarytmu $lo g_{3} 2 = c$ oznacza $3^{c} = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $3^{c} = 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3^{c} = 2$

Zadanie 44

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Porównywanie logarytmów

Matura · 1 pkt

Dane są liczby:

a = lo g_{3} \frac{1}{9}

b = lo g_{3} 3

c = lo g_{3} \frac{1}{27}

. Który z poniższych warunków jest prawdziwy?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz wszystkie trzy logarytmy — to liczby całkowite.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = - 2$ , $b = 1$ , $c = - 3$ .
2Zatem $- 3 < - 2 < 1$ , czyli $c < a < b$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $c < a < b$

Prawidłowa odpowiedź: D. $c < a < b$

Zadanie 45

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Suma

lo g_{8} 16 + 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $8$ i $16$ jako potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{8} 16 = x$ oznacza $2^{3 x} = 2^{4}$ , czyli $x = \frac{4}{3}$ .
2 $\frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{7}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{7}{3}$

Zadanie 46

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 100 - lo g_{2} 50

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} \frac{100}{50} = lo g_{2} 2 = 1$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 47

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm dziesiętny

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 4 + lo g 5 - lo g 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz wszystko w jeden logarytm.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g \frac{4 \cdot 5}{2} = lo g 10 = 1$ .
2Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 48

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{2} 20 - lo g_{2} 5

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} \frac{20}{5} = lo g_{2} 4 = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 49

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytmy o różnych podstawach

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 100 - lo g_{2} 8

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytmy mają różne podstawy — policz każdy osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g 100 = 2$ , $lo g_{2} 8 = 3$ .
2 $2 - 3 = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 1$

Zadanie 50

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z ułamka

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} \frac{1}{27}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ .
2Zatem $lo g_{3} \frac{1}{27} = - 3$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $- 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 3$

Zadanie 51

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z jedynki

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 4 + 2 lo g_{3} 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$lo g_{3} 1 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} 4 = 2$ , $lo g_{3} 1 = 0$ .
2 $2 + 2 \cdot 0 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 52

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Dziedzina wyrażenia logarytmicznego

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

lo g_{4} (2 x - 1)

jest określone dla wszystkich liczb

x

spełniających warunek

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $2 x - 1 > 0$ .
2 $2 x > 1$ , więc $x > \frac{1}{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $x > \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x > \frac{1}{2}$

Zadanie 53

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{5} 5 - lo g_{5} 125

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz oba logarytmy osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{5} 5 = 1$ , $lo g_{5} 125 = 3$ .
2 $1 - 3 = - 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $- 2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 2$

Zadanie 54

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z jedynki

Matura · 1 pkt

Różnica

lo g_{3} 9 - lo g_{3} 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$lo g_{3} 1 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 9 = 2$ , $lo g_{3} 1 = 0$ .
2 $2 - 0 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 55

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{4} 8 + lo g_{4} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień sumę na logarytm iloczynu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{4} 8 + lo g_{4} 2 = lo g_{4} 16 = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 56

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Definicja logarytmu

Matura · 1 pkt

O liczbie

x

wiadomo, że

lo g_{3} x = 9

. Zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z definicji: $lo g_{a} x = c ⟺ x = a^{c}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z definicji logarytmu $x = 3^{9}$ .
2Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 3^{9}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 3^{9}$

Zadanie 57

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Zastosowanie logarytmu

Matura · 1 pkt

Zależność liczby bakterii

K (t)

w próbce od czasu

t

(w godzinach) przedstawiono jako wykres

lo g K (t)

. Po trzech godzinach od chwili

t = 0

odczytujemy

lo g K = 3

. Liczba

K

bakterii była wtedy równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Jeśli $lo g K = 3$ , to $K = 1 0^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z definicji logarytmu dziesiętnego: $lo g K = 3 ⟺ K = 1 0^{3}$ .
2 $1 0^{3} = 1000$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $1000$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1000$

Zadanie 58

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm iloczynu potęg

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} [(2)^{2} \cdot (2)^{4} \cdot (2)^{8}]

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz każdą potęgę $2$ jako potęgę dwójki i dodaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2)^{2} = 2$ , $(2)^{4} = 2^{2}$ , $(2)^{8} = 2^{4}$ .
2Iloczyn: $2^{1 + 2 + 4} = 2^{7}$ .
3 $lo g_{2} 2^{7} = 7$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $7$

Prawidłowa odpowiedź: B. $7$

Zadanie 59

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie logarytmów dziesiętnych

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 36

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$36 = 6^{2}$ , a $lo g 1 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g 6 = lo g 36$ , a $lo g 1 = 0$ .
2Zatem $2 lo g 6 - lo g 1 = lo g 36$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $2 lo g 6 - lo g 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2 lo g 6 - lo g 1$

Zadanie 60

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie logarytmów dziesiętnych

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 12

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytm iloczynu to suma logarytmów — nie iloczyn.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 = 3 \cdot 4$ , więc $lo g 12 = lo g 3 + lo g 4$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 3 + lo g 4$

Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 3 + lo g 4$

Zadanie 61

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie logarytmów dziesiętnych

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 24

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, która odpowiedź daje $lo g (6 \cdot 4)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g 2 = lo g 4$ .
2 $lo g 6 + lo g 4 = lo g 24$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 6 + 2 lo g 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 6 + 2 lo g 2$

Zadanie 62

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Wyrażenie logarytmiczne z parametrem

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g k + lo g \frac{1}{100} k^{2} - lo g \frac{1}{10} k^{3}

, gdzie

k > 0

, jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz wszystko w jeden logarytm — potęgi $k$ się skrócą.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g k + lo g \frac{k ^{2}}{100} - lo g \frac{k ^{3}}{10} = lo g \frac{k \cdot \frac{k ^{2}}{100}}{\frac{k ^{3}}{10}}$ .
2 $\frac{\frac{k ^{3}}{100}}{\frac{k ^{3}}{10}} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ .
3 $lo g \frac{1}{10} = - 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 1)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 1)$

Zadanie 63

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Własności logarytmów — dwie odpowiedzi

Matura · 2 pkt

Liczby rzeczywiste

x, y, z

spełniają warunki:

x, y, z > 0

x, y, z \neq = 1

oraz

y^{z} = x

. Wskaż **dwie** prawdziwe równości.

A.

lo g_{x} y = z

y^{- l o g_{y} x} = \frac{1}{x}

lo g_{x} z = y

y^{l o g_{x} y} = x

lo g_{y} x = z

z^{- l o g_{x} z} = \frac{1}{y}

Wskazówka

Z definicji logarytmu przekształć warunek $y^{z} = x$ oraz skorzystaj z tożsamości $a^{l o g_{a} b} = b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z $y^{z} = x$ wynika wprost $lo g_{y} x = z$ — prawdziwa jest równość E.
2Ponadto $y^{l o g_{y} x} = x$ , więc $y^{- l o g_{y} x} = \frac{1}{x}$ — prawdziwa jest równość B.
3Prawidłowa odpowiedź: B oraz E

Odpowiedź: B, E

Zadanie 64

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Zadanie otwarte — działania na logarytmach

Matura · 2 pkt

Dane są liczby

a = 3 lo g_{2} 12 - lo g_{2} 27

b = (6 - 7) (36 + 37)

. Wartością

a - b

jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Wskazówka

W liczbie $a$ wciągnij współczynnik do wykładnika, a w $b$ wyłącz $3$ i skorzystaj ze wzoru $(u - v) (u + v) = u^{2} - v^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = lo g_{2} 1 2^{3} - lo g_{2} 27 = lo g_{2} \frac{1728}{27} = lo g_{2} 64 = 6$ .
2 $b = 3 (6 - 7) (6 + 7) = 3 (6 - 7) = - 3$ .
3 $a - b = 6 - (- 3) = 9$ .
4Odpowiedź: $a - b = 9$

Odpowiedź: $a - b = 9$

Zadanie 65

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Zadanie otwarte — skala Richtera

Matura · 2 pkt

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi i opisana jest wzorem

R = lo g \frac{A}{A _{0}}

, gdzie

A

to amplituda trzęsienia w centymetrach, a

A_{0} = 1 0^{- 4}

cm jest amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile

6, 2

w skali Richtera. Oblicz amplitudę tego trzęsienia i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy mniejsza od

100

cm.

Wskazówka

Z definicji logarytmu wyznacz $\frac{A}{A _{0}} = 1 0^{R}$ , a potem porównaj wykładniki z $100 = 1 0^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z $6, 2 = lo g \frac{A}{A _{0}}$ wynika $\frac{A}{A _{0}} = 1 0^{6, 2}$ .
2 $A = 1 0^{6, 2} \cdot 1 0^{- 4} = 1 0^{2, 2}$ cm.
3Ponieważ $2, 2 > 2$ , to $1 0^{2, 2} > 1 0^{2} = 100$ .
4Odpowiedź: $A = 1 0^{2, 2}$ cm $> 100$ cm — amplituda jest większa od $100$ cm.

Odpowiedź: $A = 1 0^{2, 2} cm > 100 cm$

Zadanie 66

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Zadanie otwarte — definicja logarytmu

Matura · 2 pkt

Liczby dodatnie

a, b, c

spełniają warunek

lo g_{4} c = lo g_{3} b = lo g_{2} a = 2

. Oblicz

ab c

Wskazówka

Z każdego z logarytmów wyznacz kolejno $a$ , $b$ i $c$ z definicji logarytmu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} a = 2 \Rightarrow a = 4$ .
2 $lo g_{3} b = 2 \Rightarrow b = 9$ .
3 $lo g_{4} c = 2 \Rightarrow c = 16$ .
4 $ab c = 4 \cdot 9 \cdot 16 = 576$ , więc $ab c = 24$ .
5Odpowiedź: $ab c = 24$

Odpowiedź: $ab c = 24$