Funkcje

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=6,5+1,03x$ – im więcej mleka, tym większa masa, więc funkcja jest rosnąca – FAŁSZ.
2. 2Dla $x\in ⟨0,10⟩$ mamy $f(x)\ge 6,5>0$, więc brak miejsc zerowych – PRAWDA.
3. 3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=6,5+1,03x$ jest rosnąca.
2. 2$f(10)=6,5+10,3=16,8$

Prawidłowa odpowiedź: A. $16,8$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Największa wartość w wierszu $y$ to $5$ – odpowiedź D.
2. 2$y=0$ dla $x=4$ – odpowiedź C.

Odpowiedź: 9.1 – D, 9.2 – C

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Na $⟨-1,4⟩$ wykres opada, na $⟨-7,-1⟩$ jest stały.
2. 2Wykres wznosi się od punktu $(5,1)$ do $(7,6)$, więc $f$ jest rosnąca w $⟨5,7⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $⟨5,7⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wykres składa się z części dla $x\in (-5,-1)$ i $x\in (1,5)$ – końce są niezamalowane, więc dziedzina to F.
2. 2Lewa część przyjmuje wartości od $-3$ do $-1$ (osiągane wewnątrz), prawa od $1$ do $3$, więc zbiór wartości to $⟨-3,-1⟩\cup ⟨1,3⟩$ – A.

Odpowiedź: 1 – F, 2 – A

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dla $x\in (-5,-4⟩$ mamy $f(x)=-3$, a od $x=-4$ do $x=-3$ wykres rośnie do $-1$.
2. 2Wartość $-1$ jest osiągana od $x=-3$, więc $f(x)<-1$ dla $x\in (-5,-3)$.

Odpowiedź: $x\in (-5,-3)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Najbardziej na lewo leży zamalowany punkt $(-6,2)$, a na prawo zamalowany punkt $(5,3)$.
2. 2Dla każdego $x$ między nimi istnieje punkt wykresu, więc $D=⟨-6,5⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨-6,5⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dla $x\in ⟨-4,-3)$ funkcja przyjmuje wartość $2$.
2. 2Dla $x\in ⟨-3,1⟩$ wartości rosną od $-3$ do $1$; wartość $5$ jest dopiero dla $x>1$.
3. 3Największa wartość to $2$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Na $⟨-6,-3)$ i $(1,2⟩$ funkcja jest stała, na $⟨-3,1⟩$ rośnie.
2. 2Od $(2,5)$ do $(5,3)$ wykres opada, więc $f$ maleje w $⟨2,5⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $⟨2,5⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(-2)=1>0$, a wykres przecina oś $x$ między $-3$ i $-2$, więc przy $x$ bliskim $-2$ wartości są dodatnie – FAŁSZ.
2. 2Miejsca zerowe: $x=-4$, jedno między $-3$ a $-2$ oraz $x=0$; $x=4$ nie należy do dziedziny – PRAWDA.
3. 3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1W przedziale $⟨-4,0)$ najniżej leży punkt $(-3,-2)$.
2. 2Najmniejsza wartość to $-2$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $(-2)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dla $x=25$: $y=0,18\cdot 25-0,9=4,5-0,9=3,6$
2. 2Największa głębokość to $3,6$ m.

Prawidłowa odpowiedź: B. $3,6$ m

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$y(0)=b=1,2$
2. 2Dla $x=15$: $0,18\cdot 15-0,9=1,8$
3. 3$15a+1,2=1,8\Rightarrow 15a=0,6\Rightarrow a=0,04$

Odpowiedź: $a=0,04$, $b=1,2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Między $-4$ a $-3$ wykres rośnie od $-2$ do $4$, więc raz przecina prostą $y=-1$.
2. 2Prosta część wykresu przechodzi przez $(3,0)$ i $(6,-2)$, więc $y=-1$ dla $x=4,5$.
3. 3Lewa gałąź przecina $y=-1$ dla $x<-4$ – poza przedziałem. Są dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. ma dokładnie dwa rozwiązania.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Na $⟨-4,3⟩$ wykres to prosta $y=x+1$, więc $f(-3)=-2$, $f(0)=1$.
2. 2Dla $x\in ⟨3,8⟩$ mamy $f(x)=4$, więc $f(4)=4$.
3. 3$(-2)\cdot 1\cdot 4=-8$

Prawidłowa odpowiedź: B. $-8$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Miejsca zerowe: $x=1$ i jedno między $4$ a $5$ ($x=7$ nie należy do dziedziny) – A fałszywe.
2. 2Wartość $1$ jest osiągana dla $x\in ⟨5,6⟩$, więc zbiór wartości to $⟨-1,1⟩$ – B fałszywe, C prawdziwe.
3. 3Dla $x\in (-1,0)$ wartości są dodatnie – D fałszywe.

Prawidłowa odpowiedź: C. Funkcja $f$ osiąga wartość największą równą 1.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$x^2=(\sqrt{3}-1{)}^2=4-2\sqrt{3}$
2. 2$2x-2=2\sqrt{3}-4$
3. 3$f(x)=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=-1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $-1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(0)=3^0-2=-1$, więc punkt $(0,-1)$ należy do wykresu.
2. 2Dla porównania: $f(-1)=-\frac{5}{3}$, $f(2)=7$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $(0,-1)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dziedzina to $(-3,5⟩$ – A fałszywe.
2. 2Punkt $(-2,0)$ jest pusty, więc jedynym miejscem zerowym jest $x=4$ – B fałszywe.
3. 3$f(1)=3$ – C fałszywe.
4. 4Wartości od $-4$ (nieosiągane) do $5$ (osiągane w $x=2$) – zbiór $(-4,5⟩$, D prawdziwe.

Prawidłowa odpowiedź: D. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-4,5⟩$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(1)=1$, $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=0$, dalej reszty się powtarzają.
2. 2Zbiór wartości: $\{0,1,2,3\}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\{0,1,2,3\}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Odcinek $BC$ leży na prostej $y=-1$.
2. 2Każdy $x\in ⟨2,4⟩$ spełnia $f(x)=-1$, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Prawidłowa odpowiedź: D. nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(2)=-2\cdot 4^{-1}\cdot (-1{)}^2$
2. 2$=-2\cdot \frac{1}{4}\cdot 1=-\frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $-\frac{1}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}=2-\frac{8}{\sqrt{2}}$
2. 2$\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
3. 3Wynik: $2-4\sqrt{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2-4\sqrt{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Na $⟨-2,1⟩$ i $⟨6,9⟩$ funkcja jest stała, na $⟨1,5⟩$ maleje.
2. 2Od $(5,-1)$ do $(6,1)$ wykres rośnie – przedział $⟨5,6⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨5,6⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Najniższy punkt $(0,-2)$ jest niezamalowany – wartość $-2$ nie jest osiągana.
2. 2Wartość $2$ jest osiągana dla $x\in (0,1⟩$.
3. 3Zbiór wartości: $(-2,2⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $(-2,2⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wykres zaczyna się w pustym punkcie $(-3,-3)$ i kończy w pełnym $(8,3)$.
2. 2Dziedzina: $(-3,8⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $(-3,8⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Najwyżej położone punkty mają drugą współrzędną $3$ (np. na odcinku od $x=-1$ do $x=2$ oraz w $(8,3)$).
2. 2Największa wartość: $3$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Kwadraty cyfr $0$–$9$ kończą się na: $0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$.
2. 2Zbiór wartości: $\{0,1,4,5,6,9\}$ – 6 elementów.

Prawidłowa odpowiedź: B. 6 elementów.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$42=2\cdot 3\cdot 7\Rightarrow f(42)=7$
2. 2$44=2^2\cdot 11\Rightarrow f(44)=11$
3. 3$45=3^2\cdot 5\Rightarrow f(45)=5$; $48=2^4\cdot 3\Rightarrow f(48)=3$
4. 4Największa jest $f(44)$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $f(44)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dla $x\in ⟨-1,1⟩$ wykres rośnie od $1$ do $3$.
2. 2Największa wartość: $f(1)=3$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Najniższy punkt: $(7,-3)$, najwyższy: $(0,5)$.
2. 2Zbiór wartości: $⟨-3,5⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨-3,5⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(5)=0$, a dla $x>5$ wykres leży pod osią $x$ aż do końca dziedziny $x=7$.
2. 2Szukany przedział: $(5,7⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $(5,7⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Lewa część: wartości od $3$ (osiągane) do $1$ (nieosiągane) – $(1,3⟩$.
2. 2Prawa część: od $-1$ (osiągane) do $-4$ (osiągane) – $⟨-4,-1⟩$.
3. 3Zbiór wartości: $⟨-4,-1⟩\cup (1,3⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨-4,-1⟩\cup (1,3⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Najwyższy punkt: $(-2,5)$, najniższy: $(1,-2)$.
2. 2Zbiór wartości: $⟨-2,5⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨-2,5⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z wykresu: $f(-1)=2,5$, $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(3)=1$.
2. 2Prawdziwa jest tylko nierówność $f(1)<f(3)$, czyli $-2<1$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $f(1)<f(3)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=0$ ma 2 rozwiązania ($x=2$, $x=6$), $f(x)=1$ – 4 rozwiązania, $f(x)=3$ – 2 rozwiązania.
2. 2Prosta $y=2$ przecina obie gałęzie i dotyka łuku w $(4,2)$ – 3 rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. $f(x)=2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$(\sqrt{2}+1{)}^3=2\sqrt{2}+3\cdot 2+3\sqrt{2}+1=7+5\sqrt{2}$
2. 2$f(\sqrt{2}+1)=7+5\sqrt{2}-b-5\sqrt{2}=7-b=0$
3. 3$b=7$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b=7$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Najniższa wartość: $-1$ (dla $x\in ⟨-1,0⟩$), najwyższa: $4$ (dla $x=6$).
2. 2Zbiór wartości: $⟨-1,4⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨-1,4⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dla $x=2$: $f(2)=5$, $s(2)=3,5$, $g(2)=2,5$, $h(2)=1,5$.
2. 2Największą wartość przyjmuje $f$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $f$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wykresy $f$ i $g$ przecinają się w punkcie $(3,2)$.
2. 2$f(3)=g(3)=2$, natomiast $h(3)=1$, $s(3)=3,5$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $f$ i $g$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wykresy $g$ i $h$ przecinają się w punktach $(1,3)$ i $(6,0,5)$.
2. 2Między nimi wykres $g$ leży powyżej wykresu $h$.
3. 3Odpowiedź: $x\in (1,6)$.

Odpowiedź: $(1,6)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$g(x)=f(x-1)=5(x-1)$
2. 2$g(x)=5x-5$

Prawidłowa odpowiedź: A. $g(x)=5x-5$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Przesunięcie o 4 w lewo: $g(x)=f(x+4)$ – odpowiedź A.
2. 2Przesunięcie poziome zmienia dziedzinę ($⟨-1,7⟩\to ⟨-5,3⟩$), ale nie zmienia zbioru wartości ($⟨0,4⟩$) – odpowiedź 2.

Odpowiedź: A2

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wierzchołek paraboli $f$ to $(1,8)$.
2. 2Po przesunięciu o 2 w prawo wierzchołek ma współrzędne $(3,8)$, a parabola zachowuje kształt.
3. 3Taki wykres jest na rysunku D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$g(x)=f(x-1)$ – przesunięcie o 1 w prawo.
2. 2Dziedzina: $⟨-2+1,5+1)=⟨-1,6)$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $⟨-1,6)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Punkt $(-4,1)$ przeszedł w $(-6,1)$, a $(0,2)$ w $(-2,2)$ – wykres przesunięto o 2 w lewo.
2. 2Przesunięcie o 2 w lewo: $g(x)=f(x+2)$.