Trygonometria

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\sin \alpha +{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =\cos \alpha +1$.
2. 2$\sin \alpha +1=\cos \alpha +1\Rightarrow \sin \alpha =\cos \alpha$.
3. 3$\mathrm{tg}\alpha =1$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$.
2. 2Kąt rozwarty, więc $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\left(-\frac{4}{5}\right)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$3\sin \alpha +4\cos \alpha =24\cos \alpha$.
2. 2$3\sin \alpha =20\cos \alpha \Rightarrow \mathrm{tg}\alpha =\frac{20}{3}$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{20}{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\sin }^2\alpha =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, więc $\sin \alpha =\frac{12}{13}$.
2. 2$\mathrm{tg}\alpha =\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{12}{5}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Licznik: $\sin 25^{\circ }({\sin }^{2}25^{\circ }+{\cos }^{2}25^{\circ })=\sin 25^{\circ }$.
2. 2$\frac{\sin 25^{\circ }}{\cos 25^{\circ }}=\mathrm{tg}25^{\circ }$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\mathrm{tg}25^{\circ }$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{\sqrt{3}\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\sin \alpha$.
2. 2Dla kąta ostrego $\sin \alpha \ne 0$, więc $\sqrt{3}=2\cos \alpha$.
3. 3$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\cos }^2\alpha =\frac{13}{16}$.
2. 2$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{13}}{4}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\left(-\frac{\sqrt{13}}{4}\right)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\sin }^2\alpha =1-\frac{576}{625}=\frac{49}{625}$, więc $\sin \alpha =\frac{7}{25}$.
2. 2$\mathrm{tg}\alpha =\frac{7}{24}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{7}{24}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$1+{\cos }^{2}27^{\circ }=1+1-{\sin }^{2}27^{\circ }=2-{\sin }^{2}27^{\circ }$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $2-{\sin }^{2}27^{\circ }$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\sin 20^{\circ }({\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}20^{\circ })=\sin 20^{\circ }$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\sin 20^{\circ }$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\cos \alpha =\frac{2}{3}$.
2. 2$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\sin }^2\alpha =1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}$.
2. 2$\sin \alpha =\frac{5}{7}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{5}{7}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\cos \alpha (1-{\sin }^2\alpha )=\cos \alpha \cdot {\cos }^2\alpha$.
2. 2$={\cos }^3\alpha$.

Prawidłowa odpowiedź: A. ${\cos }^3\alpha$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\sin }^2\alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )={\sin }^2\alpha$.

Prawidłowa odpowiedź: A. ${\sin }^2\alpha$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$4\mathrm{tg}\alpha =3$.
2. 2$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{3}{4}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{16}{9}$.
2. 2${\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{9}{16}$, a kąt jest ostry, więc $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{3}{4}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{3}{4}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$(1-{\cos }^{2}20^{\circ })-{\sin }^{2}20^{\circ }={\sin }^{2}20^{\circ }-{\sin }^{2}20^{\circ }$.
2. 2$=0$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1A: $\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\ne 1$ — taka para nie istnieje.
2. 2W pozostałych przypadkach suma kwadratów jest równa 1.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ i $\cos \alpha =\frac{2}{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\cos }^2(90^{\circ }-\alpha )={\sin }^2\alpha =\frac{4}{9}$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{4}{9}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wyrażenie $={\cos }^{2}12^{\circ }+{\sin }^{2}12^{\circ }$.
2. 2$=1$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+5=6$.
2. 2${\cos }^2\alpha =\frac{1}{6}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{6}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{\cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha }\cdot \sin \alpha$.
2. 2$=\mathrm{tg}\alpha$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\mathrm{tg}\alpha$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\cos }^2\alpha =1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$.
2. 2$\cos \alpha =\frac{3}{5}$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $\cos \alpha =\frac{3}{5}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\cos }^2\alpha =1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$.
2. 2$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\sin }^2\alpha =\frac{25}{169}$.
2. 2$\sin \alpha =\frac{5}{13}$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\sin \alpha =\frac{5}{13}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=1-2\sin \alpha \cos \alpha =1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$.
2. 2$\frac{7}{4}+2=\frac{15}{4}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{15}{4}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wyrażenie $=2{\sin }^{2}18^{\circ }+{\cos }^{2}18^{\circ }+{\cos }^{2}18^{\circ }$.
2. 2$=2({\sin }^{2}18^{\circ }+{\cos }^{2}18^{\circ })=2$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\cos \alpha =\frac{3}{5}$ (kąt ostry).

Prawidłowa odpowiedź: D. $\cos \alpha =\frac{3}{5}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\sin \alpha =\frac{4}{5}$, $\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{3}$.
2. 2$\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{15}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\sin \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha =\frac{16}{15}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\cos }^2\alpha =\frac{25}{49}$.
2. 2$\cos \alpha =\frac{5}{7}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\cos \alpha =\frac{5}{7}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z trójkąta o przyprostokątnych 12 i 5: przeciwprostokątna $=13$.
2. 2$\sin \alpha =\frac{12}{13}$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{12}{13}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{5}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}$.
2. 2$=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\cos }^2\alpha =\frac{7}{16}$.
2. 2$\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$3\sin \alpha \cos \alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=3\sin \alpha \cos \alpha$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $3\sin \alpha \cos \alpha$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\sin \alpha \Rightarrow 1=2\cos \alpha$.
2. 2$\cos \alpha =\frac{1}{2}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\cos \alpha =\frac{1}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$.
2. 2$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\cos 60^{\circ }$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Przeciwprostokątna $=\sqrt{13}$, więc $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}$, $\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}}$.
2. 2$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{5\sqrt{13}}{13}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=1$ oraz $\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=1$.
2. 2Suma jest równa 2.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wyrażenie $=\frac{3-2\mathrm{tg}\alpha }{\mathrm{tg}\alpha -5}$.
2. 2$=\frac{3-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}-5}=\frac{\frac{11}{5}}{-\frac{23}{5}}=-\frac{11}{23}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $-\frac{11}{23}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{2-\frac{4}{5}}{2+\frac{4}{5}}=\frac{\frac{6}{5}}{\frac{14}{5}}$.
2. 2$=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{7}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
2. 2$2\cdot \frac{2}{3}-1=\frac{1}{3}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$.
2. 2$=1$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$1+\sin \alpha =1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{4}{3}$