Funkcja kwadratowa

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$W=(2,4)$ i $a=2>0$, więc $f(x)⩾4>0$ — brak miejsc zerowych: FAŁSZ.
2. 2Oś symetrii: $x=p=2$ — PRAWDA.
3. 3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=2(x^2-4x+4)+4$
2. 2$f(x)=2x^2-8x+8+4=2x^2-8x+12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $f(x)=2x^2-8x+12$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{t+(-9)}{2}=-3$
2. 2$t=-6+9=3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wierzchołek przesuwa się z $(-3,7)$ do $(-3+5,7)$.
2. 2$W_g=(2,7)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(2,7)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(2)=8-2k+6=0$
2. 2$2k=14\Rightarrow k=7$

Prawidłowa odpowiedź: C. $7$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a=-5<0$, wierzchołek ma $p=\pi \approx 3,14\in ⟨0,6⟩$.
2. 2Największa wartość jest w wierzchołku, czyli dla $x=\pi$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\pi$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$|0-\pi |=\pi \approx 3,14$, $|6-\pi |\approx 2,86$.
2. 2Dalej od wierzchołka leży $0$, więc tam wartość jest najmniejsza.

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{6+x_2}{2}=1\Rightarrow x_2=-4$
2. 2$f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=\frac{1}{2}(x^2-2x-24)=\frac{1}{2}{x}^2-x-12$
2. 2$b=-1<0$ — FAŁSZ; $c=-12<0$ — FAŁSZ.
3. 3Odpowiedź: F, F

Odpowiedź: F, F

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Oś $x=1$ przesuwa się do $x=1+3$.
2. 2$x=4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $x=4$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$W=(3,6)$, więc oś symetrii: $x=3$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $x=3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=a(x-3{)}^2$, $f(0)=9a=-9\Rightarrow a=-1<0$.
2. 2Ramiona w dół — funkcja maleje w $⟨3,+\infty )$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $⟨3,+\infty )$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=a(x-3{)}^2$, $9a=-9\Rightarrow a=-1$.
2. 2$f(x)=-(x-3{)}^2=-x^2+6x-9$.
3. 3Odpowiedź: B oraz D

Odpowiedź: B, D

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$g(x)=-(x-3{)}^2-1⩽-1<0$ — brak miejsc zerowych: FAŁSZ.
2. 2Przesunięcie pionowe nie zmienia osi: $x=3$ — PRAWDA.
3. 3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Miejsca zerowe: $-1$ i $3$, wierzchołek $W=(1,-2)$, ramiona w górę.
2. 2$ZW=⟨-2,+\infty )$

Prawidłowa odpowiedź: D. $⟨-2,+\infty )$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$p=\frac{-1+3}{2}=1$
2. 2Oś symetrii: $x=1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x=1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$W=(1,-2)$, więc $f(x)=a(x-1{)}^2-2$.
2. 2$f(3)=4a-2=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}$
3. 3$f(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2-2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $f(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2-2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$W=(-1,4)$, $a=-1<0$ — ramiona w dół.
2. 2Taki wykres (miejsca zerowe $-3$ i $1$) jest na rysunku B.

Prawidłowa odpowiedź: B. Rysunek B

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(0)=-1+4=3$, punkt $(0,3)$ — FAŁSZ.
2. 2$(x+1{)}^2=4\Rightarrow x=1$ lub $x=-3$ — PRAWDA.
3. 3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z rysunku: $W=(1,9)$, ramiona w dół.
2. 2$f(x)=-(x-1{)}^2+9$ (sprawdzenie: $f(0)=8$).

Prawidłowa odpowiedź: B. $f(x)=-(x-1{)}^2+9$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{-4+t}{2}=1\Rightarrow t=6$
2. 2$f(-4)=f(6)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $f(-4)=f(6)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z rysunku: miejsca zerowe $2$ i $6$, wierzchołek $W=(4,-2)$, ramiona w górę.
2. 2$ZW=⟨-2,+\infty )$

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨-2,+\infty )$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=a(x-2)(x-6)$, $f(0)=12a=6\Rightarrow a=\frac{1}{2}$.
2. 2Postać kanoniczna: $\frac{1}{2}(x-4{)}^2-2$.
3. 3Odpowiedź: A oraz B

Odpowiedź: A, B

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wierzchołek $(4,-2)$ przechodzi w $(3,-2)$, miejsca zerowe: $1$ i $5$.
2. 2Taki wykres przedstawia rysunek B.

Prawidłowa odpowiedź: B. Rysunek B

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$A$: $a=-1$, $q=2$ — pasuje.
2. 2$C$: $q=0$; $B,D,E$ mają $a>0$.
3. 3$F(x)=-2(x^2-2x)=-2(x-1{)}^2+2$ — pasuje.
4. 4Odpowiedź: A oraz F

Odpowiedź: A, F

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a<0$: ramiona w dół; $c=1$: wykres przecina $Oy$ w $(0,1)$.
2. 2$p=-\frac{b}{2a}>0$ (licznik dodatni, mianownik ujemny) — wierzchołek po prawej stronie osi $Oy$.
3. 3Rysunek D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{-5+x_2}{2}=3$
2. 2$x_2=11$

Prawidłowa odpowiedź: A. $11$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Brak miejsc zerowych: $\Delta =b^2-4ac<0$.
2. 2$f(0)=c<0$, więc cały wykres leży pod osią $Ox$, a to oznacza $a<0$.
3. 3Odpowiedź: B1

Odpowiedź: B1

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$p=1$, $q=2$
2. 2$W=(1,2)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(1,2)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a=-1<0$, $q=2$
2. 2$ZW=(-\infty ,2⟩$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(-\infty ,2⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(x)=(x-2{)}^2+4=x^2-4x+8$
2. 2$b=-4$, $c=8$

Prawidłowa odpowiedź: A. $b=-4,c=8$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$p=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}$, $a=-2<0$.
2. 2Funkcja rośnie w $(-\infty ,\frac{1}{2}⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $(-\infty ,\frac{1}{2}⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$p=-\frac{5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}$
2. 2Oś symetrii: $x=-\frac{5}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x=-\frac{5}{4}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$p=1$, $a=-2<0$
2. 2Funkcja rośnie w $(-\infty ,1⟩$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $(-\infty ,1⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a=3$, $p=-3$, $q=2$
2. 2$f(x)=3(x+3{)}^2+2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $f(x)=3(x+3{)}^2+2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$p=\frac{-4+2}{2}=-1<0$
2. 2$q=f(-1)=-3\cdot 3\cdot (-3)=27>0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $p<0$ i $q>0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$\frac{2+x_2}{2}=-2$
2. 2$x_2=-6$

Prawidłowa odpowiedź: D. $-6$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(-4)=f(0)$
2. 2$f(0)=3$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$p=\frac{-1+3}{2}=1$, $a=-2<0$.
2. 2Funkcja maleje w $⟨1,+\infty )$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨1,+\infty )$