Matematyka · Poziom podstawowy

Potęgi i pierwiastki

Własności potęg, potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym, działania na pierwiastkach oraz notacja wykładnicza.

78zadań

2przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 4–5

2. Potęgi i pierwiastki — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

a^{2} = ∣ a ∣ a^{0} = 1 a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{n a ^{m}}

a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s} \frac{a ^{r}}{a ^{s}} = a^{r - s} (a^{r})^{s} = a^{r \cdot s}

(a \cdot b)^{r} = a^{r} \cdot b^{r} (\frac{a}{b})^{r} = \frac{a ^{r}}{b ^{r}}

01Co musisz umieć?

—Stosować własności potęg o tej samej podstawie
—Obliczać potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym
—Wyłączać czynnik przed znak pierwiastka i usuwać niewymierność z mianownika
—Zamieniać pierwiastki na potęgi o wykładniku ułamkowym
—Zapisywać liczby w notacji wykładniczej

02Najważniejsza teoria

Własności potęg

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

a^{0} = 1 (a \neq = 0)

Wykładnik ujemny i wymierny

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

Zamiana pierwiastka na potęgę pozwala stosować zwykłe własności potęg — to najszybsza metoda na wiele zadań maturalnych.

Działania na pierwiastkach

a \cdot b = ab

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

a^{2} = ∣ a ∣

UWAGA

Nie wolno „rozdzielać” pierwiastka sumy: $a + b \neq = a + b$ .

Notacja wykładnicza

Każdą liczbę dodatnią zapisujemy jako:

a \cdot 1 0^{k}, 1 \leq a < 10, k \in Z

03Przykłady

Przykład 1 · Iloraz potęg

1Obliczamy $\frac{3 ^{7}}{3 ^{4}}$ .
2Podstawy są równe, więc odejmujemy wykładniki: $3^{7 - 4}$
3Otrzymujemy $3^{3} = 27$

Przykład 2 · Pierwiastek jako potęga

1Obliczamy $3 8^{2}$ .
2Zamieniamy na potęgę: $8^{\frac{2}{3}}$
3Zapisujemy $8 = 2^{3}$ : $(2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{2}$
4Otrzymujemy $4$

04Zadania

Zagadnienie:

Rok matury:

Znalezione zadania: 78

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Pierwiastki stopnia nieparzystego

Matura · 1 pkt

Liczba

3 - 27 + 5 - 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje i jest liczbą ujemną — policz oba pierwiastki osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - 27 = - 3$ , ponieważ $(- 3)^{3} = - 27$ .
2 $5 - 1 = - 1$ , ponieważ $(- 1)^{5} = - 1$ .
3Dodajemy: $- 3 + (- 1) = - 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $- 4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 4$

Zadanie 2

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 ^{- 1} \cdot 4 ^{0, 5}}{3 ^{- 2} \cdot 2 ^{- 1}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $4^{0, 5}$ na pierwiastek, a potem policz licznik i mianownik jako zwykłe ułamki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{0, 5} = 4 = 2$ , więc licznik to $\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$ .
2Mianownik: $3^{- 2} \cdot 2^{- 1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$ .
3Dzielimy: $\frac{2}{3} : \frac{1}{18} = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $12$

Prawidłowa odpowiedź: B. $12$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Pierwiastki stopnia nieparzystego

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 - 64 + 3 27}{5 - 32}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz najpierw każdy pierwiastek osobno, a dopiero potem wykonaj dzielenie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - 64 = - 4$ oraz $327 = 3$ , więc licznik jest równy $- 4 + 3 = - 1$ .
2 $5 - 32 = - 2$ , bo $(- 2)^{5} = - 32$ .
3Zatem $\frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{2}$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{9 ^{4}}{3 ^{- 20}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź obie potęgi do tej samej podstawy — najlepiej do podstawy 3.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ .
2 $\frac{3 ^{8}}{3 ^{- 20}} = 3^{8 - (- 20)} = 3^{28}$ .
3 $3^{28} = (3^{2})^{14} = 9^{14}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $9^{14}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $9^{14}$

Zadanie 5

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{25}{8} \cdot 2 + 2^{- 1}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn dwóch pierwiastków kwadratowych zapisz jako jeden pierwiastek z iloczynu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{25}{8} \cdot 2 = \frac{25}{8} \cdot 2 = \frac{25}{4}$ .
2 $\frac{25}{4} = \frac{5}{2}$ .
3 $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ , więc $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Zadanie 6

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczba

55

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz wszystkie pierwiastki jako potęgi o wykładniku ułamkowym i dodaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $55 = 5^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$ .
2 $5^{\frac{3}{2}} = (5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $5^{\frac{3}{4}}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5^{\frac{3}{4}}$

Zadanie 7

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi a zapis dziesiętny liczby

Matura · 1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

1. Liczba naturalna

4^{12} \cdot 5^{24}

jest podzielna przez 20.
2. Liczba naturalna

4^{12} \cdot 5^{24}

jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.

Wskazówka

Spróbuj zapisać tę liczbę jako potęgę liczby 10 — wtedy oba stwierdzenia da się ocenić od razu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{12} = (2^{2})^{12} = 2^{24}$ , więc $4^{12} \cdot 5^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24} = 1 0^{24}$ .
2Stwierdzenie 1: $1 0^{24} = 20 \cdot 5 \cdot 1 0^{22}$ , liczba jest podzielna przez 20 — PRAWDA.
3Stwierdzenie 2: $1 0^{24}$ to jedynka i 24 zera, czyli liczba 25-cyfrowa — PRAWDA.
4Prawidłowa odpowiedź: P, P

Odpowiedź: P, P

Zadanie 8

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 50 \cdot 3 - 15}{3 2 \cdot 3 3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wszystkie pierwiastki są tego samego stopnia — połącz je w jeden pierwiastek sześcienny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3 50 \cdot ( - 15 )}{3 2 \cdot 3} = 3 \frac{- 750}{6}$ .
2 $\frac{- 750}{6} = - 125$ .
3 $3 - 125 = - 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $- 5$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 5$

Zadanie 9

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 ^{10} \cdot 9 ^{20}}{2 7 ^{15}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz liczby 9 i 27 jako potęgi trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9^{20} = 3^{40}$ oraz $2 7^{15} = 3^{45}$ .
2 $\frac{3 ^{10} \cdot 3 ^{40}}{3 ^{45}} = 3^{10 + 40 - 45}$ .
3 $3^{5}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3^{5}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3^{5}$

Zadanie 10

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 5 ^{- 2}}{12 5 ^{- 4}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź 25 i 125 do podstawy 5, a następnie odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 5^{- 2} = (5^{2})^{- 2} = 5^{- 4}$ , a $12 5^{- 4} = (5^{3})^{- 4} = 5^{- 12}$ .
2 $\frac{5 ^{- 4}}{5 ^{- 12}} = 5^{- 4 - (- 12)}$ .
3 $5^{8}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $5^{8}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $5^{8}$

Zadanie 11

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

324 + 3192

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz z każdego pierwiastka czynnik będący sześcianem liczby całkowitej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $324 = 3 8 \cdot 3 = 233$ .
2 $3192 = 3 64 \cdot 3 = 433$ .
3 $233 + 433 = 633$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $633$

Prawidłowa odpowiedź: C. $633$

Zadanie 12

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczba

256 \cdot 3 8^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 256 oraz pierwiastek jako potęgi liczby 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $256 = 2^{8}$ .
2 $3 8^{2} = 364 = 4 = 2^{2}$ .
3 $2^{8} \cdot 2^{2} = 2^{10}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{10}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{10}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(3 + 1)^{2} - 12

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń kwadrat sumy i zauważ, że $12$ też można uprościć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 + 1)^{2} = 3 + 23 + 1 = 4 + 23$ .
2 $12 = 23$ .
3 $4 + 23 - 23 = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 14

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(32 - 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw uprość $32$ , wtedy w nawiasie zostaną wyrazy podobne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $32 = 42$ .
2 $42 - 2 = 32$ .
3 $(32)^{2} = 9 \cdot 2 = 18$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $18$

Prawidłowa odpowiedź: B. $18$

Zadanie 15

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wyłączanie wspólnego czynnika z potęg

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{5 ^{12} + 5 ^{13} + 5 ^{14}}{5 ^{12}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz w liczniku $5^{12}$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12} (1 + 5 + 25)$ .
2 $\frac{5 ^{12} ( 1 + 5 + 25 )}{5 ^{12}} = 1 + 5 + 25$ .
3 $= 31$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $31$

Prawidłowa odpowiedź: B. $31$

Zadanie 16

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(55 \cdot \frac{1}{5})^{- 5}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz zawartość nawiasu jako jedną potęgę piątki z wykładnikiem ułamkowym.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $55 = 5^{\frac{1}{5}}$ , a $\frac{1}{5} = 5^{- 1}$ .
2 $5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{- 1} = 5^{- \frac{4}{5}}$ .
3 $(5^{- \frac{4}{5}})^{- 5} = 5^{4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $5^{4}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $5^{4}$

Zadanie 17

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{4}{25})^{- 0, 5}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ujemny wykładnik oznacza odwrócenie ułamka, a wykładnik $0, 5$ to pierwiastek kwadratowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(\frac{4}{25})^{- 0, 5} = (\frac{25}{4})^{0, 5}$ .
2 $(\frac{25}{4})^{0, 5} = \frac{25}{4} = \frac{5}{2}$ .
3 $\frac{5}{2} = 2, 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $2, 5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2, 5$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

2^{- 1} \cdot 3 2^{\frac{3}{5}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 32 jako potęgę dwójki — wtedy zostanie tylko dodawanie wykładników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $32 = 2^{5}$ , więc $3 2^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^{3} = 8$ .
2 $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ .
3 $\frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 19

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{1}{16})^{8} \cdot 8^{16}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $\frac{1}{16}$ oraz 8 na potęgi liczby 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(\frac{1}{16})^{8} = (2^{- 4})^{8} = 2^{- 32}$ .
2 $8^{16} = (2^{3})^{16} = 2^{48}$ .
3 $2^{- 32} \cdot 2^{48} = 2^{16}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{16}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{16}$

Zadanie 20

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(3^{- 2, 4} \cdot 3^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $\frac{2}{5}$ na ułamek dziesiętny i dodaj wykładniki w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2}{5} = 0, 4$ , więc $3^{- 2, 4} \cdot 3^{0, 4} = 3^{- 2}$ .
2 $(3^{- 2})^{\frac{1}{2}} = 3^{- 1}$ .
3 $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{3}$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

345 - 20

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka w obu składnikach — pojawi się wspólny $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $345 = 3 \cdot 35 = 95$ .
2 $20 = 25$ .
3 $95 - 25 = 75 = 7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Zadanie 22

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

\frac{3 ^{- 1}}{( - \frac{1}{9} ) ^{- 2}} \cdot 81

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że parzysta potęga liczby ujemnej jest dodatnia.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(- \frac{1}{9})^{- 2} = (- 9)^{2} = 81$ .
2 $\frac{3 ^{- 1}}{81} \cdot 81 = 3^{- 1}$ .
3 $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{3}$

Zadanie 23

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

iloczyn

x \cdot 3 x \cdot 6 x

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Każdy pierwiastek zamień na potęgę i dodaj wykładniki, sprowadzając je do wspólnego mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x \cdot 3 x \cdot 6 x = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}$ .
2 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ .
3Zatem iloczyn jest równy $x^{1} = x$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $x$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x$

Zadanie 24

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

3 - \frac{27}{16} \cdot 32

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz oba pierwiastki sześcienne w jeden i skróć ułamek pod pierwiastkiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - \frac{27}{16} \cdot 32 = 3 - \frac{27 \cdot 2}{16} = 3 - \frac{27}{8}$ .
2 $3 - \frac{27}{8} = \frac{3 - 27}{3 8} = \frac{- 3}{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $- \frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- \frac{3}{2}$

Zadanie 25

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Suma jednakowych potęg

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodawanie jednakowych składników zamień na mnożenie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Sześć jednakowych składników: $6 \cdot 6^{100}$ .
2 $6^{1} \cdot 6^{100} = 6^{101}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $6^{101}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $6^{101}$

Zadanie 26

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wykonaj mnożenie w nawiasie, dodając wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$ .
2 $(5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{2}}$ .
3 $5^{\frac{1}{2}} = 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 27

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(1 + 3 \cdot 2^{- 1})^{- 2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw policz wartość w nawiasie, a dopiero potem zastosuj ujemny wykładnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 \cdot 2^{- 1} = \frac{3}{2}$ , więc w nawiasie mamy $1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ .
2 $(\frac{5}{2})^{- 2} = (\frac{2}{5})^{2}$ .
3 $= \frac{4}{25}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{25}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{25}$

Zadanie 28

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{8 ^{- 40}}{2 ^{10}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień 8 na potęgę dwójki i odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8^{- 40} = (2^{3})^{- 40} = 2^{- 120}$ .
2 $\frac{2 ^{- 120}}{2 ^{10}} = 2^{- 120 - 10}$ .
3 $= 2^{- 130}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $2^{- 130}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2^{- 130}$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

128 : 364

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uprość oddzielnie pierwiastek kwadratowy i sześcienny, a potem podziel.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $128 = 64 \cdot 2 = 82$ .
2 $364 = 4$ .
3 $\frac{8 2}{4} = 22$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $22$

Prawidłowa odpowiedź: D. $22$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 ^{- 3} \cdot 3 ^{- 3} \cdot 4 ^{0}}{2 ^{- 1} \cdot 3 ^{- 4} \cdot 4 ^{- 1}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odejmij wykładniki osobno dla każdej podstawy: 2, 3 i 4.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla podstawy 2: $2^{- 3 - (- 1)} = 2^{- 2}$ .
2Dla podstawy 3: $3^{- 3 - (- 4)} = 3^{1}$ ; dla podstawy 4: $4^{0 - (- 1)} = 4^{1}$ .
3 $2^{- 2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 31

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(28 - 32)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź oba składniki do pierwiastka z 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $28 = 2 \cdot 22 = 42$ .
2 $42 - 32 = 2$ .
3 $(2)^{2} = 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 32

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

3^{2 + \frac{1}{4}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Suma w wykładniku oznacza iloczyn potęg, a nie sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3^{2 + \frac{1}{4}} = 3^{2} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$ .
2 $3^{\frac{1}{4}} = 43$ .
3Zatem wyrażenie jest równe $3^{2} \cdot 43$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{2} \cdot 43$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{2} \cdot 43$

Zadanie 33

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

2 \cdot (2 - 3) + 3 \cdot (2 - 3)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz wspólny nawias $(2 - 3)$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy wspólny czynnik: $(2 - 3) (2 + 3)$ .
2To wzór na różnicę kwadratów: $(2)^{2} - (3)^{2} = 2 - 3$ .
3 $= - 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Zadanie 34

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(7^{\frac{5}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw dodaj wykładniki w nawiasie, potem pomnóż przez wykładnik zewnętrzny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $7^{\frac{5}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{6}{4}} = 7^{\frac{3}{2}}$ .
2 $(7^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}$ .
3 $= 7^{1}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $7^{1}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $7^{1}$

Zadanie 35

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi liczby 10

Matura · 1 pkt

Liczba

10 0^{5} \cdot (0, 1)^{- 6}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 100 i $0, 1$ jako potęgi liczby 10.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $10 0^{5} = (1 0^{2})^{5} = 1 0^{10}$ .
2 $(0, 1)^{- 6} = (1 0^{- 1})^{- 6} = 1 0^{6}$ .
3 $1 0^{10} \cdot 1 0^{6} = 1 0^{16}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $1 0^{16}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1 0^{16}$

Zadanie 36

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby

b

wyrażenie

(b \cdot 4 b)^{\frac{1}{3}}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień pierwiastki na potęgi i dodaj wykładniki w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b \cdot 4 b = b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{3}{4}}$ .
2 $(b^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{4}}$ .
3 $b^{\frac{1}{4}} = b^{0, 25}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $b^{0, 25}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b^{0, 25}$

Zadanie 37

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi i wzory skróconego mnożenia

Matura · 1 pkt

Liczba

1 - (2^{7} - 1)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń kwadrat różnicy $(a - b)^{2}$ , pamiętając o środkowym wyrazie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2^{7} - 1)^{2} = 2^{14} - 2 \cdot 2^{7} + 1 = 2^{14} - 2^{8} + 1$ .
2 $1 - (2^{14} - 2^{8} + 1) = 1 - 2^{14} + 2^{8} - 1$ .
3 $= 2^{8} - 2^{14}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{8} - 2^{14}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{8} - 2^{14}$

Zadanie 38

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 ^{50} \cdot 3 ^{40}}{3 6 ^{10}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż 36 na czynniki pierwsze: $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 6^{10} = (2^{2} \cdot 3^{2})^{10} = 2^{20} \cdot 3^{20}$ .
2 $\frac{2 ^{50} \cdot 3 ^{40}}{2 ^{20} \cdot 3 ^{20}} = 2^{30} \cdot 3^{20}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $2^{30} \cdot 3^{20}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2^{30} \cdot 3^{20}$

Zadanie 39

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczbę

4 9 \cdot 3

można zapisać w postaci

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw zapisz zawartość pierwiastka jako jedną potęgę trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 \cdot 3 = 3^{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$ .
2 $4 3^{\frac{5}{2}} = (3^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{4}}$ .
3 $= 3^{\frac{5}{8}}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{\frac{5}{8}}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{\frac{5}{8}}$

Zadanie 40

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Porównywanie potęg

Matura · 1 pkt

Liczbą większą od 5 jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz wartość każdej z czterech liczb — wszystkie są potęgami piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1A: $(\frac{1}{25})^{- \frac{1}{2}} = 2 5^{\frac{1}{2}} = 5$ — nie jest większa od 5.
2B: $2 5^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{2}{5}} < 5$ .
3C: $12 5^{\frac{2}{3}} = (5^{3})^{\frac{2}{3}} = 5^{2} = 25 > 5$ ; D: $12 5^{\frac{1}{3}} = 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $12 5^{\frac{2}{3}}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $12 5^{\frac{2}{3}}$

Zadanie 41

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi a zapis dziesiętny liczby

Matura · 1 pkt

Liczba naturalna

n = 2^{14} \cdot 5^{15}

w zapisie dziesiętnym ma

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz tyle dwójek i piątek, ile możesz, w potęgę liczby 10.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2^{14} \cdot 5^{15} = 2^{14} \cdot 5^{14} \cdot 5 = 1 0^{14} \cdot 5$ .
2 $5 \cdot 1 0^{14}$ to piątka i 14 zer.
3Razem daje to liczbę 15-cyfrową.
4Prawidłowa odpowiedź: B. 15 cyfr

Prawidłowa odpowiedź: B. 15 cyfr

Zadanie 42

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczba

32

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastek z pierwiastka to potęga o wykładniku będącym iloczynem ułamków.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $32 = 2^{\frac{1}{3}}$ .
2 $2^{\frac{1}{3}} = (2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{6}}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $2^{\frac{1}{6}}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2^{\frac{1}{6}}$

Zadanie 43

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Notacja wykładnicza

Matura · 1 pkt

Dane są liczby

x = 4, 5 \cdot 1 0^{- 8}

oraz

y = 1, 5 \cdot 1 0^{2}

. Wtedy iloraz

\frac{x}{y}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel osobno liczby przed potęgami i osobno same potęgi dziesiątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{4 , 5}{1 , 5} = 3$ .
2 $\frac{1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{2}} = 1 0^{- 10}$ .
3 $\frac{x}{y} = 3 \cdot 1 0^{- 10}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3 \cdot 1 0^{- 10}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3 \cdot 1 0^{- 10}$

Zadanie 44

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wyłączanie wspólnego czynnika z potęg

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{8 ^{20} - 2 \cdot 4 ^{20}}{2 ^{20} \cdot 4 ^{10}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź wszystko do podstawy 2 i podziel każdy składnik licznika osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $8^{20} = 2^{60}$ , $2 \cdot 4^{20} = 2 \cdot 2^{40} = 2^{41}$ .
2Mianownik: $2^{20} \cdot 4^{10} = 2^{20} \cdot 2^{20} = 2^{40}$ .
3 $\frac{2 ^{60} - 2 ^{41}}{2 ^{40}} = 2^{20} - 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{20} - 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{20} - 2$

Zadanie 45

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

3 \frac{7}{3} \cdot 3 \frac{81}{56}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz pierwiastki w jeden i skróć ułamek pod pierwiastkiem przed obliczeniami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 \frac{7}{3} \cdot \frac{81}{56} = 3 \frac{7 \cdot 81}{3 \cdot 56}$ .
2 $\frac{7 \cdot 81}{3 \cdot 56} = \frac{81}{24} = \frac{27}{8}$ .
3 $3 \frac{27}{8} = \frac{3}{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{2}$

Zadanie 46

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Notacja wykładnicza

Matura · 1 pkt

Dane są liczby

a = 3, 6 \cdot 1 0^{- 12}

oraz

b = 2, 4 \cdot 1 0^{- 20}

. Wtedy iloraz

\frac{a}{b}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby przed potęgami, a wykładniki dziesiątki odejmij.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3 , 6}{2 , 4} = 1, 5$ .
2 $\frac{1 0 ^{- 12}}{1 0 ^{- 20}} = 1 0^{- 12 + 20} = 1 0^{8}$ .
3 $\frac{a}{b} = 1, 5 \cdot 1 0^{8}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $1, 5 \cdot 1 0^{8}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1, 5 \cdot 1 0^{8}$

Zadanie 47

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

9^{9} \cdot 8 1^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 81 jako potęgę dziewiątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $81 = 9^{2}$ , więc $8 1^{2} = 9^{4}$ .
2 $9^{9} \cdot 9^{4} = 9^{13}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $9^{13}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $9^{13}$

Zadanie 48

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Suma jednakowych potęg

Matura · 1 pkt

Suma

1 6^{24} + 1 6^{24} + 1 6^{24} + 1 6^{24}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień dodawanie na mnożenie przez 4, a potem wszystko na podstawę 4.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma czterech jednakowych składników: $4 \cdot 1 6^{24}$ .
2 $1 6^{24} = (4^{2})^{24} = 4^{48}$ .
3 $4^{1} \cdot 4^{48} = 4^{49}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4^{49}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4^{49}$

Zadanie 49

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi iloczynu

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{4 ^{5} \cdot 5 ^{4}}{2 0 ^{4}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż $2 0^{4}$ na iloczyn potęg czwórki i piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 0^{4} = (4 \cdot 5)^{4} = 4^{4} \cdot 5^{4}$ .
2 $\frac{4 ^{5} \cdot 5 ^{4}}{4 ^{4} \cdot 5 ^{4}} = 4^{5 - 4}$ .
3 $= 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 50

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi iloczynu

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{7 ^{6} \cdot 6 ^{7}}{4 2 ^{6}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $42 = 6 \cdot 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 2^{6} = 6^{6} \cdot 7^{6}$ .
2 $\frac{7 ^{6} \cdot 6 ^{7}}{6 ^{6} \cdot 7 ^{6}} = 6^{7 - 6}$ .
3 $= 6$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $6$

Prawidłowa odpowiedź: C. $6$

Zadanie 51

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczba

333

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw zapisz $33$ jako jedną potęgę trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $33 = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ .
2 $3 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}}$ .
3 $3^{\frac{1}{2}} = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 52

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby

a

iloraz

\frac{a ^{- 2, 6}}{a ^{1, 3}}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dzielenie potęg o tej samej podstawie to odejmowanie wykładników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a ^{- 2, 6}}{a ^{1, 3}} = a^{- 2, 6 - 1, 3}$ .
2 $- 2, 6 - 1, 3 = - 3, 9$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $a^{- 3, 9}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a^{- 3, 9}$

Zadanie 53

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi iloczynu

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{9 ^{5} \cdot 5 ^{9}}{4 5 ^{5}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż $4 5^{5}$ na iloczyn potęg dziewiątki i piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 5^{5} = (9 \cdot 5)^{5} = 9^{5} \cdot 5^{5}$ .
2 $\frac{9 ^{5} \cdot 5 ^{9}}{9 ^{5} \cdot 5 ^{5}} = 5^{9 - 5}$ .
3 $= 5^{4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $5^{4}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $5^{4}$

Zadanie 54

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{9}{7} + \frac{7}{9}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz każdy pierwiastek jako ułamek i sprowadź do wspólnego mianownika — nie dodawaj pierwiastków „pod jednym znakiem”.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{9}{7} = \frac{3}{7}$ oraz $\frac{7}{9} = \frac{7}{3}$ .
2Wspólny mianownik $37$ : $\frac{9}{3 7} + \frac{7}{3 7}$ .
3 $= \frac{16}{3 7}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{16}{3 7}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{16}{3 7}$

Zadanie 55

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

218 - 32

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uprość oba pierwiastki do postaci z $2$ , a wynik zapisz jako potęgę dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $218 = 2 \cdot 32 = 62$ , a $32 = 42$ .
2 $62 - 42 = 22$ .
3 $22 = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $2^{\frac{3}{2}}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2^{\frac{3}{2}}$

Zadanie 56

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach i pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

\frac{5 - 32 \cdot 2 ^{- 1}}{4} \cdot 2^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz najpierw pierwiastek piątego stopnia, potem wykonaj działania po kolei.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 - 32 = - 2$ , więc licznik to $- 2 \cdot \frac{1}{2} = - 1$ .
2 $\frac{- 1}{4} \cdot 4 = - 1$ (bo $2^{2} = 4$ ).
3Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Zadanie 57

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika

Matura · 1 pkt

Równość

\frac{m}{5 - 5} = \frac{5 + 5}{5}

zachodzi dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż na krzyż i wykorzystaj wzór na różnicę kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy na krzyż: $5 m = (5 + 5) (5 - 5)$ .
2 $(5 + 5) (5 - 5) = 25 - 5 = 20$ .
3 $5 m = 20$ , więc $m = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $m = 4$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = 4$

Zadanie 58

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Suma jednakowych potęg

Matura · 1 pkt

Połowa sumy

4^{28} + 4^{28} + 4^{28} + 4^{28}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw zapisz sumę jako jedną potęgę dwójki, a potem podziel przez 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 \cdot 4^{28} = 4^{29} = (2^{2})^{29} = 2^{58}$ .
2Połowa: $\frac{2 ^{58}}{2} = 2^{57}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{57}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{57}$

Zadanie 59

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(5 - 3)^{2} + 215

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń kwadrat różnicy — składnik z pierwiastkiem powinien się zredukować.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5 - 3)^{2} = 5 - 215 + 3 = 8 - 215$ .
2 $8 - 215 + 215 = 8$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $8$

Prawidłowa odpowiedź: B. $8$

Zadanie 60

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{1}{2} \cdot 2^{2014}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $\frac{1}{2}$ jako potęgę dwójki z ujemnym wykładnikiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ .
2 $2^{- 1} \cdot 2^{2014} = 2^{2013}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $2^{2013}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2^{2013}$

Zadanie 61

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wyłączanie wspólnego czynnika z potęg

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 ^{27} + 3 ^{26}}{3 ^{26} + 3 ^{25}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

W liczniku i mianowniku wyłącz przed nawias najmniejszą występującą potęgę trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $3^{26} (3 + 1) = 4 \cdot 3^{26}$ .
2Mianownik: $3^{25} (3 + 1) = 4 \cdot 3^{25}$ .
3 $\frac{4 \cdot 3 ^{26}}{4 \cdot 3 ^{25}} = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 62

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęga o wykładniku zero

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{1}{( 3 729 + 4 256 + 2 ) ^{0}})^{- 2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwróć uwagę na wykładnik zero — nie trzeba liczyć pierwiastków w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyrażenie w nawiasie jest dodatnie, a każda taka liczba podniesiona do potęgi zerowej daje 1.
2Zatem wewnątrz mamy $\frac{1}{1} = 1$ .
3 $1^{- 2} = 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 63

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

\frac{2}{3 - 1} - \frac{2}{3 + 1}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika i wykorzystaj różnicę kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wspólny mianownik: $(3 - 1) (3 + 1) = 3 - 1 = 2$ .
2Licznik: $2 (3 + 1) - 2 (3 - 1) = 4$ .
3 $\frac{4}{2} = 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 64

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{3 + 3}{3})^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw uprość ułamek, dzieląc każdy składnik licznika przez $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3 + 3}{3} = \frac{3}{3} + 1 = 3 + 1$ .
2 $(3 + 1)^{2} = 3 + 23 + 1$ .
3 $= 4 + 23$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4 + 23$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4 + 23$

Zadanie 65

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

3^{\frac{9}{4}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozbij wykładnik $\frac{9}{4}$ na sumę liczby całkowitej i ułamka.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{9}{4} = 2 + \frac{1}{4}$ .
2 $3^{2 + \frac{1}{4}} = 3^{2} \cdot 3^{\frac{1}{4}} = 9 \cdot 43$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $9 \cdot 43$

Prawidłowa odpowiedź: B. $9 \cdot 43$

Zadanie 66

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Własności potęg i pierwiastków

Matura · 1 pkt

Wskaż równość prawdziwą.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdzaj po kolei znaki: pamiętaj, że $a^{2} = ∣ a ∣$ , a pierwiastek nieparzystego stopnia zachowuje znak.

Rozwiązanie krok po kroku

1A: $- 25 6^{2} = - 65536$ , a $(- 256)^{2} = 65536$ — nieprawda.
2B: potęga trzecia zachowuje znak, więc $25 6^{3} > 0$ , a $(- 256)^{3} < 0$ — nieprawda.
3C: $(- 256)^{2} = ∣ - 256∣ = 256 \neq = - 256$ — nieprawda; D: $3 - 256 = - 3256$ — prawda.
4Prawidłowa odpowiedź: D. $3 - 256 = - 3256$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3 - 256 = - 3256$

Zadanie 67

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach i pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{5 ^{3} \cdot 25}{5}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz wszystko jako potęgi piątki, także $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5^{3} \cdot 25 = 5^{3} \cdot 5^{2} = 5^{5}$ .
2 $\frac{5 ^{5}}{5 ^{\frac{1}{2}}} = 5^{\frac{9}{2}}$ .
3 $5^{\frac{9}{2}} = 5^{4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{4} 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $5^{4} 5$

Prawidłowa odpowiedź: B. $5^{4} 5$

Zadanie 68

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach i pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

(316 \cdot 4^{- 2})^{3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 16 jako $4^{2}$ i skorzystaj z zamiany pierwiastka na potęgę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $316 = 3 4^{2} = 4^{\frac{2}{3}}$ .
2 $4^{\frac{2}{3}} \cdot 4^{- 2} = 4^{\frac{2}{3} - 2} = 4^{- \frac{4}{3}}$ .
3 $(4^{- \frac{4}{3}})^{3} = 4^{- 4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $4^{- 4}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $4^{- 4}$

Zadanie 69

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{50 - 18}{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uprość pierwiastki w liczniku do postaci z $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $50 = 52$ , $18 = 32$ .
2Licznik: $52 - 32 = 22$ .
3 $\frac{2 2}{2} = 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 70

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Matura · 1 pkt

Liczbę

32

można przedstawić w postaci

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Poszukaj największego kwadratu liczby całkowitej, który dzieli 32.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $32 = 16 \cdot 2$ .
2 $32 = 16 \cdot 2 = 42$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $42$

Prawidłowa odpowiedź: D. $42$

Zadanie 71

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi iloczynu

Matura · 1 pkt

Dana jest liczba

x = 6 3^{2} \cdot (\frac{1}{3})^{4}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż 63 na czynniki pierwsze: $63 = 9 \cdot 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 3^{2} = (3^{2} \cdot 7)^{2} = 3^{4} \cdot 7^{2}$ .
2 $(\frac{1}{3})^{4} = 3^{- 4}$ .
3 $3^{4} \cdot 7^{2} \cdot 3^{- 4} = 7^{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 7^{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 7^{2}$

Zadanie 72

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Iloczyn

8 1^{2} \cdot 9^{4}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 81 i 9 jako potęgi trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 1^{2} = (3^{4})^{2} = 3^{8}$ .
2 $9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ .
3 $3^{8} \cdot 3^{8} = 3^{16}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{16}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{16}$

Zadanie 73

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęga o wykładniku zero

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{2 ^{- 2} \cdot 3 ^{- 1}}{2 ^{- 1} \cdot 3 ^{- 2}})^{0}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwróć uwagę na wykładnik zewnętrzny — reszta obliczeń nie jest potrzebna.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyrażenie w nawiasie jest liczbą różną od zera.
2Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1.
3Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Zadanie 74

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Iloraz

3 2^{- 3} : (\frac{1}{8})^{4}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź 32 i $\frac{1}{8}$ do potęg dwójki, a potem odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 2^{- 3} = (2^{5})^{- 3} = 2^{- 15}$ .
2 $(\frac{1}{8})^{4} = (2^{- 3})^{4} = 2^{- 12}$ .
3 $\frac{2 ^{- 15}}{2 ^{- 12}} = 2^{- 15 + 12} = 2^{- 3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{- 3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{- 3}$

Zadanie 75

Oryginalne zadanie: zad. 75

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

2^{40} \cdot 4^{20}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź wszystko do podstawy 2, a wynik zapisz jako potęgę czwórki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{20} = (2^{2})^{20} = 2^{40}$ .
2 $2^{40} \cdot 2^{40} = 2^{80}$ .
3 $2^{80} = (2^{2})^{40} = 4^{40}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $4^{40}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $4^{40}$

Zadanie 76

Oryginalne zadanie: zad. 76

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

7^{\frac{4}{3}} \cdot 3 7^{5}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień pierwiastek sześcienny na potęgę o wykładniku ułamkowym i dodaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 7^{5} = 7^{\frac{5}{3}}$ .
2 $7^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{5}{3}} = 7^{\frac{9}{3}}$ .
3 $= 7^{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $7^{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $7^{3}$

Zadanie 77

Oryginalne zadanie: zad. 77

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

3^{30} \cdot 9^{90}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 9 jako $3^{2}$ i dodaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9^{90} = (3^{2})^{90} = 3^{180}$ .
2 $3^{30} \cdot 3^{180} = 3^{210}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{210}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{210}$

Zadanie 78

Oryginalne zadanie: zad. 78

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

3^{\frac{8}{3}} \cdot 3 9^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $9^{2}$ jako potęgę trójki, a pierwiastek jako wykładnik ułamkowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9^{2} = 3^{4}$ , więc $3 9^{2} = 3^{\frac{4}{3}}$ .
2 $3^{\frac{8}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{12}{3}}$ .
3 $= 3^{4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{4}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{4}$