Układy równań

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Suma drzew: $x+y=198$.
2. 2Po zmianie liczba iglastych wynosi $x+18$, a liściastych nadal $y$.
3. 3Warunek: $y=3(x+18)$.
4. 4Po podstawieniu: $x+3x+54=198$, więc $x=36$ i $y=162$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $\{\begin{array}{l}x+y=198\\ 3(x+18)=y\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$x_0+y_0=\frac{1}{20}>0$ — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.
2. 2$x_0-y_0=\frac{1}{26}$. Dodając równania, otrzymujemy $x_0=\frac{23}{520}>0$.
3. 3$y_0=\frac{1}{20}-\frac{23}{520}=\frac{3}{520}>0$.
4. 4Obie liczby są dodatnie, więc $x_0\cdot y_0>0$ — drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

Odpowiedź: P, P

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwsze równanie: $-a+18=20$, zatem $a=-2$.
2. 2Drugie równanie: $-1+6b=5$, zatem $b=1$.
3. 3$a\cdot b=(-2)\cdot 1=-2$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $(-2)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Prosta malejąca przecina oś $y$ w punkcie $(0,2)$ i oś $x$ w $(2,0)$, więc ma równanie $y=-x+2$.
2. 2Druga prosta przechodzi przez $(0,-3)$ i $(2,1)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $2$.
3. 3Jej równanie to $y=2x-3$. Układ jest podany w odpowiedzi B.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=2x-3\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Mnożąc pierwsze równanie przez $-4$, dostajemy $-4x+8y=-12$.
2. 2Oba równania opisują tę samą prostą.
3. 3Dla dowolnego $y=t$ możemy przyjąć $x=3+2t$. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Prawidłowa odpowiedź: D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Początkowa suma: $x+y=1960$.
2. 2W pierwszym sadzie pozostało $0,95x$, a w drugim $0,9y$ drzew.
3. 3Warunek proporcji: $0,9y=0,6\cdot 0,95x$.
4. 4To układ A.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\{\begin{array}{l}x+y=1960\\ 0,6\cdot 0,95x=0,9y\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Obie proste są malejące i równoległe, więc mają taki sam ujemny współczynnik kierunkowy.
2. 2Przecinają oś $y$ powyżej i poniżej początku układu, odpowiednio w $3$ oraz $-1$.
3. 3Pasują równania $y=-\frac{3}{2}x+3$ i $y=-\frac{3}{2}x-1$ — odpowiedź A.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{2}x+3\\ y=-\frac{3}{2}x-1\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z drugiego równania: $y=-2x-3$.
2. 2Podstawiamy: $x-3(-2x-3)+5=0$, czyli $7x+14=0$.
3. 3Stąd $x=-2$, a $y=4-3=1$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $x=-2$ i $y=1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dla D: $x-y=-8-6=-14$ oraz $-2x+y=16+6=22$.
2. 2Oba równania z D są spełnione.
3. 3W A drugie równanie daje $14$, nie $-14$; w B daje $-10$, nie $10$; w C daje $-20$, nie $4$.

Prawidłowa odpowiedź: D. $x-y=-14$ i $-2x+y=22$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Prosta malejąca przechodzi przez $(0,2)$ i $(2,0)$: $y=-x+2$.
2. 2Prosta rosnąca przechodzi przez $(0,-1)$ i $(1,1)$: $y=2x-1$.
3. 3Oba równania zawiera odpowiedź D.

Prawidłowa odpowiedź: D. $\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=2x-1\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Obwód: $2(a+b)=30$, równoważnie $2a+2b=30$.
2. 2Różnica boków: $a-b=5$, równoważnie $b=a-5$.
3. 3Oba warunki poprawnie zapisano w C oraz E.
4. 4Po rozwiązaniu: $a+b=15$, $a-b=5$, więc $a=10$, $b=5$.

Odpowiedź: C, E

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Łączny koszt: $50x+40y=8000$.
2. 2Cena spodni po marży: $1,5x$; cena marynarki: $1,2y$.
3. 3Równość cen detalicznych: $1,5x=1,2y$. To układ C.

Prawidłowa odpowiedź: C. $\{\begin{array}{l}50x+40y=8000\\ 1,5x=1,2y\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Prosta $y=x-1$ jest rosnąca i przecina oś $y$ w $-1$.
2. 2Prosta $y=-x+1$ jest malejąca i przecina oś $y$ w $1$.
3. 3Punkt przecięcia spełnia $x-1=-x+1$, więc wynosi $(1,0)$.
4. 4Takie proste przedstawia rysunek A.

Prawidłowa odpowiedź: A. Rysunek A

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Suma wartości banknotów: $20y+50x+100\cdot 2x=1040$.
2. 2Zależność liczebności: $y=x-2$.
3. 3Po podstawieniu: $20(x-2)+250x=1040$, czyli $x=4$ i $y=2$.
4. 4Poprawny układ jest w A.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\{\begin{array}{l}20y+50x+100\cdot 2x=1040\\ y=x-2\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$x-y=\frac{1}{11}$, $x+y=-\frac{1}{22}$.
2. 2Dodajemy równania: $2x=\frac{1}{22}$, zatem $x=\frac{1}{44}>0$.
3. 3$y=-\frac{1}{22}-\frac{1}{44}=-\frac{3}{44}<0$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $x_0>0$ i $y_0<0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a=\frac{5-(-1)}{5-(-4)}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
2. 2Podstawiamy punkt $(-4,-1)$: $-1=-\frac{8}{3}+b$, więc $b=\frac{5}{3}$.
3. 3Równanie: $y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Prosta rosnąca przechodzi przez $(0,1)$ i $(1,2)$, więc $y=x+1$.
2. 2Prosta malejąca przechodzi przez $(0,4)$ i $(2,0)$, więc $y=-2x+4$.
3. 3Oba równania występują w odpowiedzi A.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-2x+4\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwsze równanie: $1-(-3)=a^2$, więc $a=2$ lub $a=-2$.
2. 2Drugie: $1+a+9=-4a$, czyli $5a=-10$.
3. 3Zatem $a=-2$, co spełnia też pierwsze równanie.

Prawidłowa odpowiedź: B. $-2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwsze równanie: $-3+12=9=a^2$, więc $a=3$ lub $a=-3$.
2. 2Drugie: $6+a=9$, więc $a=3$.
3. 3Oba warunki spełnia tylko $a=3$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $a=3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dzielimy pierwsze równanie przez $2$: $x-\frac{1}{2}y=1$.
2. 2Drugie jest identyczne tylko dla $m=-\frac{1}{2}$.
3. 3Wówczas każda para z tej prostej jest rozwiązaniem.

Prawidłowa odpowiedź: D. $m=-\frac{1}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z pierwszego: $2a+2=4$, więc $a=1$.
2. 2Z drugiego: $-4+6=2a$, więc również $a=1$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $a=1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Warunek obwodu: $2(a+b)=60$.
2. 2Możemy oznaczyć dłuższy bok przez $b$, zatem $b=a+10$.
3. 3Oba warunki zapisuje układ A; jego rozwiązaniem jest $a=10$, $b=20$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\{\begin{array}{l}2(a+b)=60\\ a+10=b\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Dodajemy równania: $x=\frac{1+b}{2}$. Odejmujemy: $y=\frac{1-b}{2}$.
2. 2$x>0$ oznacza $b>-1$; $y>0$ oznacza $b<1$.
3. 3Łącznie: $-1<b<1$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $-1<b<1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Po pomnożeniu pierwszego równania przez $-2$ otrzymujemy drugie.
2. 2Równania są równoważne i opisują tę samą prostą.
3. 3Dowolne $y=t$ i $x=\frac{5+3t}{2}$ dają rozwiązanie, więc jest ich nieskończenie wiele.

Prawidłowa odpowiedź: D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Warunek równoległości: $-a=\frac{b}{3}$. Warunek różnych prostych: $2a\ne -2$.
2. 2Dla C: $a=1$, $b=-3$, więc równania to $y=-x+2$ oraz $y=-x-2$.
3. 3Te proste są równoległe i różne, więc nie ma rozwiązań.
4. 4W D proste się pokrywają; w A i B mają różne nachylenia.

Prawidłowa odpowiedź: C. $a=1$ i $b=-3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwsze: $2+a=5$, więc $a=3$.
2. 2Drugie: $2\cdot 2-1=3$, więc również jest spełnione.

Prawidłowa odpowiedź: D. $a=3$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwsze równanie oznacza $3x+4y=5$.
2. 2W C dzielimy równanie przez $3$: $3x+4y=\frac{10}{3}$.
3. 3Ta sama lewa strona nie może być równocześnie równa $5$ i $\frac{10}{3}$, więc układ jest sprzeczny.
4. 4A jest równaniem równoważnym; B i D opisują proste przecinające pierwszą.

Prawidłowa odpowiedź: C. $9x+12y-10=0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z drugiego: $y=2x-14$.
2. 2Podstawiamy: $3x-5(2x-14)=0$, czyli $-7x+70=0$.
3. 3Stąd $x=10$, $y=6$. Obie liczby są dodatnie.

Prawidłowa odpowiedź: D. $x>0$ i $y>0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Otrzymujemy $10x+6y=6$.
2. 2Dodajemy drugie: $18x=54$, zatem $x=3$.
3. 3Podstawiamy: $15+3y=3$, więc $y=-4$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $x=3$ i $y=-4$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z drugiego: $y=2x-3$.
2. 2Podstawiamy: $x+3(2x-3)=5$, czyli $7x=14$.
3. 3Zatem $x=2$ i $y=1$.

Prawidłowa odpowiedź: A. $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a=\frac{-0,6}{100}=-0,006$.
2. 2W Zakopanem $f(1000)=13$, więc $-0,006\cdot 1000+b=13$.
3. 3Stąd $-6+b=13$, czyli $b=19$.
4. 4Funkcja ma wzór $f(x)=-0,006x+19$.

Odpowiedź: $a=-0,006$, $b=19$