Matematyka · Poziom podstawowy

Rachunek prawdopodobieństwa

91zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 29–31

14. Rachunek prawdopodobieństwa — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} P (A^{'}) = 1 - P (A)

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

P_{n} (k) = (k n) p^{k} q^{n - k}

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 91

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Zdarzenie

A

polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie większa od

10

. Prawdopodobieństwo zdarzenia

A

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma $11$ : $(5, 6), (6, 5)$ ; suma $12$ : $(6, 6)$ .
2 $∣ A ∣ = 3$ , $P (A) = \frac{3}{36}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{36}$

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są dwa zbiory cyfr:

X = {1, 3, 5, 7, 9}

oraz

Y = {0, 2, 4, 6, 8}

. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru

X

, a następnie jedną cyfrę ze zbioru

Y

. Zapisujemy liczbę dwucyfrową, w której cyfra ze zbioru

X

jest cyfrą dziesiątek, a cyfra ze zbioru

Y

— cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana liczba będzie podzielna przez

6

Wskazówka

Liczba jest parzysta zawsze; wystarczy, by suma cyfr dzieliła się przez $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 5 \cdot 5 = 25$
2Liczby: $12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90, 96$ — $∣ A ∣ = 9$ .
3 $P (A) = \frac{9}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{9}{25}$

Zadanie 3

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie

A

polega na tym, że wylosujemy liczbę, która jest wielokrotnością liczby

34

. Prawdopodobieństwo zdarzenia

A

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczb dwucyfrowych jest $90$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wielokrotności $34$ : $34$ , $68$ .
2 $P (A) = \frac{2}{90}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{2}{90}$

Zadanie 4

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Zdarzenie

A

polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa

11

. Prawdopodobieństwo zdarzenia

A

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5, 6), (6, 5)$
2 $P (A) = \frac{2}{36}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{2}{36}$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są dwa zbiory:

C = {0, 4, 5, 7, 9}

oraz

D = {1, 2, 3}

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

C

, a następnie jedną liczbę ze zbioru

D

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od

9

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 5 \cdot 3 = 15$
2Pary: $(9, 1), (9, 2), (9, 3), (7, 3)$ — $∣ A ∣ = 4$ .
3 $P (A) = \frac{4}{15}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{4}{15}$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest

18

. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli czarnej jest równe

\frac{3}{5}

. Liczba kul białych w pudełku była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oznacz liczbę kul białych przez $b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{18}{18 + b} = \frac{3}{5}$
2 $90 = 54 + 3 b \Rightarrow b = 12$

Prawidłowa odpowiedź: B. $12$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pary z równymi wynikami: $6$ ; pozostałe $30$ dzielą się po połowie.
2 $∣ A ∣ = 15$ , $P (A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{12}$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest nieparzysty, gdy oba czynniki są nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A ∣ = 3 \cdot 3 = 9$
2 $P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{4}$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 29.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale

[19 dag, 21 dag]

. Pobrano próbę kontrolną liczącą

50

jabłek i zważono każde z nich. Na wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w próbie. Spośród

50

zważonych jabłek losujemy jedno. Prawdopodobieństwo, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zsumuj słupki dla $19$ , $20$ i $21$ dag.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z wykresu: $8 + 17 + 11 = 36$ jabłek.
2 $P = \frac{36}{50} = \frac{18}{25}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{18}{25}$

Zadanie 10

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy

2 : 7

. Zakupiono jeden los. Prawdopodobieństwo, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Na każde $2 + 7 = 9$ losów przypadają $2$ wygrywające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{2}{2 + 7} = \frac{2}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{2}{9}$

Zadanie 11

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy

4 : 5

. Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Kul białych jest $4 k$ , czerwonych $5 k$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{4 k}{9 k} = \frac{4}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{4}{9}$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez

3

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwszy rzut nie ma znaczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1W drugim rzucie: $3$ lub $6$ — $2$ z $6$ wyników.
2 $p = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $p = \frac{1}{3}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oznacz liczbę kul zielonych przez $z$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Zielone $z$ , czarne $3 z$ , białe $6 z$ ; razem $10 z$ .
2 $P = \frac{6 z}{10 z} = \frac{3}{5}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{3}{5}$

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku znajdują się płytki z literami — spółgłoskowymi albo samogłoskowymi. Płytek ze spółgłoskami jest o

25%

więcej niż płytek z samogłoskami. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Samogłosek $s$ , spółgłosek $1, 25 s$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Razem $2, 25 s$ .
2 $P = \frac{s}{2 , 25 s} = \frac{4}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{4}{9}$

Zadanie 15

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Z wierzchołków sześcianu

A B C D E F G H

losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sześcian ma $4$ przekątne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = (2 8) = 28$
2 $P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{7}$

Zadanie 16

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez

5

, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczb dwucyfrowych jest $90$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Podzielne przez $5$ : $10, 15, \dots, 95$ — $18$ liczb.
2 $P = \frac{18}{90}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{18}{90}$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W urnie jest

9

kul, w tym cztery czerwone, trzy zielone i dwie białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Chodzi o wylosowanie kuli czerwonej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{4}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{9}$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W grupie

60

osób (kobiet i mężczyzn) jest

35

kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mężczyzn: $60 - 35 = 25$ .
2 $P = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{5}{12}$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych

{20, 21, 22, \dots, 39, 40}

losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez

4

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór ma $21$ elementów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Podzielne przez $4$ : $20, 24, 28, 32, 36, 40$ — $6$ .
2 $P = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2}{7}$

Zadanie 20

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku jest

40

kul. Wśród nich jest

35

kul białych, a pozostałe są czerwone. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo otrzymania kuli czerwonej jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1Czerwonych: $5$ .
2 $P = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{8}$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W grupie liczącej

29

uczniów jest

15

chłopców. Losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dziewcząt: $14$ .
2 $P = \frac{14}{29}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{14}{29}$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę białą, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣Ω∣ = 2^{4} = 16$ ; wybierz miejsce jedynej kuli czarnej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A ∣ = 4$
2 $P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{4}$

Zadanie 23

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku jest

50

kuponów, wśród których

15

jest przegrywających, a pozostałe są wygrywające. Losujemy jeden kupon. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuponu wygrywającego jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wygrywających: $35$ .
2 $P = \frac{35}{50}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{35}{50}$

Zadanie 24

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Z pudełka, w którym jest tylko

6

kul białych i

n

kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

\frac{1}{3}

. Liczba kul czarnych jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ułóż równanie z $n$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{6}{6 + n} = \frac{1}{3}$
2 $18 = 6 + n \Rightarrow n = 12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $n = 12$

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od

20

, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)$ — $6$ par.
2 $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{6}$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo, że wynikiem są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣Ω∣ = 2 \cdot 2 \cdot 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 24$ , $∣ A ∣ = 1$
2 $P = \frac{1}{24}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{24}$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy $n$ rzutach monetą $∣Ω∣ = 2^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $O R R, R O R, R R O$ — $3$ z $8$ .
2 $p = \frac{3}{8} = 0, 375$

Prawidłowa odpowiedź: B. $0, 25 ⩽ p ⩽ 0, 4$

Zadanie 28

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dwóch orłów w trzech rzutach. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy $n$ rzutach monetą $∣Ω∣ = 2^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $O O R, O R O, R O O$ — $3$ z $8$ .
2 $p = 0, 375$

Prawidłowa odpowiedź: C. $0, 35 < p ⩽ 0, 5$

Zadanie 29

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W grupie jest

15

kobiet i

18

mężczyzn. Losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo, że będzie to kobieta, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{15}{33}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{15}{33}$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Na loterię przygotowano pulę

100

losów, w tym

4

wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po wylosowaniu $k$ losów zostały $3$ wygrywające na $100 - k$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3}{100 - k} = \frac{4}{100}$
2 $300 = 400 - 4 k \Rightarrow k = 25$

Prawidłowa odpowiedź: D. $25$ losów.

Zadanie 31

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul: czerwona i niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣Ω∣ = 2^{3} = 8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Kula niebieska z jednego z $3$ pojemników: $∣ A ∣ = 3$ .
2 $p = \frac{3}{8}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $p = \frac{3}{8}$

Zadanie 32

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech

p_{i}

oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia

i

oczek w

i

-tym rzucie. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Każdy rzut jest niezależny; konkretna liczba oczek ma prawdopodobieństwo $\frac{1}{6}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p_{i} = \frac{1}{6}$ dla każdego $i$ .
2Prawdziwe: $p_{6} = \frac{1}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $p_{6} = \frac{1}{6}$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zdarzenie przeciwne: same orły.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{7}{8}$

Zadanie 34

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, \dots, 30}

losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wypisz kwadraty nie większe od $30$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 4, 9, 16, 25$ — $5$ liczb.
2 $P = \frac{5}{30}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{5}{30}$

Zadanie 35

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech

p_{i}

oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez

i

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz $p_{2}$ , $p_{3}$ , $p_{4}$ , $p_{6}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p_{2} = \frac{3}{6}$ , $p_{3} = \frac{2}{6}$ , $p_{4} = \frac{1}{6}$ , $p_{6} = \frac{1}{6}$
2 $2 p_{6} = \frac{2}{6} = p_{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2 p_{6} = p_{3}$

Zadanie 36

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Tylko $(5, 5)$ .
2 $P = \frac{1}{36}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{1}{36}$

Zadanie 37

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wynik trzeciego rzutu nie zależy od poprzednich.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A ∣ = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ , $∣Ω∣ = 8$
2 $P = \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{2}$

Zadanie 38

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy

5

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1, 5), (5, 1)$
2 $p = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $p = \frac{1}{18}$

Zadanie 39

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez

30

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczb dwucyfrowych jest $90$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $30, 60, 90$
2 $P = \frac{3}{90}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{90}$

Zadanie 40

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1, 2), (2, 1)$
2 $P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{1}{18}$

Zadanie 41

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, \dots, 11}

wybieramy losowo jedną liczbę. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo wybrania wielokrotności liczby

3

. Wówczas

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3, 6, 9$ — $p = \frac{3}{11} \approx 0, 27$
2 $p < 0, 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $p < 0, 3$

Zadanie 42

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba

p

jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez

3

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3, 6$ — $p = \frac{2}{8} = 0, 25$
2 $p < 0, 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $p < 0, 3$

Zadanie 43

Oryginalne zadanie: zad. 63

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Marek ma

3

koszulki w kolorach: czerwonym, niebieskim i białym. Darek ma

5

koszulek w kolorach: czerwonym, białym, zielonym, żółtym i szarym. Następnego dnia każdy z nich założy losowo wybraną jedną ze swoich koszulek. Prawdopodobieństwo, że chłopcy założą koszulki w tym samym kolorze, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wspólne kolory: czerwony i biały.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 3 \cdot 5 = 15$ , $∣ A ∣ = 2$
2 $P = \frac{2}{15}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{2}{15}$

Zadanie 44

Oryginalne zadanie: zad. 64

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Dany jest pięciokąt foremny

A B C D E

. Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo, że wylosowane wierzchołki będą końcami przekątnej pięciokąta, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pięciokąt ma $\frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ przekątnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = (2 5) = 10$ , $∣ A ∣ = 5$
2 $P = \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{1}{2}$

Zadanie 45

Oryginalne zadanie: zad. 65

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru pięciu liczb

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oceń prawdziwość stwierdzeń (P – prawda, F – fałsz).

1. Prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta, jest równe

\frac{8}{25}

.
2. Prawdopodobieństwo, że obie liczby będą parzyste, jest równe

\frac{2}{25}

Wskazówka

$∣Ω∣ = 25$ ; suma parzysta — obie parzyste lub obie nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma parzysta: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13$ , $P = \frac{13}{25}$ — FAŁSZ.
2Obie parzyste: $4$ , $P = \frac{4}{25}$ — FAŁSZ.
3Odpowiedź: F, F

Odpowiedź: F, F

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dany jest sześcioelementowy zbiór

K = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

. Ze zbioru

K

losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od

16

Wskazówka

Losowanie bez zwracania: $∣Ω∣ = 6 \cdot 5$ . Rozpatrz osobno pierwszą liczbę $2$ , $4$ i $6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 30$
2Pierwsza $2$ : brak; pierwsza $4$ : druga $5, 6, 7$ ; pierwsza $6$ : druga $3, 4, 5, 7$ .
3 $∣ A ∣ = 0 + 3 + 4 = 7$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{7}{30}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{7}{30}$

Zadanie 2

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga — cyfrą jedności liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez

3

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczby: $15, 21, 33, 45, 51, 63$ — $∣ A ∣ = 6$ .
2 $P (A) = \frac{6}{36}$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są zbiory

X = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}

oraz

Y = {- 2, - 1, 0, 1}

. Losujemy jedną liczbę

x

ze zbioru

X

, a następnie jedną liczbę

y

ze zbioru

Y

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że para

(x, y)

spełnia warunek

x \cdot y ⩾ 0

Wskazówka

Policz zdarzenie przeciwne: $x \cdot y < 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 6 \cdot 4 = 24$
2 $x \cdot y < 0$ : $x < 0, y > 0$ : $3 \cdot 1$ ; $x > 0, y < 0$ : $2 \cdot 2$ — razem $7$ .
3 $∣ A ∣ = 24 - 7 = 17$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{17}{24}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{17}{24}$

Zadanie 4

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są zbiory

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

oraz

D = {7, 8, 9, 10}

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

C

, a następnie jedną ze zbioru

D

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb będzie podzielny przez

4

Wskazówka

Rozpatrz osobno każdą liczbę ze zbioru $D$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 24$
2 $8$ : każda z $6$ liczb; $10$ : liczby parzyste $2, 4, 6$ ; $7$ i $9$ : tylko $4$ .
3 $∣ A ∣ = 6 + 3 + 1 + 1 = 11$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{24}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{24}$

Zadanie 5

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dany jest zbiór

K = {5, 6, 7, 8, 9}

. Losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Wskazówka

Suma jest parzysta, gdy obie liczby mają tę samą parzystość.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$
2Obie nieparzyste: $3 \cdot 3 = 9$ ; obie parzyste: $2 \cdot 2 = 4$ .
3 $∣ A ∣ = 13$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{13}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{13}{25}$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

Wskazówka

Bez zwracania: $∣Ω∣ = 5 \cdot 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 20$
2 $∣ A ∣ = 3 \cdot 2 = 6$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{10}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{10}$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb od

1

8

losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech

A

oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby

8

. Oblicz

P (A)

Wskazówka

Najmniejsza możliwa suma to $3$ , więc wchodzą w grę sumy $4$ i $8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 8 \cdot 7 = 56$
2Suma $4$ : $(1, 3), (3, 1)$ ; suma $8$ : $(1, 7), (7, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3)$ .
3 $∣ A ∣ = 8$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{7}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{7}$

Zadanie 8

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez

15

Wskazówka

Iloczyn musi zawierać czynnik $5$ (tylko liczba $5$ ) i czynnik $3$ ( $3$ , $6$ lub $9$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 64$
2Jedna liczba to $5$ , druga z ${3, 6, 9}$ , w dowolnej kolejności: $2 \cdot 3 = 6$ .
3 $P (A) = \frac{6}{64}$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{32}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{32}$

Zadanie 9

Matura: pokazowa 2023

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 3 pkt

W pojemniku znajdują się losy ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od

1000

9999

. Każdy los, którego numer ma sumę cyfr równą

3

, jest wygrywający. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.

Wskazówka

Wypisz czterocyfrowe liczby o sumie cyfr $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 9000$
2 $3000$ ; $2100, 2010, 2001$ ; $1200, 1020, 1002, 1110, 1101, 1011$ — $10$ liczb.
3 $P = \frac{10}{9000}$
4Odpowiedź: $P = \frac{1}{900}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{900}$

Zadanie 10

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{- 5, - 4, 1, 2, 3}

losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie

A

polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz

P (A)

Wskazówka

Iloczyn jest ujemny, gdy liczby mają różne znaki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$
2 $∣ A ∣ = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{12}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{12}{25}$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od

53

losujemy jedną liczbę. Niech

A

oznacza wylosowanie liczby podzielnej przez

7

. Oblicz

P (A)

Wskazówka

Liczby od $54$ do $99$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 99 - 54 + 1 = 46$
2 $56, 63, 70, 77, 84, 91, 98$ — $7$ liczb.
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{7}{46}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{7}{46}$

Zadanie 12

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

M = {1, 2, \dots, 9}

losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie

A

polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest równy

24

. Oblicz

P (A)

Wskazówka

Rozłóż $24$ na iloczyn dwóch cyfr.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 81$
2 $(3, 8), (8, 3), (4, 6), (6, 4)$ — $∣ A ∣ = 4$ .
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{4}{81}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{4}{81}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do

{3, 4, 5, 6, 7, 8}

, a cyfra jedności do

{0, 1, 2, 3, 4}

, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę podzielną przez

4

Wskazówka

Wypisz liczby podzielne przez $4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 6 \cdot 5 = 30$
2 $32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84$ — $9$ .
3 $P = \frac{9}{30}$
4Odpowiedź: $P = \frac{3}{10}$

Odpowiedź: $P = \frac{3}{10}$

Zadanie 14

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że suma jest równa

4

lub

5

, lub

6

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma $4$ : $3$ pary, suma $5$ : $4$ , suma $6$ : $5$ .
2 $∣ A ∣ = 12$ , $P (A) = \frac{12}{36}$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{3}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{3}$

Zadanie 15

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

W pudełku jest

8

kul:

5

białych i

3

czarne. Dołożono

n

kul białych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest teraz równe

\frac{11}{12}

. Oblicz

n

Wskazówka

Ułóż równanie z $n$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{5 + n}{8 + n} = \frac{11}{12}$
2 $60 + 12 n = 88 + 11 n$
3Odpowiedź: $n = 28$

Odpowiedź: $n = 28$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.

Wskazówka

Przy $n$ rzutach monetą $∣Ω∣ = 2^{n}$ . Policz zdarzenie przeciwne: $2$ orły i $2$ reszki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 16$
2Dwa orły: $(2 4) = 6$ wyników.
3 $∣ A ∣ = 16 - 6 = 10$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{8}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{8}$

Zadanie 17

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Wskazówka

Zdarzenie przeciwne: ani razu piątka.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A^{'} ∣ = 5 \cdot 5 = 25$
2 $∣ A ∣ = 36 - 25 = 11$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{36}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{36}$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że cyfra dziesiątek należy do

{1, 3, 5, 7, 9}

i jednocześnie cyfra jedności należy do

{0, 2, 4, 6, 8}

Wskazówka

Reguła mnożenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 90$ , $∣ A ∣ = 5 \cdot 5 = 25$
2Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{18}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{18}$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy sumę oczek równą

16

Wskazówka

$∣Ω∣ = 6^{3} = 216$ ; suma $16$ : zestawy ${6, 6, 4}$ i ${6, 5, 5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Każdy zestaw daje $3$ uporządkowania: $∣ A ∣ = 6$ .
2 $P = \frac{6}{216}$
3Odpowiedź: $P = \frac{1}{36}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{36}$

Zadanie 20

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest nieparzysty.

Wskazówka

Obie liczby muszą być nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$ , $∣ A ∣ = 3 \cdot 3 = 9$
2Odpowiedź: $P (A) = \frac{9}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{9}{25}$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Ze zbioru

A = {- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3}

losujemy liczbę

a

, a ze zbioru

B = {- 1, 0, 1, 2}

liczbę

b

. Są to odpowiednio współczynnik kierunkowy i wyraz wolny funkcji

f (x) = a x + b

. Oblicz prawdopodobieństwo, że funkcja

f

jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

Wskazówka

Rosnąca: $a > 0$ ; miejsce zerowe $x_{0} = - \frac{b}{a} > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 6 \cdot 4 = 24$
2 $a > 0$ i $- \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b < 0$ , czyli $b = - 1$ .
3 $∣ A ∣ = 3 \cdot 1 = 3$
4Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Wskazówka

Przy $n$ rzutach monetą $∣Ω∣ = 2^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 16$
2 $4$ orły: $1$ wynik; $3$ orły: $4$ wyniki.
3 $∣ A ∣ = 5$
4Odpowiedź: $P = \frac{5}{16}$

Odpowiedź: $P = \frac{5}{16}$

Zadanie 23

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Dane są zbiory

A = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700}

B = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

. Z każdego losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez

3

. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Pogrupuj liczby według reszty z dzielenia przez $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 49$
2 $A$ : reszta $0$ : $300, 600$ ; reszta $1$ : $100, 400, 700$ ; reszta $2$ : $200, 500$ .
3 $B$ : reszta $0$ : $12, 15$ ; reszta $1$ : $10, 13, 16$ ; reszta $2$ : $11, 14$ .
4 $∣ A ∣ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 16$
5Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$

Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$

Zadanie 24

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 4, 5, 10}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą jest liczbą całkowitą.

Wskazówka

Rozpatrz po kolei każdą możliwą drugą liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$
2Dzielnik $1$ : $5$ ; $2$ : $2, 4, 10$ ; $4$ : $4$ ; $5$ : $5, 10$ ; $10$ : $10$ .
3 $∣ A ∣ = 5 + 3 + 1 + 2 + 1 = 12$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{12}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{12}{25}$

Zadanie 25

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba

5

Wskazówka

Losujemy zbiór dwóch liczb: $∣Ω∣ = (2 7)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 21$
2Druga liczba z ${1, 2, 3, 4}$ : $∣ A ∣ = 4$ .
3Odpowiedź: $P = \frac{4}{21}$

Odpowiedź: $P = \frac{4}{21}$

Zadanie 26

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie równa

30

. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Pierwsza liczba od $10$ do $20$ , ale bez pary $(15, 15)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 90 \cdot 89 = 8010$
2Pary $(a, 30 - a)$ , $a \in {10, \dots, 20}$ , $a \neq = 15$ : $∣ A ∣ = 10$ .
3 $P = \frac{10}{8010}$
4Odpowiedź: $P = \frac{1}{801}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{801}$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

W pierwszym pudełku jest

6

kul ponumerowanych od

1

6

, w drugim

8

kul ponumerowanych od

1

8

. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową: numer z pierwszego pudełka to cyfra dziesiątek, z drugiego — cyfra jedności. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez

11

Wskazówka

Liczby dwucyfrowe podzielne przez $11$ mają dwie równe cyfry.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 48$
2 $11, 22, 33, 44, 55, 66$ — $6$ .
3 $P = \frac{6}{48}$
4Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę podzielną przez

8

lub przez

12

Wskazówka

Zasada włączeń i wyłączeń: odejmij liczby podzielne przez $24$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przez $8$ : $16, \dots, 96$ — $11$ ; przez $12$ : $12, \dots, 96$ — $8$ ; przez $24$ : $4$ .
2 $∣ A ∣ = 11 + 8 - 4 = 15$ , $P = \frac{15}{90}$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Zadanie 29

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Wśród

115

osób przeprowadzono ankietę:

76

osób kupiło bilety ulgowe,

41

— bilety normalne, przy czym

27

osób kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Policz osoby, które kupiły co najmniej jeden bilet.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $76 + 41 - 27 = 90$
2Bez biletu: $115 - 90 = 25$ .
3 $P = \frac{25}{115}$
4Odpowiedź: $P = \frac{5}{23}$

Odpowiedź: $P = \frac{5}{23}$

Zadanie 30

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Zakupiono

16

biletów do teatru:

10

biletów na miejsca od

1.

10.

w pierwszym rzędzie i

6

biletów na miejsca od

11.

16.

w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

2

wylosowane bilety będą biletami na sąsiadujące miejsca?

Wskazówka

Losujemy dwa bilety jednocześnie: $∣Ω∣ = (2 16)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 120$
2Sąsiednie pary: w pierwszym rzędzie $9$ , w szesnastym $5$ — $14$ .
3 $P = \frac{14}{120}$
4Odpowiedź: $P = \frac{7}{60}$

Odpowiedź: $P = \frac{7}{60}$

Zadanie 31

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Zbiór

M

tworzą wszystkie liczby dwucyfrowe zapisane dwiema różnymi cyframi spośród

1, 2, 3, 4, 5

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

M

. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od

20

, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.

Wskazówka

$∣ M ∣ = 5 \cdot 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 20$
2 $23, 24, 25, 34, 35, 45$ — $6$ .
3 $P = \frac{6}{20}$
4Odpowiedź: $P = \frac{3}{10}$

Odpowiedź: $P = \frac{3}{10}$

Zadanie 32

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są zbiory

K = {- 4, - 1, 1, 5, 6}

L = {- 3, - 2, 2, 3, 4}

. Z każdego losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których iloczyn jest dodatni.

Wskazówka

Iloczyn dodatni — liczby tego samego znaku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$
2Obie ujemne: $2 \cdot 2 = 4$ ; obie dodatnie: $3 \cdot 3 = 9$ .
3 $∣ A ∣ = 13$
4Odpowiedź: $P = \frac{13}{25}$

Odpowiedź: $P = \frac{13}{25}$

Zadanie 33

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, \dots, 8}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że pierwsza liczba jest większa od drugiej o

4

lub o

6

Wskazówka

Wypisz pary.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 64$
2O $4$ : $(5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4)$ ; o $6$ : $(7, 1), (8, 2)$ .
3 $∣ A ∣ = 6$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{32}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{32}$

Zadanie 34

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że liczba oczek w drugim rzucie jest o

1

większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)$ — $∣ A ∣ = 5$ .
2Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{36}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{36}$

Zadanie 35

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

W czerwonym i w niebieskim pudełku jest po

10

kul ponumerowanych od

1

10

. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że numer kuli z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli z niebieskiego pudełka.

Wskazówka

Pary z równymi numerami odrzuć, pozostałe dzielą się po połowie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 100$ , równe numery: $10$ .
2 $∣ A ∣ = \frac{100 - 10}{2} = 45$
3Odpowiedź: $P = \frac{9}{20}$

Odpowiedź: $P = \frac{9}{20}$

Zadanie 36

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, \dots, 7}

losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez

3

Wskazówka

Pogrupuj liczby według reszty z dzielenia przez $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Reszta $0$ : $3, 6$ ; reszta $1$ : $1, 4, 7$ ; reszta $2$ : $2, 5$ .
2 $∣ A ∣ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 16$ , $∣Ω∣ = 49$
3Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$

Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$

Zadanie 37

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa od

6

i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.

Wskazówka

Iloczyn nieparzysty — obie liczby nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pary z ${1, 3, 5}$ o sumie większej od $6$ : $(3, 5), (5, 3), (5, 5)$ .
2 $P = \frac{3}{36}$
3Odpowiedź: $P = \frac{1}{12}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{12}$

Zadanie 38

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez

12

. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Rozpatrz pierwszy wynik $2$ , $4$ i $6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsza $2$ : druga $6$ ; pierwsza $4$ : druga $3, 6$ ; pierwsza $6$ : druga $2, 4, 6$ .
2 $∣ A ∣ = 1 + 2 + 3 = 6$ , $P = \frac{6}{36}$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Zadanie 39

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Spośród wszystkich czterocyfrowych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie ona parzysta, a w jej zapisie wystąpią dokładnie jedna cyfra

2

i dokładnie jedna cyfra

3

Wskazówka

Rozpatrz osobno cyfrę jedności równą $2$ oraz cyfrę jedności z ${0, 4, 6, 8}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 9000$
2Jedności $2$ : trójka na miejscu tysięcy: $8 \cdot 8 = 64$ ; trójka na miejscu setek lub dziesiątek: $2 \cdot 7 \cdot 8 = 112$ — razem $176$ .
3Jedności z ${0, 4, 6, 8}$ : cyfry $2$ i $3$ na dwóch z trzech pierwszych miejsc: wolne miejsce tysięcy daje $2 \cdot 7 = 14$ , zajęte daje $4 \cdot 8 = 32$ ; razem $4 \cdot 46 = 184$ .
4 $∣ A ∣ = 176 + 184 = 360$ , $P = \frac{360}{9000}$
5Odpowiedź: $P = \frac{1}{25}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{25}$

Zadanie 40

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie liczba oczek będzie większa od numeru rzutu.

Wskazówka

W $i$ -tym rzucie potrzebujemy więcej niż $i$ oczek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Ω = {(w_{1}, w_{2}, w_{3}) : w_{1}, w_{2}, w_{3} \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}}$ , $∣Ω∣ = 216$
2 $∣ A ∣ = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
3 $P = \frac{60}{216}$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{18}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{18}$

Zadanie 41

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

W pierwszym pojemniku jest

9

kul:

4

białe,

3

czarne i

2

zielone. W drugim jest

6

kul:

2

białe,

3

czarne i

1

zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Wskazówka

Policz pary tego samego koloru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 9 \cdot 6 = 54$
2 $∣ A ∣ = 4 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 19$
3Odpowiedź: $P = \frac{19}{54}$

Odpowiedź: $P = \frac{19}{54}$

Zadanie 42

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie ściany mają po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o

1

Wskazówka

Ponumeruj ściany: $∣Ω∣ = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pary $1$ i $2$ : $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ ; pary $2$ i $3$ : $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .
2 $∣ A ∣ = 16$ , $P = \frac{16}{36}$
3Odpowiedź: $P = \frac{4}{9}$

Odpowiedź: $P = \frac{4}{9}$

Zadanie 43

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, \dots, 11}

wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez

3

lub przez

2

Wskazówka

Wypisz liczby.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2, 3, 4, 6, 8, 9, 10$ — $7$ liczb.
2Odpowiedź: $P = \frac{7}{11}$

Odpowiedź: $P = \frac{7}{11}$

Zadanie 44

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez

15

Wskazówka

Liczb dwucyfrowych jest $90$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $15, 30, 45, 60, 75, 90$ — $6$ .
2 $P = \frac{6}{90}$
3Odpowiedź: $P = \frac{1}{15}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{15}$

Zadanie 45

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego

5

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1, 5), (5, 1)$
2 $P = \frac{2}{36}$
3Odpowiedź: $P = \frac{1}{18}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{18}$

Zadanie 46

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 3 pkt

Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Zdarzenie przeciwne: oba losy puste.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 5 \cdot 4 = 20$ , $∣ A^{'} ∣ = 3 \cdot 2 = 6$
2 $P = 1 - \frac{6}{20}$
3Odpowiedź: $P = \frac{7}{10}$

Odpowiedź: $P = \frac{7}{10}$