Matematyka · Poziom podstawowy

Dowody podzielności liczb

29zadań

0przykładów

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 29

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń z liczbą nieparzystą

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej

n

liczba

3 n^{2} + 6 n + 15

jest podzielna przez 12.

Wskazówka

Każdą liczbę nieparzystą zapisz w postaci $n = 2 k + 1$ , gdzie $k$ jest całkowite.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $n = 2 k + 1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
2Wtedy $3 n^{2} = 3 (4 k^{2} + 4 k + 1) = 12 k^{2} + 12 k + 3$ .
3Oraz $6 n = 12 k + 6$ .
4Sumujemy: $12 k^{2} + 12 k + 3 + 12 k + 6 + 15 = 12 k^{2} + 24 k + 24$ .
5Wyłączamy 12: $12 (k^{2} + 2 k + 2)$ — liczba w nawiasie jest całkowita.
6Zatem wyrażenie jest podzielne przez 12, co kończy dowód.
7Odpowiedź: $3 n^{2} + 6 n + 15 = 12 (k^{2} + 2 k + 2)$ dla $n = 2 k + 1$

Odpowiedź: $3 n^{2} + 6 n + 15 = 12 (k^{2} + 2 k + 2)$ dla $n = 2 k + 1$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n ⩾ 0

liczba

7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}

jest podzielna przez 19.

Wskazówka

Wyłącz przed nawias najmniejszą z potęg, czyli $7^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $7^{n}$ : $7^{n} (1 + 7 + 49)$ .
2Sumujemy nawias: $1 + 7 + 49 = 57$ .
3Zauważamy, że $57 = 19 \cdot 3$ .
4Zatem liczba jest równa $19 \cdot 3 \cdot 7^{n}$ , czyli jest podzielna przez 19.
5Odpowiedź: $7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2} = 19 \cdot 3 \cdot 7^{n}$

Odpowiedź: $7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2} = 19 \cdot 3 \cdot 7^{n}$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność iloczynu

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n

liczba

7 n^{2} + 21 n

jest podzielna przez 14.

Wskazówka

Wyłącz $7 n$ i zastanów się, dlaczego $n (n + 3)$ jest zawsze liczbą parzystą.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy wspólny czynnik: $7 n^{2} + 21 n = 7 n (n + 3)$ .
2Jeśli $n$ jest parzyste, to iloczyn $n (n + 3)$ jest parzysty.
3Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $n + 3$ jest parzyste, więc iloczyn też jest parzysty.
4Zatem $n (n + 3) = 2 m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ .
5Stąd $7 n (n + 3) = 14 m$ — liczba jest podzielna przez 14.
6Odpowiedź: $7 n (n + 3) = 14 m$ , bo $n (n + 3)$ jest parzyste

Odpowiedź: $7 n (n + 3) = 14 m$ , bo $n (n + 3)$ jest parzyste

Zadanie 4

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Różnica potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

250 1^{4} - 249 9^{4}

jest podzielna przez 10 000.

Wskazówka

Zastosuj wzór na różnicę kwadratów, traktując $250 1^{2}$ i $249 9^{2}$ jako kwadraty.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $250 1^{4} - 249 9^{4} = (250 1^{2} - 249 9^{2}) (250 1^{2} + 249 9^{2})$ .
2Pierwszy nawias to znowu różnica kwadratów: $(2501 - 2499) (2501 + 2499) = 2 \cdot 5000 = 10000$ .
3Zatem liczba jest równa $10000 \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2})$ .
4Drugi czynnik jest liczbą całkowitą, więc całość dzieli się przez 10 000.
5Odpowiedź: $250 1^{4} - 249 9^{4} = 10000 \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2})$

Odpowiedź: $250 1^{4} - 249 9^{4} = 10000 \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2})$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

8^{50} - 2^{145}

jest podzielna przez 31.

Wskazówka

Zapisz $8^{50}$ jako potęgę dwójki i wyłącz wspólny czynnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8^{50} = (2^{3})^{50} = 2^{150}$ .
2Wyłączamy $2^{145}$ : $2^{150} - 2^{145} = 2^{145} (2^{5} - 1)$ .
3Obliczamy nawias: $2^{5} - 1 = 31$ .
4Zatem liczba jest równa $31 \cdot 2^{145}$ — dzieli się przez 31.
5Odpowiedź: $8^{50} - 2^{145} = 31 \cdot 2^{145}$

Odpowiedź: $8^{50} - 2^{145} = 31 \cdot 2^{145}$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

a

, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej

b

, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba

a^{2} - b^{2}

jest podzielna przez 5.

Wskazówka

Zapisz $a = 5 k + 1$ i $b = 5 m + 4$ , a potem policz kwadraty.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $a = 5 k + 1$ i $b = 5 m + 4$ , gdzie $k$ , $m$ są całkowite.
2 $a^{2} = 25 k^{2} + 10 k + 1$ .
3 $b^{2} = 25 m^{2} + 40 m + 16$ .
4Odejmujemy: $a^{2} - b^{2} = 25 k^{2} + 10 k - 25 m^{2} - 40 m - 15$ .
5Wyłączamy 5: $5 (5 k^{2} + 2 k - 5 m^{2} - 8 m - 3)$ .
6Nawias jest liczbą całkowitą, więc różnica dzieli się przez 5.
7Odpowiedź: $a^{2} - b^{2} = 5 (5 k^{2} + 2 k - 5 m^{2} - 8 m - 3)$

Odpowiedź: $a^{2} - b^{2} = 5 (5 k^{2} + 2 k - 5 m^{2} - 8 m - 3)$

Zadanie 7

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń z liczbą nieparzystą

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej

n

liczba

3 n^{2} + 2 n + 7

jest podzielna przez 4.

Wskazówka

Podstaw $n = 2 k + 1$ i uporządkuj wyrażenie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $n = 2 k + 1$ .
2 $3 n^{2} = 12 k^{2} + 12 k + 3$ , $2 n = 4 k + 2$ .
3Sumujemy: $12 k^{2} + 12 k + 3 + 4 k + 2 + 7 = 12 k^{2} + 16 k + 12$ .
4Wyłączamy 4: $4 (3 k^{2} + 4 k + 3)$ .
5Zatem liczba jest podzielna przez 4.
6Odpowiedź: $3 n^{2} + 2 n + 7 = 4 (3 k^{2} + 4 k + 3)$ dla $n = 2 k + 1$

Odpowiedź: $3 n^{2} + 2 n + 7 = 4 (3 k^{2} + 4 k + 3)$ dla $n = 2 k + 1$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24}

jest podzielna przez 21.

Wskazówka

Zapisz wszystkie składniki jako potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{49} = 2^{98}$ , $1 6^{24} = 2^{96}$ .
2Suma: $2^{100} + 2^{98} + 2^{96} = 2^{96} (2^{4} + 2^{2} + 1)$ .
3Obliczamy nawias: $16 + 4 + 1 = 21$ .
4Zatem liczba jest równa $21 \cdot 2^{96}$ — dzieli się przez 21.
5Odpowiedź: $2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24} = 21 \cdot 2^{96}$

Odpowiedź: $2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24} = 21 \cdot 2^{96}$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

(2 n + 5)^{2} + 3

jest podzielna przez 4.

Wskazówka

Rozwiń kwadrat i sprawdź, czy z każdego wyrazu można wyłączyć 4.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 n + 5)^{2} = 4 n^{2} + 20 n + 25$ .
2Dodajemy 3: $4 n^{2} + 20 n + 28$ .
3Wyłączamy 4: $4 (n^{2} + 5 n + 7)$ .
4Nawias jest liczbą naturalną, więc liczba dzieli się przez 4.
5Odpowiedź: $(2 n + 5)^{2} + 3 = 4 (n^{2} + 5 n + 7)$

Odpowiedź: $(2 n + 5)^{2} + 3 = 4 (n^{2} + 5 n + 7)$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Iloczyn kolejnych liczb

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

5 n^{3} - 5 n

jest podzielna przez 30.

Wskazówka

Rozłóż wyrażenie na czynniki — otrzymasz iloczyn trzech kolejnych liczb.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 n^{3} - 5 n = 5 n (n^{2} - 1) = 5 (n - 1) n (n + 1)$ .
2Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 2 i przez 3, więc przez 6.
3Zatem $(n - 1) n (n + 1) = 6 m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ .
4Stąd $5 (n - 1) n (n + 1) = 30 m$ — liczba dzieli się przez 30.
5Odpowiedź: $5 (n - 1) n (n + 1) = 30 m$

Odpowiedź: $5 (n - 1) n (n + 1) = 30 m$

Zadanie 11

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}

przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Wskazówka

Rozwiń kwadraty i spróbuj zapisać wynik w postaci $3 \cdot (co s ˊ) + 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwijamy: $n^{2} + (n^{2} + 2 n + 1) + (n^{2} + 4 n + 4) = 3 n^{2} + 6 n + 5$ .
2Zapisujemy: $3 n^{2} + 6 n + 5 = 3 (n^{2} + 2 n + 1) + 2$ .
3Czyli liczba to $3 (n + 1)^{2} + 2$ .
4Zatem przy dzieleniu przez 3 reszta jest równa 2.
5Odpowiedź: $3 (n + 1)^{2} + 2$ , więc reszta to 2

Odpowiedź: $3 (n + 1)^{2} + 2$ , więc reszta to 2

Zadanie 12

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń z liczbą nieparzystą

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej

n

liczba

3 n^{2} + 4 n + 1

jest podzielna przez 4.

Wskazówka

Podstaw $n = 2 k + 1$ i uporządkuj wyrażenie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $n = 2 k + 1$ .
2 $3 n^{2} = 12 k^{2} + 12 k + 3$ , $4 n = 8 k + 4$ .
3Sumujemy: $12 k^{2} + 12 k + 3 + 8 k + 4 + 1 = 12 k^{2} + 20 k + 8$ .
4Wyłączamy 4: $4 (3 k^{2} + 5 k + 2)$ .
5Zatem liczba dzieli się przez 4.
6Odpowiedź: $3 n^{2} + 4 n + 1 = 4 (3 k^{2} + 5 k + 2)$ dla $n = 2 k + 1$

Odpowiedź: $3 n^{2} + 4 n + 1 = 4 (3 k^{2} + 5 k + 2)$ dla $n = 2 k + 1$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność iloczynu

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

3 n^{3} + 18 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez 6.

Wskazówka

Wyłącz $3 n$ i rozłóż trójmian w nawiasie na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $3 n$ : $3 n (n^{2} + 6 n + 5)$ .
2Rozkładamy nawias: $n^{2} + 6 n + 5 = (n + 1) (n + 5)$ .
3Mamy $3 n (n + 1) (n + 5)$ ; iloczyn $n (n + 1)$ dwóch kolejnych liczb jest parzysty.
4Zatem $n (n + 1) (n + 5) = 2 m$ , więc całość to $6 m$ — liczba dzieli się przez 6.
5Odpowiedź: $3 n (n + 1) (n + 5) = 6 m$

Odpowiedź: $3 n (n + 1) (n + 5) = 6 m$

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

k

reszta z dzielenia liczby

49 k^{2} + 7 k - 2

przez 7 jest równa 5.

Wskazówka

Spróbuj zapisać wyrażenie w postaci $7 \cdot (co s ˊ) + 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $49 k^{2} + 7 k - 2 = 49 k^{2} + 7 k - 7 + 5$ .
2Wyłączamy 7 z trzech pierwszych wyrazów: $7 (7 k^{2} + k - 1) + 5$ .
3Nawias jest liczbą całkowitą, a $0 ⩽ 5 < 7$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 7 jest równa 5.
5Odpowiedź: $7 (7 k^{2} + k - 1) + 5$ , więc reszta to 5

Odpowiedź: $7 (7 k^{2} + k - 1) + 5$ , więc reszta to 5

Zadanie 15

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

(2 n + 1)^{2} - 1

jest podzielna przez 8.

Wskazówka

Rozwiń kwadrat, a następnie wyłącz $4 n$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 n + 1)^{2} - 1 = 4 n^{2} + 4 n + 1 - 1 = 4 n^{2} + 4 n$ .
2Wyłączamy: $4 n (n + 1)$ .
3Iloczyn $n (n + 1)$ jest parzysty, czyli $n (n + 1) = 2 m$ .
4Zatem liczba jest równa $8 m$ — dzieli się przez 8.
5Odpowiedź: $4 n (n + 1) = 8 m$

Odpowiedź: $4 n (n + 1) = 8 m$

Zadanie 16

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń z liczbą nieparzystą

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej

n

liczba

n^{2} + 2023

jest podzielna przez 8.

Wskazówka

Podstaw $n = 2 k + 1$ i pamiętaj, że $k (k + 1)$ jest parzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $n = 2 k + 1$ . Wtedy $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 4 k (k + 1) + 1$ .
2Zatem $n^{2} + 2023 = 4 k (k + 1) + 2024$ .
3Iloczyn $k (k + 1)$ jest parzysty, więc $4 k (k + 1)$ dzieli się przez 8.
4Ponadto $2024 = 8 \cdot 253$ .
5Suma dwóch liczb podzielnych przez 8 jest podzielna przez 8, co kończy dowód.
6Odpowiedź: $n^{2} + 2023 = 4 k (k + 1) + 8 \cdot 253$

Odpowiedź: $n^{2} + 2023 = 4 k (k + 1) + 8 \cdot 253$

Zadanie 17

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność iloczynu

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

5 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez 10.

Wskazówka

Wyłącz $5 n$ i uzasadnij parzystość iloczynu $n (n + 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy: $5 n^{2} + 15 n = 5 n (n + 3)$ .
2Gdy $n$ jest parzyste — iloczyn jest parzysty; gdy $n$ jest nieparzyste — parzyste jest $n + 3$ .
3Zatem $n (n + 3) = 2 m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ .
4Stąd $5 n (n + 3) = 10 m$ — liczba dzieli się przez 10.
5Odpowiedź: $5 n (n + 3) = 10 m$

Odpowiedź: $5 n (n + 3) = 10 m$

Zadanie 18

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

10 n^{2} + 30 n + 8

przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.

Wskazówka

Rozbij wyraz wolny tak, aby wyłączyć 5 przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy $8 = 5 + 3$ : $10 n^{2} + 30 n + 5 + 3$ .
2Wyłączamy 5: $5 (2 n^{2} + 6 n + 1) + 3$ .
3Nawias jest liczbą naturalną, a $0 ⩽ 3 < 5$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 5 jest równa 3.
5Odpowiedź: $5 (2 n^{2} + 6 n + 1) + 3$ , więc reszta to 3

Odpowiedź: $5 (2 n^{2} + 6 n + 1) + 3$ , więc reszta to 3

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

Wskazówka

Oznacz liczby przez $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ i rozwiń kwadraty.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma: $n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2} + (n + 3)^{2} = 4 n^{2} + 12 n + 14$ .
2Zapisujemy: $4 n^{2} + 12 n + 14 = 4 n (n + 3) + 14$ .
3Iloczyn $n (n + 3)$ jest parzysty, więc $4 n (n + 3)$ dzieli się przez 8.
4Ponadto $14 = 8 + 6$ , czyli suma to (liczba podzielna przez 8) $+ 6$ .
5Zatem reszta z dzielenia przez 8 wynosi 6.
6Odpowiedź: reszta równa 6

Odpowiedź: reszta równa 6

Zadanie 20

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Wskazówka

Liczba niepodzielna przez 3 ma postać $3 k + 1$ albo $3 k + 2$ — rozpatrz oba przypadki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przypadek 1: $n = 3 k + 1$ . Wtedy $n^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1$ .
2Przypadek 2: $n = 3 k + 2$ . Wtedy $n^{2} = 9 k^{2} + 12 k + 4 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1$ .
3W obu przypadkach kwadrat ma postać $3 m + 1$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1.
5Odpowiedź: w obu przypadkach $n^{2} = 3 m + 1$

Odpowiedź: w obu przypadkach $n^{2} = 3 m + 1$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność sumy sześcianów

Matura · 2 pkt

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.

Wskazówka

Kolejne liczby parzyste zapisz jako $2 k$ , $2 k + 2$ , $2 k + 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma: $(2 k)^{3} + (2 k + 2)^{3} + (2 k + 4)^{3}$ .
2Wyłączamy $8$ : $8 [k^{3} + (k + 1)^{3} + (k + 2)^{3}]$ .
3Rozwijamy nawias: $k^{3} + (k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1) + (k^{3} + 6 k^{2} + 12 k + 8) = 3 k^{3} + 9 k^{2} + 15 k + 9$ .
4Wyłączamy 3: $3 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3)$ .
5Razem: $8 \cdot 3 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3) = 24 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3)$ .
6Odpowiedź: $24 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3)$

Odpowiedź: $24 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3)$

Zadanie 22

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Udowodnij, że każda liczba całkowita

k

, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby

3 k^{2}

przez 7 jest równa 5.

Wskazówka

Zapisz $k = 7 m + 2$ i policz $3 k^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $k = 7 m + 2$ . Wtedy $k^{2} = 49 m^{2} + 28 m + 4$ .
2 $3 k^{2} = 147 m^{2} + 84 m + 12$ .
3Zapisujemy $12 = 7 + 5$ : $3 k^{2} = 7 (21 m^{2} + 12 m + 1) + 5$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 7 jest równa 5.
5Odpowiedź: $3 k^{2} = 7 (21 m^{2} + 12 m + 1) + 5$

Odpowiedź: $3 k^{2} = 7 (21 m^{2} + 12 m + 1) + 5$

Zadanie 23

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Uzasadnij, że liczba

4^{12} + 4^{13} + 4^{14}

jest podzielna przez 42.

Wskazówka

Wyłącz $4^{12}$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy: $4^{12} (1 + 4 + 16) = 4^{12} \cdot 21$ .
2Zapisujemy $4^{12} = 2 \cdot 2^{23}$ .
3Zatem liczba to $2 \cdot 21 \cdot 2^{23} = 42 \cdot 2^{23}$ .
4Liczba jest więc podzielna przez 42.
5Odpowiedź: $4^{12} + 4^{13} + 4^{14} = 42 \cdot 2^{23}$

Odpowiedź: $4^{12} + 4^{13} + 4^{14} = 42 \cdot 2^{23}$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Rozkład sumy potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

(1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})

jest dzielnikiem liczby

1 + 2013 + 201 3^{2} + 201 3^{3} + 201 3^{4} + 201 3^{5} + 201 3^{6} + 201 3^{7}

Wskazówka

Pogrupuj wyrazy sumy parami i wyłączaj wspólne czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Grupujemy parami: $(1 + 2013) + 201 3^{2} (1 + 2013) + 201 3^{4} (1 + 2013) + 201 3^{6} (1 + 2013)$ .
2Wyłączamy $(1 + 2013)$ : $(1 + 2013) (1 + 201 3^{2} + 201 3^{4} + 201 3^{6})$ .
3Nawias grupujemy ponownie: $1 + 201 3^{2} + 201 3^{4} + 201 3^{6} = (1 + 201 3^{2}) + 201 3^{4} (1 + 201 3^{2}) = (1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$ .
4Zatem suma jest równa $(1 + 2013) (1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$ .
5Wynika stąd, że $(1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$ jest dzielnikiem tej sumy.
6Odpowiedź: suma $= (1 + 2013) (1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$

Odpowiedź: suma $= (1 + 2013) (1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$

Zadanie 25

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}

jest podzielna przez 17.

Wskazówka

Wyłącz najmniejszą potęgę, czyli $6^{98}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $6^{98}$ : $6^{98} (36 - 12 + 10)$ .
2Obliczamy nawias: $36 - 12 + 10 = 34$ .
3 $34 = 17 \cdot 2$ , więc liczba to $17 \cdot 2 \cdot 6^{98}$ .
4Zatem dzieli się przez 17.
5Odpowiedź: $= 17 \cdot 2 \cdot 6^{98}$

Odpowiedź: $= 17 \cdot 2 \cdot 6^{98}$

Zadanie 26

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej

n

liczba

3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3^{n} - 2^{n}

jest wielokrotnością liczby 10.

Wskazówka

Pogrupuj osobno potęgi trójki i osobno potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Grupujemy: $(3^{n + 2} + 3^{n}) - (2^{n + 2} + 2^{n})$ .
2Wyłączamy: $3^{n} (9 + 1) - 2^{n} (4 + 1) = 10 \cdot 3^{n} - 5 \cdot 2^{n}$ .
3Dla $n ⩾ 1$ mamy $5 \cdot 2^{n} = 10 \cdot 2^{n - 1}$ .
4Zatem wyrażenie to $10 (3^{n} - 2^{n - 1})$ — wielokrotność 10.
5Odpowiedź: $10 (3^{n} - 2^{n - 1})$

Odpowiedź: $10 (3^{n} - 2^{n - 1})$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność silni

Matura · 2 pkt

Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 16

, jest podzielny przez

2^{15}

Wskazówka

Policz, ile czynników dwójki wnosi każda liczba parzysta w tym iloczynie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpatrujemy liczby parzyste: $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16$ .
2Zapisujemy je jako potęgi dwójki razy liczba nieparzysta: $2 = 2$ , $4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , $10 = 2 \cdot 5$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $14 = 2 \cdot 7$ , $16 = 2^{4}$ .
3Sumujemy wykładniki dwójki: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 = 15$ .
4Zatem iloczyn zawiera czynnik $2^{15}$ , czyli jest podzielny przez $2^{15}$ .
5Odpowiedź: iloczyn zawiera czynnik $2^{15}$

Odpowiedź: iloczyn zawiera czynnik $2^{15}$

Zadanie 28

Matura: informator CKE 2023

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

20 n^{2} + 30 n + 7

przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

Wskazówka

Rozbij wyraz wolny: $7 = 5 + 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy: $20 n^{2} + 30 n + 5 + 2$ .
2Wyłączamy 5: $5 (4 n^{2} + 6 n + 1) + 2$ .
3Nawias jest liczbą naturalną, a $0 ⩽ 2 < 5$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 5 jest równa 2.
5Odpowiedź: $5 (4 n^{2} + 6 n + 1) + 2$ , więc reszta to 2

Odpowiedź: $5 (4 n^{2} + 6 n + 1) + 2$ , więc reszta to 2

Zadanie 29

Matura: zbiór zadań CKE 2023

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność sumy

Matura · 2 pkt

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3.

Wskazówka

Oznacz liczby przez $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ i dodaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma: $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3$ .
2Wyłączamy 3: $3 (n + 1)$ .
3Liczba $n + 1$ jest całkowita, więc suma dzieli się przez 3.
4Odpowiedź: $3 (n + 1)$

Odpowiedź: $3 (n + 1)$