Zadania

Wszystkie zadania platformy w jednym miejscu. Najpierw spróbuj samodzielnie — wskazówka i rozwiązanie są ukryte do momentu kliknięcia.

Zagadnienie:

Rok matury:

Znalezione zadania: 1394

Zadanie 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Rozwiąż równanie

2 x + 5 = 17

Wskazówka

Spróbuj najpierw odjąć 5 od obu stron równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy równanie: $2 x + 5 = 17$
2Odejmujemy 5 od obu stron, aby zostawić samo $2 x$ : $2 x = 17 - 5$
3Wykonujemy odejmowanie: $2 x = 12$
4Dzielimy obie strony przez 2: $x = \frac{12}{2}$
5Otrzymujemy: $x = 6$

Odpowiedź: $x = 6$

Zadanie 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe z nawiasami

Rozwiąż równanie

3 (2 x - 1) = x + 14

Wskazówka

Najpierw rozwiń nawias po lewej stronie, a dopiero potem zbierz wyrazy z $x$ po jednej stronie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwijamy nawias: $6 x - 3 = x + 14$
2Przenosimy $x$ na lewo, a $- 3$ na prawo: $6 x - x = 14 + 3$
3Redukujemy wyrazy podobne: $5 x = 17$
4Dzielimy przez 5: $x = \frac{17}{5}$
5Zapisujemy wynik w postaci dziesiętnej: $x = 3, 4$

Odpowiedź: $x = \frac{17}{5} = 3, 4$

Zadanie 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z ułamkami

Rozwiąż równanie

\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5

Wskazówka

Pomnóż całe równanie przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, czyli przez 6.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy obie strony przez 6 (NWW mianowników 3 i 2): $6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot 5$
2Skracamy ułamki: $2 x + 3 x = 30$
3Redukujemy wyrazy podobne: $5 x = 30$
4Dzielimy przez 5: $x = 6$

Odpowiedź: $x = 6$

Zadanie 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Rozwiąż równanie

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Wskazówka

Oblicz wyróżnik $Δ = b^{2} - 4 a c$ , a następnie podstaw do wzoru na pierwiastki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Odczytujemy współczynniki: $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$
2Obliczamy wyróżnik: $Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
3Ponieważ $Δ > 0$ , równanie ma dwa pierwiastki. Liczymy $Δ = 1$
4Pierwszy pierwiastek: $x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
5Drugi pierwiastek: $x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Odpowiedź: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$

Zadanie 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe niepełne

Rozwiąż równanie

2 x^{2} - 8 x = 0

Wskazówka

Nie licz delty — wyłącz wspólny czynnik przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy wspólny czynnik $2 x$ : $2 x (x - 4) = 0$
2Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem: $2 x = 0$ lub $x - 4 = 0$
3Z pierwszego warunku: $x = 0$
4Z drugiego warunku: $x = 4$

Odpowiedź: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$

Zadanie 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Postać iloczynowa

Rozwiąż równanie

(x - 3) (x + 7) = 0

Wskazówka

Iloczyn dwóch liczb jest zerem tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Iloczyn równa się zero, więc rozpatrujemy dwa przypadki: $x - 3 = 0$ lub $x + 7 = 0$
2Z pierwszego: $x = 3$
3Z drugiego: $x = - 7$

Odpowiedź: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 7$

Zadanie 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania wymierne

Rozwiąż równanie

\frac{2 x + 1}{x - 3} = 3

Wskazówka

Zapisz założenie $x \neq = 3$ , a potem pomnóż obie strony przez mianownik.

Rozwiązanie krok po kroku

1Ustalamy dziedzinę: mianownik nie może być zerem, więc $x \neq = 3$
2Mnożymy obie strony przez $x - 3$ : $2 x + 1 = 3 (x - 3)$
3Rozwijamy nawias: $2 x + 1 = 3 x - 9$
4Przenosimy niewiadome na jedną stronę: $1 + 9 = 3 x - 2 x$
5Otrzymujemy: $x = 10$
6Sprawdzamy dziedzinę: $10 \neq = 3$ , więc wynik jest poprawny

Odpowiedź: $x = 10$

Zadanie 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie

∣ x - 4∣ = 6

Wskazówka

Wartość bezwzględna równa 6 oznacza, że wyrażenie w środku wynosi $6$ albo $- 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpatrujemy dwa przypadki: $x - 4 = 6$ lub $x - 4 = - 6$
2Pierwszy przypadek: $x = 6 + 4 = 10$
3Drugi przypadek: $x = - 6 + 4 = - 2$

Odpowiedź: $x_{1} = 10$ , $x_{2} = - 2$

Zadanie 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania wykładnicze

Rozwiąż równanie

3^{x} = 81

Wskazówka

Przedstaw prawą stronę jako potęgę liczby 3.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy 81 jako potęgę trójki: $81 = 3^{4}$
2Równanie przyjmuje postać: $3^{x} = 3^{4}$
3Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc wykładniki muszą być równe: $x = 4$

Odpowiedź: $x = 4$

Zadanie 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania sześcienne

Rozwiąż równanie

x^{3} - 4 x = 0

Wskazówka

Wyłącz $x$ przed nawias i skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $x$ : $x (x^{2} - 4) = 0$
2Rozkładamy różnicę kwadratów: $x (x - 2) (x + 2) = 0$
3Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: $x = 0$ , $x = 2$ lub $x = - 2$

Odpowiedź: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 0$ , $x_{3} = 2$

Zadanie 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadanie tekstowe

Matura · punktacja niepodana

Liczba o 12 większa od podwojonej liczby

x

jest równa pięciokrotności liczby

x

zmniejszonej o 3. Wyznacz

x

Wskazówka

Zapisz oba opisy jako wyrażenia algebraiczne i połącz je znakiem równości.

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona (o 12 większa od podwojonej liczby): $2 x + 12$
2Prawa strona (pięciokrotność liczby zmniejszonej o 3): $5 (x - 3)$
3Zapisujemy równanie: $2 x + 12 = 5 (x - 3)$
4Rozwijamy nawias: $2 x + 12 = 5 x - 15$
5Porządkujemy: $12 + 15 = 5 x - 2 x$
6Stąd $27 = 3 x$ , czyli $x = 9$

Odpowiedź: $x = 9$

Zadanie 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równanie z parametrem

Matura · punktacja niepodana

Dla jakich wartości parametru

m

równanie

x^{2} - 4 x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste?

Wskazówka

Dwa różne pierwiastki istnieją dokładnie wtedy, gdy wyróżnik jest dodatni.

Rozwiązanie krok po kroku

1Odczytujemy współczynniki: $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = m$
2Obliczamy wyróżnik: $Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4 m$
3Warunek dwóch różnych pierwiastków: $Δ > 0$ , czyli $16 - 4 m > 0$
4Przekształcamy: $4 m < 16$
5Dzielimy przez 4: $m < 4$

Odpowiedź: $m \in (- \infty; 4)$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Pierwiastki stopnia nieparzystego

Matura · 1 pkt

Liczba

3 - 27 + 5 - 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje i jest liczbą ujemną — policz oba pierwiastki osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - 27 = - 3$ , ponieważ $(- 3)^{3} = - 27$ .
2 $5 - 1 = - 1$ , ponieważ $(- 1)^{5} = - 1$ .
3Dodajemy: $- 3 + (- 1) = - 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $- 4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 4$

Zadanie 2

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 ^{- 1} \cdot 4 ^{0, 5}}{3 ^{- 2} \cdot 2 ^{- 1}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $4^{0, 5}$ na pierwiastek, a potem policz licznik i mianownik jako zwykłe ułamki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{0, 5} = 4 = 2$ , więc licznik to $\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$ .
2Mianownik: $3^{- 2} \cdot 2^{- 1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$ .
3Dzielimy: $\frac{2}{3} : \frac{1}{18} = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $12$

Prawidłowa odpowiedź: B. $12$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Pierwiastki stopnia nieparzystego

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 - 64 + 3 27}{5 - 32}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz najpierw każdy pierwiastek osobno, a dopiero potem wykonaj dzielenie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - 64 = - 4$ oraz $327 = 3$ , więc licznik jest równy $- 4 + 3 = - 1$ .
2 $5 - 32 = - 2$ , bo $(- 2)^{5} = - 32$ .
3Zatem $\frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{2}$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{9 ^{4}}{3 ^{- 20}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź obie potęgi do tej samej podstawy — najlepiej do podstawy 3.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ .
2 $\frac{3 ^{8}}{3 ^{- 20}} = 3^{8 - (- 20)} = 3^{28}$ .
3 $3^{28} = (3^{2})^{14} = 9^{14}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $9^{14}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $9^{14}$

Zadanie 5

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{25}{8} \cdot 2 + 2^{- 1}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn dwóch pierwiastków kwadratowych zapisz jako jeden pierwiastek z iloczynu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{25}{8} \cdot 2 = \frac{25}{8} \cdot 2 = \frac{25}{4}$ .
2 $\frac{25}{4} = \frac{5}{2}$ .
3 $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ , więc $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Zadanie 6

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczba

55

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz wszystkie pierwiastki jako potęgi o wykładniku ułamkowym i dodaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $55 = 5^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$ .
2 $5^{\frac{3}{2}} = (5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $5^{\frac{3}{4}}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5^{\frac{3}{4}}$

Zadanie 7

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi a zapis dziesiętny liczby

Matura · 1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

1. Liczba naturalna

4^{12} \cdot 5^{24}

jest podzielna przez 20.
2. Liczba naturalna

4^{12} \cdot 5^{24}

jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.

Wskazówka

Spróbuj zapisać tę liczbę jako potęgę liczby 10 — wtedy oba stwierdzenia da się ocenić od razu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{12} = (2^{2})^{12} = 2^{24}$ , więc $4^{12} \cdot 5^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24} = 1 0^{24}$ .
2Stwierdzenie 1: $1 0^{24} = 20 \cdot 5 \cdot 1 0^{22}$ , liczba jest podzielna przez 20 — PRAWDA.
3Stwierdzenie 2: $1 0^{24}$ to jedynka i 24 zera, czyli liczba 25-cyfrowa — PRAWDA.
4Prawidłowa odpowiedź: P, P

Odpowiedź: P, P

Zadanie 8

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 50 \cdot 3 - 15}{3 2 \cdot 3 3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wszystkie pierwiastki są tego samego stopnia — połącz je w jeden pierwiastek sześcienny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3 50 \cdot ( - 15 )}{3 2 \cdot 3} = 3 \frac{- 750}{6}$ .
2 $\frac{- 750}{6} = - 125$ .
3 $3 - 125 = - 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $- 5$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 5$

Zadanie 9

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 ^{10} \cdot 9 ^{20}}{2 7 ^{15}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz liczby 9 i 27 jako potęgi trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9^{20} = 3^{40}$ oraz $2 7^{15} = 3^{45}$ .
2 $\frac{3 ^{10} \cdot 3 ^{40}}{3 ^{45}} = 3^{10 + 40 - 45}$ .
3 $3^{5}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3^{5}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3^{5}$

Zadanie 10

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 5 ^{- 2}}{12 5 ^{- 4}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź 25 i 125 do podstawy 5, a następnie odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 5^{- 2} = (5^{2})^{- 2} = 5^{- 4}$ , a $12 5^{- 4} = (5^{3})^{- 4} = 5^{- 12}$ .
2 $\frac{5 ^{- 4}}{5 ^{- 12}} = 5^{- 4 - (- 12)}$ .
3 $5^{8}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $5^{8}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $5^{8}$

Zadanie 11

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

324 + 3192

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz z każdego pierwiastka czynnik będący sześcianem liczby całkowitej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $324 = 3 8 \cdot 3 = 233$ .
2 $3192 = 3 64 \cdot 3 = 433$ .
3 $233 + 433 = 633$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $633$

Prawidłowa odpowiedź: C. $633$

Zadanie 12

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczba

256 \cdot 3 8^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 256 oraz pierwiastek jako potęgi liczby 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $256 = 2^{8}$ .
2 $3 8^{2} = 364 = 4 = 2^{2}$ .
3 $2^{8} \cdot 2^{2} = 2^{10}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{10}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{10}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(3 + 1)^{2} - 12

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń kwadrat sumy i zauważ, że $12$ też można uprościć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 + 1)^{2} = 3 + 23 + 1 = 4 + 23$ .
2 $12 = 23$ .
3 $4 + 23 - 23 = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 14

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(32 - 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw uprość $32$ , wtedy w nawiasie zostaną wyrazy podobne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $32 = 42$ .
2 $42 - 2 = 32$ .
3 $(32)^{2} = 9 \cdot 2 = 18$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $18$

Prawidłowa odpowiedź: B. $18$

Zadanie 15

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wyłączanie wspólnego czynnika z potęg

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{5 ^{12} + 5 ^{13} + 5 ^{14}}{5 ^{12}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz w liczniku $5^{12}$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12} (1 + 5 + 25)$ .
2 $\frac{5 ^{12} ( 1 + 5 + 25 )}{5 ^{12}} = 1 + 5 + 25$ .
3 $= 31$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $31$

Prawidłowa odpowiedź: B. $31$

Zadanie 16

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(55 \cdot \frac{1}{5})^{- 5}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz zawartość nawiasu jako jedną potęgę piątki z wykładnikiem ułamkowym.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $55 = 5^{\frac{1}{5}}$ , a $\frac{1}{5} = 5^{- 1}$ .
2 $5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{- 1} = 5^{- \frac{4}{5}}$ .
3 $(5^{- \frac{4}{5}})^{- 5} = 5^{4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $5^{4}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $5^{4}$

Zadanie 17

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{4}{25})^{- 0, 5}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ujemny wykładnik oznacza odwrócenie ułamka, a wykładnik $0, 5$ to pierwiastek kwadratowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(\frac{4}{25})^{- 0, 5} = (\frac{25}{4})^{0, 5}$ .
2 $(\frac{25}{4})^{0, 5} = \frac{25}{4} = \frac{5}{2}$ .
3 $\frac{5}{2} = 2, 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $2, 5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2, 5$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

2^{- 1} \cdot 3 2^{\frac{3}{5}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 32 jako potęgę dwójki — wtedy zostanie tylko dodawanie wykładników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $32 = 2^{5}$ , więc $3 2^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^{3} = 8$ .
2 $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ .
3 $\frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 19

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{1}{16})^{8} \cdot 8^{16}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $\frac{1}{16}$ oraz 8 na potęgi liczby 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(\frac{1}{16})^{8} = (2^{- 4})^{8} = 2^{- 32}$ .
2 $8^{16} = (2^{3})^{16} = 2^{48}$ .
3 $2^{- 32} \cdot 2^{48} = 2^{16}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{16}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{16}$

Zadanie 20

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(3^{- 2, 4} \cdot 3^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $\frac{2}{5}$ na ułamek dziesiętny i dodaj wykładniki w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2}{5} = 0, 4$ , więc $3^{- 2, 4} \cdot 3^{0, 4} = 3^{- 2}$ .
2 $(3^{- 2})^{\frac{1}{2}} = 3^{- 1}$ .
3 $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{3}$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

345 - 20

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka w obu składnikach — pojawi się wspólny $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $345 = 3 \cdot 35 = 95$ .
2 $20 = 25$ .
3 $95 - 25 = 75 = 7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Zadanie 22

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

\frac{3 ^{- 1}}{( - \frac{1}{9} ) ^{- 2}} \cdot 81

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że parzysta potęga liczby ujemnej jest dodatnia.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(- \frac{1}{9})^{- 2} = (- 9)^{2} = 81$ .
2 $\frac{3 ^{- 1}}{81} \cdot 81 = 3^{- 1}$ .
3 $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{3}$

Zadanie 23

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

iloczyn

x \cdot 3 x \cdot 6 x

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Każdy pierwiastek zamień na potęgę i dodaj wykładniki, sprowadzając je do wspólnego mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x \cdot 3 x \cdot 6 x = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}$ .
2 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ .
3Zatem iloczyn jest równy $x^{1} = x$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $x$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x$

Zadanie 24

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

3 - \frac{27}{16} \cdot 32

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz oba pierwiastki sześcienne w jeden i skróć ułamek pod pierwiastkiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - \frac{27}{16} \cdot 32 = 3 - \frac{27 \cdot 2}{16} = 3 - \frac{27}{8}$ .
2 $3 - \frac{27}{8} = \frac{3 - 27}{3 8} = \frac{- 3}{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $- \frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- \frac{3}{2}$

Zadanie 25

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Suma jednakowych potęg

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodawanie jednakowych składników zamień na mnożenie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Sześć jednakowych składników: $6 \cdot 6^{100}$ .
2 $6^{1} \cdot 6^{100} = 6^{101}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $6^{101}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $6^{101}$

Zadanie 26

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wykonaj mnożenie w nawiasie, dodając wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$ .
2 $(5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{2}}$ .
3 $5^{\frac{1}{2}} = 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 27

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(1 + 3 \cdot 2^{- 1})^{- 2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw policz wartość w nawiasie, a dopiero potem zastosuj ujemny wykładnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 \cdot 2^{- 1} = \frac{3}{2}$ , więc w nawiasie mamy $1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ .
2 $(\frac{5}{2})^{- 2} = (\frac{2}{5})^{2}$ .
3 $= \frac{4}{25}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{25}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{25}$

Zadanie 28

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{8 ^{- 40}}{2 ^{10}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień 8 na potęgę dwójki i odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8^{- 40} = (2^{3})^{- 40} = 2^{- 120}$ .
2 $\frac{2 ^{- 120}}{2 ^{10}} = 2^{- 120 - 10}$ .
3 $= 2^{- 130}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $2^{- 130}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2^{- 130}$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

128 : 364

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uprość oddzielnie pierwiastek kwadratowy i sześcienny, a potem podziel.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $128 = 64 \cdot 2 = 82$ .
2 $364 = 4$ .
3 $\frac{8 2}{4} = 22$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $22$

Prawidłowa odpowiedź: D. $22$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 ^{- 3} \cdot 3 ^{- 3} \cdot 4 ^{0}}{2 ^{- 1} \cdot 3 ^{- 4} \cdot 4 ^{- 1}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odejmij wykładniki osobno dla każdej podstawy: 2, 3 i 4.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla podstawy 2: $2^{- 3 - (- 1)} = 2^{- 2}$ .
2Dla podstawy 3: $3^{- 3 - (- 4)} = 3^{1}$ ; dla podstawy 4: $4^{0 - (- 1)} = 4^{1}$ .
3 $2^{- 2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 31

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(28 - 32)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź oba składniki do pierwiastka z 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $28 = 2 \cdot 22 = 42$ .
2 $42 - 32 = 2$ .
3 $(2)^{2} = 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 32

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

3^{2 + \frac{1}{4}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Suma w wykładniku oznacza iloczyn potęg, a nie sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3^{2 + \frac{1}{4}} = 3^{2} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$ .
2 $3^{\frac{1}{4}} = 43$ .
3Zatem wyrażenie jest równe $3^{2} \cdot 43$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{2} \cdot 43$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{2} \cdot 43$

Zadanie 33

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

2 \cdot (2 - 3) + 3 \cdot (2 - 3)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz wspólny nawias $(2 - 3)$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy wspólny czynnik: $(2 - 3) (2 + 3)$ .
2To wzór na różnicę kwadratów: $(2)^{2} - (3)^{2} = 2 - 3$ .
3 $= - 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Zadanie 34

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

(7^{\frac{5}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw dodaj wykładniki w nawiasie, potem pomnóż przez wykładnik zewnętrzny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $7^{\frac{5}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{6}{4}} = 7^{\frac{3}{2}}$ .
2 $(7^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}$ .
3 $= 7^{1}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $7^{1}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $7^{1}$

Zadanie 35

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi liczby 10

Matura · 1 pkt

Liczba

10 0^{5} \cdot (0, 1)^{- 6}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 100 i $0, 1$ jako potęgi liczby 10.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $10 0^{5} = (1 0^{2})^{5} = 1 0^{10}$ .
2 $(0, 1)^{- 6} = (1 0^{- 1})^{- 6} = 1 0^{6}$ .
3 $1 0^{10} \cdot 1 0^{6} = 1 0^{16}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $1 0^{16}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1 0^{16}$

Zadanie 36

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby

b

wyrażenie

(b \cdot 4 b)^{\frac{1}{3}}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień pierwiastki na potęgi i dodaj wykładniki w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b \cdot 4 b = b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{3}{4}}$ .
2 $(b^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{4}}$ .
3 $b^{\frac{1}{4}} = b^{0, 25}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $b^{0, 25}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b^{0, 25}$

Zadanie 37

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi i wzory skróconego mnożenia

Matura · 1 pkt

Liczba

1 - (2^{7} - 1)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń kwadrat różnicy $(a - b)^{2}$ , pamiętając o środkowym wyrazie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2^{7} - 1)^{2} = 2^{14} - 2 \cdot 2^{7} + 1 = 2^{14} - 2^{8} + 1$ .
2 $1 - (2^{14} - 2^{8} + 1) = 1 - 2^{14} + 2^{8} - 1$ .
3 $= 2^{8} - 2^{14}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{8} - 2^{14}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{8} - 2^{14}$

Zadanie 38

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 ^{50} \cdot 3 ^{40}}{3 6 ^{10}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż 36 na czynniki pierwsze: $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 6^{10} = (2^{2} \cdot 3^{2})^{10} = 2^{20} \cdot 3^{20}$ .
2 $\frac{2 ^{50} \cdot 3 ^{40}}{2 ^{20} \cdot 3 ^{20}} = 2^{30} \cdot 3^{20}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $2^{30} \cdot 3^{20}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2^{30} \cdot 3^{20}$

Zadanie 39

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczbę

4 9 \cdot 3

można zapisać w postaci

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw zapisz zawartość pierwiastka jako jedną potęgę trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 \cdot 3 = 3^{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$ .
2 $4 3^{\frac{5}{2}} = (3^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{4}}$ .
3 $= 3^{\frac{5}{8}}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{\frac{5}{8}}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{\frac{5}{8}}$

Zadanie 40

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Porównywanie potęg

Matura · 1 pkt

Liczbą większą od 5 jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz wartość każdej z czterech liczb — wszystkie są potęgami piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1A: $(\frac{1}{25})^{- \frac{1}{2}} = 2 5^{\frac{1}{2}} = 5$ — nie jest większa od 5.
2B: $2 5^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{2}{5}} < 5$ .
3C: $12 5^{\frac{2}{3}} = (5^{3})^{\frac{2}{3}} = 5^{2} = 25 > 5$ ; D: $12 5^{\frac{1}{3}} = 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $12 5^{\frac{2}{3}}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $12 5^{\frac{2}{3}}$

Zadanie 41

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi a zapis dziesiętny liczby

Matura · 1 pkt

Liczba naturalna

n = 2^{14} \cdot 5^{15}

w zapisie dziesiętnym ma

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz tyle dwójek i piątek, ile możesz, w potęgę liczby 10.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2^{14} \cdot 5^{15} = 2^{14} \cdot 5^{14} \cdot 5 = 1 0^{14} \cdot 5$ .
2 $5 \cdot 1 0^{14}$ to piątka i 14 zer.
3Razem daje to liczbę 15-cyfrową.
4Prawidłowa odpowiedź: B. 15 cyfr

Prawidłowa odpowiedź: B. 15 cyfr

Zadanie 42

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczba

32

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastek z pierwiastka to potęga o wykładniku będącym iloczynem ułamków.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $32 = 2^{\frac{1}{3}}$ .
2 $2^{\frac{1}{3}} = (2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{6}}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $2^{\frac{1}{6}}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2^{\frac{1}{6}}$

Zadanie 43

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Notacja wykładnicza

Matura · 1 pkt

Dane są liczby

x = 4, 5 \cdot 1 0^{- 8}

oraz

y = 1, 5 \cdot 1 0^{2}

. Wtedy iloraz

\frac{x}{y}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel osobno liczby przed potęgami i osobno same potęgi dziesiątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{4 , 5}{1 , 5} = 3$ .
2 $\frac{1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{2}} = 1 0^{- 10}$ .
3 $\frac{x}{y} = 3 \cdot 1 0^{- 10}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3 \cdot 1 0^{- 10}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3 \cdot 1 0^{- 10}$

Zadanie 44

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wyłączanie wspólnego czynnika z potęg

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{8 ^{20} - 2 \cdot 4 ^{20}}{2 ^{20} \cdot 4 ^{10}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź wszystko do podstawy 2 i podziel każdy składnik licznika osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $8^{20} = 2^{60}$ , $2 \cdot 4^{20} = 2 \cdot 2^{40} = 2^{41}$ .
2Mianownik: $2^{20} \cdot 4^{10} = 2^{20} \cdot 2^{20} = 2^{40}$ .
3 $\frac{2 ^{60} - 2 ^{41}}{2 ^{40}} = 2^{20} - 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{20} - 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{20} - 2$

Zadanie 45

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

3 \frac{7}{3} \cdot 3 \frac{81}{56}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz pierwiastki w jeden i skróć ułamek pod pierwiastkiem przed obliczeniami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 \frac{7}{3} \cdot \frac{81}{56} = 3 \frac{7 \cdot 81}{3 \cdot 56}$ .
2 $\frac{7 \cdot 81}{3 \cdot 56} = \frac{81}{24} = \frac{27}{8}$ .
3 $3 \frac{27}{8} = \frac{3}{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{2}$

Zadanie 46

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Notacja wykładnicza

Matura · 1 pkt

Dane są liczby

a = 3, 6 \cdot 1 0^{- 12}

oraz

b = 2, 4 \cdot 1 0^{- 20}

. Wtedy iloraz

\frac{a}{b}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby przed potęgami, a wykładniki dziesiątki odejmij.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3 , 6}{2 , 4} = 1, 5$ .
2 $\frac{1 0 ^{- 12}}{1 0 ^{- 20}} = 1 0^{- 12 + 20} = 1 0^{8}$ .
3 $\frac{a}{b} = 1, 5 \cdot 1 0^{8}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $1, 5 \cdot 1 0^{8}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1, 5 \cdot 1 0^{8}$

Zadanie 47

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

9^{9} \cdot 8 1^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 81 jako potęgę dziewiątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $81 = 9^{2}$ , więc $8 1^{2} = 9^{4}$ .
2 $9^{9} \cdot 9^{4} = 9^{13}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $9^{13}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $9^{13}$

Zadanie 48

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Suma jednakowych potęg

Matura · 1 pkt

Suma

1 6^{24} + 1 6^{24} + 1 6^{24} + 1 6^{24}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień dodawanie na mnożenie przez 4, a potem wszystko na podstawę 4.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma czterech jednakowych składników: $4 \cdot 1 6^{24}$ .
2 $1 6^{24} = (4^{2})^{24} = 4^{48}$ .
3 $4^{1} \cdot 4^{48} = 4^{49}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4^{49}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4^{49}$

Zadanie 49

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi iloczynu

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{4 ^{5} \cdot 5 ^{4}}{2 0 ^{4}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż $2 0^{4}$ na iloczyn potęg czwórki i piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 0^{4} = (4 \cdot 5)^{4} = 4^{4} \cdot 5^{4}$ .
2 $\frac{4 ^{5} \cdot 5 ^{4}}{4 ^{4} \cdot 5 ^{4}} = 4^{5 - 4}$ .
3 $= 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 50

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi iloczynu

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{7 ^{6} \cdot 6 ^{7}}{4 2 ^{6}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $42 = 6 \cdot 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 2^{6} = 6^{6} \cdot 7^{6}$ .
2 $\frac{7 ^{6} \cdot 6 ^{7}}{6 ^{6} \cdot 7 ^{6}} = 6^{7 - 6}$ .
3 $= 6$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $6$

Prawidłowa odpowiedź: C. $6$

Zadanie 51

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Zamiana pierwiastków na potęgi

Matura · 1 pkt

Liczba

333

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw zapisz $33$ jako jedną potęgę trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $33 = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ .
2 $3 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}}$ .
3 $3^{\frac{1}{2}} = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 52

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby

a

iloraz

\frac{a ^{- 2, 6}}{a ^{1, 3}}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dzielenie potęg o tej samej podstawie to odejmowanie wykładników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a ^{- 2, 6}}{a ^{1, 3}} = a^{- 2, 6 - 1, 3}$ .
2 $- 2, 6 - 1, 3 = - 3, 9$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $a^{- 3, 9}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a^{- 3, 9}$

Zadanie 53

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi iloczynu

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{9 ^{5} \cdot 5 ^{9}}{4 5 ^{5}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż $4 5^{5}$ na iloczyn potęg dziewiątki i piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 5^{5} = (9 \cdot 5)^{5} = 9^{5} \cdot 5^{5}$ .
2 $\frac{9 ^{5} \cdot 5 ^{9}}{9 ^{5} \cdot 5 ^{5}} = 5^{9 - 5}$ .
3 $= 5^{4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $5^{4}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $5^{4}$

Zadanie 54

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{9}{7} + \frac{7}{9}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz każdy pierwiastek jako ułamek i sprowadź do wspólnego mianownika — nie dodawaj pierwiastków „pod jednym znakiem”.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{9}{7} = \frac{3}{7}$ oraz $\frac{7}{9} = \frac{7}{3}$ .
2Wspólny mianownik $37$ : $\frac{9}{3 7} + \frac{7}{3 7}$ .
3 $= \frac{16}{3 7}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{16}{3 7}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{16}{3 7}$

Zadanie 55

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

218 - 32

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uprość oba pierwiastki do postaci z $2$ , a wynik zapisz jako potęgę dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $218 = 2 \cdot 32 = 62$ , a $32 = 42$ .
2 $62 - 42 = 22$ .
3 $22 = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $2^{\frac{3}{2}}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2^{\frac{3}{2}}$

Zadanie 56

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach i pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

\frac{5 - 32 \cdot 2 ^{- 1}}{4} \cdot 2^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz najpierw pierwiastek piątego stopnia, potem wykonaj działania po kolei.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 - 32 = - 2$ , więc licznik to $- 2 \cdot \frac{1}{2} = - 1$ .
2 $\frac{- 1}{4} \cdot 4 = - 1$ (bo $2^{2} = 4$ ).
3Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Zadanie 57

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika

Matura · 1 pkt

Równość

\frac{m}{5 - 5} = \frac{5 + 5}{5}

zachodzi dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż na krzyż i wykorzystaj wzór na różnicę kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy na krzyż: $5 m = (5 + 5) (5 - 5)$ .
2 $(5 + 5) (5 - 5) = 25 - 5 = 20$ .
3 $5 m = 20$ , więc $m = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $m = 4$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = 4$

Zadanie 58

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Suma jednakowych potęg

Matura · 1 pkt

Połowa sumy

4^{28} + 4^{28} + 4^{28} + 4^{28}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw zapisz sumę jako jedną potęgę dwójki, a potem podziel przez 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 \cdot 4^{28} = 4^{29} = (2^{2})^{29} = 2^{58}$ .
2Połowa: $\frac{2 ^{58}}{2} = 2^{57}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{57}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{57}$

Zadanie 59

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(5 - 3)^{2} + 215

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń kwadrat różnicy — składnik z pierwiastkiem powinien się zredukować.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5 - 3)^{2} = 5 - 215 + 3 = 8 - 215$ .
2 $8 - 215 + 215 = 8$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $8$

Prawidłowa odpowiedź: B. $8$

Zadanie 60

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{1}{2} \cdot 2^{2014}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $\frac{1}{2}$ jako potęgę dwójki z ujemnym wykładnikiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ .
2 $2^{- 1} \cdot 2^{2014} = 2^{2013}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $2^{2013}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2^{2013}$

Zadanie 61

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wyłączanie wspólnego czynnika z potęg

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{3 ^{27} + 3 ^{26}}{3 ^{26} + 3 ^{25}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

W liczniku i mianowniku wyłącz przed nawias najmniejszą występującą potęgę trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $3^{26} (3 + 1) = 4 \cdot 3^{26}$ .
2Mianownik: $3^{25} (3 + 1) = 4 \cdot 3^{25}$ .
3 $\frac{4 \cdot 3 ^{26}}{4 \cdot 3 ^{25}} = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 62

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęga o wykładniku zero

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{1}{( 3 729 + 4 256 + 2 ) ^{0}})^{- 2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwróć uwagę na wykładnik zero — nie trzeba liczyć pierwiastków w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyrażenie w nawiasie jest dodatnie, a każda taka liczba podniesiona do potęgi zerowej daje 1.
2Zatem wewnątrz mamy $\frac{1}{1} = 1$ .
3 $1^{- 2} = 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 63

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

\frac{2}{3 - 1} - \frac{2}{3 + 1}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika i wykorzystaj różnicę kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wspólny mianownik: $(3 - 1) (3 + 1) = 3 - 1 = 2$ .
2Licznik: $2 (3 + 1) - 2 (3 - 1) = 4$ .
3 $\frac{4}{2} = 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 64

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{3 + 3}{3})^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw uprość ułamek, dzieląc każdy składnik licznika przez $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3 + 3}{3} = \frac{3}{3} + 1 = 3 + 1$ .
2 $(3 + 1)^{2} = 3 + 23 + 1$ .
3 $= 4 + 23$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $4 + 23$

Prawidłowa odpowiedź: D. $4 + 23$

Zadanie 65

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

3^{\frac{9}{4}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozbij wykładnik $\frac{9}{4}$ na sumę liczby całkowitej i ułamka.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{9}{4} = 2 + \frac{1}{4}$ .
2 $3^{2 + \frac{1}{4}} = 3^{2} \cdot 3^{\frac{1}{4}} = 9 \cdot 43$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $9 \cdot 43$

Prawidłowa odpowiedź: B. $9 \cdot 43$

Zadanie 66

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Własności potęg i pierwiastków

Matura · 1 pkt

Wskaż równość prawdziwą.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdzaj po kolei znaki: pamiętaj, że $a^{2} = ∣ a ∣$ , a pierwiastek nieparzystego stopnia zachowuje znak.

Rozwiązanie krok po kroku

1A: $- 25 6^{2} = - 65536$ , a $(- 256)^{2} = 65536$ — nieprawda.
2B: potęga trzecia zachowuje znak, więc $25 6^{3} > 0$ , a $(- 256)^{3} < 0$ — nieprawda.
3C: $(- 256)^{2} = ∣ - 256∣ = 256 \neq = - 256$ — nieprawda; D: $3 - 256 = - 3256$ — prawda.
4Prawidłowa odpowiedź: D. $3 - 256 = - 3256$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3 - 256 = - 3256$

Zadanie 67

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach i pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{5 ^{3} \cdot 25}{5}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz wszystko jako potęgi piątki, także $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5^{3} \cdot 25 = 5^{3} \cdot 5^{2} = 5^{5}$ .
2 $\frac{5 ^{5}}{5 ^{\frac{1}{2}}} = 5^{\frac{9}{2}}$ .
3 $5^{\frac{9}{2}} = 5^{4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{4} 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $5^{4} 5$

Prawidłowa odpowiedź: B. $5^{4} 5$

Zadanie 68

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na potęgach i pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

(316 \cdot 4^{- 2})^{3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 16 jako $4^{2}$ i skorzystaj z zamiany pierwiastka na potęgę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $316 = 3 4^{2} = 4^{\frac{2}{3}}$ .
2 $4^{\frac{2}{3}} \cdot 4^{- 2} = 4^{\frac{2}{3} - 2} = 4^{- \frac{4}{3}}$ .
3 $(4^{- \frac{4}{3}})^{3} = 4^{- 4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $4^{- 4}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $4^{- 4}$

Zadanie 69

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Działania na pierwiastkach

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{50 - 18}{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uprość pierwiastki w liczniku do postaci z $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $50 = 52$ , $18 = 32$ .
2Licznik: $52 - 32 = 22$ .
3 $\frac{2 2}{2} = 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 70

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Matura · 1 pkt

Liczbę

32

można przedstawić w postaci

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Poszukaj największego kwadratu liczby całkowitej, który dzieli 32.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $32 = 16 \cdot 2$ .
2 $32 = 16 \cdot 2 = 42$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $42$

Prawidłowa odpowiedź: D. $42$

Zadanie 71

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi iloczynu

Matura · 1 pkt

Dana jest liczba

x = 6 3^{2} \cdot (\frac{1}{3})^{4}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż 63 na czynniki pierwsze: $63 = 9 \cdot 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 3^{2} = (3^{2} \cdot 7)^{2} = 3^{4} \cdot 7^{2}$ .
2 $(\frac{1}{3})^{4} = 3^{- 4}$ .
3 $3^{4} \cdot 7^{2} \cdot 3^{- 4} = 7^{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 7^{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 7^{2}$

Zadanie 72

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Iloczyn

8 1^{2} \cdot 9^{4}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 81 i 9 jako potęgi trójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 1^{2} = (3^{4})^{2} = 3^{8}$ .
2 $9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ .
3 $3^{8} \cdot 3^{8} = 3^{16}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{16}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{16}$

Zadanie 73

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęga o wykładniku zero

Matura · 1 pkt

Liczba

(\frac{2 ^{- 2} \cdot 3 ^{- 1}}{2 ^{- 1} \cdot 3 ^{- 2}})^{0}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwróć uwagę na wykładnik zewnętrzny — reszta obliczeń nie jest potrzebna.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyrażenie w nawiasie jest liczbą różną od zera.
2Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1.
3Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Zadanie 74

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku ujemnym

Matura · 1 pkt

Iloraz

3 2^{- 3} : (\frac{1}{8})^{4}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź 32 i $\frac{1}{8}$ do potęg dwójki, a potem odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 2^{- 3} = (2^{5})^{- 3} = 2^{- 15}$ .
2 $(\frac{1}{8})^{4} = (2^{- 3})^{4} = 2^{- 12}$ .
3 $\frac{2 ^{- 15}}{2 ^{- 12}} = 2^{- 15 + 12} = 2^{- 3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{- 3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2^{- 3}$

Zadanie 75

Oryginalne zadanie: zad. 75

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

2^{40} \cdot 4^{20}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprowadź wszystko do podstawy 2, a wynik zapisz jako potęgę czwórki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{20} = (2^{2})^{20} = 2^{40}$ .
2 $2^{40} \cdot 2^{40} = 2^{80}$ .
3 $2^{80} = (2^{2})^{40} = 4^{40}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $4^{40}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $4^{40}$

Zadanie 76

Oryginalne zadanie: zad. 76

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

7^{\frac{4}{3}} \cdot 3 7^{5}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień pierwiastek sześcienny na potęgę o wykładniku ułamkowym i dodaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 7^{5} = 7^{\frac{5}{3}}$ .
2 $7^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{5}{3}} = 7^{\frac{9}{3}}$ .
3 $= 7^{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $7^{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $7^{3}$

Zadanie 77

Oryginalne zadanie: zad. 77

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

3^{30} \cdot 9^{90}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz 9 jako $3^{2}$ i dodaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9^{90} = (3^{2})^{90} = 3^{180}$ .
2 $3^{30} \cdot 3^{180} = 3^{210}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{210}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3^{210}$

Zadanie 78

Oryginalne zadanie: zad. 78

Poziom: Podstawowy

Dział: Potęgi i pierwiastki

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Liczba

3^{\frac{8}{3}} \cdot 3 9^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $9^{2}$ jako potęgę trójki, a pierwiastek jako wykładnik ułamkowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9^{2} = 3^{4}$ , więc $3 9^{2} = 3^{\frac{4}{3}}$ .
2 $3^{\frac{8}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{12}{3}}$ .
3 $= 3^{4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{4}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{4}$

Zadanie 1

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 24.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent z diagramu

Matura · 1 pkt

Firma F zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto: 4000 zł — 75 osób, 4800 zł — 50 osób, 5000 zł — 20 osób, 6000 zł — 10 osób, 7000 zł — 5 osób. Liczba pracowników, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa 5000 zł, stanowi (w zaokrągleniu do 1%)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zsumuj liczby pracowników w tych słupkach, w których płaca jest mniejsza lub równa 5000 zł, a wynik podziel przez 160.

Rozwiązanie krok po kroku

1Płaca nie przewyższa 5000 zł dla słupków 4000, 4800 i 5000 zł.
2 $75 + 50 + 20 = 145$ osób.
3 $\frac{145}{160} = 0, 90625 \approx 91%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $91%$

Prawidłowa odpowiedź: A. $91%$ liczby wszystkich pracowników

Zadanie 2

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Kolejne obniżki

Matura · 1 pkt

Cenę

x

(w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o

30%

, a następnie obniżono o

20%

w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Obniżka o $p %$ to mnożenie ceny przez $(1 - \frac{p}{100})$ — obniżki nakładają się na siebie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Po pierwszej obniżce cena wynosi $0, 7 x$ .
2Po drugiej obniżce: $0, 8 \cdot 0, 7 x$ .
3 $0, 8 \cdot 0, 7 = 0, 56$ , więc cena to $0, 56 x$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $0, 56 \cdot x$ zł

Prawidłowa odpowiedź: D. $0, 56 \cdot x$ zł

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — równanie

Matura · 1 pkt

30%

liczby

x

jest o 2730 mniejsze od liczby

x

. Liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz warunek jako równanie: $0, 3 x = x - 2730$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 3 x = x - 2730$ .
2 $2730 = x - 0, 3 x = 0, 7 x$ .
3 $x = \frac{2730}{0 , 7} = 3900$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3900$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3900$

Zadanie 4

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed obniżkami

Matura · 1 pkt

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o

10%

w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Jeśli cena początkowa to $c$ , to po dwóch obniżkach o $10%$ mamy $0, 9^{2} c$ — zapisz równanie i wyznacz $c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 9^{2} \cdot c = 78732$ , czyli $0, 81 c = 78732$ .
2 $c = \frac{78 732}{0 , 81} = 97200$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. 97 200 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 97 200 zł

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Łączna zmiana procentowa

Matura · 1 pkt

Cenę drukarki obniżono o

20%

, a następnie nową cenę obniżono o

10%

. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz, jaką część ceny początkowej stanowi cena końcowa, a potem odejmij ją od $100%$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cena końcowa: $0, 9 \cdot 0, 8 c = 0, 72 c$ .
2Cena zmniejszyła się o $c - 0, 72 c = 0, 28 c$ .
3To jest $28%$ ceny początkowej.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $28%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $28%$

Zadanie 6

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Liczba 78 stanowi

150%

liczby

c

. Wtedy liczba

c

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$150%$ to mnożnik $1, 5$ — zapisz równanie $1, 5 c = 78$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 5 c = 78$ .
2 $c = \frac{78}{1 , 5} = 52$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $52$

Prawidłowa odpowiedź: B. $52$

Zadanie 7

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed podwyżką

Matura · 1 pkt

Medyczna maseczka ochronna wskutek podwyżki zdrożała o

40%

i kosztuje obecnie 106,40 zł. Cena maseczki przed podwyżką była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cena po podwyżce to $1, 4$ ceny wyjściowej — podziel, a nie odejmuj $40%$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 4 c = 106, 40$ .
2 $c = \frac{106 , 40}{1 , 4} = 76$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. 76,00 zł

Prawidłowa odpowiedź: C. 76,00 zł

Zadanie 8

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Kolejne obniżki

Matura · 1 pkt

Na początku miesiąca komputer kosztował 3500 zł. W drugiej dekadzie cenę obniżono o

10%

, a w trzeciej dekadzie obniżono ją jeszcze raz, tym razem o

15%

. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż cenę początkową przez $0, 9$ , a otrzymany wynik przez $0, 85$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3500 \cdot 0, 9 = 3150$ zł.
2 $3150 \cdot 0, 85 = 2677, 50$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: C. 2677,50 zł

Prawidłowa odpowiedź: C. 2677,50 zł

Zadanie 9

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Powrót do ceny wyjściowej

Matura · 1 pkt

Cenę

x

pewnego towaru obniżono o

20%

i otrzymano cenę

y

. Aby przywrócić cenę

x

, nową cenę

y

należy podnieść o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $y = 0, 8 x$ i sprawdź, ile razy $x$ jest większe od $y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y = 0, 8 x$ , więc $x = \frac{y}{0 , 8} = 1, 25 y$ .
2Cena $y$ musi wzrosnąć o $0, 25 y$ , czyli o $25%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $25%$

Prawidłowa odpowiedź: A. $25%$

Zadanie 10

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Punkty procentowe

Matura · 1 pkt

W pewnym banku prowizja od kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa

4%

. Na początku lutego bank obniżył wysokość prowizji o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja zmniejszyła się o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pytanie dotyczy zmiany względnej: o jaką część swojej wartości zmniejszyła się prowizja z $4%$ do $3%$ ?

Rozwiązanie krok po kroku

1Prowizja spadła z $4%$ do $3%$ , czyli o 1 punkt procentowy.
2Względna zmiana: $\frac{1}{4} = 0, 25$ .
3Prowizja zmniejszyła się o $25%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $25%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $25%$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procenty w wyrażeniach algebraicznych

Matura · 1 pkt

Liczba dodatnia

a

jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o

50%

, a jego mianownik zwiększymy o

50%

, to otrzymamy liczbę

b

taką, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $a = \frac{l}{m}$ i wykonaj obie zmiany na liczniku i mianowniku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{l}{m}$ , nowy licznik to $0, 5 l$ , nowy mianownik to $1, 5 m$ .
2 $b = \frac{0 , 5 l}{1 , 5 m} = \frac{1}{3} \cdot \frac{l}{m}$ .
3Zatem $b = \frac{1}{3} a$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $b = \frac{1}{3} a$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b = \frac{1}{3} a$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — równanie

Matura · 1 pkt

Jeżeli

75%

liczby

a

jest równe 177 i

59%

liczby

b

jest równe 177, to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz osobno $a$ i $b$ , dzieląc 177 przez odpowiedni mnożnik procentowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 75 a = 177$ , więc $a = 236$ .
2 $0, 59 b = 177$ , więc $b = 300$ .
3 $b - a = 300 - 236 = 64$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $b - a = 64$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b - a = 64$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena po obniżce

Matura · 1 pkt

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o

10%

zmniejszyła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw z kwoty obniżki wyznacz cenę początkową, a dopiero potem policz cenę po obniżce.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 1 c = 2018$ , więc $c = 20180$ zł.
2Cena po obniżce: $20180 - 2018 = 18162$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 18 162 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 18 162 zł

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed obniżkami

Matura · 1 pkt

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o

10%

w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami komputer kosztował

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cena końcowa to $0, 81$ ceny początkowej — podziel 1944 przez $0, 81$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 9^{2} c = 1944$ , czyli $0, 81 c = 1944$ .
2 $c = \frac{1944}{0 , 81} = 2400$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: C. 2400 złotych

Prawidłowa odpowiedź: C. 2400 zł

Zadanie 15

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed obniżką

Matura · 1 pkt

Cena roweru po obniżce o

15%

była równa 850 zł. Przed obniżką rower kosztował

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cena po obniżce stanowi $85%$ ceny wyjściowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 85 c = 850$ .
2 $c = \frac{850}{0 , 85} = 1000$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: C. 1000,00 zł

Prawidłowa odpowiedź: C. 1000,00 zł

Zadanie 16

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procenty w geometrii

Matura · 1 pkt

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o

30%

. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Promień rośnie $1, 3$ razy — sprawdź, ile razy rośnie wtedy pole, które zależy od kwadratu promienia.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r_{1} = 1, 3 r_{2}$ , więc $P_{1} = π (1, 3 r_{2})^{2} = 1, 69 π r_{2}^{2}$ .
2 $P_{1} = 1, 69 P_{2}$ , czyli pole jest większe o $69%$ .
3 $69% > 60%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. o więcej niż $60%$

Prawidłowa odpowiedź: D. o więcej niż $60%$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Układ warunków procentowych

Matura · 1 pkt

Iloczyn dodatnich liczb

a

b

jest równy 1350. Ponadto

15%

liczby

a

jest równe

10%

liczby

b

. Stąd wynika, że

b

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z drugiego warunku wyznacz zależność między $a$ i $b$ , a potem wstaw ją do równania $ab = 1350$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 15 a = 0, 10 b$ , więc $b = 1, 5 a$ .
2 $a \cdot 1, 5 a = 1350$ , czyli $a^{2} = 900$ i $a = 30$ .
3 $b = 1, 5 \cdot 30 = 45$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: O ile procent obniżono

Matura · 1 pkt

Buty, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent obniżono cenę butów?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz kwotę obniżki i podziel ją przez cenę początkową.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obniżka: $220 - 176 = 44$ zł.
2 $\frac{44}{220} = 0, 2 = 20%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $20$

Prawidłowa odpowiedź: B. $20$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Łączna zmiana procentowa

Matura · 1 pkt

Cenę pewnego towaru podwyższono o

20%

, a następnie nową cenę podwyższono o

30%

. Takie dwie podwyżki można zastąpić równoważną im jedną podwyżką

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż mnożniki obu podwyżek i porównaj wynik z $1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 2 \cdot 1, 3 = 1, 56$ .
2Cena wzrosła o $0, 56$ ceny początkowej, czyli o $56%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. o $56%$

Prawidłowa odpowiedź: B. o $56%$

Zadanie 20

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — porównywanie

Matura · 1 pkt

Liczby

a

c

są dodatnie. Liczba

b

stanowi

48%

liczby

a

oraz

32%

liczby

c

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Obie informacje o $b$ przyrównaj do siebie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 48 a = 0, 32 c$ .
2 $c = \frac{0 , 48}{0 , 32} a = 1, 5 a$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $c = 1, 5 a$

Prawidłowa odpowiedź: A. $c = 1, 5 a$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procenty w geometrii

Matura · 1 pkt

Dany jest prostokąt o wymiarach

40 cm \times 100 cm

. Jeżeli każdy z dłuższych boków wydłużymy o

20%

, a każdy z krótszych skrócimy o

20%

, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz nowe długości boków i porównaj nowe pole z polem początkowym.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pole początkowe: $40 \cdot 100 = 4000 cm^{2}$ .
2Nowe boki: $100 \cdot 1, 2 = 120$ cm i $40 \cdot 0, 8 = 32$ cm.
3Nowe pole: $120 \cdot 32 = 3840 cm^{2}$ .
4 $\frac{4000 - 3840}{4000} = 0, 04$ , więc pole zmniejszy się o $4%$ .
5Prawidłowa odpowiedź: D. zmniejszy się o $4%$

Prawidłowa odpowiedź: D. zmniejszy się o $4%$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Podatek VAT

Matura · 1 pkt

Przy

23

-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł. Jaka jest cena netto tego samochodu?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cena brutto to cena netto pomnożona przez $1, 23$ — szukamy ceny netto.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 23 \cdot netto = 45018$ .
2 $netto = \frac{45 018}{1 , 23} = 36600$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 36 600 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 36 600 zł

Zadanie 23

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Lokata i podatek od odsetek

Matura · 1 pkt

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną

4%

w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości

19%

. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podatek zabiera $19%$ odsetek, więc do kapitału dopisywane jest $81%$ odsetek.

Rozwiązanie krok po kroku

1Odsetki brutto: $1000 \cdot \frac{4}{100}$ .
2Po podatku zostaje $81%$ odsetek: $1000 \cdot \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100}$ .
3Kwota do wypłaty: $1000 \cdot (1 + \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100})$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C.

Prawidłowa odpowiedź: C. $1000 \cdot (1 + \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100})$

Zadanie 24

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Łączna zmiana procentowa

Matura · 1 pkt

Cena towaru została podwyższona o

30%

, a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o

10%

. W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podwyżki nie dodają się — pomnóż odpowiednie mnożniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 3 \cdot 1, 1 = 1, 43$ .
2Cena wzrosła o $43%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $43%$

Prawidłowa odpowiedź: D. $43%$

Zadanie 25

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent z pozostałej części

Matura · 1 pkt

Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka.

10%

tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Drugi procent liczony jest od reszty, nie od całości.

Rozwiązanie krok po kroku

1Po pierwszym prezencie zostało $50%$ oszczędności.
2Na drugi prezent: $10%$ z $50%$ , czyli $5%$ .
3Zostało $50% - 5% = 45%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent z podziału w stosunku

Matura · 1 pkt

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów wspólników w kapitale zakładowym wyraża stosunek

12 : 8 : 3 : 2

. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj wszystkie części stosunku i sprawdź, jaki udział ma największa z nich.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 + 8 + 3 + 2 = 25$ części.
2 $\frac{12}{25} = 0, 48 = 48%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $48%$

Prawidłowa odpowiedź: C. $48%$

Zadanie 27

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Jeżeli liczba 78 jest o

50%

większa od liczby

c

, to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

„O $50%$ większa” oznacza mnożnik $1, 5$ przy liczbie $c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 5 c = 78$ .
2 $c = 52$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $c = 52$

Prawidłowa odpowiedź: C. $c = 52$

Zadanie 28

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby elementów

Matura · 1 pkt

W klasie jest cztery razy więcej chłopców niż dziewcząt. Ile procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią dziewczęta?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oznacz liczbę dziewcząt przez $d$ i zapisz liczbę wszystkich uczniów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dziewcząt: $d$ , chłopców: $4 d$ , razem $5 d$ .
2 $\frac{d}{5 d} = 0, 2 = 20%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $20%$

Prawidłowa odpowiedź: C. $20%$

Zadanie 29

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — obliczenia

Matura · 1 pkt

Gdy od

17%

liczby 21 odejmiemy

21%

liczby 17, to otrzymamy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz oba wyrażenia jako iloczyny — zwróć uwagę na kolejność czynników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $17%$ z $21$ to $0, 17 \cdot 21 = 3, 57$ .
2 $21%$ z $17$ to $0, 21 \cdot 17 = 3, 57$ .
3Różnica jest równa $0$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — porównywanie

Matura · 1 pkt

Dodatnia liczba

x

stanowi

70%

liczby

y

. Wówczas

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $x = 0, 7 y$ i wyznacz z tego $y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = \frac{7}{10} y$ .
2 $y = \frac{10}{7} x$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $y = \frac{10}{7} x$

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = \frac{10}{7} x$

Zadanie 31

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — porównywanie

Matura · 1 pkt

Liczby

a

b

są dodatnie oraz

12%

liczby

a

jest równe

15%

liczby

b

. Stąd wynika, że

a

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z równości $0, 12 a = 0, 15 b$ wyznacz $a$ w zależności od $b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 12 a = 0, 15 b$ .
2 $a = \frac{0 , 15}{0 , 12} b = 1, 25 b$ .
3Zatem $a$ to $125%$ liczby $b$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $125%$ liczby $b$

Prawidłowa odpowiedź: B. $125%$ liczby $b$

Zadanie 32

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Obniżka a liczba sztuk

Matura · 1 pkt

W pewnym sklepie ceny wszystkich płyt CD obniżono o

20%

. Zatem za dwie płyty kupione w tym sklepie należy zapłacić mniej o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zmiana procentowa nie zależy od liczby kupionych sztuk.

Rozwiązanie krok po kroku

1Za dwie płyty przed obniżką: $2 c$ , po obniżce: $2 \cdot 0, 8 c = 1, 6 c$ .
2 $\frac{2 c - 1 , 6 c}{2 c} = 0, 2 = 20%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $20%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $20%$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zapis równania procentowego

Matura · 1 pkt

Suma liczby

x

15%

tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przetłumacz słowo „suma” bezpośrednio na dodawanie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $15%$ liczby $x$ to $0, 15 x$ .
2Suma: $x + 0, 15 x = 230$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $x + 0, 15 \cdot x = 230$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x + 0, 15 \cdot x = 230$

Zadanie 34

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Pierwsza rata, która stanowi

9%

ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel kwotę raty przez odpowiadający jej mnożnik procentowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 09 c = 189$ .
2 $c = \frac{189}{0 , 09} = 2100$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 2100 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 2100 zł

Zadanie 35

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Kolejne obniżki

Matura · 1 pkt

Samochód kosztował 30 000 zł. Jego cenę obniżono o

10%

, a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o

10%

. Po tych obniżkach samochód kosztował

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Druga obniżka liczona jest od ceny już obniżonej, nie od 30 000 zł.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $30000 \cdot 0, 9 = 27000$ zł.
2 $27000 \cdot 0, 9 = 24300$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: D. 24 300 zł

Prawidłowa odpowiedź: D. 24 300 zł

Zadanie 36

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Podatek VAT

Matura · 1 pkt

Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości

22%

kosztuje

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Do ceny netto dodajemy $22%$ tej ceny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $60 \cdot 1, 22 = 73, 20$ zł.
2Prawidłowa odpowiedź: A. 73,20 zł

Prawidłowa odpowiedź: A. 73,20 zł

Zadanie 37

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed obniżką

Matura · 1 pkt

Spodnie po obniżce ceny o

30%

kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

126 zł to $70%$ ceny wyjściowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 7 c = 126$ .
2 $c = \frac{126}{0 , 7} = 180$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 180 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 180 zł

Zadanie 38

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Jaki procent stanowi

Matura · 1 pkt

Na seans filmowy sprzedano 280 biletów, w tym 126 ulgowych. Jaki procent sprzedanych biletów stanowiły bilety ulgowe?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczbę biletów ulgowych przez liczbę wszystkich biletów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{126}{280} = 0, 45$ .
2To $45%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $45%$

Prawidłowa odpowiedź: C. $45%$

Zadanie 39

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

6%

liczby

x

jest równe 9. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $0, 06 x = 9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 06 x = 9$ .
2 $x = \frac{9}{0 , 06} = 150$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 150$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 150$

Zadanie 40

Oryginalne zadanie: zad. 40

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Porównywanie procentowe

Matura · 2 pkt

Pensja pana X jest o

50%

wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o

40%

niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania: 1) Pensja pana X jest wyższa od pensji pana Y: A. o

40%

pensji Y, B. o

90%

pensji Y, C. o

150%

pensji Y, D. o

275%

pensji Y. 2) Pensja pana Y jest niższa od pensji pana X: E. o

60%

pensji X, F. o

73%

pensji X, G. o

90%

pensji X, H. o

150%

pensji X.

Wskazówka

Przyjmij, że średnia krajowa to $s$ , i wyraź obie pensje przez $s$ — potem porównuj je zawsze z tą pensją, o którą pyta zdanie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech średnia krajowa to $s$ . Wtedy $X = 1, 5 s$ , $Y = 0, 6 s$ .
2Różnica: $X - Y = 0, 9 s$ .
31) $\frac{0 , 9 s}{0 , 6 s} = 1, 5 = 150%$ pensji pana Y — odpowiedź C.
42) $\frac{0 , 9 s}{1 , 5 s} = 0, 6 = 60%$ pensji pana X — odpowiedź E.
5Prawidłowa odpowiedź: C i E

Odpowiedź: C, E

Zadanie 41

Oryginalne zadanie: zad. 41

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, której

4%

jest równe 8.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel 8 przez $0, 04$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 04 x = 8$ .
2 $x = 200$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $200$

Prawidłowa odpowiedź: D. $200$

Zadanie 42

Oryginalne zadanie: zad. 42

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, której

6%

jest równe 6.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$6%$ liczby to jej $\frac{6}{100}$ część.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 06 x = 6$ .
2 $x = 100$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $100$

Prawidłowa odpowiedź: D. $100$

Zadanie 43

Oryginalne zadanie: zad. 43

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Jaki procent stanowi

Matura · 1 pkt

Liczba 30 to

p %

liczby 80, zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz dokładnie $\frac{30}{80}$ i porównaj z podanymi wartościami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{30}{80} = 0, 375 = 37, 5%$ .
2 $37, 5 < 40$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $p < 40$

Prawidłowa odpowiedź: A. $p < 40$

Zadanie 44

Oryginalne zadanie: zad. 44

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

4%

liczby

x

jest równe 6, zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz dokładną wartość $x$ z równania $0, 04 x = 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 04 x = 6$ .
2 $x = \frac{6}{0 , 04} = 150$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 150$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 150$

Zadanie 45

Oryginalne zadanie: zad. 45

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zapis zależności procentowej

Matura · 1 pkt

Liczba

y

120%

liczby

x

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$120%$ liczby $x$ to $1, 2 x$ — porównaj to z podanymi zapisami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y = 1, 2 x$ .
2 $1, 2 x = x + 0, 2 x$ , więc $y = x + 0, 2 x$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $y = x + 0, 2 x$

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = x + 0, 2 x$

Zadanie 46

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — odsetki

Matura · 1 pkt

Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki w wysokości

6%

od kwoty bieżącego kapitału — zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach łączna wartość doliczonych odsetek (bez podatków) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz kwotę końcową ze wzoru $K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , a potem odejmij kapitał początkowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $K_{2} = 10000 \cdot 1, 0 6^{2} = 10000 \cdot 1, 1236 = 11236$ zł.
2Odsetki: $11236 - 10000 = 1236$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 1236 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 1236 zł

Zadanie 47

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — oprocentowanie

Matura · 1 pkt

Pani Aniela wpłaciła 60 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki

p %

w skali roku od bieżącego kapitału — zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu kwota na lokacie była równa 67 925,76 zł. Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel kwotę końcową przez początkową — otrzymasz kwadrat mnożnika rocznego.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{67 925 , 76}{60 000} = 1, 13196$ .
2 $1, 13196 = 1, 064$ .
3Mnożnik $1, 064$ oznacza oprocentowanie $6, 4%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $6, 4%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $6, 4%$

Zadanie 48

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — wzór

Matura · 1 pkt

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę

K_{0}

zł. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki w wysokości

6%

od bieżącego kapitału — zgodnie z procentem składanym. Po trzech latach kwota na lokacie (bez podatków) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Kapitalizacja jest roczna, więc wykładnik równa się liczbie lat.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wzór: $K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .
2 $p = 6$ , $n = 3$ , więc $K_{3} = K_{0} \cdot (1, 06)^{3}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $K_{0} \cdot (1, 06)^{3}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $K_{0} \cdot (1, 06)^{3}$

Zadanie 49

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — kapitał początkowy

Matura · 1 pkt

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki w wysokości

5%

od bieżącego kapitału. Po dwóch latach pan Grzegorz odebrał 4851 zł. Kwota wpłacona na tę lokatę była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel kwotę końcową przez $1, 0 5^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $K_{0} \cdot 1, 0 5^{2} = 4851$ , czyli $K_{0} \cdot 1, 1025 = 4851$ .
2 $K_{0} = \frac{4851}{1 , 1025} = 4400$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 4400 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 4400 zł

Zadanie 50

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — odsetki

Matura · 1 pkt

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki w wysokości

7%

od bieżącego kapitału. Po dwóch latach łączna wartość doliczonych odsetek (bez podatków) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw kwota końcowa z procentu składanego, potem różnica z kapitałem początkowym.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $30000 \cdot 1, 0 7^{2} = 30000 \cdot 1, 1449 = 34347$ zł.
2Odsetki: $34347 - 30000 = 4347$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: D. 4347 zł

Prawidłowa odpowiedź: D. 4347 zł

Zadanie 51

Matura: arkusz pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — wzór

Matura · 1 pkt

Klient wpłacił do banku 20 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki w wysokości

3%

od bieżącego kapitału. Po 2 latach kwota na lokacie (bez podatków) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy procencie składanym mnożnik podnosimy do potęgi równej liczbie okresów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $K_{2} = 20000 \cdot (1 + \frac{3}{100})^{2}$ .
2 $= 20000 \cdot (1, 03)^{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $20000 \cdot (1, 03)^{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $20000 \cdot (1, 03)^{2}$

Zadanie 52

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — obligacje

Matura · 1 pkt

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40 000 zł oprocentowane

7%

w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji po dwóch latach będzie równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$7%$ to mnożnik $1, 07$ , a kapitalizacja jest roczna.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $K_{2} = 40000 \cdot (1, 07)^{2}$ zł.
2Prawidłowa odpowiedź: A. $40000 \cdot (1, 07)^{2}$ zł

Prawidłowa odpowiedź: A. $40000 \cdot (1, 07)^{2}$ zł

Zadanie 53

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — wzrost kapitału

Matura · 1 pkt

Oprocentowanie długoterminowej lokaty wynosi

3%

w skali roku (już po uwzględnieniu podatków), a odsetki są doliczane po każdym roku zgodnie z procentem składanym. Po 10 latach oszczędzania kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na początku o (w zaokrągleniu do

1%

)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $1, 0 3^{10}$ i sprawdź, o ile ta wartość przewyższa $1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 0 3^{10} \approx 1, 3439$ .
2Kapitał wzrósł o $0, 3439$ swojej wartości.
3 $\approx 34%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $34%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $34%$

Zadanie 54

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — układ równań

Matura · 2 pkt

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku uschło

20%

drzew w pierwszym sadzie i

15%

drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła

70%

liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.

Wskazówka

Oznacz liczby drzew w sadach przez $x$ i $1410 - x$ , a następnie zapisz, ile drzew zostało w każdym sadzie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $x$ — liczba drzew w pierwszym sadzie, $1410 - x$ — w drugim.
2Pozostało: $0, 8 x$ i $0, 85 (1410 - x)$ .
3Warunek: $0, 85 (1410 - x) = 0, 7 \cdot 0, 8 x = 0, 56 x$ .
4 $1198, 5 - 0, 85 x = 0, 56 x$ , więc $1198, 5 = 1, 41 x$ .
5 $x = 850$ .
6Odpowiedź: 850 drzew

Odpowiedź: 850 drzew

Zadanie 55

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — układ równań

Matura · 2 pkt

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych — zespół A wykorzystał

13%

przyznanych mu środków, a zespół B

11%

swoich środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A.

Wskazówka

Oznacz kwotę zespołu A przez $x$ ; zespół B otrzymał wtedy $1200000 - x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 13 x + 0, 11 (1200000 - x) = 146700$ .
2 $0, 13 x + 132000 - 0, 11 x = 146700$ .
3 $0, 02 x = 14700$ .
4 $x = 735000$ .
5Odpowiedź: 735 000 zł

Odpowiedź: 735 000 zł

Zadanie 56

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty w geometrii

Matura · 2 pkt

Dany jest trapez o podstawach długości

a

oraz

b

i wysokości

h

. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o

25%

, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość

h

trapezu.

Wskazówka

Zapisz pole trapezu przed i po zmianie, korzystając ze wzoru $P = \frac{a + b}{2} h$ , i przyrównaj oba pola.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{a + b}{2} h$ , a nowe podstawy to $1, 25 a$ i $1, 25 b$ .
2 $\frac{1 , 25 a + 1 , 25 b}{2} \cdot h^{'} = \frac{a + b}{2} h$ .
3 $1, 25 \cdot \frac{a + b}{2} h^{'} = \frac{a + b}{2} h$ , więc $h^{'} = \frac{h}{1 , 25} = 0, 8 h$ .
4Wysokość skrócono o $0, 2 h$ , czyli o $20%$ .
5Odpowiedź: $20%$

Odpowiedź: 20%

Zadanie 57

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty z diagramu

Matura · 2 pkt

Ankietowani wybierali tylko jeden rodzaj napoju pitego między posiłkami: soki owocowe

24%

, soki warzywne

25%

, owocowe napoje gazowane

15%

, woda mineralna

36%

. Oblicz: ile procent badanych pije soki owocowe lub wodę mineralną, ile procent nie pije owocowych napojów gazowanych, ile procent nie pije soków warzywnych i nie pije wody mineralnej.

Wskazówka

Każdy ankietowany wybrał dokładnie jedną odpowiedź, więc wszystkie procenty sumują się do $100%$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Soki owocowe lub woda: $24% + 36% = 60%$ .
2Nie pije napojów gazowanych: $100% - 15% = 85%$ .
3Nie pije soków warzywnych ani wody: $100% - 25% - 36% = 39%$ .
4Odpowiedź: $60%$ , $85%$ , $39%$

Odpowiedź: 60%, 85%, 39%

Zadanie 58

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — kapitalizacja odsetek

Matura · 2 pkt

Pan Kowalski wpłaca do banku 2000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru: lokatę A — oprocentowanie

5%

w stosunku rocznym, kapitalizacja po roku; lokatę B —

4, 8%

, kapitalizacja co pół roku; lokatę C —

4, 6%

, kapitalizacja co kwartał. Oceń, wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza.

Wskazówka

Przy kapitalizacji częstszej niż roczna oprocentowanie roczne dziel przez liczbę okresów w roku, a wykładnik zwiększaj o tyle samo razy.

Rozwiązanie krok po kroku

1Lokata A: $2000 \cdot 1, 05 = 2100$ zł.
2Lokata B: $2000 \cdot (1 + 0, 024)^{2} = 2000 \cdot 1, 048576 \approx 2097, 15$ zł.
3Lokata C: $2000 \cdot (1 + 0, 0115)^{4} \approx 2000 \cdot 1, 046795 \approx 2093, 59$ zł.
4Największa kwota końcowa jest przy lokacie A.
5Odpowiedź: lokata A

Odpowiedź: lokata A

Zadanie 59

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty w geometrii

Matura · 3 pkt

Dany jest prostokąt o bokach

a

b

. Zmniejszamy długość boku

a

10%

oraz zwiększamy długość boku

b

20%

. a) O ile procent zwiększy się pole tego prostokąta? b) Wyznacz długość boku

b

, dla której nowy prostokąt będzie miał taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy, jeśli

a = 30

cm.

Wskazówka

W części a) porównaj iloczyny nowych i starych boków; w części b) zapisz równość obwodów.

Rozwiązanie krok po kroku

1a) Nowe pole: $0, 9 a \cdot 1, 2 b = 1, 08 ab$ , więc pole rośnie o $8%$ .
2b) Obwód przed: $2 (a + b)$ , po: $2 (0, 9 a + 1, 2 b)$ .
3 $0, 9 a + 1, 2 b = a + b$ , czyli $0, 2 b = 0, 1 a$ , więc $b = 0, 5 a$ .
4Dla $a = 30$ cm mamy $b = 15$ cm.
5Odpowiedź: a) $8%$ , b) $15$ cm

Odpowiedź: a) 8%, b) 15 cm

Zadanie 60

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty w geometrii

Matura · 3 pkt

Dany jest prostokąt o bokach

a

b

oraz prostokąt o bokach

c

d

. Długość boku

c

90%

długości boku

a

, a długość boku

d

120%

długości boku

b

. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach

a

b

stanowi pole prostokąta o bokach

c

d

Wskazówka

Zapisz $c$ i $d$ jako wielokrotności $a$ i $b$ , a potem porównaj oba pola.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $c = 0, 9 a$ , $d = 1, 2 b$ .
2 $P_{2} = 0, 9 a \cdot 1, 2 b = 1, 08 ab$ .
3 $\frac{P _{2}}{P _{1}} = 1, 08 = 108%$ .
4Odpowiedź: $108%$

Odpowiedź: 108%

Zadanie 61

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty z diagramu

Matura · 1 pkt

Rozkład miesięcznych zarobków netto (w tys. zł) pracowników firmy F: 1,5 — 1 osoba, 2 — 1, 2,5 — 4, 3 — 7, 3,5 — 10, 4 — 14, 4,5 — 13, 5 — 9, 5,5 — 6, 6 — 3, 6,5 — 2, 7 — 1, 7,5 — 1, 8,5 — 1, 10 — 2 osoby. Oblicz, jaki procent liczby wszystkich pracowników stanowią osoby zarabiające 5,5 tys. zł lub mniej.

Wskazówka

Policz osobno liczbę wszystkich pracowników i liczbę osób w słupkach do 5,5 tys. zł włącznie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wszyscy pracownicy: $1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 75$ osób.
2Zarobki $\leq 5, 5$ tys. zł: $1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 = 65$ osób.
3 $\frac{65}{75} \approx 0, 8667$ .
4Odpowiedź: około $87%$

Odpowiedź: ≈ 87%

Zadanie 1

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Proporcjonalność prosta i odwrotna

Temat: Proporcjonalność odwrotna w tabeli

Matura · 1 pkt

Wielkości

x

oraz

y

zestawione w tabeli poniżej są **odwrotnie** proporcjonalne.

x y 189 24 a

Liczba

a

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla wielkości odwrotnie proporcjonalnych iloczyn $x \cdot y$ jest zawsze taki sam — policz go z pierwszej kolumny.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla proporcjonalności odwrotnej zachodzi $x \cdot y = c$ (stała).
2Z pierwszej kolumny: $c = 18 \cdot 9 = 162$ .
3Z drugiej kolumny: $24 \cdot a = 162$ .
4Stąd $a = \frac{162}{24} = 6, 75$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $6, 75$

Prawidłowa odpowiedź: B. $6, 75$

Zadanie 2

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Proporcjonalność prosta i odwrotna

Temat: Wydajność maszyn

Matura · 1 pkt

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz najpierw, ile guzików robi jedna maszyna w ciągu jednej godziny.

Rozwiązanie krok po kroku

1Trzy maszyny w ciągu 2 godzin: $1200$ guzików.
2Trzy maszyny w ciągu 1 godziny: $1200 : 2 = 600$ guzików.
3Jedna maszyna w ciągu 1 godziny: $600 : 3 = 200$ guzików.
4Pięć maszyn w ciągu 1 godziny: $5 \cdot 200 = 1000$ guzików.
5Prawidłowa odpowiedź: C. $1000$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1000$

Zadanie 3

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Proporcjonalność prosta i odwrotna

Temat: Proporcjonalność odwrotna w tabeli

Matura · 1 pkt

Wielkości

x

y

są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

x y a 36 324 8 b

Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Stałą proporcjonalności odczytaj z kolumny, w której znasz obie liczby.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z drugiej kolumny: $c = 3 \cdot 24 = 72$ .
2Z pierwszej kolumny: $a \cdot 36 = 72$ , więc $a = 2$ .
3Z trzeciej kolumny: $8 \cdot b = 72$ , więc $b = 9$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $a = 2$ , $b = 9$

Prawidłowa odpowiedź: D. $a = 2$ , $b = 9$

Zadanie 4

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Proporcjonalność prosta i odwrotna

Temat: Proporcjonalność odwrotna — praca i czas

Matura · 1 pkt

Ekipa złożona z 25 pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu 156 dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu 100 dni, to — przy założeniu takiej samej wydajności — należy zatrudnić do pracy o ... pracowników więcej.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczba pracowników i czas pracy są odwrotnie proporcjonalne — a na końcu policz różnicę, nie samą liczbę pracowników.

Rozwiązanie krok po kroku

1Całość pracy w dniówkach: $25 \cdot 156 = 3900$ .
2Przy 100 dniach potrzeba $n$ pracowników: $n \cdot 100 = 3900$ .
3Stąd $n = 39$ pracowników.
4Pytamy o ilu więcej: $39 - 25 = 14$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $14$

Prawidłowa odpowiedź: A. $14$

Zadanie 5

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Proporcjonalność prosta i odwrotna

Temat: Proporcjonalność odwrotna — prawda/fałsz

Matura · 1 pkt

Aby zaorać pole o powierzchni

P

w ciągu 8 godzin, potrzeba trzech ciągników. Każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu orze taką samą powierzchnię pola. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Zaoranie pola o powierzchni

P

przy pomocy dwóch ciągników zajęłoby 12 godzin.
2. Cztery ciągniki, które pracują o połowę szybciej, zaorałyby to pole w ciągu 4 godzin.

Wskazówka

Przyjmij, że jeden ciągnik pracujący jedną godzinę wykonuje jednostkę pracy, i policz, ile takich jednostek ma całe pole.

Rozwiązanie krok po kroku

1Całe pole to $3 \cdot 8 = 24$ jednostki pracy (ciągnikogodziny).
2Stwierdzenie 1: dwa ciągniki potrzebują $24 : 2 = 12$ godzin — PRAWDA.
3Stwierdzenie 2: ciągnik pracujący o połowę szybciej ma wydajność $1, 5$ , więc cztery takie ciągniki dają $4 \cdot 1, 5 = 6$ jednostek na godzinę.
4Czas: $24 : 6 = 4$ godziny — PRAWDA.
5Prawidłowa odpowiedź: P, P

Odpowiedź: P, P

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 1 pkt

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych. Przyjmijmy:

x

– liczba drzew iglastych,

y

– liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczb

x

oraz

y

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz łączną liczbę drzew, a następnie potrójną liczbę iglastych po zwiększeniu jej o 18.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma drzew: $x + y = 198$ .
2Po zmianie liczba iglastych wynosi $x + 18$ , a liściastych nadal $y$ .
3Warunek: $y = 3 (x + 18)$ .
4Po podstawieniu: $x + 3 x + 54 = 198$ , więc $x = 36$ i $y = 162$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. ${x + y = 198 3 (x + 18) = y$

Zadanie 2

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Prawda–fałsz

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem układu

{20 x + 20 y = 1 26 x - 26 y = 1

jest para liczb

x = x_{0}

y = y_{0}

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1. Suma

x_{0} + y_{0}

jest liczbą dodatnią.
2. Iloczyn

x_{0} \cdot y_{0}

jest liczbą dodatnią.

Wskazówka

Podziel równania przez 20 i 26, a następnie wyznacz znaki obu liczb.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{0} + y_{0} = \frac{1}{20} > 0$ — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.
2 $x_{0} - y_{0} = \frac{1}{26}$ . Dodając równania, otrzymujemy $x_{0} = \frac{23}{520} > 0$ .
3 $y_{0} = \frac{1}{20} - \frac{23}{520} = \frac{3}{520} > 0$ .
4Obie liczby są dodatnie, więc $x_{0} \cdot y_{0} > 0$ — drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

Odpowiedź: P, P

Zadanie 3

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Wyznaczanie parametrów

Matura · 1 pkt

Para liczb

x = - 1

y = 6

jest rozwiązaniem układu

{a x + 3 y = 20 x + b y = 5

gdzie

a

oraz

b

są liczbami rzeczywistymi. Wartość wyrażenia

a \cdot b

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw podaną parę do obu równań.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsze równanie: $- a + 18 = 20$ , zatem $a = - 2$ .
2Drugie równanie: $- 1 + 6 b = 5$ , zatem $b = 1$ .
3 $a \cdot b = (- 2) \cdot 1 = - 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 2)$

Zadanie 4

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Interpretacja geometryczna

Matura · 1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Interpretacja geometryczna układu równań — zadanie 4 — Źródło: Układy równań liniowych, zad. 4.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj punkty przecięcia prostych z osią $y$ i sprawdź, czy proste rosną czy maleją.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta malejąca przecina oś $y$ w punkcie $(0, 2)$ i oś $x$ w $(2, 0)$ , więc ma równanie $y = - x + 2$ .
2Druga prosta przechodzi przez $(0, - 3)$ i $(2, 1)$ , więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $2$ .
3Jej równanie to $y = 2 x - 3$ . Układ jest podany w odpowiedzi B.

Prawidłowa odpowiedź: B. ${y = - x + 2 y = 2 x - 3$

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Liczba rozwiązań

Matura · 1 pkt

Układ równań

{x - 2 y = 3 - 4 x + 8 y = - 12

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, czy drugie równanie jest wielokrotnością pierwszego.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożąc pierwsze równanie przez $- 4$ , dostajemy $- 4 x + 8 y = - 12$ .
2Oba równania opisują tę samą prostą.
3Dla dowolnego $y = t$ możemy przyjąć $x = 3 + 2 t$ . Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Prawidłowa odpowiedź: D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zadanie 6

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 1 pkt

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech

x

oraz

y

oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie. Układem równań prowadzącym do obliczenia liczb

x

y

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ustal, jaki procent drzew pozostał w każdym sadzie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Początkowa suma: $x + y = 1960$ .
2W pierwszym sadzie pozostało $0, 95 x$ , a w drugim $0, 9 y$ drzew.
3Warunek proporcji: $0, 9 y = 0, 6 \cdot 0, 95 x$ .
4To układ A.

Prawidłowa odpowiedź: A. ${x + y = 1960 0, 6 \cdot 0, 95 x = 0, 9 y$

Zadanie 7

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Interpretacja geometryczna

Matura · 1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D. Wskaż ten układ.

Interpretacja geometryczna układu równań — zadanie 7 — Źródło: Układy równań liniowych, zad. 7.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj punkty przecięcia prostych z osią $y$ i sprawdź, czy proste rosną czy maleją.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie proste są malejące i równoległe, więc mają taki sam ujemny współczynnik kierunkowy.
2Przecinają oś $y$ powyżej i poniżej początku układu, odpowiednio w $3$ oraz $- 1$ .
3Pasują równania $y = - \frac{3}{2} x + 3$ i $y = - \frac{3}{2} x - 1$ — odpowiedź A.

Prawidłowa odpowiedź: A. ${y = - \frac{3}{2} x + 3 y = - \frac{3}{2} x - 1$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Rozwiązywanie układów

Matura · 1 pkt

Dany jest układ równań

{x - 3 y + 5 = 0 2 x + y + 3 = 0

. Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz $y$ z drugiego równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z drugiego równania: $y = - 2 x - 3$ .
2Podstawiamy: $x - 3 (- 2 x - 3) + 5 = 0$ , czyli $7 x + 14 = 0$ .
3Stąd $x = - 2$ , a $y = 4 - 3 = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $x = - 2$ i $y = 1$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Sprawdzanie rozwiązania

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

(- 8, 6)

jest punktem przecięcia prostych o równaniach

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $x = - 8$ , $y = 6$ do obu równań w każdej odpowiedzi.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla D: $x - y = - 8 - 6 = - 14$ oraz $- 2 x + y = 16 + 6 = 22$ .
2Oba równania z D są spełnione.
3W A drugie równanie daje $14$ , nie $- 14$ ; w B daje $- 10$ , nie $10$ ; w C daje $- 20$ , nie $4$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $x - y = - 14$ i $- 2 x + y = 22$

Zadanie 10

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Interpretacja geometryczna

Matura · 1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Interpretacja geometryczna układu równań — zadanie 10 — Źródło: Układy równań liniowych, zad. 10.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj punkty przecięcia prostych z osią $y$ i sprawdź, czy proste rosną czy maleją.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta malejąca przechodzi przez $(0, 2)$ i $(2, 0)$ : $y = - x + 2$ .
2Prosta rosnąca przechodzi przez $(0, - 1)$ i $(1, 1)$ : $y = 2 x - 1$ .
3Oba równania zawiera odpowiedź D.

Prawidłowa odpowiedź: D. ${y = - x + 2 y = 2 x - 1$

Zadanie 11

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Dany jest prostokąt o bokach długości

a

b

, gdzie

a > b

. Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykrópkowanych miejscach.

Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: … oraz … .

A.

{2 ab = 30 a - b = 5

{2 a + b = 30 a = 5 b

{2 (a + b) = 30 b = a - 5

{2 a + 2 b = 30 b = 5 a

{2 a + 2 b = 30 a - b = 5

{a + b = 30 a = b + 5

Wskazówka

Obwód to dwukrotna suma boków; dłuższy bok jest o 5 większy.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obwód: $2 (a + b) = 30$ , równoważnie $2 a + 2 b = 30$ .
2Różnica boków: $a - b = 5$ , równoważnie $b = a - 5$ .
3Oba warunki poprawnie zapisano w C oraz E.
4Po rozwiązaniu: $a + b = 15$ , $a - b = 5$ , więc $a = 10$ , $b = 5$ .

Odpowiedź: C, E

Zadanie 12

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 1 pkt

Właściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po

x

zł za parę i 40 identycznych marynarek po

y

zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 8000 zł. Po doliczeniu marży 50% na każdą parę spodni i 20% na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe. Cenę pary spodni

x

oraz cenę marynarki

y

, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Koszt całego zakupu uwzględnia liczbę sztuk, a marża zwiększa cenę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Łączny koszt: $50 x + 40 y = 8000$ .
2Cena spodni po marży: $1, 5 x$ ; cena marynarki: $1, 2 y$ .
3Równość cen detalicznych: $1, 5 x = 1, 2 y$ . To układ C.

Prawidłowa odpowiedź: C. ${50 x + 40 y = 8000 1, 5 x = 1, 2 y$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Interpretacja geometryczna

Matura · 1 pkt

Dany jest układ równań

{y = x - 1 y = - x + 1

. Na którym z rysunków A–D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań?

Cztery rysunki A–D przedstawiające pary prostych — Źródło: Układy równań liniowych, zad. 13.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj punkty przecięcia prostych z osią $y$ i sprawdź, czy proste rosną czy maleją.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta $y = x - 1$ jest rosnąca i przecina oś $y$ w $- 1$ .
2Prosta $y = - x + 1$ jest malejąca i przecina oś $y$ w $1$ .
3Punkt przecięcia spełnia $x - 1 = - x + 1$ , więc wynosi $(1, 0)$ .
4Takie proste przedstawia rysunek A.

Prawidłowa odpowiedź: A. Rysunek A

Zadanie 14

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 1 pkt

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę 1040 zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominalach 20 zł, 50 zł oraz 100 zł. Banknotów 100-złotowych było dwa razy więcej niż 50-złotowych, a banknotów 20-złotowych było o 2 mniej niż 50-złotowych. Niech

x

oznacza liczbę banknotów 50-złotowych, a

y

– liczbę banknotów 20-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb

x

y

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Banknotów stuzłotowych jest $2 x$ , a dwudziestozłotowych $x - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma wartości banknotów: $20 y + 50 x + 100 \cdot 2 x = 1040$ .
2Zależność liczebności: $y = x - 2$ .
3Po podstawieniu: $20 (x - 2) + 250 x = 1040$ , czyli $x = 4$ i $y = 2$ .
4Poprawny układ jest w A.

Prawidłowa odpowiedź: A. ${20 y + 50 x + 100 \cdot 2 x = 1040 y = x - 2$

Zadanie 15

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Znaki rozwiązania

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem układu równań

{11 x - 11 y = 1 22 x + 22 y = - 1

jest para liczb

x = x_{0}

y = y_{0}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel równania przez ich wspólne współczynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x - y = \frac{1}{11}$ , $x + y = - \frac{1}{22}$ .
2Dodajemy równania: $2 x = \frac{1}{22}$ , zatem $x = \frac{1}{44} > 0$ .
3 $y = - \frac{1}{22} - \frac{1}{44} = - \frac{3}{44} < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x_{0} > 0$ i $y_{0} < 0$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Równanie prostej

Matura · 1 pkt

Prosta przechodząca przez punkty

(- 4, - 1)

oraz

(5, 5)

ma równanie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz współczynnik kierunkowy z dwóch punktów, następnie wyraz wolny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{5 - ( - 1 )}{5 - ( - 4 )} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
2Podstawiamy punkt $(- 4, - 1)$ : $- 1 = - \frac{8}{3} + b$ , więc $b = \frac{5}{3}$ .
3Równanie: $y = \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$

Zadanie 17

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Interpretacja geometryczna

Matura · 1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Interpretacja geometryczna układu równań — zadanie 17 — Źródło: Układy równań liniowych, zad. 17.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj punkty przecięcia prostych z osią $y$ i sprawdź, czy proste rosną czy maleją.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta rosnąca przechodzi przez $(0, 1)$ i $(1, 2)$ , więc $y = x + 1$ .
2Prosta malejąca przechodzi przez $(0, 4)$ i $(2, 0)$ , więc $y = - 2 x + 4$ .
3Oba równania występują w odpowiedzi A.

Prawidłowa odpowiedź: A. ${y = x + 1 y = - 2 x + 4$

Zadanie 18

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Wyznaczanie parametrów

Matura · 1 pkt

Para liczb

x = 1

y = - 3

spełnia układ równań

{x - y = a^{2} (1 + a) x - 3 y = - 4 a

. Wtedy

a

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Parametr musi spełniać oba równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsze równanie: $1 - (- 3) = a^{2}$ , więc $a = 2$ lub $a = - 2$ .
2Drugie: $1 + a + 9 = - 4 a$ , czyli $5 a = - 10$ .
3Zatem $a = - 2$ , co spełnia też pierwsze równanie.

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2$

Zadanie 19

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Wyznaczanie parametrów

Matura · 1 pkt

Para liczb

x = 3

y = 1

jest rozwiązaniem układu równań

{- x + 12 y = a^{2} 2 x + a y = 9

dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $x = 3$ , $y = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsze równanie: $- 3 + 12 = 9 = a^{2}$ , więc $a = 3$ lub $a = - 3$ .
2Drugie: $6 + a = 9$ , więc $a = 3$ .
3Oba warunki spełnia tylko $a = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $a = 3$

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Liczba rozwiązań

Matura · 1 pkt

Układ równań

{2 x - y = 2 x + m y = 1

ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oba równania muszą opisywać tę samą prostą.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy pierwsze równanie przez $2$ : $x - \frac{1}{2} y = 1$ .
2Drugie jest identyczne tylko dla $m = - \frac{1}{2}$ .
3Wówczas każda para z tej prostej jest rozwiązaniem.

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = - \frac{1}{2}$

Zadanie 21

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Wyznaczanie parametrów

Matura · 1 pkt

Para liczb

x = 2

y = 2

jest rozwiązaniem układu równań

{a x + y = 4 - 2 x + 3 y = 2 a

dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz $a$ z pierwszego równania i sprawdź drugie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z pierwszego: $2 a + 2 = 4$ , więc $a = 1$ .
2Z drugiego: $- 4 + 6 = 2 a$ , więc również $a = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a = 1$

Zadanie 22

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 1 pkt

Rozważmy treść następującego zadania: Obwód prostokąta o bokach długości

a

b

jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta. Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Obwód to $2 (a + b)$ , a różnica boków wynosi 10.

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek obwodu: $2 (a + b) = 60$ .
2Możemy oznaczyć dłuższy bok przez $b$ , zatem $b = a + 10$ .
3Oba warunki zapisuje układ A; jego rozwiązaniem jest $a = 10$ , $b = 20$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. ${2 (a + b) = 60 a + 10 = b$

Zadanie 23

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Warunki na rozwiązania

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem układu równań

{x + y = 1 x - y = b

z niewiadomymi

x

y

jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyraź $x$ i $y$ przez $b$ i zastosuj warunki dodatniości.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dodajemy równania: $x = \frac{1 + b}{2}$ . Odejmujemy: $y = \frac{1 - b}{2}$ .
2 $x > 0$ oznacza $b > - 1$ ; $y > 0$ oznacza $b < 1$ .
3Łącznie: $- 1 < b < 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 1 < b < 1$

Zadanie 24

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Liczba rozwiązań

Matura · 1 pkt

Układ równań

{2 x - 3 y = 5 - 4 x + 6 y = - 10

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż pierwsze równanie przez $- 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po pomnożeniu pierwszego równania przez $- 2$ otrzymujemy drugie.
2Równania są równoważne i opisują tę samą prostą.
3Dowolne $y = t$ i $x = \frac{5 + 3 t}{2}$ dają rozwiązanie, więc jest ich nieskończenie wiele.

Prawidłowa odpowiedź: D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Liczba rozwiązań

Matura · 1 pkt

Układ równań

{y = - a x + 2 a y = \frac{b}{3} x - 2

nie ma rozwiązań dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste muszą mieć te same nachylenia, ale różne wyrazy wolne.

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek równoległości: $- a = \frac{b}{3}$ . Warunek różnych prostych: $2 a \neq = - 2$ .
2Dla C: $a = 1$ , $b = - 3$ , więc równania to $y = - x + 2$ oraz $y = - x - 2$ .
3Te proste są równoległe i różne, więc nie ma rozwiązań.
4W D proste się pokrywają; w A i B mają różne nachylenia.

Prawidłowa odpowiedź: C. $a = 1$ i $b = - 3$

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Wyznaczanie parametrów

Matura · 1 pkt

Para liczb

x = 2

y = 1

jest rozwiązaniem układu równań

{x + a y = 5 2 x - y = 3

, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw podane liczby do pierwszego równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsze: $2 + a = 5$ , więc $a = 3$ .
2Drugie: $2 \cdot 2 - 1 = 3$ , więc również jest spełnione.

Prawidłowa odpowiedź: D. $a = 3$

Zadanie 27

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Układ sprzeczny

Matura · 1 pkt

Dane jest równanie

3 x + 4 y - 5 = 0

. Z którym z poniższych równań tworzy ono układ sprzeczny?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Porównaj proporcje współczynników przy $x$ , $y$ oraz wyrazu wolnego.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsze równanie oznacza $3 x + 4 y = 5$ .
2W C dzielimy równanie przez $3$ : $3 x + 4 y = \frac{10}{3}$ .
3Ta sama lewa strona nie może być równocześnie równa $5$ i $\frac{10}{3}$ , więc układ jest sprzeczny.
4A jest równaniem równoważnym; B i D opisują proste przecinające pierwszą.

Prawidłowa odpowiedź: C. $9 x + 12 y - 10 = 0$

Zadanie 28

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Znaki rozwiązania

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem układu równań

{3 x - 5 y = 0 2 x - y = 14

jest para liczb

(x, y)

takich, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz $y$ z drugiego równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z drugiego: $y = 2 x - 14$ .
2Podstawiamy: $3 x - 5 (2 x - 14) = 0$ , czyli $- 7 x + 70 = 0$ .
3Stąd $x = 10$ , $y = 6$ . Obie liczby są dodatnie.

Prawidłowa odpowiedź: D. $x > 0$ i $y > 0$

Zadanie 29

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Rozwiązywanie układów

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem układu równań

{5 x + 3 y = 3 8 x - 6 y = 48

jest para liczb

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż pierwsze równanie przez 2, a potem dodaj równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1Otrzymujemy $10 x + 6 y = 6$ .
2Dodajemy drugie: $18 x = 54$ , zatem $x = 3$ .
3Podstawiamy: $15 + 3 y = 3$ , więc $y = - 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 3$ i $y = - 4$

Zadanie 30

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Rozwiązywanie układów

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem układu równań

{x + 3 y = 5 2 x - y = 3

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z drugiego równania wyznacz $y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z drugiego: $y = 2 x - 3$ .
2Podstawiamy: $x + 3 (2 x - 3) = 5$ , czyli $7 x = 14$ .
3Zatem $x = 2$ i $y = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. ${x = 2 y = 1$

Zadanie 31

Oryginalne zadanie: zad. 26.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Układy równań

Temat: Równanie prostej

Matura · 1 pkt

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o

0, 6^{\circ} C

, gdy wysokość wzrasta o 100 m, a gdy wysokość maleje o 100 m – temperatura rośnie o

0, 6^{\circ} C

. W Zakopanem, które znajduje się na wysokości 1000 metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa

1 3^{\circ} C

. W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach. Niech

f (x) = a x + b

będzie funkcją opisującą zależność temperatury powietrza od wysokości

x

n.p.m. w dowolnym punkcie nad Zakopanem. Oblicz wartość współczynnika

a

i wartość współczynnika

b

Wskazówka

Współczynnik $a$ oznacza zmianę temperatury na jeden metr wysokości.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{- 0 , 6}{100} = - 0, 006$ .
2W Zakopanem $f (1000) = 13$ , więc $- 0, 006 \cdot 1000 + b = 13$ .
3Stąd $- 6 + b = 13$ , czyli $b = 19$ .
4Funkcja ma wzór $f (x) = - 0, 006 x + 19$ .

Odpowiedź: $a = - 0, 006$ , $b = 19$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

∣ 5 - 3∣ + ∣ 5 - 1∣

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź najpierw znak każdego wyrażenia pod modułem — pamiętaj, że $5 \approx 2, 24$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Szacujemy: $5 \approx 2, 24$ .
2Zatem $5 - 3 < 0$ , więc $∣ 5 - 3∣ = 3 - 5$ .
3Oraz $5 - 1 > 0$ , więc $∣ 5 - 1∣ = 5 - 1$ .
4Dodajemy: $(3 - 5) + (5 - 1) = 2$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Liczby

x_{1}

x_{2}

są różnymi rozwiązaniami równania

∣ x - 6∣ = 4

. Iloczyn

x_{1} \cdot x_{2}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpisz równanie na dwa przypadki: wyrażenie w module równe $4$ albo $- 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpatrujemy dwa przypadki: $x - 6 = 4$ lub $x - 6 = - 4$ .
2Z pierwszego: $x_{1} = 10$ .
3Z drugiego: $x_{2} = 2$ .
4Iloczyn: $10 \cdot 2 = 20$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $20$

Prawidłowa odpowiedź: B. $20$

Zadanie 3

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Liczby

x_{1}

x_{2}

są różnymi rozwiązaniami równania

∣ x + 4∣ = 7

. Suma

x_{1} + x_{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znajdź oba rozwiązania z dwóch przypadków, a dopiero potem je dodaj.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpatrujemy: $x + 4 = 7$ lub $x + 4 = - 7$ .
2Z pierwszego: $x_{1} = 3$ .
3Z drugiego: $x_{2} = - 11$ .
4Suma: $3 + (- 11) = - 8$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $- 8$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 8$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

∣9 - 2∣ - ∣4 - 7∣

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wykonaj odejmowanie wewnątrz każdego modułu, a potem usuń moduły.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣9 - 2∣ = ∣7∣ = 7$ .
2 $∣4 - 7∣ = ∣ - 3∣ = 3$ .
3Odejmujemy: $7 - 3 = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $4$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{∣3 - 9∣}{- 3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Moduł zawsze daje liczbę nieujemną — znak minus pozostaje tylko w mianowniku.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $∣3 - 9∣ = ∣ - 6∣ = 6$ .
2Dzielimy: $\frac{6}{- 3} = - 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2$

Zadanie 6

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Nierówności z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność

∣ x + 4, 5∣ ⩾ 6

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nierówność $∣ a ∣ ⩾ 6$ oznacza $a ⩾ 6$ lub $a ⩽ - 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpisujemy: $x + 4, 5 ⩾ 6$ lub $x + 4, 5 ⩽ - 6$ .
2Z pierwszej: $x ⩾ 1, 5$ .
3Z drugiej: $x ⩽ - 10, 5$ — tu nie ma liczb dodatnich.
4Najmniejsza liczba całkowita dodatnia spełniająca $x ⩾ 1, 5$ to $2$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 2$

Zadanie 7

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

∣3 x + 1∣ = 4 x

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prawa strona musi być nieujemna — to od razu odrzuca część odpowiedzi; pozostałe podstaw.

Rozwiązanie krok po kroku

1Moduł jest nieujemny, więc musi być $4 x ⩾ 0$ , czyli $x ⩾ 0$ — odpadają odpowiedzi z liczbami ujemnymi.
2Podstawiamy $x = 1$ : $∣3 \cdot 1 + 1∣ = ∣4∣ = 4$ oraz $4 \cdot 1 = 4$ — równość zachodzi.
3Podstawiamy $x = 2$ : $∣7∣ = 7$ , a $4 \cdot 2 = 8$ — równość nie zachodzi.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Liczbami spełniającymi równanie

∣2 x + 3∣ = 5

są

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpisz na dwa przypadki: $2 x + 3 = 5$ oraz $2 x + 3 = - 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwszy przypadek: $2 x + 3 = 5$ , czyli $2 x = 2$ i $x = 1$ .
2Drugi przypadek: $2 x + 3 = - 5$ , czyli $2 x = - 8$ i $x = - 4$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $1$ i $- 4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$ i $- 4$

Zadanie 9

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Nierówności z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba

π

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw przybliżenie $π \approx 3, 14$ do każdej nierówności i sprawdź, która jest prawdziwa.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przyjmujemy $π \approx 3, 14$ .
2A: $∣3, 14 + 1∣ = 4, 14$ , a $4, 14 > 5$ jest fałszem.
3B: $∣3, 14 - 1∣ = 2, 14$ , a $2, 14 < 2$ jest fałszem.
4C: $∣3, 14 + \frac{2}{3} ∣ \approx 3, 81$ , a $3, 81 ⩽ 4$ jest prawdą.
5D: $∣3, 14 - \frac{1}{3} ∣ \approx 2, 81$ , a $2, 81 ⩾ 3$ jest fałszem.
6Prawidłowa odpowiedź: C. $x + \frac{2}{3} ⩽ 4$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x + \frac{2}{3} ⩽ 4$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

∣4 x - 5∣ = x

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prawa strona nie może być ujemna, więc sprawdzaj tylko liczby dodatnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Moduł jest nieujemny, więc musi być $x ⩾ 0$ — odpadają odpowiedzi ujemne.
2Podstawiamy $x = 1$ : $∣4 \cdot 1 - 5∣ = ∣ - 1∣ = 1$ i prawa strona też wynosi $1$ — równość zachodzi.
3Podstawiamy $x = 2$ : $∣4 \cdot 2 - 5∣ = 3$ , a prawa strona to $2$ — równość nie zachodzi.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Zadanie 11

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

∣5 - 2∣ + ∣1 - 6∣

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno wartość każdego modułu, a potem dodaj wyniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣5 - 2∣ = ∣3∣ = 3$ .
2 $∣1 - 6∣ = ∣ - 5∣ = 5$ .
3Dodajemy: $3 + 5 = 8$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $8$

Prawidłowa odpowiedź: A. $8$

Zadanie 12

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Liczby rzeczywiste

Temat: Obliczanie wartości bezwzględnej

Matura · 1 pkt

Liczba

∣5 - 7∣ - ∣ - 3 + 4∣

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uporządkuj działania wewnątrz modułów, zanim je usuniesz.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣5 - 7∣ = ∣ - 2∣ = 2$ .
2 $∣ - 3 + 4∣ = ∣1∣ = 1$ .
3Odejmujemy: $2 - 1 = 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Liczba

(π + 1)^{2} - (π - 1)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń oba kwadraty — wyrazy z $π^{2}$ i liczby się zredukują.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(π + 1)^{2} = π^{2} + 2 π + 1$ .
2 $(π - 1)^{2} = π^{2} - 2 π + 1$ .
3Odejmujemy: $(π^{2} + 2 π + 1) - (π^{2} - 2 π + 1) = 4 π$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $4 π$

Prawidłowa odpowiedź: C. $4 π$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

x^{3} - 2 x^{2} + x

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyłącz $x$ przed nawias i przyjrzyj się temu, co zostanie w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $x$ : $x^{3} - 2 x^{2} + x = x (x^{2} - 2 x + 1)$ .
2W nawiasie rozpoznajemy kwadrat różnicy: $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ .
3Zatem wyrażenie jest równe $x (x - 1)^{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $x (x - 1)^{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x (x - 1)^{2}$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} + 10 x + 25

dla

x = 2 - 5

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwiń wyrażenie do kwadratu sumy, zanim podstawisz liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zauważamy, że $x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$ .
2Podstawiamy $x = 2 - 5$ : $(2 - 5 + 5)^{2} = (2)^{2}$ .
3Otrzymujemy $2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 4

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

wartość wyrażenia

(3 x + y)^{2} - (3 x - y)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po rozwinięciu kwadratów zostaną tylko wyrazy z iloczynem $x y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x + y)^{2} = 9 x^{2} + 6 x y + y^{2}$ .
2 $(3 x - y)^{2} = 9 x^{2} - 6 x y + y^{2}$ .
3Różnica: $6 x y - (- 6 x y) = 12 x y$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $12 x y$

Prawidłowa odpowiedź: A. $12 x y$

Zadanie 5

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

(3 x + 2)^{2} - (2 x - 3)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń oba kwadraty osobno i pamiętaj o zmianie znaków przy odejmowaniu całego nawiasu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x + 2)^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4$ .
2 $(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .
3Odejmujemy: $9 x^{2} + 12 x + 4 - 4 x^{2} + 12 x - 9$ .
4Redukujemy: $5 x^{2} + 24 x - 5$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $5 x^{2} + 24 x - 5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5 x^{2} + 24 x - 5$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat sumy z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(210 + 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ i uprość $20$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(210)^{2} = 4 \cdot 10 = 40$ , $(2)^{2} = 2$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 210 \cdot 2 = 420$ .
3Upraszczamy: $420 = 4 \cdot 25 = 85$ .
4Razem: $40 + 2 + 85 = 42 + 85$ .
5Prawidłowa odpowiedź: D. $42 + 85$

Prawidłowa odpowiedź: D. $42 + 85$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wyrażenia wymierne

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

- 1

0

1

wartość wyrażenia

\frac{2 x ^{2}}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x}

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż mianownik $x^{2} - 1$ na czynniki — wtedy zobaczysz, co można skrócić.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozkładamy: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
2Iloczyn: $\frac{2 x ^{2} ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) x}$ .
3Skracamy $(x + 1)$ oraz jedno $x$ : $\frac{2 x}{x - 1}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 x}{x - 1}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 x}{x - 1}$

Zadanie 8

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

wartość wyrażenia

(2 a + b)^{2} - (2 a - b)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po rozwinięciu zostaną wyłącznie podwójne iloczyny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 a + b)^{2} = 4 a^{2} + 4 ab + b^{2}$ .
2 $(2 a - b)^{2} = 4 a^{2} - 4 ab + b^{2}$ .
3Różnica: $4 ab + 4 ab = 8 ab$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $8 ab$

Prawidłowa odpowiedź: B. $8 ab$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadraty liczb przeciwnych

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(2 - 3)^{2} - (3 - 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Porównaj liczby w nawiasach — czym one się różnią i jak to wpływa na kwadrat?

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczby $2 - 3$ i $3 - 2$ są przeciwne.
2Kwadraty liczb przeciwnych są równe: $(2 - 3)^{2} = (3 - 2)^{2}$ .
3Ich różnica wynosi $0$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Liczba

(1 + 5)^{2} - (1 - 5)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń oba kwadraty — zostaną tylko podwójne iloczyny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1 + 5)^{2} = 1 + 25 + 5$ .
2 $(1 - 5)^{2} = 1 - 25 + 5$ .
3Różnica: $25 + 25 = 45$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Zadanie 11

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wyrażenie

(2 a - 3)^{2} - (2 a + 3)^{2}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwróć uwagę na kolejność nawiasów — od mniejszego odejmujemy większy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 a - 3)^{2} = 4 a^{2} - 12 a + 9$ .
2 $(2 a + 3)^{2} = 4 a^{2} + 12 a + 9$ .
3Różnica: $- 12 a - 12 a = - 24 a$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $- 24 a$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 24 a$

Zadanie 12

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wartość wyrażenia

(3 + 4 a)^{2} - (3 - 4 a)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Możesz też skorzystać ze wzoru $p^{2} - q^{2} = (p - q) (p + q)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 + 4 a)^{2} = 9 + 24 a + 16 a^{2}$ .
2 $(3 - 4 a)^{2} = 9 - 24 a + 16 a^{2}$ .
3Różnica: $24 a + 24 a = 48 a$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $48 a$

Prawidłowa odpowiedź: C. $48 a$

Zadanie 13

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki (dwie odpowiedzi)

Matura · 2 pkt

Wybierz **dwie** właściwe odpowiedzi. Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

wyrażenie

9 - (x^{2} - 2 x y + y^{2})

jest równe

A.

[3 - (x - 2 y)]^{2}

[3 + (x - 2 y)]^{2}

[3 - (x + 2 y)]^{2}

[3 - (x - y)] \cdot [3 + (x - y)]

[3 - (x + 2 y)] \cdot [3 + (x + 2 y)]

- [(x - y) - 3] \cdot [(x - y) + 3]

Wskazówka

Nawias zwiń najpierw do kwadratu różnicy — potem zostanie różnica dwóch kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1W nawiasie mamy kwadrat różnicy: $x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2}$ .
2Wyrażenie przyjmuje postać $9 - (x - y)^{2}$ .
3To różnica kwadratów: $9 - (x - y)^{2} = [3 - (x - y)] \cdot [3 + (x - y)]$ — odpowiedź D.
4Odpowiedź F: $- [(x - y) - 3] \cdot [(x - y) + 3] = - [(x - y)^{2} - 9] = 9 - (x - y)^{2}$ — również poprawna.
5Prawidłowa odpowiedź: D, F

Odpowiedź: D, F

Zadanie 14

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Liczba

(5 - 23)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że $(23)^{2} = 4 \cdot 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5^{2} = 25$ , $(23)^{2} = 12$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 5 \cdot 23 = 203$ .
3Razem: $25 + 12 - 203 = 37 - 203$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $37 - 203$

Prawidłowa odpowiedź: D. $37 - 203$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Iloczyn sumy i różnicy

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wyrażenie

5 - (4 + 2 a) (4 - 2 a)

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn sumy i różnicy zapisz od razu jako różnicę kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(4 + 2 a) (4 - 2 a) = 16 - 4 a^{2}$ .
2Podstawiamy: $5 - (16 - 4 a^{2})$ .
3Otrzymujemy $4 a^{2} - 11$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $4 a^{2} - 11$

Prawidłowa odpowiedź: B. $4 a^{2} - 11$

Zadanie 16

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wyrażenia z warunkiem

Matura · 1 pkt

Dodatnie liczby

x

y

spełniają warunek

2 x = 3 y

. Wynika stąd, że wartość wyrażenia

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x \cdot y}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz $x$ w zależności od $y$ i podstaw do wyrażenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z warunku: $x = \frac{3}{2} y$ .
2Licznik: $(\frac{3}{2} y)^{2} + y^{2} = \frac{9}{4} y^{2} + y^{2} = \frac{13}{4} y^{2}$ .
3Mianownik: $\frac{3}{2} y \cdot y = \frac{3}{2} y^{2}$ .
4Dzielimy: $\frac{13}{4} : \frac{3}{2} = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{6}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{13}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{13}{6}$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

(x - 1)^{2} - (2 - x)^{2}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń oba kwadraty — wyrazy z $x^{2}$ powinny się zredukować.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ .
2 $(2 - x)^{2} = 4 - 4 x + x^{2}$ .
3Odejmujemy: $x^{2} - 2 x + 1 - 4 + 4 x - x^{2} = 2 x - 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $2 x - 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2 x - 3$

Zadanie 18

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(6 - 2)^{2} - 23

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podwójny iloczyn daje $12$ — uprość go przed dalszymi działaniami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(6)^{2} + (2)^{2} = 6 + 2 = 8$ .
2Podwójny iloczyn: $262 = 212 = 43$ .
3Zatem $(6 - 2)^{2} = 8 - 43$ .
4Odejmujemy $23$ : $8 - 43 - 23 = 8 - 63$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $8 - 63$

Prawidłowa odpowiedź: A. $8 - 63$

Zadanie 19

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat sumy z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Liczba

(5 + 23)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno kwadraty i osobno podwójny iloczyn.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5)^{2} = 5$ , $(23)^{2} = 12$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 5 \cdot 23 = 415$ .
3Razem: $17 + 415$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $17 + 415$

Prawidłowa odpowiedź: C. $17 + 415$

Zadanie 20

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} - 6 x + 9

dla

x = 3 + 3

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwiń wyrażenie do postaci $(x - 3)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ .
2Podstawiamy: $(3 + 3 - 3)^{2} = (3)^{2}$ .
3Otrzymujemy $3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Kwadrat liczby

8 - 37

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $(37)^{2}$ dokładnie — to nie jest $21$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8^{2} = 64$ , $(37)^{2} = 9 \cdot 7 = 63$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 8 \cdot 37 = 487$ .
3Razem: $64 + 63 - 487 = 127 - 487$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $127 - 487$

Prawidłowa odpowiedź: B. $127 - 487$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

(3 x - 2)^{2} - (2 x - 3) (2 x + 3)

jest po uproszczeniu równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Drugi iloczyn to różnica kwadratów — zapisz go krótko przed odejmowaniem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x - 2)^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4$ .
2 $(2 x - 3) (2 x + 3) = 4 x^{2} - 9$ .
3Odejmujemy: $9 x^{2} - 12 x + 4 - 4 x^{2} + 9$ .
4Redukujemy: $5 x^{2} - 12 x + 13$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $5 x^{2} - 12 x + 13$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5 x^{2} - 12 x + 13$

Zadanie 23

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Równość z parametrem

Matura · 1 pkt

Równość

(a + 23)^{2} = 13 + 43

jest prawdziwa dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń lewą stronę i porównaj osobno część wymierną i część z $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona: $a^{2} + 4 a 3 + 12$ .
2Porównujemy części niewymierne: $4 a 3 = 43$ , więc $a = 1$ .
3Sprawdzamy część wymierną: $1 + 12 = 13$ — zgadza się.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $a = 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $a = 1$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Dla

x = \frac{2}{2} + 1

oraz

y = 2 - 1

wartość wyrażenia

x^{2} - 2 x y + y^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwiń wyrażenie do $(x - y)^{2}$ i usuń niewymierność z mianownika w $x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Upraszczamy $x$ : $\frac{2}{2} = 2$ , więc $x = 2 + 1$ .
2 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2}$ .
3Liczymy różnicę: $(2 + 1) - (2 - 1) = 2$ .
4Zatem wartość wyrażenia to $2^{2} = 4$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $4$

Zadanie 25

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z potęgami

Matura · 1 pkt

Niech

a = - 2

b = 3

. Wartość wyrażenia

a^{b} - b^{a}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uważaj na znak potęgi liczby ujemnej i na ujemny wykładnik w drugim składniku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{b} = (- 2)^{3} = - 8$ .
2 $b^{a} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ .
3Odejmujemy: $- 8 - \frac{1}{9} = - \frac{72}{9} - \frac{1}{9} = - \frac{73}{9}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $- \frac{73}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $- \frac{73}{9}$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Iloczyn kwadratów

Matura · 1 pkt

Liczba

(27 - 5)^{2} \cdot (27 + 5)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz oba nawiasy w jeden iloczyn i podnieś wynik do kwadratu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Korzystamy z własności: $p^{2} q^{2} = (pq)^{2}$ .
2 $(27 - 5) (27 + 5) = (27)^{2} - 25 = 28 - 25 = 3$ .
3Zatem całość to $3^{2} = 9$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $9$

Prawidłowa odpowiedź: A. $9$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

x^{6} - 2 x^{3} - 3

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $t = x^{3}$ i rozłóż trójmian $t^{2} - 2 t - 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Podstawiamy $t = x^{3}$ : $t^{2} - 2 t - 3$ .
2Rozkładamy: $t^{2} - 2 t - 3 = (t - 3) (t + 1)$ .
3Wracamy do $x$ : $(x^{3} - 3) (x^{3} + 1)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $(x^{3} - 3) (x^{3} + 1)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(x^{3} - 3) (x^{3} + 1)$

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia z pierwiastkami

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(b - a)^{2}

dla

a = 23

b = 75

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Uprość najpierw $75$ do postaci z $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $75 = 25 \cdot 3 = 53$ .
2Różnica: $53 - 23 = 33$ .
3Kwadrat: $(33)^{2} = 9 \cdot 3 = 27$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $27$

Prawidłowa odpowiedź: B. $27$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów w rachunkach

Matura · 1 pkt

Różnica

5000 1^{2} - 4999 9^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nie licz potęg — użyj wzoru $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Stosujemy wzór: $(50001 - 49999) (50001 + 49999)$ .
2Pierwszy nawias: $2$ , drugi: $100000$ .
3Iloczyn: $2 \cdot 100000 = 200000$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $200000$

Prawidłowa odpowiedź: B. $200000$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Najmniejsza wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Najmniejsza wartość wyrażenia

(x - y) (x + y)

dla

x, y \in {2, 3, 4}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz iloczyn jako $x^{2} - y^{2}$ — wtedy widać, kiedy wynik jest najmniejszy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ .
2Wartość jest najmniejsza, gdy $x$ jest najmniejsze, a $y$ największe: $x = 2$ , $y = 4$ .
3Obliczamy: $4 - 16 = - 12$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $- 12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 12$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Mnożenie sum algebraicznych

Matura · 1 pkt

Dane są dwie sumy algebraiczne

3 x^{3} - 2 x

oraz

- 3 x^{2} - 2

. Iloczyn tych sum jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wymnóż każdy wyraz przez każdy i dopiero potem redukuj wyrazy podobne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x^{3} \cdot (- 3 x^{2}) = - 9 x^{5}$ , $3 x^{3} \cdot (- 2) = - 6 x^{3}$ .
2 $- 2 x \cdot (- 3 x^{2}) = 6 x^{3}$ , $- 2 x \cdot (- 2) = 4 x$ .
3Sumujemy: $- 9 x^{5} - 6 x^{3} + 6 x^{3} + 4 x$ .
4Wyrazy $- 6 x^{3}$ i $6 x^{3}$ się redukują: $- 9 x^{5} + 4 x$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $- 9 x^{5} + 4 x$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 9 x^{5} + 4 x$

Zadanie 32

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Równość z parametrem

Matura · 1 pkt

Równość

(22 - a)^{2} = 17 - 122

jest prawdziwa dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń lewą stronę i porównaj współczynniki przy $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona: $8 - 4 a 2 + a^{2}$ .
2Porównujemy części z $2$ : $- 4 a 2 = - 122$ , więc $a = 3$ .
3Sprawdzamy: $8 + 9 = 17$ — zgadza się.
4Prawidłowa odpowiedź: A. $a = 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a = 3$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wartość wyrażenia wymiernego

Matura · 1 pkt

Jeśli

a = \frac{3}{2}

b = 2

, to wartość wyrażenia

\frac{a \cdot b}{a + b}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno licznik i mianownik, a potem podziel ułamki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $\frac{3}{2} \cdot 2 = 3$ .
2Mianownik: $\frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$ .
3Dzielimy: $3 : \frac{7}{2} = 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{6}{7}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{6}{7}$

Zadanie 34

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Porównywanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(a + 5)^{2}

jest większa od wartości wyrażenia

a^{2} + 10 a

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odejmij drugie wyrażenie od pierwszego i zobacz, co zostanie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a + 5)^{2} = a^{2} + 10 a + 25$ .
2Odejmujemy: $(a^{2} + 10 a + 25) - (a^{2} + 10 a) = 25$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $25$

Prawidłowa odpowiedź: D. $25$

Zadanie 35

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

3 a^{2} - 12 ab + 12 b^{2}

może być przekształcone do postaci

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz najpierw wspólny czynnik $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $3$ : $3 (a^{2} - 4 ab + 4 b^{2})$ .
2W nawiasie rozpoznajemy kwadrat różnicy: $a^{2} - 4 ab + 4 b^{2} = (a - 2 b)^{2}$ .
3Zatem wyrażenie to $3 (a - 2 b)^{2}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $3 (a - 2 b)^{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3 (a - 2 b)^{2}$

Zadanie 36

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat sumy trzech wyrazów

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

(3 x + 1 + y)^{2}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Kwadraty: $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ , $1^{2} = 1$ , $y^{2}$ .
2Podwójne iloczyny: $2 \cdot 3 x \cdot 1 = 6 x$ , $2 \cdot 3 x \cdot y = 6 x y$ , $2 \cdot 1 \cdot y = 2 y$ .
3Razem: $9 x^{2} + y^{2} + 6 x y + 6 x + 2 y + 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $9 x^{2} + y^{2} + 6 x y + 6 x + 2 y + 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $9 x^{2} + y^{2} + 6 x y + 6 x + 2 y + 1$

Zadanie 37

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Przekształcanie wzorów

Matura · 1 pkt

Jeśli

a = \frac{b}{c - b}

, to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez mianownik i zbierz wszystkie wyrazy z $b$ po jednej stronie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez $(c - b)$ : $a (c - b) = b$ .
2Rozwijamy: $a c - ab = b$ .
3Przenosimy: $a c = b + ab = b (1 + a)$ .
4Dzielimy: $b = \frac{a c}{a + 1}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $b = \frac{a \cdot c}{a + 1}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b = \frac{a \cdot c}{a + 1}$

Zadanie 38

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki przez grupowanie

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

wyrażenie

ab + a - b - 1

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pogrupuj wyrazy parami tak, aby w każdej parze dało się wyłączyć wspólny czynnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1Grupujemy: $(ab + a) - (b + 1)$ .
2Wyłączamy: $a (b + 1) - (b + 1)$ .
3Wyłączamy $(b + 1)$ : $(b + 1) (a - 1)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $(a - 1) (b + 1)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(a - 1) (b + 1)$

Zadanie 39

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

16 - (3 x + 1)^{2}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $16 = 4^{2}$ , i zastosuj wzór $p^{2} - q^{2} = (p - q) (p + q)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy jako różnicę kwadratów: $4^{2} - (3 x + 1)^{2}$ .
2Stosujemy wzór: $[4 - (3 x + 1)] \cdot [4 + (3 x + 1)]$ .
3Upraszczamy nawiasy: $(3 - 3 x) (5 + 3 x)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $(3 - 3 x) (5 + 3 x)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(3 - 3 x) \cdot (5 + 3 x)$

Zadanie 40

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Układ warunków

Matura · 1 pkt

Liczby rzeczywiste

a

b

c

spełniają warunki:

a + b = 3

b + c = 4

c + a = 5

. Wtedy suma

a + b + c

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj wszystkie trzy równania i zobacz, ile razy pojawi się każda litera.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dodajemy równania: $(a + b) + (b + c) + (c + a) = 3 + 4 + 5 = 12$ .
2Po lewej: $2 (a + b + c) = 12$ .
3Zatem $a + b + c = 6$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $6$

Prawidłowa odpowiedź: B. $6$

Zadanie 41

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Rozkład na czynniki przez grupowanie

Matura · 1 pkt

Dla każdych liczb rzeczywistych

a

b

wyrażenie

a - b + ab - 1

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Poukładaj wyrazy tak, by z jednej pary wyłączyć $a$ , a z drugiej liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Porządkujemy: $(ab + a) - (b + 1)$ .
2Wyłączamy: $a (b + 1) - (b + 1)$ .
3Wyłączamy $(b + 1)$ : $(b + 1) (a - 1)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $(a - 1) (b + 1)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(a - 1) (b + 1)$

Zadanie 42

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy

Matura · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

4 x^{2} - 12 x + 9

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, czy wyrażenie jest kwadratem różnicy: $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ , $9 = 3^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ , $9 = 3^{2}$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x$ — zgadza się ze środkowym wyrazem.
3Zatem $4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2} = (2 x - 3) (2 x - 3)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $(2 x - 3) (2 x - 3)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(2 x - 3) (2 x - 3)$

Zadanie 43

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Potęga ilorazu

Matura · 1 pkt

Potęga

(\frac{y}{x})^{5}

(gdzie

x

y

są różne od zera) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przypomnij sobie, że ujemny wykładnik odwraca ułamek.

Rozwiązanie krok po kroku

1Korzystamy ze wzoru $(\frac{p}{q})^{- n} = (\frac{q}{p})^{n}$ .
2Zatem $(\frac{x}{y})^{- 5} = (\frac{y}{x})^{5}$ .
3To dokładnie nasza potęga.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $(\frac{x}{y})^{- 5}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(\frac{x}{y})^{- 5}$

Zadanie 44

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Różnica kwadratów z warunkiem

Matura · 1 pkt

Dla pewnych liczb

a

b

zachodzą równości:

a^{2} - b^{2} = 200

a + b = 8

. Dla tych liczb wartość wyrażenia

a - b

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż $a^{2} - b^{2}$ na iloczyn i podstaw znaną sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
2Podstawiamy: $(a - b) \cdot 8 = 200$ .
3Stąd $a - b = \frac{200}{8} = 25$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $25$

Prawidłowa odpowiedź: A. $25$

Zadanie 45

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wyłączanie wspólnego czynnika

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

5 a^{2} - 10 ab + 15 a

jest równe iloczynowi

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znajdź największy wspólny czynnik wszystkich trzech wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wspólny czynnik to $5 a$ .
2Dzielimy każdy wyraz: $5 a^{2} : 5 a = a$ , $- 10 ab : 5 a = - 2 b$ , $15 a : 5 a = 3$ .
3Zatem wyrażenie to $5 a (a - 2 b + 3)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $5 a (a - 2 b + 3)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $5 a (a - 2 b + 3)$

Zadanie 46

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat sumy z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Kwadrat liczby

x = 5 + 23

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nie zapomnij o podwójnym iloczynie ze wzoru $(a + b)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5^{2} = 25$ , $(23)^{2} = 12$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 5 \cdot 23 = 203$ .
3Razem: $25 + 12 + 203 = 37 + 203$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $37 + 203$

Prawidłowa odpowiedź: C. $37 + 203$

Zadanie 47

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Iloczyn trzech czynników

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

x (x - 1) (x + 1)

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż najpierw dwa nawiasy — powstanie różnica kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ .
2Mnożymy przez $x$ : $x (x^{2} - 1) = x^{3} - x$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $x^{3} - x$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x^{3} - x$

Zadanie 48

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Kwadrat liczby

x = 2 - 3

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zastosuj wzór $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2^{2} = 4$ , $(3)^{2} = 3$ .
2Podwójny iloczyn: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 43$ .
3Razem: $4 + 3 - 43 = 7 - 43$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $7 - 43$

Prawidłowa odpowiedź: A. $7 - 43$

Zadanie 49

Oryginalne zadanie: zad. 49

Poziom: Podstawowy

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Liczby wymierne i niewymierne (dwie odpowiedzi)

Matura · 2 pkt

Dana jest liczba

x = a - (3 - 2)^{2}

, gdzie

a

jest liczbą rzeczywistą. Zaznacz **dwie** odpowiedzi, dla których liczba

x

jest wymierna.

A.

a = 5

a = - 3 + 2

a = (2 - 3)^{2} + 0, 3

a = 6

a = - 26 + 12, 5

a = (2 - 3)^{2} - 26

a = - 6

Wskazówka

Policz najpierw $(3 - 2)^{2}$ i sprawdź, która część wyniku jest niewymierna.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obliczamy: $(3 - 2)^{2} = 3 + 2 - 26 = 5 - 26$ .
2Zatem $x = a - 5 + 26$ — liczba $a$ musi „usunąć” składnik $26$ .
3Odpowiedź C: $a = 5 - 26 + 0, 3$ , więc $x = 0, 3$ — liczba wymierna.
4Odpowiedź E: $a = - 26 + 12, 5$ , więc $x = 12, 5 - 5 = 7, 5$ — liczba wymierna.
5W pozostałych przypadkach składnik $26$ nie znika, więc $x$ jest niewymierna.
6Prawidłowa odpowiedź: C, E

Odpowiedź: C, E

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (3 x - 2) < 1

Wskazówka

Wymnóż nawias i przenieś wszystko na lewą stronę, aby otrzymać postać $a x^{2} + b x + c < 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $3 x^{2} - 2 x - 1 < 0$ .
2Obliczamy wyróżnik: $Δ = 4 + 12 = 16$ , $Δ = 4$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{2 - 4}{6} = - \frac{1}{3}$ , $x_{2} = \frac{2 + 4}{6} = 1$ .
4Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc wartości ujemne są między pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \frac{1}{3}, 1)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1

x_{1} = - \frac{1}{3}

x_{2} = 1

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \frac{1}{3}, 1)$

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} + 4 x ⩾ 6 x + 8

Wskazówka

Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę i uporządkuj według potęg $x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Porządkujemy: $3 x^{2} - 2 x - 8 ⩾ 0$ .
2 $Δ = 4 + 96 = 100$ , $Δ = 10$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{2 - 10}{6} = - \frac{4}{3}$ , $x_{2} = \frac{2 + 10}{6} = 2$ .
4Ramiona w górę, więc wartości nieujemne są na zewnątrz pierwiastków.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{4}{3} ⟩ \cup ⟨ 2, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 8

x_{1} = - \frac{4}{3}

x_{2} = 2

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{4}{3} ⟩ \cup ⟨ 2, \infty)$

Zadanie 3

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

(x - 3) (x + 5) > 9

Wskazówka

Najpierw wymnóż nawiasy, a potem przenieś 9 na lewą stronę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wymnażamy: $x^{2} + 2 x - 15 > 9$ .
2Porządkujemy: $x^{2} + 2 x - 24 > 0$ .
3 $Δ = 4 + 96 = 100$ , pierwiastki: $x_{1} = - 6$ , $x_{2} = 4$ .
4Ramiona w górę — wartości dodatnie poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 2 x - 24

x_{1} = - 6

x_{2} = 4

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

Zadanie 4

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

- 3 x^{2} > 6 x - 9

Wskazówka

Po przeniesieniu wyrazów podziel nierówność przez $- 3$ i pamiętaj o zmianie znaku.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przenosimy: $- 3 x^{2} - 6 x + 9 > 0$ .
2Dzielimy przez $- 3$ (zmieniamy znak): $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$ .
4Wartości ujemne są między pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- 3, 1)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- 3, 1)$

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (x + 4) < x - 2

Wskazówka

Wymnóż lewą stronę i przenieś wszystko na jedną stronę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Po przekształceniu: $x^{2} + 3 x + 2 < 0$ .
2 $Δ = 9 - 8 = 1$ , pierwiastki: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 1$ .
3Wartości ujemne są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in (- 2, - 1)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 3 x + 2

x_{1} = - 2

x_{2} = - 1

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- 2, - 1)$

Zadanie 6

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 (2 x^{2} + 1) < 11 x

Wskazówka

Opuść nawias i zbierz wszystko po lewej stronie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Po przekształceniu: $6 x^{2} - 11 x + 3 < 0$ .
2 $Δ = 121 - 72 = 49$ , $Δ = 7$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{11 - 7}{12} = \frac{1}{3}$ , $x_{2} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{3}{2}$ .
4Wartości ujemne są między pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{2})$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 6 x^{2} - 11 x + 3

x_{1} = \frac{1}{3}

x_{2} = \frac{3}{2}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{2})$

Zadanie 7

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (x - 6) ⩽ 7

Wskazówka

Doprowadź nierówność do postaci $x^{2} - 6 x - 7 ⩽ 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $x^{2} - 6 x - 7 ⩽ 0$ .
2 $Δ = 36 + 28 = 64$ , pierwiastki: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 7$ .
3Wartości niedodatnie są między pierwiastkami (z końcami).
4Odpowiedź: $x \in ⟨ - 1, 7 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 6 x - 7

x_{1} = - 1

x_{2} = 7

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 1, 7 ⟩$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (2 x - 1) < 2 x

Wskazówka

Po uporządkowaniu wyłącz $x$ przed nawias — nie musisz liczyć delty.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $2 x^{2} - 3 x < 0$ .
2Wyłączamy $x$ : $x (2 x - 3) < 0$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = \frac{3}{2}$ ; wartości ujemne są między nimi.
4Odpowiedź: $x \in (0, \frac{3}{2})$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 2 x^{2} - 3 x

x_{1} = 0

x_{2} = \frac{3}{2}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (0, \frac{3}{2})$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 8 x ⩾ 3

Wskazówka

Przenieś 3 na lewą stronę i policz wyróżnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $3 x^{2} - 8 x - 3 ⩾ 0$ .
2 $Δ = 64 + 36 = 100$ , $Δ = 10$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{8 - 10}{6} = - \frac{1}{3}$ , $x_{2} = \frac{8 + 10}{6} = 3$ .
4Wartości nieujemne są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{1}{3} ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3

x_{1} = - \frac{1}{3}

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{1}{3} ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

- 3 x^{2} + 8 ⩾ 10 x

Wskazówka

Po uporządkowaniu pomnóż nierówność przez $- 1$ i zmień znak.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $- 3 x^{2} - 10 x + 8 ⩾ 0$ , czyli $3 x^{2} + 10 x - 8 ⩽ 0$ .
2 $Δ = 100 + 96 = 196$ , $Δ = 14$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{- 10 - 14}{6} = - 4$ , $x_{2} = \frac{- 10 + 14}{6} = \frac{2}{3}$ .
4Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in ⟨ - 4, \frac{2}{3} ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x^{2} + 10 x - 8

x_{1} = - 4

x_{2} = \frac{2}{3}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 4, \frac{2}{3} ⟩$

Zadanie 11

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 2 x - 9 ⩾ 7

Wskazówka

Przenieś 7 na lewą stronę i policz deltę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $3 x^{2} - 2 x - 16 ⩾ 0$ .
2 $Δ = 4 + 192 = 196$ , $Δ = 14$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{2 - 14}{6} = - 2$ , $x_{2} = \frac{2 + 14}{6} = \frac{8}{3}$ .
4Wartości nieujemne są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 2 ⟩ \cup ⟨ \frac{8}{3}, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 16

x_{1} = - 2

x_{2} = \frac{8}{3}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 2 ⟩ \cup ⟨ \frac{8}{3}, \infty)$

Zadanie 12

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 (x + 1) (x - 3) < x^{2} - 9

Wskazówka

Wymnóż obie strony i zbierz wyrazy — zostanie prosta nierówność kwadratowa.

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona: $2 (x^{2} - 2 x - 3) = 2 x^{2} - 4 x - 6$ .
2Przenosimy: $2 x^{2} - 4 x - 6 - x^{2} + 9 < 0$ , czyli $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$ ; wartości ujemne są między nimi.
4Odpowiedź: $x \in (1, 3)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

x_{1} = 1

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (1, 3)$

Zadanie 13

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} - 5 x ⩽ 14

Wskazówka

Doprowadź do postaci $x^{2} - 5 x - 14 ⩽ 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $x^{2} - 5 x - 14 ⩽ 0$ .
2 $Δ = 25 + 56 = 81$ , pierwiastki: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 7$ .
3Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in ⟨ - 2, 7 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 5 x - 14

x_{1} = - 2

x_{2} = 7

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 2, 7 ⟩$

Zadanie 14

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x (x + 1) > x^{2} + x + 24

Wskazówka

Wymnóż lewą stronę i uporządkuj — współczynniki da się skrócić przez 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona: $3 x^{2} + 3 x$ .
2Przenosimy: $2 x^{2} + 2 x - 24 > 0$ , dzielimy przez 2: $x^{2} + x - 12 > 0$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 3$ .
4Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + x - 12

x_{1} = - 4

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Zadanie 15

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

- 2 x^{2} + 5 x + 3 ⩽ 0

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez $- 1$ , zmieniając znak nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez $- 1$ : $2 x^{2} - 5 x - 3 ⩾ 0$ .
2 $Δ = 25 + 24 = 49$ , $Δ = 7$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}$ , $x_{2} = \frac{5 + 7}{4} = 3$ .
4Wartości nieujemne są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 2 x^{2} - 5 x - 3

x_{1} = - \frac{1}{2}

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

(2 x + 5) (3 x - 1) ⩾ 0

Wskazówka

Nierówność jest już w postaci iloczynowej — odczytaj pierwiastki bez liczenia delty.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $2 x + 5 = 0$ daje $x = - \frac{5}{2}$ , $3 x - 1 = 0$ daje $x = \frac{1}{3}$ .
2Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni ( $2 \cdot 3 = 6$ ), więc ramiona w górę.
3Wartości nieujemne są poza pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{5}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{1}{3}, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = (2 x + 5) (3 x - 1)

x_{1} = - \frac{5}{2}

x_{2} = \frac{1}{3}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{5}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{1}{3}, \infty)$

Zadanie 17

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 (x - 1) (x + 3) > x - 1

Wskazówka

Wymnóż lewą stronę i przenieś wszystko na lewo.

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona: $2 x^{2} + 4 x - 6$ .
2Przenosimy: $2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$ .
3 $Δ = 9 + 40 = 49$ , pierwiastki: $x_{1} = - \frac{5}{2}$ , $x_{2} = 1$ .
4Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (1, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5

x_{1} = - \frac{5}{2}

x_{2} = 1

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (1, \infty)$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} - 5 x + 3 ⩽ 0

Wskazówka

Policz wyróżnik i zaznacz pierwiastki na osi.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 25 - 24 = 1$ , $Δ = 1$ .
2Pierwiastki: $x_{1} = \frac{5 - 1}{4} = 1$ , $x_{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$ .
3Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in ⟨ 1, \frac{3}{2} ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 3

x_{1} = 1

x_{2} = \frac{3}{2}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ 1, \frac{3}{2} ⟩$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (7 x + 2) > 7 x + 2

Wskazówka

Przenieś prawą stronę na lewo — możesz też wyłączyć wspólny nawias $(7 x + 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przenosimy: $7 x^{2} + 2 x - 7 x - 2 > 0$ , czyli $7 x^{2} - 5 x - 2 > 0$ .
2 $Δ = 25 + 56 = 81$ , $Δ = 9$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{5 - 9}{14} = - \frac{2}{7}$ , $x_{2} = \frac{5 + 9}{14} = 1$ .
4Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{2}{7}) \cup (1, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 7 x^{2} - 5 x - 2

x_{1} = - \frac{2}{7}

x_{2} = 1

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{2}{7}) \cup (1, \infty)$

Zadanie 20

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 16 x + 16 > 0

Wskazówka

Policz deltę — pierwiastki są liczbami wymiernymi.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 256 - 192 = 64$ , $Δ = 8$ .
2Pierwiastki: $x_{1} = \frac{16 - 8}{6} = \frac{4}{3}$ , $x_{2} = \frac{16 + 8}{6} = 4$ .
3Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in (- \infty, \frac{4}{3}) \cup (4, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16

x_{1} = \frac{4}{3}

x_{2} = 4

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, \frac{4}{3}) \cup (4, \infty)$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 6 x - 16 < 0

Wskazówka

Spróbuj odgadnąć pierwiastki ze wzorów Viète'a: suma $- 6$ , iloczyn $- 16$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 36 + 64 = 100$ , $Δ = 10$ .
2Pierwiastki: $x_{1} = - 8$ , $x_{2} = 2$ .
3Wartości ujemne są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in (- 8, 2)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 6 x - 16

x_{1} = - 8

x_{2} = 2

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- 8, 2)$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x (1 - x) + 1 - x < 0

Wskazówka

Uporządkuj wyrażenie, a następnie pomnóż przez $- 1$ ze zmianą znaku.

Rozwiązanie krok po kroku

1Po uporządkowaniu: $- 2 x^{2} + x + 1 < 0$ .
2Mnożymy przez $- 1$ : $2 x^{2} - x - 1 > 0$ .
3 $Δ = 1 + 8 = 9$ , pierwiastki: $x_{1} = - \frac{1}{2}$ , $x_{2} = 1$ .
4Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 2 x^{2} - x - 1

x_{1} = - \frac{1}{2}

x_{2} = 1

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, \infty)$

Zadanie 23

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} - 3 x > 5

Wskazówka

Przenieś 5 na lewą stronę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $2 x^{2} - 3 x - 5 > 0$ .
2 $Δ = 9 + 40 = 49$ , pierwiastki: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = \frac{5}{2}$ .
3Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 1) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 5

x_{1} = - 1

x_{2} = \frac{5}{2}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 1) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Zadanie 24

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} + x - 6 ⩽ 0

Wskazówka

Policz wyróżnik i wskaż przedział między pierwiastkami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 1 + 48 = 49$ , $Δ = 7$ .
2Pierwiastki: $x_{1} = \frac{- 1 - 7}{4} = - 2$ , $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{4} = \frac{3}{2}$ .
3Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in ⟨ - 2, \frac{3}{2} ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 2 x^{2} + x - 6

x_{1} = - 2

x_{2} = \frac{3}{2}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 2, \frac{3}{2} ⟩$

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

(x - \frac{1}{2}) x > 3 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{3})

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i wyłącz wspólny czynnik $(x - \frac{1}{2})$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przenosimy i wyłączamy: $(x - \frac{1}{2}) [x - 3 (x + \frac{1}{3})] > 0$ .
2Upraszczamy nawias: $x - 3 x - 1 = - 2 x - 1$ .
3Mamy $(x - \frac{1}{2}) (- 2 x - 1) > 0$ , czyli $(x - \frac{1}{2}) (2 x + 1) < 0$ .
4Pierwiastki: $- \frac{1}{2}$ i $\frac{1}{2}$ ; wartości ujemne są między nimi.
5Odpowiedź: $x \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = (x - \frac{1}{2}) (2 x + 1)

x_{1} = - \frac{1}{2}

x_{2} = \frac{1}{2}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 6 x ⩾ (x - 2) (x - 8)

Wskazówka

Wymnóż prawą stronę i przenieś wszystko na lewo.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prawa strona: $x^{2} - 10 x + 16$ .
2Przenosimy: $2 x^{2} + 4 x - 16 ⩾ 0$ , dzielimy przez 2: $x^{2} + 2 x - 8 ⩾ 0$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ .
4Wartości nieujemne są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 2, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 2 x - 8

x_{1} = - 4

x_{2} = 2

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 2, \infty)$

Zadanie 27

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} - 4 x > 3 x^{2} - 6 x

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę — zostanie nierówność bez wyrazu wolnego.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przenosimy: $0 > x^{2} - 2 x$ , czyli $x^{2} - 2 x < 0$ .
2Wyłączamy $x$ : $x (x - 2) < 0$ .
3Wartości ujemne są między pierwiastkami $0$ i $2$ .
4Odpowiedź: $x \in (0, 2)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 2 x

x_{1} = 0

x_{2} = 2

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (0, 2)$

Zadanie 28

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

20 x ⩾ 4 x^{2} + 24

Wskazówka

Po uporządkowaniu podziel całość przez 4.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $4 x^{2} - 20 x + 24 ⩽ 0$ .
2Dzielimy przez 4: $x^{2} - 5 x + 6 ⩽ 0$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .
4Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in ⟨ 2, 3 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 5 x + 6

x_{1} = 2

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ 2, 3 ⟩$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 9 x ⩽ x - 3

Wskazówka

Przenieś prawą stronę na lewo i policz deltę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $3 x^{2} - 10 x + 3 ⩽ 0$ .
2 $Δ = 100 - 36 = 64$ , $Δ = 8$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$ , $x_{2} = \frac{10 + 8}{6} = 3$ .
4Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in ⟨ \frac{1}{3}, 3 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x^{2} - 10 x + 3

x_{1} = \frac{1}{3}

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ \frac{1}{3}, 3 ⟩$

Zadanie 30

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} - 4 x > (x + 3) (x - 2)

Wskazówka

Wymnóż prawą stronę, a potem uporządkuj nierówność.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prawa strona: $x^{2} + x - 6$ .
2Przenosimy: $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ .
3Pierwiastki: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .
4Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
5Odpowiedź: $x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 5 x + 6

x_{1} = 2

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty)$

Zadanie 31

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

- x^{2} - 4 x + 21 < 0

Wskazówka

Pomnóż nierówność przez $- 1$ i zmień jej znak.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez $- 1$ : $x^{2} + 4 x - 21 > 0$ .
2 $Δ = 16 + 84 = 100$ , pierwiastki: $x_{1} = - 7$ , $x_{2} = 3$ .
3Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 7) \cup (3, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 4 x - 21

x_{1} = - 7

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 7) \cup (3, \infty)$

Zadanie 32

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

- x^{2} - 5 x + 14 < 0

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez $- 1$ , zmieniając kierunek nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez $- 1$ : $x^{2} + 5 x - 14 > 0$ .
2 $Δ = 25 + 56 = 81$ , pierwiastki: $x_{1} = - 7$ , $x_{2} = 2$ .
3Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 7) \cup (2, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 5 x - 14

x_{1} = - 7

x_{2} = 2

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 7) \cup (2, \infty)$

Zadanie 33

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

(2 x - 3) (3 - x) ⩾ 0

Wskazówka

Odczytaj pierwiastki z postaci iloczynowej i sprawdź znak współczynnika przy $x^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $x_{1} = \frac{3}{2}$ , $x_{2} = 3$ .
2Współczynnik przy $x^{2}$ to $2 \cdot (- 1) = - 2$ , więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
3Wartości nieujemne są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in ⟨ \frac{3}{2}, 3 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = (2 x - 3) (3 - x)

x_{1} = \frac{3}{2}

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ \frac{3}{2}, 3 ⟩$

Zadanie 34

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x - x^{2} ⩾ 0

Wskazówka

Wyłącz $x$ przed nawias — delta nie jest potrzebna.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $x$ : $x (3 - x) ⩾ 0$ .
2Pierwiastki: $0$ i $3$ , ramiona w dół.
3Wartości nieujemne są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in ⟨ 0, 3 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x - x^{2}

x_{1} = 0

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ 0, 3 ⟩$

Zadanie 35

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} - 7 x + 5 ⩾ 0

Wskazówka

Policz deltę i zaznacz pierwiastki na osi liczbowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 49 - 40 = 9$ , $Δ = 3$ .
2Pierwiastki: $x_{1} = \frac{7 - 3}{4} = 1$ , $x_{2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{5}{2}$ .
3Wartości nieujemne są poza pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ \frac{5}{2}, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5

x_{1} = 1

x_{2} = \frac{5}{2}

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ \frac{5}{2}, \infty)$

Zadanie 36

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

- 3 x^{2} + 3 x + 36 ⩾ 0

Wskazówka

Podziel całość przez $- 3$ i zmień znak nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $- 3$ : $x^{2} - x - 12 ⩽ 0$ .
2 $Δ = 1 + 48 = 49$ , pierwiastki: $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 4$ .
3Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in ⟨ - 3, 4 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - x - 12

x_{1} = - 3

x_{2} = 4

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 3, 4 ⟩$

Zadanie 37

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} - 3 x + 2 < 0

Wskazówka

Pierwiastki można odczytać ze wzorów Viète'a: suma 3, iloczyn 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 9 - 8 = 1$ , pierwiastki: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ .
2Wartości ujemne są między pierwiastkami.
3Odpowiedź: $x \in (1, 2)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 3 x + 2

x_{1} = 1

x_{2} = 2

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (1, 2)$

Zadanie 38

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 10 x + 3 ⩽ 0

Wskazówka

Policz wyróżnik — będzie liczbą kwadratową.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 100 - 36 = 64$ , $Δ = 8$ .
2Pierwiastki: $x_{1} = \frac{1}{3}$ , $x_{2} = 3$ .
3Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in ⟨ \frac{1}{3}, 3 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = 3 x^{2} - 10 x + 3

x_{1} = \frac{1}{3}

x_{2} = 3

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ \frac{1}{3}, 3 ⟩$

Zadanie 39

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 11 x + 30 ⩽ 0

Wskazówka

Szukaj dwóch liczb o sumie $- 11$ i iloczynie $30$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 121 - 120 = 1$ , pierwiastki: $x_{1} = - 6$ , $x_{2} = - 5$ .
2Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
3Odpowiedź: $x \in ⟨ - 6, - 5 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 11 x + 30

x_{1} = - 6

x_{2} = - 5

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 6, - 5 ⟩$

Zadanie 40

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} - 14 x + 24 > 0

Wskazówka

Policz deltę i zaznacz pierwiastki na osi.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 196 - 96 = 100$ , pierwiastki: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 12$ .
2Wartości dodatnie są poza pierwiastkami.
3Odpowiedź: $x \in (- \infty, 2) \cup (12, \infty)$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 14 x + 24

x_{1} = 2

x_{2} = 12

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 2) \cup (12, \infty)$

Zadanie 41

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} - x - 2 ⩽ 0

Wskazówka

Pierwiastki są liczbami całkowitymi — spróbuj rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)$ .
2Pierwiastki: $- 1$ i $2$ .
3Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
4Odpowiedź: $x \in ⟨ - 1, 2 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - x - 2

x_{1} = - 1

x_{2} = 2

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 1, 2 ⟩$

Zadanie 42

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} - 3 x + 2 ⩽ 0

Wskazówka

Rozłóż wyrażenie: $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ .
2Ramiona w górę, więc wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
3Odpowiedź: $x \in ⟨ 1, 2 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - 3 x + 2

x_{1} = 1

x_{2} = 2

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ 1, 2 ⟩$

Zadanie 43

Matura: informator CKE 2023

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 2 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 6 x - 7 ⩽ 0

Wskazówka

Szukaj dwóch liczb o sumie $- 6$ i iloczynie $- 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 36 + 28 = 64$ , pierwiastki: $x_{1} = - 7$ , $x_{2} = 1$ .
2Wartości niedodatnie są między pierwiastkami.
3Odpowiedź: $x \in ⟨ - 7, 1 ⟩$

Szkic wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 6 x - 7

x_{1} = - 7

x_{2} = 1

zbiór rozwiązań

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 7, 1 ⟩$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń z liczbą nieparzystą

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej

n

liczba

3 n^{2} + 6 n + 15

jest podzielna przez 12.

Wskazówka

Każdą liczbę nieparzystą zapisz w postaci $n = 2 k + 1$ , gdzie $k$ jest całkowite.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $n = 2 k + 1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
2Wtedy $3 n^{2} = 3 (4 k^{2} + 4 k + 1) = 12 k^{2} + 12 k + 3$ .
3Oraz $6 n = 12 k + 6$ .
4Sumujemy: $12 k^{2} + 12 k + 3 + 12 k + 6 + 15 = 12 k^{2} + 24 k + 24$ .
5Wyłączamy 12: $12 (k^{2} + 2 k + 2)$ — liczba w nawiasie jest całkowita.
6Zatem wyrażenie jest podzielne przez 12, co kończy dowód.
7Odpowiedź: $3 n^{2} + 6 n + 15 = 12 (k^{2} + 2 k + 2)$ dla $n = 2 k + 1$

Odpowiedź: $3 n^{2} + 6 n + 15 = 12 (k^{2} + 2 k + 2)$ dla $n = 2 k + 1$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n ⩾ 0

liczba

7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}

jest podzielna przez 19.

Wskazówka

Wyłącz przed nawias najmniejszą z potęg, czyli $7^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $7^{n}$ : $7^{n} (1 + 7 + 49)$ .
2Sumujemy nawias: $1 + 7 + 49 = 57$ .
3Zauważamy, że $57 = 19 \cdot 3$ .
4Zatem liczba jest równa $19 \cdot 3 \cdot 7^{n}$ , czyli jest podzielna przez 19.
5Odpowiedź: $7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2} = 19 \cdot 3 \cdot 7^{n}$

Odpowiedź: $7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2} = 19 \cdot 3 \cdot 7^{n}$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność iloczynu

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n

liczba

7 n^{2} + 21 n

jest podzielna przez 14.

Wskazówka

Wyłącz $7 n$ i zastanów się, dlaczego $n (n + 3)$ jest zawsze liczbą parzystą.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy wspólny czynnik: $7 n^{2} + 21 n = 7 n (n + 3)$ .
2Jeśli $n$ jest parzyste, to iloczyn $n (n + 3)$ jest parzysty.
3Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $n + 3$ jest parzyste, więc iloczyn też jest parzysty.
4Zatem $n (n + 3) = 2 m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ .
5Stąd $7 n (n + 3) = 14 m$ — liczba jest podzielna przez 14.
6Odpowiedź: $7 n (n + 3) = 14 m$ , bo $n (n + 3)$ jest parzyste

Odpowiedź: $7 n (n + 3) = 14 m$ , bo $n (n + 3)$ jest parzyste

Zadanie 4

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Różnica potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

250 1^{4} - 249 9^{4}

jest podzielna przez 10 000.

Wskazówka

Zastosuj wzór na różnicę kwadratów, traktując $250 1^{2}$ i $249 9^{2}$ jako kwadraty.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $250 1^{4} - 249 9^{4} = (250 1^{2} - 249 9^{2}) (250 1^{2} + 249 9^{2})$ .
2Pierwszy nawias to znowu różnica kwadratów: $(2501 - 2499) (2501 + 2499) = 2 \cdot 5000 = 10000$ .
3Zatem liczba jest równa $10000 \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2})$ .
4Drugi czynnik jest liczbą całkowitą, więc całość dzieli się przez 10 000.
5Odpowiedź: $250 1^{4} - 249 9^{4} = 10000 \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2})$

Odpowiedź: $250 1^{4} - 249 9^{4} = 10000 \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2})$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

8^{50} - 2^{145}

jest podzielna przez 31.

Wskazówka

Zapisz $8^{50}$ jako potęgę dwójki i wyłącz wspólny czynnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8^{50} = (2^{3})^{50} = 2^{150}$ .
2Wyłączamy $2^{145}$ : $2^{150} - 2^{145} = 2^{145} (2^{5} - 1)$ .
3Obliczamy nawias: $2^{5} - 1 = 31$ .
4Zatem liczba jest równa $31 \cdot 2^{145}$ — dzieli się przez 31.
5Odpowiedź: $8^{50} - 2^{145} = 31 \cdot 2^{145}$

Odpowiedź: $8^{50} - 2^{145} = 31 \cdot 2^{145}$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

a

, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej

b

, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba

a^{2} - b^{2}

jest podzielna przez 5.

Wskazówka

Zapisz $a = 5 k + 1$ i $b = 5 m + 4$ , a potem policz kwadraty.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $a = 5 k + 1$ i $b = 5 m + 4$ , gdzie $k$ , $m$ są całkowite.
2 $a^{2} = 25 k^{2} + 10 k + 1$ .
3 $b^{2} = 25 m^{2} + 40 m + 16$ .
4Odejmujemy: $a^{2} - b^{2} = 25 k^{2} + 10 k - 25 m^{2} - 40 m - 15$ .
5Wyłączamy 5: $5 (5 k^{2} + 2 k - 5 m^{2} - 8 m - 3)$ .
6Nawias jest liczbą całkowitą, więc różnica dzieli się przez 5.
7Odpowiedź: $a^{2} - b^{2} = 5 (5 k^{2} + 2 k - 5 m^{2} - 8 m - 3)$

Odpowiedź: $a^{2} - b^{2} = 5 (5 k^{2} + 2 k - 5 m^{2} - 8 m - 3)$

Zadanie 7

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń z liczbą nieparzystą

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej

n

liczba

3 n^{2} + 2 n + 7

jest podzielna przez 4.

Wskazówka

Podstaw $n = 2 k + 1$ i uporządkuj wyrażenie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $n = 2 k + 1$ .
2 $3 n^{2} = 12 k^{2} + 12 k + 3$ , $2 n = 4 k + 2$ .
3Sumujemy: $12 k^{2} + 12 k + 3 + 4 k + 2 + 7 = 12 k^{2} + 16 k + 12$ .
4Wyłączamy 4: $4 (3 k^{2} + 4 k + 3)$ .
5Zatem liczba jest podzielna przez 4.
6Odpowiedź: $3 n^{2} + 2 n + 7 = 4 (3 k^{2} + 4 k + 3)$ dla $n = 2 k + 1$

Odpowiedź: $3 n^{2} + 2 n + 7 = 4 (3 k^{2} + 4 k + 3)$ dla $n = 2 k + 1$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24}

jest podzielna przez 21.

Wskazówka

Zapisz wszystkie składniki jako potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{49} = 2^{98}$ , $1 6^{24} = 2^{96}$ .
2Suma: $2^{100} + 2^{98} + 2^{96} = 2^{96} (2^{4} + 2^{2} + 1)$ .
3Obliczamy nawias: $16 + 4 + 1 = 21$ .
4Zatem liczba jest równa $21 \cdot 2^{96}$ — dzieli się przez 21.
5Odpowiedź: $2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24} = 21 \cdot 2^{96}$

Odpowiedź: $2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24} = 21 \cdot 2^{96}$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

(2 n + 5)^{2} + 3

jest podzielna przez 4.

Wskazówka

Rozwiń kwadrat i sprawdź, czy z każdego wyrazu można wyłączyć 4.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 n + 5)^{2} = 4 n^{2} + 20 n + 25$ .
2Dodajemy 3: $4 n^{2} + 20 n + 28$ .
3Wyłączamy 4: $4 (n^{2} + 5 n + 7)$ .
4Nawias jest liczbą naturalną, więc liczba dzieli się przez 4.
5Odpowiedź: $(2 n + 5)^{2} + 3 = 4 (n^{2} + 5 n + 7)$

Odpowiedź: $(2 n + 5)^{2} + 3 = 4 (n^{2} + 5 n + 7)$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Iloczyn kolejnych liczb

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

5 n^{3} - 5 n

jest podzielna przez 30.

Wskazówka

Rozłóż wyrażenie na czynniki — otrzymasz iloczyn trzech kolejnych liczb.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 n^{3} - 5 n = 5 n (n^{2} - 1) = 5 (n - 1) n (n + 1)$ .
2Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 2 i przez 3, więc przez 6.
3Zatem $(n - 1) n (n + 1) = 6 m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ .
4Stąd $5 (n - 1) n (n + 1) = 30 m$ — liczba dzieli się przez 30.
5Odpowiedź: $5 (n - 1) n (n + 1) = 30 m$

Odpowiedź: $5 (n - 1) n (n + 1) = 30 m$

Zadanie 11

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}

przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Wskazówka

Rozwiń kwadraty i spróbuj zapisać wynik w postaci $3 \cdot (co s ˊ) + 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwijamy: $n^{2} + (n^{2} + 2 n + 1) + (n^{2} + 4 n + 4) = 3 n^{2} + 6 n + 5$ .
2Zapisujemy: $3 n^{2} + 6 n + 5 = 3 (n^{2} + 2 n + 1) + 2$ .
3Czyli liczba to $3 (n + 1)^{2} + 2$ .
4Zatem przy dzieleniu przez 3 reszta jest równa 2.
5Odpowiedź: $3 (n + 1)^{2} + 2$ , więc reszta to 2

Odpowiedź: $3 (n + 1)^{2} + 2$ , więc reszta to 2

Zadanie 12

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń z liczbą nieparzystą

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej

n

liczba

3 n^{2} + 4 n + 1

jest podzielna przez 4.

Wskazówka

Podstaw $n = 2 k + 1$ i uporządkuj wyrażenie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $n = 2 k + 1$ .
2 $3 n^{2} = 12 k^{2} + 12 k + 3$ , $4 n = 8 k + 4$ .
3Sumujemy: $12 k^{2} + 12 k + 3 + 8 k + 4 + 1 = 12 k^{2} + 20 k + 8$ .
4Wyłączamy 4: $4 (3 k^{2} + 5 k + 2)$ .
5Zatem liczba dzieli się przez 4.
6Odpowiedź: $3 n^{2} + 4 n + 1 = 4 (3 k^{2} + 5 k + 2)$ dla $n = 2 k + 1$

Odpowiedź: $3 n^{2} + 4 n + 1 = 4 (3 k^{2} + 5 k + 2)$ dla $n = 2 k + 1$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność iloczynu

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

3 n^{3} + 18 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez 6.

Wskazówka

Wyłącz $3 n$ i rozłóż trójmian w nawiasie na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $3 n$ : $3 n (n^{2} + 6 n + 5)$ .
2Rozkładamy nawias: $n^{2} + 6 n + 5 = (n + 1) (n + 5)$ .
3Mamy $3 n (n + 1) (n + 5)$ ; iloczyn $n (n + 1)$ dwóch kolejnych liczb jest parzysty.
4Zatem $n (n + 1) (n + 5) = 2 m$ , więc całość to $6 m$ — liczba dzieli się przez 6.
5Odpowiedź: $3 n (n + 1) (n + 5) = 6 m$

Odpowiedź: $3 n (n + 1) (n + 5) = 6 m$

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

k

reszta z dzielenia liczby

49 k^{2} + 7 k - 2

przez 7 jest równa 5.

Wskazówka

Spróbuj zapisać wyrażenie w postaci $7 \cdot (co s ˊ) + 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przekształcamy: $49 k^{2} + 7 k - 2 = 49 k^{2} + 7 k - 7 + 5$ .
2Wyłączamy 7 z trzech pierwszych wyrazów: $7 (7 k^{2} + k - 1) + 5$ .
3Nawias jest liczbą całkowitą, a $0 ⩽ 5 < 7$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 7 jest równa 5.
5Odpowiedź: $7 (7 k^{2} + k - 1) + 5$ , więc reszta to 5

Odpowiedź: $7 (7 k^{2} + k - 1) + 5$ , więc reszta to 5

Zadanie 15

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

liczba

(2 n + 1)^{2} - 1

jest podzielna przez 8.

Wskazówka

Rozwiń kwadrat, a następnie wyłącz $4 n$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 n + 1)^{2} - 1 = 4 n^{2} + 4 n + 1 - 1 = 4 n^{2} + 4 n$ .
2Wyłączamy: $4 n (n + 1)$ .
3Iloczyn $n (n + 1)$ jest parzysty, czyli $n (n + 1) = 2 m$ .
4Zatem liczba jest równa $8 m$ — dzieli się przez 8.
5Odpowiedź: $4 n (n + 1) = 8 m$

Odpowiedź: $4 n (n + 1) = 8 m$

Zadanie 16

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność wyrażeń z liczbą nieparzystą

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej

n

liczba

n^{2} + 2023

jest podzielna przez 8.

Wskazówka

Podstaw $n = 2 k + 1$ i pamiętaj, że $k (k + 1)$ jest parzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $n = 2 k + 1$ . Wtedy $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 4 k (k + 1) + 1$ .
2Zatem $n^{2} + 2023 = 4 k (k + 1) + 2024$ .
3Iloczyn $k (k + 1)$ jest parzysty, więc $4 k (k + 1)$ dzieli się przez 8.
4Ponadto $2024 = 8 \cdot 253$ .
5Suma dwóch liczb podzielnych przez 8 jest podzielna przez 8, co kończy dowód.
6Odpowiedź: $n^{2} + 2023 = 4 k (k + 1) + 8 \cdot 253$

Odpowiedź: $n^{2} + 2023 = 4 k (k + 1) + 8 \cdot 253$

Zadanie 17

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność iloczynu

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

5 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez 10.

Wskazówka

Wyłącz $5 n$ i uzasadnij parzystość iloczynu $n (n + 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy: $5 n^{2} + 15 n = 5 n (n + 3)$ .
2Gdy $n$ jest parzyste — iloczyn jest parzysty; gdy $n$ jest nieparzyste — parzyste jest $n + 3$ .
3Zatem $n (n + 3) = 2 m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ .
4Stąd $5 n (n + 3) = 10 m$ — liczba dzieli się przez 10.
5Odpowiedź: $5 n (n + 3) = 10 m$

Odpowiedź: $5 n (n + 3) = 10 m$

Zadanie 18

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

10 n^{2} + 30 n + 8

przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.

Wskazówka

Rozbij wyraz wolny tak, aby wyłączyć 5 przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy $8 = 5 + 3$ : $10 n^{2} + 30 n + 5 + 3$ .
2Wyłączamy 5: $5 (2 n^{2} + 6 n + 1) + 3$ .
3Nawias jest liczbą naturalną, a $0 ⩽ 3 < 5$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 5 jest równa 3.
5Odpowiedź: $5 (2 n^{2} + 6 n + 1) + 3$ , więc reszta to 3

Odpowiedź: $5 (2 n^{2} + 6 n + 1) + 3$ , więc reszta to 3

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

Wskazówka

Oznacz liczby przez $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ i rozwiń kwadraty.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma: $n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2} + (n + 3)^{2} = 4 n^{2} + 12 n + 14$ .
2Zapisujemy: $4 n^{2} + 12 n + 14 = 4 n (n + 3) + 14$ .
3Iloczyn $n (n + 3)$ jest parzysty, więc $4 n (n + 3)$ dzieli się przez 8.
4Ponadto $14 = 8 + 6$ , czyli suma to (liczba podzielna przez 8) $+ 6$ .
5Zatem reszta z dzielenia przez 8 wynosi 6.
6Odpowiedź: reszta równa 6

Odpowiedź: reszta równa 6

Zadanie 20

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Wskazówka

Liczba niepodzielna przez 3 ma postać $3 k + 1$ albo $3 k + 2$ — rozpatrz oba przypadki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przypadek 1: $n = 3 k + 1$ . Wtedy $n^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1$ .
2Przypadek 2: $n = 3 k + 2$ . Wtedy $n^{2} = 9 k^{2} + 12 k + 4 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1$ .
3W obu przypadkach kwadrat ma postać $3 m + 1$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1.
5Odpowiedź: w obu przypadkach $n^{2} = 3 m + 1$

Odpowiedź: w obu przypadkach $n^{2} = 3 m + 1$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność sumy sześcianów

Matura · 2 pkt

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.

Wskazówka

Kolejne liczby parzyste zapisz jako $2 k$ , $2 k + 2$ , $2 k + 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma: $(2 k)^{3} + (2 k + 2)^{3} + (2 k + 4)^{3}$ .
2Wyłączamy $8$ : $8 [k^{3} + (k + 1)^{3} + (k + 2)^{3}]$ .
3Rozwijamy nawias: $k^{3} + (k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1) + (k^{3} + 6 k^{2} + 12 k + 8) = 3 k^{3} + 9 k^{2} + 15 k + 9$ .
4Wyłączamy 3: $3 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3)$ .
5Razem: $8 \cdot 3 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3) = 24 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3)$ .
6Odpowiedź: $24 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3)$

Odpowiedź: $24 (k^{3} + 3 k^{2} + 5 k + 3)$

Zadanie 22

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Udowodnij, że każda liczba całkowita

k

, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby

3 k^{2}

przez 7 jest równa 5.

Wskazówka

Zapisz $k = 7 m + 2$ i policz $3 k^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $k = 7 m + 2$ . Wtedy $k^{2} = 49 m^{2} + 28 m + 4$ .
2 $3 k^{2} = 147 m^{2} + 84 m + 12$ .
3Zapisujemy $12 = 7 + 5$ : $3 k^{2} = 7 (21 m^{2} + 12 m + 1) + 5$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 7 jest równa 5.
5Odpowiedź: $3 k^{2} = 7 (21 m^{2} + 12 m + 1) + 5$

Odpowiedź: $3 k^{2} = 7 (21 m^{2} + 12 m + 1) + 5$

Zadanie 23

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Uzasadnij, że liczba

4^{12} + 4^{13} + 4^{14}

jest podzielna przez 42.

Wskazówka

Wyłącz $4^{12}$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy: $4^{12} (1 + 4 + 16) = 4^{12} \cdot 21$ .
2Zapisujemy $4^{12} = 2 \cdot 2^{23}$ .
3Zatem liczba to $2 \cdot 21 \cdot 2^{23} = 42 \cdot 2^{23}$ .
4Liczba jest więc podzielna przez 42.
5Odpowiedź: $4^{12} + 4^{13} + 4^{14} = 42 \cdot 2^{23}$

Odpowiedź: $4^{12} + 4^{13} + 4^{14} = 42 \cdot 2^{23}$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Rozkład sumy potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

(1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})

jest dzielnikiem liczby

1 + 2013 + 201 3^{2} + 201 3^{3} + 201 3^{4} + 201 3^{5} + 201 3^{6} + 201 3^{7}

Wskazówka

Pogrupuj wyrazy sumy parami i wyłączaj wspólne czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Grupujemy parami: $(1 + 2013) + 201 3^{2} (1 + 2013) + 201 3^{4} (1 + 2013) + 201 3^{6} (1 + 2013)$ .
2Wyłączamy $(1 + 2013)$ : $(1 + 2013) (1 + 201 3^{2} + 201 3^{4} + 201 3^{6})$ .
3Nawias grupujemy ponownie: $1 + 201 3^{2} + 201 3^{4} + 201 3^{6} = (1 + 201 3^{2}) + 201 3^{4} (1 + 201 3^{2}) = (1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$ .
4Zatem suma jest równa $(1 + 2013) (1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$ .
5Wynika stąd, że $(1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$ jest dzielnikiem tej sumy.
6Odpowiedź: suma $= (1 + 2013) (1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$

Odpowiedź: suma $= (1 + 2013) (1 + 201 3^{2}) (1 + 201 3^{4})$

Zadanie 25

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Wykaż, że liczba

6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}

jest podzielna przez 17.

Wskazówka

Wyłącz najmniejszą potęgę, czyli $6^{98}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $6^{98}$ : $6^{98} (36 - 12 + 10)$ .
2Obliczamy nawias: $36 - 12 + 10 = 34$ .
3 $34 = 17 \cdot 2$ , więc liczba to $17 \cdot 2 \cdot 6^{98}$ .
4Zatem dzieli się przez 17.
5Odpowiedź: $= 17 \cdot 2 \cdot 6^{98}$

Odpowiedź: $= 17 \cdot 2 \cdot 6^{98}$

Zadanie 26

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność potęg

Matura · 2 pkt

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej

n

liczba

3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3^{n} - 2^{n}

jest wielokrotnością liczby 10.

Wskazówka

Pogrupuj osobno potęgi trójki i osobno potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Grupujemy: $(3^{n + 2} + 3^{n}) - (2^{n + 2} + 2^{n})$ .
2Wyłączamy: $3^{n} (9 + 1) - 2^{n} (4 + 1) = 10 \cdot 3^{n} - 5 \cdot 2^{n}$ .
3Dla $n ⩾ 1$ mamy $5 \cdot 2^{n} = 10 \cdot 2^{n - 1}$ .
4Zatem wyrażenie to $10 (3^{n} - 2^{n - 1})$ — wielokrotność 10.
5Odpowiedź: $10 (3^{n} - 2^{n - 1})$

Odpowiedź: $10 (3^{n} - 2^{n - 1})$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność silni

Matura · 2 pkt

Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 16

, jest podzielny przez

2^{15}

Wskazówka

Policz, ile czynników dwójki wnosi każda liczba parzysta w tym iloczynie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpatrujemy liczby parzyste: $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16$ .
2Zapisujemy je jako potęgi dwójki razy liczba nieparzysta: $2 = 2$ , $4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , $10 = 2 \cdot 5$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $14 = 2 \cdot 7$ , $16 = 2^{4}$ .
3Sumujemy wykładniki dwójki: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 = 15$ .
4Zatem iloczyn zawiera czynnik $2^{15}$ , czyli jest podzielny przez $2^{15}$ .
5Odpowiedź: iloczyn zawiera czynnik $2^{15}$

Odpowiedź: iloczyn zawiera czynnik $2^{15}$

Zadanie 28

Matura: informator CKE 2023

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Reszty z dzielenia

Matura · 2 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

20 n^{2} + 30 n + 7

przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

Wskazówka

Rozbij wyraz wolny: $7 = 5 + 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy: $20 n^{2} + 30 n + 5 + 2$ .
2Wyłączamy 5: $5 (4 n^{2} + 6 n + 1) + 2$ .
3Nawias jest liczbą naturalną, a $0 ⩽ 2 < 5$ .
4Zatem reszta z dzielenia przez 5 jest równa 2.
5Odpowiedź: $5 (4 n^{2} + 6 n + 1) + 2$ , więc reszta to 2

Odpowiedź: $5 (4 n^{2} + 6 n + 1) + 2$ , więc reszta to 2

Zadanie 29

Matura: zbiór zadań CKE 2023

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Dowody podzielności liczb

Temat: Podzielność sumy

Matura · 2 pkt

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3.

Wskazówka

Oznacz liczby przez $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ i dodaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma: $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3$ .
2Wyłączamy 3: $3 (n + 1)$ .
3Liczba $n + 1$ jest całkowita, więc suma dzieli się przez 3.
4Odpowiedź: $3 (n + 1)$

Odpowiedź: $3 (n + 1)$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Monotoniczność i punkt przecięcia z osią Oy

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x - 4

. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Funkcja

f

jest rosnąca.
2. Wykres funkcji

f

przecina oś

O y

w punkcie

(0, 4)

Wskazówka

O monotoniczności decyduje współczynnik przy $x$ , a punkt przecięcia z osią $O y$ odczytasz z wyrazu wolnego.

Rozwiązanie krok po kroku

1Współczynnik kierunkowy $a = 3 > 0$ , więc funkcja jest rosnąca — PRAWDA.
2Wyraz wolny to $- 4$ , więc wykres przecina oś $O y$ w punkcie $(0, - 4)$ , a nie $(0, 4)$ — FAŁSZ.
3Prawidłowa odpowiedź: P, F

Odpowiedź: P, F

Zadanie 2

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Matura · 1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

g

jest liczba

- 3

. Dla argumentu

0

funkcja

g

przyjmuje wartość

- \frac{3}{2}

. Funkcja

g

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wartość dla argumentu $0$ to od razu wyraz wolny $b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z warunku $g (0) = - \frac{3}{2}$ wynika $b = - \frac{3}{2}$ .
2Miejsce zerowe: $a \cdot (- 3) - \frac{3}{2} = 0$ .
3Stąd $- 3 a = \frac{3}{2}$ , czyli $a = - \frac{1}{2}$ .
4Zatem $g (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $g (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $g (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Miejsce zerowe z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x - k

, gdzie

k

jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji

f

jest liczbą większą od 2. Liczba

k

należy do przedziału

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz miejsce zerowe w zależności od $k$ i zapisz podany warunek jako nierówność.

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsce zerowe: $\frac{1}{2} x - k = 0$ , czyli $x = 2 k$ .
2Warunek: $2 k > 2$ .
3Stąd $k > 1$ , czyli $k \in (1, \infty)$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $(1, \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(1, \infty)$

Zadanie 4

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 11.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa w zadaniu praktycznym

Matura · 1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w bańce, a

f (x)

— masę bańki wraz z mlekiem (w kilogramach), gdzie

x \in ⟨ 0, 10 ⟩

. Funkcja

f

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Masa bańki jest stała, a masa mleka zależy od liczby litrów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Masa mleka: $1, 03 x$ kilograma.
2Masa pustej bańki jest stała i wynosi $6, 5$ kg.
3Razem: $f (x) = 1, 03 x + 6, 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $f (x) = 1, 03 x + 6, 5$

Prawidłowa odpowiedź: D. $f (x) = 1, 03 x + 6, 5$

Zadanie 5

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią Oy

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}

. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba 4.
2. Punkt przecięcia wykresu funkcji

f

z osią

O y

ma współrzędne

(0, - \frac{1}{6})

Wskazówka

Miejsce zerowe wyznacz z równania $f (x) = 0$ , a punkt na osi $O y$ z wartości $f (0)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązujemy $- \frac{1}{6} x + \frac{2}{3} = 0$ , czyli $\frac{1}{6} x = \frac{2}{3}$ , więc $x = 4$ — PRAWDA.
2 $f (0) = \frac{2}{3}$ , więc punkt przecięcia to $(0, \frac{2}{3})$ , a nie $(0, - \frac{1}{6})$ — FAŁSZ.
3Prawidłowa odpowiedź: P, F

Odpowiedź: P, F

Zadanie 6

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Matura · 1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt

(- 1, 4)

. Wzór funkcji

f

ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz dwa warunki: $f (1) = 0$ oraz $f (- 1) = 4$ , i rozwiąż układ równań.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z $f (1) = 0$ : $a + b = 0$ , więc $b = - a$ .
2Z $f (- 1) = 4$ : $- a + b = 4$ .
3Podstawiamy: $- a - a = 4$ , czyli $a = - 2$ , a stąd $b = 2$ .
4Zatem $f (x) = - 2 x + 2$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $f (x) = - 2 x + 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $f (x) = - 2 x + 2$

Zadanie 7

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa w zadaniu praktycznym

Matura · 1 pkt

Z badań rynkowych wynika, że każde zwiększenie ceny

P

produktu o 1 jednostkę powoduje spadek liczby

Q

kupujących o 3 jednostki. Przy cenie równej 5 jednostek liczba kupujących jest równa 12 jednostek. Funkcja opisująca zależność liczby kupujących od ceny ma wzór

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukana zależność ma postać $Q = a P + b$ ; współczynnik $a$ odczytasz ze spadku o 3 jednostki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Spadek o 3 jednostki na każdą jednostkę ceny oznacza $a = - 3$ .
2Podstawiamy dane: $12 = - 3 \cdot 5 + b$ .
3Stąd $b = 12 + 15 = 27$ .
4Zatem $Q = - 3 P + 27$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $Q = - 3 P + 27$

Prawidłowa odpowiedź: B. $Q = - 3 P + 27$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Punkt przecięcia prostych

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = - 3 x + \frac{1}{3}

oraz

y = \frac{1}{3} x - 3

przecinają się w punkcie

P = (x_{0}, y_{0})

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Porównaj prawe strony obu równań i wyznacz $x_{0}$ , a potem policz $y_{0}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Porównujemy: $- 3 x + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} x - 3$ .
2Mnożymy przez 3: $- 9 x + 1 = x - 9$ .
3Stąd $10 = 10 x$ , czyli $x_{0} = 1 > 0$ .
4Obliczamy $y_{0} = \frac{1}{3} - 3 = - \frac{8}{3} < 0$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $x_{0} > 0$ i $y_{0} < 0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x_{0} > 0$ i $y_{0} < 0$

Zadanie 9

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Miejsce zerowe

Matura · 1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = - \frac{1}{3} (x + 3) + 5

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Opuść nawias i rozwiąż równanie $f (x) = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Opuszczamy nawias: $f (x) = - \frac{1}{3} x - 1 + 5 = - \frac{1}{3} x + 4$ .
2Rozwiązujemy $- \frac{1}{3} x + 4 = 0$ .
3Stąd $\frac{1}{3} x = 4$ , czyli $x = 12$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $12$

Zadanie 10

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja stała

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = (a - 1) x + 3

osiąga wartość najmniejszą równą 3. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zastanów się, kiedy funkcja liniowa w ogóle ma wartość najmniejszą.

Rozwiązanie krok po kroku

1Funkcja liniowa rosnąca ani malejąca nie ma wartości najmniejszej.
2Wartość najmniejszą (i największą) ma tylko funkcja stała.
3Zatem współczynnik kierunkowy musi być zerem: $a - 1 = 0$ .
4Stąd $a = 1$ i wtedy $f (x) = 3$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $a = 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $a = 1$

Zadanie 11

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Prosta

l

jest równoległa do prostej

y = - \frac{1}{2} x + 2

. Na prostej

l

leży punkt

P = (0, 7)

. Zatem równanie prostej

l

ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta równoległa ma współczynnik kierunkowy $- \frac{1}{2}$ .
2Punkt $(0, 7)$ leży na osi $O y$ , więc wyraz wolny to $7$ .
3Zatem $y = - \frac{1}{2} x + 7$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $y = - \frac{1}{2} x + 7$

Prawidłowa odpowiedź: D. $y = - \frac{1}{2} x + 7$

Zadanie 12

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Pole trójkąta wyznaczonego przez proste

Matura · 1 pkt

Boki trójkąta

A B C

są zawarte w prostych o równaniach

y = \frac{2}{3} x + 2

y = - x + 2

oraz w osi

O x

układu współrzędnych. Pole trójkąta

A B C

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znajdź punkty przecięcia prostych z osią $O x$ oraz punkt, w którym przecinają się obie proste.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie proste przecinają się w punkcie $(0, 2)$ — to wierzchołek $C$ .
2Pierwsza prosta przecina oś $O x$ : $\frac{2}{3} x + 2 = 0$ , więc $x = - 3$ .
3Druga prosta przecina oś $O x$ : $- x + 2 = 0$ , więc $x = 2$ .
4Podstawa trójkąta ma długość $2 - (- 3) = 5$ , a wysokość wynosi $2$ .
5Pole: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$ .
6Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Punkt należący do prostej

Matura · 1 pkt

Punkt

A = (a, 3)

leży na prostej określonej równaniem

y = \frac{3}{4} x + 6

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu do równania prostej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Podstawiamy: $3 = \frac{3}{4} a + 6$ .
2Stąd $\frac{3}{4} a = - 3$ .
3Zatem $a = - 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $a = - 4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a = - 4$

Zadanie 14

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Miejsce zerowe z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = 3 (x + 1) - 63

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż równanie $3 (x + 1) - 63 = 0$ , dzieląc na końcu przez 3.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązujemy: $3 (x + 1) = 63$ .
2Dzielimy przez 3: $x + 1 = 23$ .
3Stąd $x = 23 - 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $23 - 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $23 - 1$

Zadanie 15

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Wyznaczanie wyrazu wolnego

Matura · 1 pkt

Punkt

(1, 3)

należy do wykresu funkcji

y = 23 x + b

. Wtedy współczynnik

b

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji.

Rozwiązanie krok po kroku

1Podstawiamy: $3 = 23 \cdot 1 + b$ .
2Stąd $b = 3 - 23$ .
3Zatem $b = - 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $- 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 3$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Brak miejsc zerowych

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = (1 - m^{2}) x + m - 1

nie ma miejsc zerowych dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych, gdy jest stała i różna od zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1Brak miejsc zerowych wymaga $1 - m^{2} = 0$ oraz $m - 1 \neq = 0$ .
2Z pierwszego warunku: $m = 1$ lub $m = - 1$ .
3Drugi warunek odrzuca $m = 1$ (wtedy funkcja jest tożsamościowo zerowa).
4Zostaje $m = - 1$ , wtedy $f (x) = - 2$ — brak miejsc zerowych.
5Prawidłowa odpowiedź: C. $m = - 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m = - 1$

Zadanie 17

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Monotoniczność i punkt przecięcia z osią Oy

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{3} x - 1

dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

. Wskaż zdanie prawdziwe.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź znak współczynnika przy $x$ oraz wartość $f (0)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Współczynnik kierunkowy $\frac{1}{3} > 0$ , więc funkcja jest rosnąca.
2 $f (0) = - 1$ , więc wykres przecina oś $O y$ w punkcie $(0, - 1)$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D

Prawidłowa odpowiedź: D. Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $O y$ w punkcie $(0, - 1)$ .

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Miejsce zerowe

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 21 - \frac{7}{3} x

. Miejscem zerowym funkcji

f

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż równanie $21 - \frac{7}{3} x = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z równania: $\frac{7}{3} x = 21$ .
2Mnożymy przez $\frac{3}{7}$ : $x = 9$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $9$

Prawidłowa odpowiedź: C. $9$

Zadanie 19

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Punkty zależne od parametru

Matura · 1 pkt

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych

(m - 1, 2 m + 5)

, gdzie

m

jest dowolną liczbą rzeczywistą?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oznacz $x = m - 1$ , wyznacz $m$ i podstaw do drugiej współrzędnej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z $x = m - 1$ wynika $m = x + 1$ .
2Podstawiamy do $y = 2 m + 5$ : $y = 2 (x + 1) + 5$ .
3Upraszczamy: $y = 2 x + 7$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $y = 2 x + 7$

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = 2 x + 7$

Zadanie 20

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Punkt przecięcia prostych

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

2 x - 3 y = 4

5 x - 6 y = 7

przecinają się w punkcie

P

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż pierwsze równanie przez 2 i odejmij od drugiego, aby wyeliminować $y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy pierwsze równanie przez 2: $4 x - 6 y = 8$ .
2Odejmujemy od drugiego: $(5 x - 6 y) - (4 x - 6 y) = 7 - 8$ , czyli $x = - 1$ .
3Podstawiamy do pierwszego: $2 \cdot (- 1) - 3 y = 4$ , więc $- 3 y = 6$ i $y = - 2$ .
4Zatem $P = (- 1, - 2)$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $P = (- 1, - 2)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $P = (- 1, - 2)$

Zadanie 21

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Miejsce zerowe

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja liniowa

f (x) = \frac{3}{4} x + 6

. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż równanie $\frac{3}{4} x + 6 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z równania: $\frac{3}{4} x = - 6$ .
2Mnożymy przez $\frac{4}{3}$ : $x = - 8$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $- 8$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 8$

Zadanie 22

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Punkt przecięcia z osią Oy

Matura · 1 pkt

Wykres funkcji liniowej

y = 2 x - 3

przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Na osi $O y$ pierwsza współrzędna jest równa zero.

Rozwiązanie krok po kroku

1Podstawiamy $x = 0$ : $y = 2 \cdot 0 - 3 = - 3$ .
2Zatem punkt przecięcia to $(0, - 3)$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $(0, - 3)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(0, - 3)$

Zadanie 23

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Parametr we wzorze funkcji

Matura · 1 pkt

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem

f (x) = (m - 1) x + 3

leży punkt

S = (5, - 2)

. Zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu $S$ do wzoru funkcji.

Rozwiązanie krok po kroku

1Podstawiamy: $- 2 = (m - 1) \cdot 5 + 3$ .
2Stąd $5 (m - 1) = - 5$ , czyli $m - 1 = - 1$ .
3Zatem $m = 0$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $m = 0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = 0$

Zadanie 24

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Wspólne miejsce zerowe

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

określona wzorem

f (x) = 2 x + b

ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa

g (x) = - 3 x + 4

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw policz miejsce zerowe funkcji $g$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsce zerowe $g$ : $- 3 x + 4 = 0$ , czyli $x = \frac{4}{3}$ .
2Podstawiamy do $f$ : $2 \cdot \frac{4}{3} + b = 0$ .
3Stąd $b = - \frac{8}{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $b = - \frac{8}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $b = - \frac{8}{3}$

Zadanie 25

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Znaki współczynników

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = a x + b

jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Miejsce zerowe funkcji liniowej to $x_{0} = - \frac{b}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Funkcja rosnąca oznacza $a > 0$ .
2Miejsce zerowe: $x_{0} = - \frac{b}{a} > 0$ .
3Skoro $a > 0$ , to $- b > 0$ , czyli $b < 0$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $a > 0$ i $b < 0$

Prawidłowa odpowiedź: D. $a > 0$ i $b < 0$

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Zbiór wartości na przedziale

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x - 4

dla każdej liczby z przedziału

⟨ - 2, 2 ⟩

. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja jest rosnąca, więc wartości skrajne przyjmuje na końcach przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (- 2) = - 6 - 4 = - 10$ .
2 $f (2) = 6 - 4 = 2$ .
3Funkcja jest rosnąca i przedział jest domknięty, więc zbiorem wartości jest $⟨ - 10, 2 ⟩$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨ - 10, 2 ⟩$

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨ - 10, 2 ⟩$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Prosta przez dwa punkty

Matura · 1 pkt

Na prostej o równaniu

y = a x + b

leżą punkty

K = (1, 0)

L = (0, 1)

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Punkt $L$ leży na osi $O y$ , więc od razu daje wyraz wolny.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z punktu $L = (0, 1)$ : $b = 1$ .
2Z punktu $K = (1, 0)$ : $0 = a + 1$ , czyli $a = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $a = - 1$ i $b = 1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a = - 1$ i $b = 1$

Zadanie 28

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Matura · 1 pkt

O funkcji liniowej

f

wiadomo, że

f (1) = 2

. Do wykresu tej funkcji należy punkt

P = (- 2, 3)

. Wzór funkcji

f

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Współczynnik kierunkowy policz jako iloraz różnicy wartości i różnicy argumentów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{3 - 2}{- 2 - 1} = - \frac{1}{3}$ .
2Z $f (1) = 2$ : $- \frac{1}{3} + b = 2$ , więc $b = \frac{7}{3}$ .
3Zatem $f (x) = - \frac{1}{3} x + \frac{7}{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $f (x) = - \frac{1}{3} x + \frac{7}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $f (x) = - \frac{1}{3} x + \frac{7}{3}$

Zadanie 29

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Monotoniczność i wykres

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = \frac{1}{2} x - 6

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź znak współczynnika kierunkowego i policz $f (0)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Współczynnik $\frac{1}{2} > 0$ , więc funkcja jest rosnąca.
2 $f (0) = - 6$ , więc wykres przechodzi przez punkt $(0, - 6)$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D

Prawidłowa odpowiedź: D. jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, - 6)$ .

Zadanie 30

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Miejsce zerowe z pierwiastkiem

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa określona jest wzorem

f (x) = - 2 x + 4

. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po przeniesieniu wyrazów usuń niewymierność z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązujemy: $2 x = 4$ , czyli $x = \frac{4}{2}$ .
2Usuwamy niewymierność: $\frac{4}{2} = \frac{4 2}{2} = 22$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $22$

Prawidłowa odpowiedź: D. $22$

Zadanie 31

Matura: informator CKE 2023

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja określona wzorami na przedziałach

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = {x - 4 - x + 2 dla x ⩽ 3 dla x > 3

Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla każdego wzoru policz miejsce zerowe i sprawdź, czy należy do właściwego przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwszy wzór: $x - 4 = 0$ daje $x = 4$ , ale wymagane jest $x ⩽ 3$ — odrzucamy.
2Drugi wzór: $- x + 2 = 0$ daje $x = 2$ , ale wymagane jest $x > 3$ — odrzucamy.
3Żadne rozwiązanie nie spełnia warunków, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.
4Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Zadanie 32

Matura: informator CKE 2023

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja określona wzorami na przedziałach

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = {- 3 x + 4 2 x - 1 dla x < 1 dla x ⩾ 1

Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, czy wyznaczone miejsca zerowe mieszczą się w podanych przedziałach.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwszy wzór: $- 3 x + 4 = 0$ daje $x = \frac{4}{3}$ , ale wymagane jest $x < 1$ — odrzucamy.
2Drugi wzór: $2 x - 1 = 0$ daje $x = \frac{1}{2}$ , ale wymagane jest $x ⩾ 1$ — odrzucamy.
3Funkcja nie ma miejsc zerowych.
4Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

\frac{1}{3 + 2 + 1}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pogrupuj mianownik jako $(2 + 1) + 3$ i pomnóż licznik oraz mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisz mianownik w postaci $(2 + 1) + 3$ i pomnóż przez $(2 + 1) - 3$ .
2 $((2 + 1))^{2} - (3)^{2} = 3 + 22 - 3 = 22$ .
3Zatem wyrażenie $= \frac{2 + 1 - 3}{2 2}$ .
4Mnożymy licznik i mianownik przez $2$ : $\frac{2 + 2 - 6}{4}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 + 2 - 6}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 + 2 - 6}{4}$

Zadanie 2

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wzór dwumianowy Newtona

Matura · 1 pkt

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego

(x 2 + y 3)^{4}

do postaci

a x^{4} + b x^{3} y + c x^{2} y^{2} + d x y^{3} + e y^{4}

współczynnik

c

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru dwumianowego Newtona i wypisz tylko ten składnik, w którym występuje $x^{2} y^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Składnik z $x^{2} y^{2}$ to $(2 4) (x 2)^{2} (y 3)^{2}$ .
2 $(2 4) = 6$ , $(2)^{2} = 2$ , $(3)^{2} = 3$ .
3 $c = 6 \cdot 2 \cdot 3 = 36$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $36$

Prawidłowa odpowiedź: B. $36$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Pierwiastek z kwadratu i wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Liczba

(1 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że $a^{2} = ∣ a ∣$ — sprawdź najpierw znak każdego wyrażenia pod pierwiastkiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{2} = ∣ a ∣$ , więc obliczamy $∣1 - 2 ∣ + ∣2 - 2 ∣$ .
2 $1 - 2 < 0$ , zatem $∣1 - 2 ∣ = 2 - 1$ .
3 $2 - 2 > 0$ , zatem $∣2 - 2 ∣ = 2 - 2$ .
4 $(2 - 1) + (2 - 2) = 1$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Zadanie 4

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Dane są liczby:

a = \frac{4 8}{2}

b = \frac{1}{2 4 8}

c = 48

d = \frac{2}{4 8}

oraz

k = 2^{- \frac{1}{4}}

. Prawdziwa jest równość

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $48$ jako potęgę liczby $2$ z wykładnikiem wymiernym i porównaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $48 = 2^{\frac{3}{4}}$ .
2 $a = \frac{2 ^{\frac{3}{4}}}{2} = 2^{\frac{3}{4} - 1} = 2^{- \frac{1}{4}}$ .
3To dokładnie liczba $k$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $k = a$

Prawidłowa odpowiedź: A. $k = a$

Zadanie 5

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy pierwiastków

Matura · 1 pkt

Liczba

(2 - 3 - 2 + 3)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zastosuj wzór $(p - q)^{2} = p^{2} - 2 pq + q^{2}$ i zauważ, że iloczyn pod pierwiastkami to różnica kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(p - q)^{2} = p^{2} - 2 pq + q^{2}$ , gdzie $p = 2 - 3$ , $q = 2 + 3$ .
2 $p^{2} + q^{2} = (2 - 3) + (2 + 3) = 4$ .
3 $pq = (2 - 3) (2 + 3) = 4 - 3 = 1$ .
4 $4 - 2 \cdot 1 = 2$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 6

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wzór na sześcian sumy

Matura · 1 pkt

W rozwinięciu wyrażenia

(23 x + 4 y)^{3}

współczynnik przy iloczynie

x y^{2}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wypisz tylko ten wyraz rozwinięcia, w którym $x$ występuje w pierwszej potędze, a $y$ w drugiej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Szukany składnik: $(1 3) (23 x) (4 y)^{2}$ .
2 $(1 3) = 3$ , $(4 y)^{2} = 16 y^{2}$ .
3 $3 \cdot 23 \cdot 16 = 963$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $963$

Prawidłowa odpowiedź: C. $963$

Zadanie 7

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Sześcian różnicy

Matura · 1 pkt

Liczba

(3 - 23)^{3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ dla $a = 3$ i $b = 23$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = 3$ , $b = 23$ .
2 $a^{3} = 27$ , $3 a^{2} b = 3 \cdot 9 \cdot 23 = 543$ .
3 $3 a b^{2} = 3 \cdot 3 \cdot 12 = 108$ , $b^{3} = 8 \cdot 33 = 243$ .
4 $27 - 543 + 108 - 243 = 135 - 783$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $135 - 783$

Prawidłowa odpowiedź: C. $135 - 783$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Zadanie na kodowanie — wyrażenia symetryczne

Matura · 2 pkt

Dane są liczby

a, b

takie, że

a - b = 4

ab = 7

. Oblicz

a^{3} b + a b^{3}

. Zakoduj kolejno cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wskazówka

Wyłącz $ab$ przed nawias, a sumę kwadratów wyraź przez $(a - b)^{2}$ i $ab$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{3} b + a b^{3} = ab (a^{2} + b^{2})$ .
2 $a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab = 16 + 14 = 30$ .
3 $ab (a^{2} + b^{2}) = 7 \cdot 30 = 210$ .
4Cyfra setek: $2$ , dziesiątek: $1$ , jedności: $0$ .
5Odpowiedź: $210$

Odpowiedź: 210 (setek 2, dziesiątek 1, jedności 0)

Zadanie 9

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Działania na potęgach o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 7 ^{665} \cdot 3 3 ^{- 92}}{( \frac{1}{3} ) ^{\frac{152}{3}}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz każdy czynnik jako potęgę liczby $3$ , a następnie dodaj i odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 7^{665} = 3^{1995}$ .
2 $3 3^{- 92} = 3^{- \frac{92}{3}}$ .
3 $(\frac{1}{3})^{\frac{152}{3}} = 3^{- \frac{152}{3}}$ , a dzielenie zmienia znak wykładnika na $+ \frac{152}{3}$ .
4 $1995 - \frac{92}{3} + \frac{152}{3} = 1995 + \frac{60}{3} = 2015$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{2015}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{2015}$

Zadanie 10

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Porównywanie potęg

Matura · 4 pkt

Porównaj liczby

a^{b}

oraz

b^{a}

, gdzie

a = [(2 - 3)^{\frac{1}{2}} + (2 + 3)^{\frac{1}{2}}]^{2}

b = \frac{8 1 ^{- 1} \cdot 3}{2 7 ^{- 2} \cdot 4 9}

Wskazówka

Najpierw uprość osobno $a$ (kwadrat sumy pierwiastków) i $b$ (potęgi o podstawie $3$ ), a dopiero potem porównuj.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = (2 - 3) + (2 + 3) + 2 (2 - 3) (2 + 3) = 4 + 21 = 6$ .
2 $b = \frac{3 ^{- 4} \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{- 6} \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{- 4 + 6} = 9$ .
3Porównujemy $a^{b} = 6^{9}$ i $b^{a} = 9^{6}$ .
4 $6^{9} = 10077696$ , a $9^{6} = 531441$ .
5Odpowiedź: $a^{b} > b^{a}$

Odpowiedź: a^b > b^a (6^9 > 9^6)

Zadanie 11

Matura: maj 2005

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Dowód — pierwiastki sześcienne

Matura · 7 pkt

Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że

3 52 + 7 - 3 52 - 7

jest liczbą całkowitą.

Wskazówka

Sprawdź, czy liczby pod pierwiastkami nie są sześcianami wyrażeń postaci $2 \pm 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 + 1)^{3} = 22 + 3 \cdot 2 + 32 + 1 = 52 + 7$ .
2 $(2 - 1)^{3} = 22 - 3 \cdot 2 + 32 - 1 = 52 - 7$ .
3Zatem $3 52 + 7 = 2 + 1$ i $3 52 - 7 = 2 - 1$ .
4Różnica: $(2 + 1) - (2 - 1) = 2$ , czyli liczba całkowita — co należało wykazać.
5Odpowiedź: różnica jest równa $2$

Odpowiedź: 2

Zadanie 12

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Obliczanie wartości wyrażenia

Matura · 2 pkt

Oblicz

(2 - 3 - 2 + 3)^{2}

Wskazówka

Rozwiń kwadrat różnicy i policz osobno sumę kwadratów oraz iloczyn pierwiastków.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(p - q)^{2} = p^{2} + q^{2} - 2 pq$ .
2 $p^{2} + q^{2} = (2 - 3) + (2 + 3) = 4$ .
3 $pq = (2 - 3) (2 + 3) = 1 = 1$ .
4 $4 - 2 = 2$ .
5Odpowiedź: $2$

Odpowiedź: 2

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sumą kwadratów

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x y + x + y ⩽ x^{2} + y^{2} + 1

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę i pomnóż nierówność przez $2$ — spróbuj zapisać wynik jako sumę trzech kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{2} + y^{2} + 1 - x y - x - y ⩾ 0$ .
2Mnożymy obie strony przez $2$ : $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 - 2 x y - 2 x - 2 y ⩾ 0$ .
3Grupujemy składniki: $(x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 2 y + 1) ⩾ 0$ .
4Czyli $(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $x, y$ . To kończy dowód.

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniami wymiernymi

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} ⩽ \frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}}

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez dodatnią liczbę $x^{2} y^{2}$ — znak nierówności się nie zmieni.

Rozwiązanie krok po kroku

1Ponieważ $x > 0$ i $y > 0$ , liczba $x^{2} y^{2}$ jest dodatnia i możemy przez nią pomnożyć obie strony.
2Otrzymujemy $x y^{2} + x^{2} y ⩽ x^{3} + y^{3}$ .
3Nierówność jest równoważna $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} ⩾ 0$ .
4Grupujemy: $x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y) (x^{2} - y^{2}) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
5Dla $x, y > 0$ mamy $(x - y)^{2} ⩾ 0$ oraz $x + y > 0$ , więc iloczyn jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 3

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sześcianem sumy

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = \frac{1}{2} a

, prawdziwa jest nierówność

(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2}

Wskazówka

Rozwiń $(a + 2 b)^{3}$ i po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę pogrupuj wyrazy tak, aby wyłączyć czynnik $(a - 2 b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a + 2 b)^{3} = a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}$ .
2Nierówność jest równoważna $a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3} - 8 a^{2} b - 16 a b^{2} > 0$ , czyli $a^{3} - 2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 b^{3} > 0$ .
3Grupujemy: $a^{2} (a - 2 b) - 4 b^{2} (a - 2 b) = (a - 2 b) (a^{2} - 4 b^{2}) = (a - 2 b)^{2} (a + 2 b)$ .
4Z założenia $b \neq = \frac{1}{2} a$ , więc $a - 2 b \neq = 0$ i $(a - 2 b)^{2} > 0$ ; ponadto $a + 2 b > 0$ .
5Iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa. To kończy dowód.

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem a+b=1

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

a

i każdej liczby dodatniej

b

takich, że

a + b = 1

, prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} ⩾ \frac{4}{3}

Wskazówka

Wykorzystaj warunek $a + b = 1$ , aby uprościć mianowniki, a następnie oszacuj iloczyn $ab$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z warunku $a + b = 1$ mamy $2 a + b = a + 1$ oraz $a + 2 b = b + 1$ .
2Zatem lewa strona to $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} = \frac{( b + 1 ) + ( a + 1 )}{( a + 1 ) ( b + 1 )} = \frac{3}{ab + a + b + 1} = \frac{3}{ab + 2}$ .
3Z nierówności $(a - b)^{2} ⩾ 0$ wynika $ab ⩽ \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{1}{4}$ .
4Stąd $ab + 2 ⩽ \frac{9}{4}$ , więc $\frac{3}{ab + 2} ⩾ \frac{3}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{3}$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniem wymiernym

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

a

prawdziwa jest nierówność

a^{2} + \frac{16}{a} ⩾ 12

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez dodatnią liczbę $a$ i rozłóż otrzymany wielomian na czynniki (sprawdź $a = 2$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1Ponieważ $a > 0$ , po pomnożeniu przez $a$ otrzymujemy równoważną nierówność $a^{3} + 16 ⩾ 12 a$ , czyli $a^{3} - 12 a + 16 ⩾ 0$ .
2Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu, bo $8 - 24 + 16 = 0$ , więc dzielimy przez $(a - 2)$ : $a^{3} - 12 a + 16 = (a - 2) (a^{2} + 2 a - 8)$ .
3 $a^{2} + 2 a - 8 = (a - 2) (a + 4)$ , zatem $a^{3} - 12 a + 16 = (a - 2)^{2} (a + 4)$ .
4Dla $a > 0$ mamy $(a - 2)^{2} ⩾ 0$ oraz $a + 4 > 0$ , więc iloczyn jest nieujemny.
5To kończy dowód.

Zadanie 6

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód wartości liczb z warunku

Matura · 3 pkt

Liczby rzeczywiste

x

oraz

y

spełniają jednocześnie równanie

x + y = 4

i nierówność

x^{3} - x^{2} y ⩽ x y^{2} - y^{3}

. Wykaż, że

x = 2

oraz

y = 2

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę nierówności i wyłącz wspólny czynnik $(x - y)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność zapisujemy jako $x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3} ⩽ 0$ .
2Grupujemy: $x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y) (x^{2} - y^{2}) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
3Zatem $(x - y)^{2} (x + y) ⩽ 0$ , a z warunku $x + y = 4 > 0$ wynika $(x - y)^{2} ⩽ 0$ .
4Kwadrat jest nieujemny, więc $(x - y)^{2} = 0$ , czyli $x = y$ .
5Podstawiamy do $x + y = 4$ : $2 x = 4$ , stąd $x = 2$ oraz $y = 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 12.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Przekształcanie wyrażeń z logarytmami

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

wyrażenie

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

można równoważnie przekształcić do postaci

x^{4} + x^{2} - 6 x

Wskazówka

Zapisz $81$ jako potęgę trójki, a $27$ jako $3^{\frac{3}{2}}$ i skorzystaj ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 1^{l o g_{3} x} = (3^{4})^{l o g_{3} x} = 3^{4 l o g_{3} x} = (3^{l o g_{3} x})^{4} = x^{4}$ .
2 $lo g_{2} 27 = lo g_{2} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} 3$ .
3 $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1$ , więc $lo g_{2} 27 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{3}{2}$ .
4Współczynnik przy $x^{2}$ wynosi $\frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{3} = 1$ .
5Całe wyrażenie równa się więc $x^{4} + x^{2} - 6 x$ . To kończy dowód.

Zadanie 8

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem x+y≥1

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

oraz dla każdej liczby rzeczywistej

y

, spełniających warunek

x + y ⩾ 1

, prawdziwa jest nierówność

x^{3} + 2 x y + y^{3} ⩾ x^{2} + x y (x + y) + y^{2}

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i spróbuj otrzymać iloczyn $(x - y)^{2}$ oraz wyrażenia zależnego od $x + y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po przeniesieniu: $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} + 2 x y - x^{2} - y^{2} ⩾ 0$ .
2 $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} = x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
3 $2 x y - x^{2} - y^{2} = - (x - y)^{2}$ .
4Lewa strona to więc $(x - y)^{2} (x + y) - (x - y)^{2} = (x - y)^{2} (x + y - 1)$ .
5Z założenia $x + y - 1 ⩾ 0$ , a $(x - y)^{2} ⩾ 0$ , więc iloczyn jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z czwartymi potęgami

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

, spełniona jest nierówność

x^{4} + y^{4} > x y (x^{2} + y^{2})

Wskazówka

Przenieś prawą stronę na lewo i wyłącz czynnik $(x - y)$ , a potem oceń znak drugiego czynnika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{4} + y^{4} - x^{3} y - x y^{3} > 0$ .
2Grupujemy: $x^{3} (x - y) - y^{3} (x - y) = (x - y) (x^{3} - y^{3}) = (x - y)^{2} (x^{2} + x y + y^{2})$ .
3Z założenia $x \neq = y$ , więc $(x - y)^{2} > 0$ .
4Ponadto $x^{2} + x y + y^{2} = (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{3}{4} y^{2}$ , a wyrażenie to jest równe $0$ tylko dla $x = y = 0$ , co jest wykluczone.
5Zatem iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni. To kończy dowód.

Zadanie 10

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem 2x>y

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

2 x > y

, spełniona jest nierówność

7 x^{3} + 4 x^{2} y ⩾ y^{3} + 2 x y^{2} - x^{3}

Wskazówka

Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę pogrupuj wyrazy tak, by pojawił się wspólny czynnik $(2 x + y)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po przeniesieniu: $8 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3} ⩾ 0$ .
2Grupujemy: $4 x^{2} (2 x + y) - y^{2} (2 x + y) = (2 x + y) (4 x^{2} - y^{2})$ .
3 $4 x^{2} - y^{2} = (2 x - y) (2 x + y)$ , więc wyrażenie równa się $(2 x + y)^{2} (2 x - y)$ .
4 $(2 x + y)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $2 x - y > 0$ .
5Iloczyn liczby nieujemnej i dodatniej jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 11

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Zamiana podstawy logarytmu

Matura · 3 pkt

Niech

lo g_{2} 18 = c

. Wykaż, że

lo g_{3} 4 = \frac{4}{c - 1}

Wskazówka

Rozłóż $18$ na czynniki pierwsze i wyznacz $lo g_{2} 3$ w zależności od $c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , więc $c = lo g_{2} 18 = lo g_{2} 2 + 2 lo g_{2} 3 = 1 + 2 lo g_{2} 3$ .
2Stąd $lo g_{2} 3 = \frac{c - 1}{2}$ (zauważ, że $c > 1$ ).
3 $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2 = \frac{2}{l o g _{2} 3}$ .
4Podstawiamy: $lo g_{3} 4 = \frac{2}{\frac{c - 1}{2}} = \frac{4}{c - 1}$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 12

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z dwiema zmiennymi

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

większej od

2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} - 2 x - 4 > 0

Wskazówka

Wydziel z lewej strony wyrażenie $3 (x - y)^{2}$ i sprawdź, co zostaje.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 (x - y)^{2} = 3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2}$ .
2Zatem lewa strona to $3 (x - y)^{2} + 2 x^{2} - 2 x - 4$ .
3 $2 x^{2} - 2 x - 4 = 2 (x^{2} - x - 2) = 2 (x - 2) (x + 1)$ .
4Dla $x > 2$ mamy $x - 2 > 0$ oraz $x + 1 > 0$ , więc $2 (x - 2) (x + 1) > 0$ ; ponadto $3 (x - y)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia. To kończy dowód.

Zadanie 13

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości z warunku

Matura · 3 pkt

Liczby dodatnie

a

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę i spróbuj wyłączyć czynnik $(a - 2 b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z równości otrzymujemy $a^{2} - 4 b^{2} + 2 a - 4 b = 0$ .
2 $a^{2} - 4 b^{2} = (a - 2 b) (a + 2 b)$ oraz $2 a - 4 b = 2 (a - 2 b)$ .
3Zatem $(a - 2 b) (a + 2 b + 2) = 0$ .
4Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$ , mamy $a + 2 b + 2 > 0$ , więc musi być $a - 2 b = 0$ .
5Stąd $a = 2 b$ . To kończy dowód.

Zadanie 14

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z parametrem a

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

y

, takich że

x < y

, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej

a

prawdziwa jest nierówność

\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2

Wskazówka

Porównaj najpierw $\frac{x + a}{y + a}$ z $\frac{x}{y}$ , a potem skorzystaj z nierówności $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Obliczamy różnicę: $\frac{x + a}{y + a} - \frac{x}{y} = \frac{y ( x + a ) - x ( y + a )}{y ( y + a )} = \frac{a ( y - x )}{y ( y + a )}$ .
2Dla $a > 0$ , $0 < x < y$ licznik i mianownik są dodatnie, więc $\frac{x + a}{y + a} > \frac{x}{y}$ .
3Zatem $\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ .
4Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ po podzieleniu przez $x y > 0$ otrzymujemy $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .
5Łącząc oba oszacowania: $\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność jako suma kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + y^{2} - 4 x y + 6 x + 9 ⩾ 0

Wskazówka

Wyrazy $y^{2} - 4 x y$ uzupełnij do kwadratu $(y - 2 x)^{2}$ i zobacz, co zostaje z pozostałych składników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(y - 2 x)^{2} = y^{2} - 4 x y + 4 x^{2}$ .
2Zatem lewa strona to $(y - 2 x)^{2} + x^{2} + 6 x + 9$ .
3 $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ .
4Otrzymujemy $(y - 2 x)^{2} + (x + 3)^{2} ⩾ 0$ , bo suma kwadratów jest nieujemna.
5To kończy dowód.

Zadanie 16

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność ostra jako suma kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

x, y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 > 0

Wskazówka

Zauważ, że $x^{2} y^{2} - 4 x y + 4$ to kwadrat pewnego wyrażenia; resztę zapisz z użyciem $(x - y)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} y^{2} - 4 x y + 4 = (x y - 2)^{2}$ .
2Pozostałe wyrazy: $2 x^{2} + 2 y^{2} - 4 x y = 2 (x - y)^{2}$ .
3Zatem lewa strona równa się $(x y - 2)^{2} + 2 (x - y)^{2}$ .
4Z założenia $x \neq = y$ , więc $2 (x - y)^{2} > 0$ , a $(x y - 2)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma jest dodatnia. To kończy dowód.

Zadanie 17

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem x²+y²=2

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

y

takich, że

x^{2} + y^{2} = 2

, prawdziwa jest nierówność

x + y ⩽ 2

Wskazówka

Podnieś $x + y$ do kwadratu i skorzystaj z nierówności $2 x y ⩽ x^{2} + y^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 2 + 2 x y$ .
2Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ wynika $2 x y ⩽ x^{2} + y^{2} = 2$ .
3Zatem $(x + y)^{2} ⩽ 2 + 2 = 4$ .
4Ponieważ $x + y > 0$ , po spierwiastkowaniu otrzymujemy $x + y ⩽ 2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z pierwiastkami

Matura · 4 pkt

Wykaż, że dla

a, b, c, d > 0

prawdziwa jest nierówność

a + b \cdot c + d ⩾ a c + b d

Wskazówka

Obie strony są dodatnie, więc nierówność możesz zastąpić nierównością ich kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są dodatnie, więc nierówność jest równoważna nierówności kwadratów.
2Lewa strona po podniesieniu: $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .
3Prawa strona po podniesieniu: $(a c + b d)^{2} = a c + b d + 2 a c b d$ .
4Wystarczy więc pokazać, że $a d + b c ⩾ 2 a d \cdot b c$ .
5Jest to prawda, bo $(a d - b c)^{2} ⩾ 0$ . To kończy dowód.

Zadanie 19

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność wielomianowa

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

prawdziwa jest nierówność

x^{4} - x^{2} - 2 x + 3 > 0

Wskazówka

Spróbuj zapisać wyrażenie jako $(x^{2} - 1)^{2}$ powiększone o kwadrat pewnego dwumianu i liczbę dodatnią.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x^{2} - 1)^{2} = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ .
2Zatem $x^{4} - x^{2} - 2 x + 3 = (x^{2} - 1)^{2} + x^{2} - 2 x + 2$ .
3 $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1$ .
4Otrzymujemy $(x^{2} - 1)^{2} + (x - 1)^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 20

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości logarytmicznej

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

różnej od

1

oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

różnej od

1

prawdziwa jest równość

lo g_{x} (x y) \cdot lo g_{y} (\frac{y}{x}) = lo g_{y} (x y) \cdot lo g_{x} (\frac{y}{x})

Wskazówka

Zamień wszystkie logarytmy na wspólną podstawę, np. $10$ , i oznacz $X = lo g x$ , $Y = lo g y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Oznaczmy $X = lo g x$ oraz $Y = lo g y$ ; z założeń $X \neq = 0$ i $Y \neq = 0$ .
2Lewa strona: $\frac{X + Y}{X} \cdot \frac{Y - X}{Y} = \frac{( X + Y ) ( Y - X )}{X Y}$ .
3Prawa strona: $\frac{X + Y}{Y} \cdot \frac{Y - X}{X} = \frac{( X + Y ) ( Y - X )}{X Y}$ .
4Oba wyrażenia są identyczne, więc równość jest prawdziwa.
5To kończy dowód.

Zadanie 21

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniami wymiernymi

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich

x, y

prawdziwa jest nierówność

(x + 1) \frac{x}{y} + (y + 1) \frac{y}{x} > 2

Wskazówka

Rozdziel każdy składnik na dwa i skorzystaj z nierówności $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona to $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{x}{y} + \frac{y ^{2}}{x} + \frac{y}{x}$ .
2Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ po podzieleniu przez $x y > 0$ mamy $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .
3Ponadto dla $x, y > 0$ zachodzi $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} > 0$ .
4Zatem lewa strona jest większa od $2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sumą kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x (x - 1) + y (y - 1) ⩾ x y - 1

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i pomnóż nierówność przez $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{2} + y^{2} - x - y - x y + 1 ⩾ 0$ .
2Mnożymy przez $2$ : $2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 2 ⩾ 0$ .
3Grupujemy: $(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩾ 0$ .
4Suma kwadratów jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa.
5To kończy dowód.

Zadanie 23

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Porównywanie wyrażeń wymiernych

Matura · 3 pkt

Wykaż, że jeżeli

a > b ⩾ 1

, to

\frac{a}{2 + a ^{3}} < \frac{b}{2 + b ^{3}}

Wskazówka

Mianowniki są dodatnie, więc nierówność możesz pomnożyć „na krzyż”.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $a > b ⩾ 1$ mianowniki $2 + a^{3}$ i $2 + b^{3}$ są dodatnie, więc mnożenie na krzyż nie zmienia znaku nierówności.
2Trzeba pokazać, że $a (2 + b^{3}) < b (2 + a^{3})$ , czyli $2 a + a b^{3} - 2 b - a^{3} b < 0$ .
3Grupujemy: $2 (a - b) - ab (a^{2} - b^{2}) = (a - b) [2 - ab (a + b)]$ .
4Mamy $a - b > 0$ ; ponadto $a > 1$ i $b ⩾ 1$ , więc $ab (a + b) > 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ , czyli nawias jest ujemny.
5Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny, zatem nierówność zachodzi. To kończy dowód.

Zadanie 24

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z parametrem

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

m

prawdziwa jest nierówność

20 x^{2} - 24 m x + 18 m^{2} ⩾ 4 x + 12 m - 5

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i spróbuj zapisać wyrażenie jako sumę trzech kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $20 x^{2} - 24 m x + 18 m^{2} - 4 x - 12 m + 5 ⩾ 0$ .
2Zauważmy, że $(4 x - 3 m)^{2} = 16 x^{2} - 24 m x + 9 m^{2}$ .
3Po odjęciu zostaje $4 x^{2} + 9 m^{2} - 4 x - 12 m + 5 = (4 x^{2} - 4 x + 1) + (9 m^{2} - 12 m + 4) = (2 x - 1)^{2} + (3 m - 2)^{2}$ .
4Zatem lewa strona równa się $(4 x - 3 m)^{2} + (2 x - 1)^{2} + (3 m - 2)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma kwadratów jest nieujemna. To kończy dowód.

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Równość z pierwiastkami sześciennymi

Matura · 4 pkt

Wykaż, że prawdziwa jest równość

3 9 + 80 + 3 9 - 80 = 3

Wskazówka

Oznacz lewą stronę literą $s$ i podnieś tę równość do trzeciej potęgi, korzystając ze wzoru na $(p + q)^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $s = 3 9 + 80 + 3 9 - 80$ ; oczywiście $s > 0$ .
2Ze wzoru $(p + q)^{3} = p^{3} + q^{3} + 3 pq (p + q)$ otrzymujemy $s^{3} = (9 + 80) + (9 - 80) + 3 3 (9 + 80) (9 - 80) \cdot s$ .
3 $(9 + 80) (9 - 80) = 81 - 80 = 1$ , więc $s^{3} = 18 + 3 s$ .
4Rozwiązujemy $s^{3} - 3 s - 18 = 0$ ; liczba $3$ jest pierwiastkiem, więc $s^{3} - 3 s - 18 = (s - 3) (s^{2} + 3 s + 6)$ .
5Trójmian $s^{2} + 3 s + 6$ ma wyróżnik $9 - 24 = - 15 < 0$ , więc nie ma pierwiastków rzeczywistych; zatem $s = 3$ . To kończy dowód.

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem 2a+b≥0

Matura · 3 pkt

Uzasadnij, że jeżeli

2 a + b ⩾ 0

, to

2 a^{3} + b^{3} ⩾ 3 a^{2} b

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i sprawdź, że $a = b$ jest pierwiastkiem otrzymanego wyrażenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $2 a^{3} - 3 a^{2} b + b^{3} ⩾ 0$ .
2Dla $a = b$ wyrażenie się zeruje, więc dzieli się ono przez $(a - b)$ : $2 a^{3} - 3 a^{2} b + b^{3} = (a - b) (2 a^{2} - ab - b^{2})$ .
3 $2 a^{2} - ab - b^{2} = (a - b) (2 a + b)$ , zatem wyrażenie równa się $(a - b)^{2} (2 a + b)$ .
4 $(a - b)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $2 a + b ⩾ 0$ .
5Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 27

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem a+b≥0

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że jeżeli

a + b ⩾ 0

, to prawdziwa jest nierówność

a^{3} + b^{3} ⩾ a^{2} b + a b^{2}

Wskazówka

Po przeniesieniu wyrazów pogrupuj je tak, aby wyłączyć czynnik $(a - b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $a^{3} + b^{3} - a^{2} b - a b^{2} ⩾ 0$ .
2Grupujemy: $a^{2} (a - b) - b^{2} (a - b) = (a - b) (a^{2} - b^{2}) = (a - b)^{2} (a + b)$ .
3 $(a - b)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $a + b ⩾ 0$ .
4Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny.
5To kończy dowód.

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich

a, b, c

d

prawdziwa jest nierówność

a c + b d ⩽ a^{2} + b^{2} \cdot c^{2} + d^{2}

Wskazówka

Obie strony są dodatnie — porównaj ich kwadraty i zobacz, jaki kwadrat zostaje po odjęciu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są dodatnie, więc wystarczy porównać kwadraty.
2 $(a^{2} + b^{2} \cdot c^{2} + d^{2})^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}$ .
3 $(a c + b d)^{2} = a^{2} c^{2} + 2 ab c d + b^{2} d^{2}$ .
4Różnica wynosi $a^{2} d^{2} - 2 ab c d + b^{2} c^{2} = (a d - b c)^{2} ⩾ 0$ .
5Zatem kwadrat prawej strony jest nie mniejszy niż kwadrat lewej, co kończy dowód.

Zadanie 29

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości wyrażeń wymiernych

Matura · 4 pkt

Uzasadnij, że jeżeli

a \neq = b

a \neq = c

b \neq = c

a + b = 2 c

, to

\frac{a}{a - c} + \frac{b}{b - c} = 2

Wskazówka

Dodaj ułamki do wspólnego mianownika i wszędzie podstaw $a + b = 2 c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a}{a - c} + \frac{b}{b - c} = \frac{a ( b - c ) + b ( a - c )}{( a - c ) ( b - c )} = \frac{2 ab - c ( a + b )}{ab - c ( a + b ) + c ^{2}}$ .
2Podstawiamy $a + b = 2 c$ : licznik $= 2 ab - 2 c^{2}$ , mianownik $= ab - 2 c^{2} + c^{2} = ab - c^{2}$ .
3Mianownik jest różny od zera, bo $ab - c^{2} = ab - (\frac{a + b}{2})^{2} = - \frac{( a - b ) ^{2}}{4} \neq = 0$ dla $a \neq = b$ .
4Zatem wyrażenie równa się $\frac{2 ( ab - c ^{2} )}{ab - c ^{2}} = 2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 30

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z pierwiastkami wyższych stopni

Matura · 4 pkt

Wykaż, że nierówność

4 \frac{a ^{4} + b ^{4}}{2} ⩾ \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste

a

b

Wskazówka

Obie strony są nieujemne — podnieś nierówność do czwartej potęgi.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są nieujemne, więc nierówność jest równoważna nierówności czwartych potęg.
2Otrzymujemy $\frac{a ^{4} + b ^{4}}{2} ⩾ (\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2})^{2}$ .
3Mnożymy przez $4$ : $2 (a^{4} + b^{4}) ⩾ (a^{2} + b^{2})^{2}$ .
4Po rozwinięciu i przeniesieniu: $a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4} = (a^{2} - b^{2})^{2} ⩾ 0$ .
5Nierówność jest zatem prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych. To kończy dowód.

Zadanie 31

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Działania na potęgach

Matura · 3 pkt

Wykaż, że jeżeli

A = 3^{42 + 2}

B = 3^{22 + 3}

, to

B = 9 A

Wskazówka

Zapisz $A$ jako potęgę o wykładniku będącym połową wykładnika liczby $A$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $A = (3^{42 + 2})^{\frac{1}{2}} = 3^{22 + 1}$ .
2Zatem $9 A = 3^{2} \cdot 3^{22 + 1} = 3^{22 + 3}$ .
3Otrzymana potęga to dokładnie $B$ .
4Stąd $B = 9 A$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 32

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Podzielność liczb naturalnych

Matura · 3 pkt

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne

a

b

takie, że obie są niepodzielne przez

3

. Udowodnij, że liczba

a^{3} + b^{3}

jest podzielna przez

9

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru na sumę sześcianów i zbadaj reszty z dzielenia przez $3$ obu czynników.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $b = a + 1$ . Wśród trzech kolejnych liczb dokładnie jedna dzieli się przez $3$ , więc skoro $a$ i $a + 1$ nie dzielą się przez $3$ , to $a$ daje resztę $1$ z dzielenia przez $3$ : $a = 3 k + 1$ .
2Ze wzoru na sumę sześcianów: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
3 $a + b = 2 a + 1 = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1)$ — czynnik podzielny przez $3$ .
4 $a^{2} - ab + b^{2} = a^{2} - a (a + 1) + (a + 1)^{2} = a^{2} + a + 1 = (3 k + 1)^{2} + (3 k + 1) + 1 = 9 k^{2} + 9 k + 3 = 3 (3 k^{2} + 3 k + 1)$ — również podzielny przez $3$ .
5Iloczyn dwóch liczb podzielnych przez $3$ jest podzielny przez $9$ . To kończy dowód.

Zadanie 33

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Pierwiastek z kwadratu i wartość bezwzględna

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla

a \in (2, 3)

zachodzi równość

\frac{a ^{2} - 6 a + 9}{3 - a} + \frac{a ^{2} - 4 a + 4}{a - 2} = 2

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $t^{2} = ∣ t ∣$ i ustal znaki wyrażeń $a - 3$ oraz $a - 2$ dla $a \in (2, 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{2} - 6 a + 9 = (a - 3)^{2}$ , więc $a^{2} - 6 a + 9 = ∣ a - 3∣$ .
2Dla $a < 3$ mamy $∣ a - 3∣ = 3 - a$ , zatem pierwszy ułamek równa się $\frac{3 - a}{3 - a} = 1$ .
3 $a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$ , więc $a^{2} - 4 a + 4 = ∣ a - 2∣$ .
4Dla $a > 2$ mamy $∣ a - 2∣ = a - 2$ , zatem drugi ułamek równa się $\frac{a - 2}{a - 2} = 1$ .
5Suma wynosi $1 + 1 = 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 34

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Równanie kwadratowe z parametrem

Matura · 2 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + m x + m - 1 = 0

z niewiadomą

x

. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej

m

wszystkie rozwiązania tego równania są liczbami całkowitymi.

Wskazówka

Sprawdź, czy $x = - 1$ spełnia równanie dla każdego $m$ , a potem rozłóż lewą stronę na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x = - 1$ mamy $1 - m + m - 1 = 0$ , więc $- 1$ jest rozwiązaniem dla każdego $m$ .
2Zatem lewą stronę można rozłożyć: $x^{2} + m x + m - 1 = (x + 1) (x + m - 1)$ (po wymnożeniu otrzymujemy wyjściowy trójmian).
3Rozwiązaniami równania są więc $x_{1} = - 1$ oraz $x_{2} = 1 - m$ .
4Dla całkowitego $m$ liczba $1 - m$ jest całkowita, podobnie jak $- 1$ .
5Zatem wszystkie rozwiązania są liczbami całkowitymi. To kończy dowód.

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne z wartością bezwzględną

Matura · 2 pkt

Oblicz granicę

x \to 3^{-} lim \frac{∣ x - 3∣}{x ^{2} - 9}

Wskazówka

Dla $x < 3$ wyrażenie $x - 3$ jest ujemne — zapisz wartość bezwzględną bez modułu i rozłóż mianownik na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozkładamy mianownik: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
2Dla $x < 3$ mamy $x - 3 < 0$ , więc $∣ x - 3∣ = - (x - 3)$ .
3 $\frac{∣ x - 3∣}{x ^{2} - 9} = \frac{- ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = - \frac{1}{x + 3}$ dla $x \neq = 3$ .
4Podstawiamy $x \to 3$ : $- \frac{1}{3 + 3} = - \frac{1}{6}$ .
5Odpowiedź: $- \frac{1}{6}$

Odpowiedź: -1/6

Zadanie 2

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice niewłaściwe

Matura · 2 pkt

Oblicz granicę

x \to 2^{-} lim \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}}

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru na różnicę sześcianów i skróć jeden czynnik $(x - 2)$ ; potem zbadaj znak mianownika przy $x \to 2^{-}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ze wzoru na różnicę sześcianów: $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .
2 $\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$ dla $x \neq = 2$ .
3Licznik dąży do $2^{2} + 2 \cdot 2 + 4 = 12 > 0$ .
4Dla $x \to 2^{-}$ mianownik $x - 2$ dąży do $0$ przez wartości ujemne.
5Iloraz liczby dodatniej i wielkości ujemnej dążącej do zera daje granicę niewłaściwą $- \infty$ .
6Odpowiedź: $- \infty$

Odpowiedź: -∞

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica ilorazu wielomianów w punkcie

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to - 3} \frac{0 , 5 x ^{2} + 3 , 5 x + 6}{- x ^{2} + 2 x + 15}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Licznik i mianownik zerują się dla $x = - 3$ — rozłóż oba trójmiany na czynniki i skróć wspólny czynnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $0, 5 x^{2} + 3, 5 x + 6 = 0, 5 (x^{2} + 7 x + 12) = 0, 5 (x + 3) (x + 4)$ .
2Mianownik: $- x^{2} + 2 x + 15 = - (x^{2} - 2 x - 15) = - (x + 3) (x - 5)$ .
3Skracamy czynnik $(x + 3)$ : $\frac{0 , 5 ( x + 4 )}{- ( x - 5 )}$ .
4Podstawiamy $x = - 3$ : $\frac{0 , 5 \cdot 1}{- ( - 8 )} = \frac{0 , 5}{8} = \frac{1}{16}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{16}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{16}$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to + \infty} (\frac{x ^{3} + 8}{x ^{2} - 4} - x)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw sprowadź oba wyrażenia do wspólnego mianownika — po redukcji zostanie prosty ułamek.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wspólny mianownik: $\frac{x ^{3} + 8 - x ( x ^{2} - 4 )}{x ^{2} - 4}$ .
2Licznik: $x^{3} + 8 - x^{3} + 4 x = 4 x + 8 = 4 (x + 2)$ .
3Mianownik: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
4Po skróceniu $(x + 2)$ otrzymujemy $\frac{4}{x - 2}$ .
5Gdy $x \to + \infty$ , mianownik rośnie nieograniczenie, więc ułamek dąży do $0$ .
6Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Zadanie 5

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne funkcji wymiernej

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 2}{x ^{2} - 5 x + 6}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż mianownik na czynniki i skróć z licznikiem, a następnie zbadaj znak pozostałego wyrażenia dla $x$ nieco mniejszych od $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .
2Licznik: $- x + 2 = - (x - 2)$ .
3Po skróceniu: $\frac{- ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = - \frac{1}{x - 3}$ dla $x \neq = 2$ .
4Dla $x \to 3^{-}$ mamy $x - 3 \to 0^{-}$ , więc $\frac{1}{x - 3} \to - \infty$ .
5Zatem $- \frac{1}{x - 3} \to + \infty$ .
6Prawidłowa odpowiedź: D. $+ \infty$

Prawidłowa odpowiedź: D. $+ \infty$

Zadanie 6

Oryginalne zadanie: zad. 1a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{- x ^{2} + 3 x - 1}{x ^{2} + 4}

Wskazówka

Sprawdź najpierw, czy zwykłe podstawienie daje liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik w $x = 2$ jest różny od zera, więc podstawiamy.
2 $\frac{- 4 + 6 - 1}{4 + 4} = \frac{1}{8}$ .
3Odpowiedź: 1/8

Odpowiedź: 1/8

Zadanie 7

Oryginalne zadanie: zad. 1b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 1 lim \frac{3 x ^{2} - 6 x + 3}{2 x ^{2} - 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x - 1)^{2}$ , $2 x^{2} - 2 = 2 (x - 1) (x + 1)$ .
2Po skróceniu: $\frac{3 ( x - 1 )}{2 ( x + 1 )}$ .
3Dla $x = 1$ : $\frac{0}{4} = 0$ .
4Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 8

Oryginalne zadanie: zad. 1c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 5 lim \frac{2}{5 - x}

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to 5^{-}$ : $5 - x \to 0^{+}$ , więc granica to $+ \infty$ .
2Dla $x \to 5^{+}$ : $5 - x \to 0^{-}$ , więc granica to $- \infty$ .
3Granice jednostronne są różne — granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 9

Oryginalne zadanie: zad. 1d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 25 lim \frac{x - 25}{x - 5}

Wskazówka

Zapisz $x - 25 = (x - 5) (x + 5)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x - 25 = (x - 5) (x + 5)$ .
2Po skróceniu: $x + 5$ .
3 $25 + 5 = 10$ .
4Odpowiedź: 10

Odpowiedź: 10

Zadanie 10

Oryginalne zadanie: zad. 1e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - 3 lim \frac{6 + 2 x}{x ^{2} - 9}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 + 2 x = 2 (x + 3)$ , $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
2Po skróceniu: $\frac{2}{x - 3}$ .
3 $\frac{2}{- 6} = - \frac{1}{3}$ .
4Odpowiedź: -1/3

Odpowiedź: -1/3

Zadanie 11

Oryginalne zadanie: zad. 1f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 0^{+} lim (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}})

Wskazówka

Sprowadź do wspólnego mianownika $x^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x - 1}{x ^{2}}$ .
2Licznik dąży do $- 1$ , mianownik do $0^{+}$ .
3Granica wynosi $- \infty$ .
4Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 12

Oryginalne zadanie: zad. 1g

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{- x ^{2} + 5 x}{( 5 - 4 x ) ( x + 3 )}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5 - 4 x) (x + 3) = - 4 x^{2} - 7 x + 15$ .
2Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{- 1 + \frac{5}{x}}{- 4 - \frac{7}{x} + \frac{15}{x ^{2}}}$ .
3Granica: $\frac{- 1}{- 4} = \frac{1}{4}$ .
4Odpowiedź: 1/4

Odpowiedź: 1/4

Zadanie 13

Oryginalne zadanie: zad. 1h

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{4 x ^{3} - 2 x}{2 x ^{2} + 3 x}

Wskazówka

Stopień licznika jest większy niż stopień mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{4 x - \frac{2}{x}}{2 + \frac{3}{x}}$ .
2Licznik dąży do $- \infty$ , mianownik do $2$ .
3Granica wynosi $- \infty$ .
4Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 14

Oryginalne zadanie: zad. 1i

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - \infty lim (x - x^{2} - 4)

Wskazówka

Zbadaj znak obu składników dla $x \to - \infty$ — tu nie ma nieoznaczoności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to - \infty$ : $x \to - \infty$ oraz $- x^{2} - 4 \to - \infty$ .
2Suma dwóch wyrażeń dążących do $- \infty$ dąży do $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 15

Oryginalne zadanie: zad. 2a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
2Po skróceniu: $x + 3 \to 6$ .
3Odpowiedź: 6

Odpowiedź: 6

Zadanie 16

Oryginalne zadanie: zad. 2b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + 5 x + 6}{x + 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ .
2Po skróceniu: $x + 3 \to 1$ .
3Odpowiedź: 1

Odpowiedź: 1

Zadanie 17

Oryginalne zadanie: zad. 2c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 4 lim \frac{x - 2}{x - 4}

Wskazówka

Zapisz $x - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 2}$ .
2 $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
3Odpowiedź: 1/4

Odpowiedź: 1/4

Zadanie 18

Oryginalne zadanie: zad. 2d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

Wskazówka

Użyj wzoru na różnicę sześcianów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
2Po skróceniu: $x^{2} + x + 1 \to 3$ .
3Odpowiedź: 3

Odpowiedź: 3

Zadanie 19

Oryginalne zadanie: zad. 2e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x}

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( 1 + x - 1 ) ( 1 + x + 1 )}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{x}{x ( 1 + x + 1 )}$ .
2 $= \frac{1}{1 + x + 1} \to \frac{1}{2}$ .
3Odpowiedź: 1/2

Odpowiedź: 1/2

Zadanie 20

Oryginalne zadanie: zad. 2f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .
2Po skróceniu: $\frac{x + 2}{x - 1} \to \frac{4}{1} = 4$ .
3Odpowiedź: 4

Odpowiedź: 4

Zadanie 21

Oryginalne zadanie: zad. 3a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - x + 4}{x ^{2} + 2}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — granica to iloraz współczynników przy $x^{2}$ .
2 $\frac{3}{1} = 3$ .
3Odpowiedź: 3

Odpowiedź: 3

Zadanie 22

Oryginalne zadanie: zad. 3b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3} + x}{5 x ^{3} - 4}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{3}$ .
2 $\frac{2}{5}$ .
3Odpowiedź: 2/5

Odpowiedź: 2/5

Zadanie 23

Oryginalne zadanie: zad. 3c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{4 x + 1}{x ^{2} - 3}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{1 - \frac{3}{x ^{2}}}$ .
2Licznik $\to 0$ , mianownik $\to 1$ , granica $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 24

Oryginalne zadanie: zad. 3d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{x ^{3} - 2 x}{2 x ^{2} + 1}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{x - \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x ^{2}}}$ .
2Licznik $\to - \infty$ , mianownik $\to 2$ .
3Granica: $- \infty$ .
4Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 25

Oryginalne zadanie: zad. 3e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{5 x ^{2} - 7}{2 x ^{3} + x}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopień mianownika większy niż licznika.
2Granica wynosi $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 26

Oryginalne zadanie: zad. 3f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{- 3 x ^{4} + x}{6 x ^{4} - 2}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{4}$ .
2 $\frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}$ .
3Odpowiedź: -1/2

Odpowiedź: -1/2

Zadanie 27

Oryginalne zadanie: zad. 4a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 2^{-} lim \frac{1}{x - 2}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to 2^{-}$ : $x - 2 \to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 28

Oryginalne zadanie: zad. 4b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 2^{+} lim \frac{1}{x - 2}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to 2^{+}$ : $x - 2 \to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 29

Oryginalne zadanie: zad. 4c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 0^{-} lim \frac{1}{x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik dąży do $0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 30

Oryginalne zadanie: zad. 4d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 0^{+} lim \frac{1}{x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik dąży do $0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 31

Oryginalne zadanie: zad. 4e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 3^{-} lim \frac{2}{3 - x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 3$ : $3 - x \to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 32

Oryginalne zadanie: zad. 4f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 3^{+} lim \frac{2}{3 - x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > 3$ : $3 - x \to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 33

Oryginalne zadanie: zad. 5a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

dla

x \to 0

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 0$ : $f (x) = \frac{- x}{x} = - 1$ , więc granica lewostronna to $- 1$ .
2Dla $x > 0$ : $f (x) = 1$ , granica prawostronna to $1$ .
3 $- 1 \neq = 1$ — granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 34

Oryginalne zadanie: zad. 5b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{x - 1}{∣ x - 1∣}

dla

x \to 1

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 1$ : $∣ x - 1∣ = - (x - 1)$ , więc $f (x) = - 1$ .
2Dla $x > 1$ : $f (x) = 1$ .
3Granice jednostronne $- 1$ i $1$ są różne — granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 35

Oryginalne zadanie: zad. 5c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{1}{x - 2}

dla

x \to 2

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x - 2} = - \infty$ .
2 $lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{x - 2} = + \infty$ .
3Granice jednostronne są różne — granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 36

Oryginalne zadanie: zad. 6a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x}

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( x + 4 ) - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$ .
2 $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
3Odpowiedź: 1/4

Odpowiedź: 1/4

Zadanie 37

Oryginalne zadanie: zad. 6b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (x^{2} + 1 - x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 1 - x = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x ^{2}}{x ^{2} + 1 + x} = \frac{1}{x ^{2} + 1 + x}$ .
2Mianownik $\to + \infty$ , granica $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 38

Oryginalne zadanie: zad. 6c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (x^{2} + 3 x - x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( x ^{2} + 3 x ) - x ^{2}}{x ^{2} + 3 x + x} = \frac{3 x}{x ^{2} + 3 x + x}$ .
2Dzielimy przez $x$ : $\frac{3}{1 + \frac{3}{x} + 1}$ .
3Granica: $\frac{3}{2}$ .
4Odpowiedź: 3/2

Odpowiedź: 3/2

Zadanie 39

Oryginalne zadanie: zad. 1a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - 1 lim \frac{2 x ^{2} + 3 x - 1}{x ^{2} + 5}

Wskazówka

Sprawdź najpierw, czy zwykłe podstawienie daje liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik różny od zera, podstawiamy $x = - 1$ .
2 $\frac{2 - 3 - 1}{1 + 5} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$ .
3Odpowiedź: -1/3

Odpowiedź: -1/3

Zadanie 40

Oryginalne zadanie: zad. 1b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
2Po skróceniu: $x + 2 \to 4$ .
3Odpowiedź: 4

Odpowiedź: 4

Zadanie 41

Oryginalne zadanie: zad. 1c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - 3 lim \frac{3}{x + 3}

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to - 3^{-}$ : $x + 3 \to 0^{-}$ , granica $- \infty$ .
2Dla $x \to - 3^{+}$ : $x + 3 \to 0^{+}$ , granica $+ \infty$ .
3Granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 42

Oryginalne zadanie: zad. 1d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 9 lim \frac{x - 3}{x - 9}

Wskazówka

Zapisz $x - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po skróceniu: $\frac{1}{x + 3}$ .
2 $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$ .
3Odpowiedź: 1/6

Odpowiedź: 1/6

Zadanie 43

Oryginalne zadanie: zad. 1e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 4 lim \frac{x - 4}{x ^{2} - 16}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ .
2Po skróceniu: $\frac{1}{x + 4} \to \frac{1}{8}$ .
3Odpowiedź: 1/8

Odpowiedź: 1/8

Zadanie 44

Oryginalne zadanie: zad. 1f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 0^{-} lim (\frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}})

Wskazówka

Sprowadź do wspólnego mianownika $x^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}} = \frac{x + 2}{x ^{2}}$ .
2Licznik $\to 2$ , mianownik $x^{2} \to 0^{+}$ .
3Granica: $+ \infty$ .
4Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 45

Oryginalne zadanie: zad. 1g

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - x}{( 3 x + 1 ) ( x - 2 )}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x + 1) (x - 2) = 3 x^{2} - 5 x - 2$ .
2Stopnie równe — iloraz współczynników: $\frac{2}{3}$ .
3Odpowiedź: 2/3

Odpowiedź: 2/3

Zadanie 46

Oryginalne zadanie: zad. 1h

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{3} + x}{x ^{2} - 2 x}

Wskazówka

Stopień licznika jest większy niż mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{3 x + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$ .
2Licznik $\to + \infty$ , mianownik $\to 1$ .
3Granica: $+ \infty$ .
4Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 47

Oryginalne zadanie: zad. 1i

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (x^{2} + 9 - x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( x ^{2} + 9 ) - x ^{2}}{x ^{2} + 9 + x} = \frac{9}{x ^{2} + 9 + x}$ .
2Mianownik $\to + \infty$ , granica $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 48

Oryginalne zadanie: zad. 2a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 4 lim \frac{x ^{2} - 16}{x - 4}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ .
2Po skróceniu: $x + 4 \to 8$ .
3Odpowiedź: 8

Odpowiedź: 8

Zadanie 49

Oryginalne zadanie: zad. 2b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to - 3 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x + 3}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)$ .
2Po skróceniu: $x - 1 \to - 4$ .
3Odpowiedź: -4

Odpowiedź: -4

Zadanie 50

Oryginalne zadanie: zad. 2c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 9 lim \frac{x - 3}{x - 9}

Wskazówka

Zapisz $x - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po skróceniu: $\frac{1}{x + 3}$ .
2 $\frac{1}{6}$ .
3Odpowiedź: 1/6

Odpowiedź: 1/6

Zadanie 51

Oryginalne zadanie: zad. 2d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}

Wskazówka

Użyj wzoru na różnicę sześcianów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .
2Po skróceniu: $x^{2} + 2 x + 4 \to 4 + 4 + 4 = 12$ .
3Odpowiedź: 12

Odpowiedź: 12

Zadanie 52

Oryginalne zadanie: zad. 2e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 0 lim \frac{1 + 2 x - 1}{x}

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( 1 + 2 x ) - 1}{x ( 1 + 2 x + 1 )} = \frac{2}{1 + 2 x + 1}$ .
2 $\frac{2}{1 + 1} = 1$ .
3Odpowiedź: 1

Odpowiedź: 1

Zadanie 53

Oryginalne zadanie: zad. 2f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to - 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3 x + 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ .
2Po skróceniu: $\frac{x - 1}{x + 2} \to \frac{- 2}{1} = - 2$ .
3Odpowiedź: -2

Odpowiedź: -2

Zadanie 54

Oryginalne zadanie: zad. 3a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{5 x ^{2} + 2 x - 1}{2 x ^{2} + 3}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{2}$ .
2 $\frac{5}{2}$ .
3Odpowiedź: 5/2

Odpowiedź: 5/2

Zadanie 55

Oryginalne zadanie: zad. 3b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{4 x ^{3} - x}{2 x ^{3} + 5}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{3}$ .
2 $\frac{4}{2} = 2$ .
3Odpowiedź: 2

Odpowiedź: 2

Zadanie 56

Oryginalne zadanie: zad. 3c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{3 x - 2}{x ^{2} + 1}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopień mianownika większy niż licznika.
2Granica: $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 57

Oryginalne zadanie: zad. 3d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3} + x}{x ^{2} - 4}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{2 x + \frac{1}{x}}{1 - \frac{4}{x ^{2}}}$ .
2Licznik $\to - \infty$ , mianownik $\to 1$ .
3Granica: $- \infty$ .
4Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 58

Oryginalne zadanie: zad. 3e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{4 x ^{3} - 1}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopień mianownika większy niż licznika.
2Granica: $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 59

Oryginalne zadanie: zad. 3f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{2 x ^{4} - 3}{- 4 x ^{4} + x}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{4}$ .
2 $\frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$ .
3Odpowiedź: -1/2

Odpowiedź: -1/2

Zadanie 60

Oryginalne zadanie: zad. 4a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to - 1^{-} lim \frac{1}{x + 1}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $x + 1 \to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 61

Oryginalne zadanie: zad. 4b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to - 1^{+} lim \frac{1}{x + 1}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > - 1$ : $x + 1 \to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 62

Oryginalne zadanie: zad. 4c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 0^{-} lim \frac{2}{x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik $\to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 63

Oryginalne zadanie: zad. 4d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 0^{+} lim \frac{2}{x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik $\to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 64

Oryginalne zadanie: zad. 4e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 4^{-} lim \frac{3}{4 - x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 4$ : $4 - x \to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 65

Oryginalne zadanie: zad. 4f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 4^{+} lim \frac{3}{4 - x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > 4$ : $4 - x \to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 66

Oryginalne zadanie: zad. 5a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{∣ x - 2∣}{x - 2}

dla

x \to 2

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 2$ : $f (x) = - 1$ ; dla $x > 2$ : $f (x) = 1$ .
2Granice jednostronne $- 1$ i $1$ są różne — granica nie istnieje.
3Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 67

Oryginalne zadanie: zad. 5b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{x + 1}{∣ x + 1∣}

dla

x \to - 1

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $f (x) = - 1$ ; dla $x > - 1$ : $f (x) = 1$ .
2Granice jednostronne są różne — granica nie istnieje.
3Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 68

Oryginalne zadanie: zad. 5c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{2}{x + 3}

dla

x \to - 3

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lim_{x \to - 3^{-}} \frac{2}{x + 3} = - \infty$ , $lim_{x \to - 3^{+}} \frac{2}{x + 3} = + \infty$ .
2Granice jednostronne są różne — granica nie istnieje.
3Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 69

Oryginalne zadanie: zad. 6a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to 0 lim \frac{x + 9 - 3}{x}

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( x + 9 ) - 9}{x ( x + 9 + 3 )} = \frac{1}{x + 9 + 3}$ .
2 $\frac{1}{6}$ .
3Odpowiedź: 1/6

Odpowiedź: 1/6

Zadanie 70

Oryginalne zadanie: zad. 6b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (x^{2} + 4 - x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{4}{x ^{2} + 4 + x}$ .
2Mianownik $\to + \infty$ , granica $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 71

Oryginalne zadanie: zad. 6c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (4 x^{2} + x - 2 x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( 4 x ^{2} + x ) - 4 x ^{2}}{4 x ^{2} + x + 2 x} = \frac{x}{4 x ^{2} + x + 2 x}$ .
2Dzielimy przez $x$ : $\frac{1}{4 + \frac{1}{x} + 2}$ .
3Granica: $\frac{1}{4}$ .
4Odpowiedź: 1/4

Odpowiedź: 1/4

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 5}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $n = 3$ i pamiętaj, że $(\frac{1}{2})^{- 2} = 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{3 - 5} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{- 2}$ .
2 $(\frac{1}{2})^{- 2} = 2^{2} = 4$ .
3 $a_{3} = 32 \cdot 4 = 128$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $128$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór rekurencyjny

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 2

oraz

a_{n + 1} = a_{n} - 6

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Piąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Każdy kolejny wyraz jest o 6 mniejszy od poprzedniego.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = 2 - 6 = - 4$ , $a_{3} = - 10$ , $a_{4} = - 16$ .
2 $a_{5} = - 16 - 6 = - 22$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 22)$

Zadanie 3

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{32 \cdot ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n - 1}}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla $n = 6$ mamy $(- 1)^{6} = 1$ oraz $2^{5} = 32$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{6} = \frac{32 \cdot 1}{2 ^{5}} = \frac{32}{32} = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma początkowych wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Suma

S_{3}

trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz po kolei $a_{1}$ , $a_{2}$ i $a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 3 - 3 = 0$ , $a_{2} = 12 - 6 = 6$ , $a_{3} = 27 - 9 = 18$ .
2 $S_{3} = 0 + 6 + 18 = 24$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $24$

Zadanie 5

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór rekurencyjny

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 2

oraz

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz $a_{2}$ , potem $a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ .
2 $a_{3} = 2 \cdot 5 + 1 = 11$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $11$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz z sumy $S_n$

Matura · 1 pkt

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

wyraża się wzorem

S_{n} = n^{2} + 2 n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z zależności $a_{3} = S_{3} - S_{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{3} = 9 + 6 = 15$ , $S_{2} = 4 + 4 = 8$ .
2 $a_{3} = 15 - 8 = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $7$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma początkowych wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n + 1} + 5

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyrazy przyjmują na przemian dwie wartości — pogrupuj je w pary.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $n$ nieparzystych $a_{n} = 2 + 5 = 7$ , dla $n$ parzystych $a_{n} = - 2 + 5 = 3$ .
2Każda para daje $7 + 3 = 10$ , a par jest pięć.
3 $S_{10} = 5 \cdot 10 = 50$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $50$

Zadanie 8

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Prawda / fałsz

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (n - 5)

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.
2. Wszystkie wyrazy ciągu

(a_{n})

są dodatnie.

Wskazówka

Policz $a_{1}$ , $a_{2}$ i $a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = (- 1) \cdot (1 - 5) = 4$ , $a_{2} = 1 \cdot (2 - 5) = - 3$ , $a_{3} = (- 1) \cdot (3 - 5) = 2$ .
2Stwierdzenie 1: $4 = 2 \cdot 2$ — PRAWDA.
3Stwierdzenie 2: $a_{2} = - 3 < 0$ — FAŁSZ.

Odpowiedź: P, F

Zadanie 9

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Prawda / fałsz

Matura · 1 pkt

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest określona wzorem

S_{n} = 4 \cdot (2^{n} - 1)

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy 4.
2. Drugi wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy 12.

Wskazówka

$a_{1} = S_{1}$ , a $a_{2} = S_{2} - S_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{1} = 4 \cdot (2 - 1) = 4$ , więc $a_{1} = 4$ — PRAWDA.
2 $S_{2} = 4 \cdot (4 - 1) = 12$ , więc $a_{2} = 12 - 4 = 8$ — FAŁSZ.

Odpowiedź: P, F

Zadanie 10

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{n + 1}{2}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(- 1)^{3} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 1) \cdot \frac{4}{2} = - 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 2)$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{n - 2}{3}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż nierówność $\frac{n - 2}{3} < 10$ w liczbach naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{n - 2}{3} < 10 ⟺ n - 2 < 30 ⟺ n < 32$ .
2Zatem $n \in {1, 2, \dots, 31}$ — 31 wyrazów.

Prawidłowa odpowiedź: B. $31$

Zadanie 12

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2^{n} \cdot (n + 1)

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Wyraz

a_{4}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $n = 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{4} = 2^{4} \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $80$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Prawda / fałsz

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2} + n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest malejący.
2. Ósmy wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy 136.

Wskazówka

Zbadaj znak różnicy $a_{n + 1} - a_{n}$ i policz $a_{8}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1)^{2} + (n + 1) - 2 n^{2} - n = 4 n + 3 > 0$ , więc ciąg jest rosnący — FAŁSZ.
2 $a_{8} = 2 \cdot 64 + 8 = 136$ — PRAWDA.

Odpowiedź: F, P

Zadanie 14

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{7 ^{n}}{21}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu

(a_{n})

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $21 = 3 \cdot 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{50} = \frac{7 ^{50}}{21} = \frac{7 ^{50}}{3 \cdot 7}$ .
2 $= \frac{7 ^{49}}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{7 ^{49}}{3}$

Zadanie 15

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Czy liczba jest wyrazem ciągu

Matura · 1 pkt

Dane są ciągi

a_{n} = 3 n

oraz

b_{n} = 4 n - 2

, określone dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Liczba 10

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż równania $3 n = 10$ oraz $4 n - 2 = 10$ w liczbach naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 n = 10 \Rightarrow n = \frac{10}{3}$ — nie jest liczbą naturalną.
2 $4 n - 2 = 10 \Rightarrow n = 3$ — jest liczbą naturalną.

Prawidłowa odpowiedź: C. nie jest wyrazem ciągu $(a_{n})$ i jest wyrazem ciągu $(b_{n})$ .

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{n - 2}{2 n ^{2}}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $n = 5$ : licznik $3$ , mianownik $2 \cdot 25$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5} = \frac{5 - 2}{2 \cdot 25} = \frac{3}{50}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{3}{50}$

Zadanie 17

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{2 n ^{2} - 30 n}{n}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Wtedy

a_{7}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skróć wzór: $a_{n} = 2 n - 30$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = \frac{n ( 2 n - 30 )}{n} = 2 n - 30$ .
2 $a_{7} = 14 - 30 = - 16$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 16$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu

Matura · 1 pkt

Dane są ciągi określone dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

a_{n} = 20 n + 3

b_{n} = 2 n^{2} - 3

c_{n} = n^{2} + 10 n - 2

d_{n} = \frac{n + 187}{n}

. Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $n = 10$ do każdego wzoru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{10} = 203$ , $b_{10} = 200 - 3 = 197$ .
2 $c_{10} = 100 + 100 - 2 = 198$ , $d_{10} = \frac{197}{10} = 19, 7$ .
3Zatem 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu $(b_{n})$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(b_{n})$

Zadanie 19

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ciąg

(b_{n})

jest określony wzorem

b_{n} = 3 n^{2} - 25 n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu

(b_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż nierówność $n (3 n - 25) ⩽ 0$ dla $n$ naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 n^{2} - 25 n ⩽ 0 ⟺ n (3 n - 25) ⩽ 0$ .
2Dla $n ⩾ 1$ warunek daje $n ⩽ \frac{25}{3} \approx 8, 33$ .
3Zatem $n \in {1, \dots, 8}$ — 8 wyrazów.

Prawidłowa odpowiedź: D. $8$

Zadanie 20

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 2)^{n} \cdot n + 1

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(- 2)^{3} = - 8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 8) \cdot 3 + 1 = - 24 + 1 = - 23$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 23$

Zadanie 21

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2}

dla

n ⩾ 1

. Różnica

a_{5} - a_{4}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno $a_{5}$ i $a_{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5} = 50$ , $a_{4} = 32$ .
2 $a_{5} - a_{4} = 18$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $18$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór z przesuniętym indeksem

Matura · 1 pkt

W ciągu

(a_{n})

określonym dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

spełniony jest warunek

a_{n + 3} = - 2 \cdot 3^{n + 1}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Aby otrzymać $a_{5}$ , przyjmij $n + 3 = 5$ , czyli $n = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $n = 2$ : $a_{5} = - 2 \cdot 3^{3} = - 2 \cdot 27 = - 54$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a_{5} = - 54$

Zadanie 23

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg liczbowy określony jest wzorem

a_{n} = \frac{2 ^{n} - 1}{2 ^{n} + 1}

dla

n ⩾ 1

. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$2^{5} = 32$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5} = \frac{32 - 1}{32 + 1} = \frac{31}{33}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{31}{33}$

Zadanie 24

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{24 - 4 n}{n}

dla

n ⩾ 1

. Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przekształć wzór do postaci $a_{n} = \frac{24}{n} - 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = \frac{24}{n} - 4$ , więc wyraz jest całkowity, gdy $n$ jest dzielnikiem 24.
2Nieujemność: $\frac{24}{n} ⩾ 4 ⟺ n ⩽ 6$ .
3Dzielniki 24 nie większe od 6: $1, 2, 3, 4, 6$ — 5 wyrazów.

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 25

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (n + 3) (n - 5)

dla

n ⩾ 1

. Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest ujemny, gdy $n < 5$ (bo $n + 3 > 0$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $n ⩾ 1$ mamy $n + 3 > 0$ , więc $a_{n} < 0 ⟺ n - 5 < 0 ⟺ n < 5$ .
2Zatem $n \in {1, 2, 3, 4}$ — 4 wyrazy.

Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Który wyraz ma daną wartość

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = n^{2} - n

dla

n ⩾ 1

. Który wyraz tego ciągu jest równy 6?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż równanie $n^{2} - n = 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $n^{2} - n - 6 = 0 ⟺ (n - 3) (n + 2) = 0$ .
2W liczbach naturalnych $n = 3$ — trzeci wyraz.

Prawidłowa odpowiedź: B. trzeci

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Który wyraz ma daną wartość

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

określony jest wzorem

a_{n} = - 2 + \frac{12}{n}

dla

n ⩾ 1

. Równość

a_{n} = 4

zachodzi dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przenieś $- 2$ na drugą stronę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 + \frac{12}{n} = 4 ⟺ \frac{12}{n} = 6 ⟺ n = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $n = 2$

Zadanie 28

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 1 pkt

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2} - 9

dla

n ⩾ 1

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż $2 n^{2} < 9$ dla $n$ naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 n^{2} - 9 < 0 ⟺ n^{2} < 4, 5$ .
2Dla $n$ naturalnych: $n = 1$ i $n = 2$ — 2 wyrazy.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 29

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (3 - n)

dla

n = 1, 2, 3, \dots

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla $n = 3$ czynnik $3 - n$ jest równy zero.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 1)^{3} \cdot (3 - 3) = 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{3} = 0$

Zadanie 30

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Monotoniczność ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = n^{2} - n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

jest **A.** rosnący / **B.** malejący / **C.** stały, ponieważ dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

różnica

a_{n + 1} - a_{n}

jest **1.** liczbą ujemną / **2.** równa zero / **3.** liczbą dodatnią.

Wskazówka

Policz i uprość różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = (n + 1)^{2} - (n + 1) - n^{2} + n = 2 n$ .
2Dla $n ⩾ 1$ mamy $2 n > 0$ , więc ciąg jest rosnący.

Odpowiedź: A, 3

Zadanie 31

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} (n^{2} - 2 n)

dla

n ⩾ 1

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $a_{3}$ i porównaj z podanymi warunkami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 1) (9 - 6) = - 3$ .
2 $- 3 < 2$ , więc prawdziwy jest warunek $a_{3} < 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $a_{3} < 2$

Zadanie 32

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 3)^{n} \cdot (9 - n^{2})

dla

n ⩾ 1

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla $n = 3$ drugi czynnik jest równy zero.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = (- 27) \cdot (9 - 9) = 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $a_{3} = 0$

Zadanie 33

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Dowód

Matura · 2 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2} + 2 n

dla

n ⩾ 1

. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Wskazówka

Dodaj $a_{n}$ i $a_{n + 1}$ , a potem spróbuj zwinąć wynik do postaci $(\dots)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n^{2} + 2 n + 2 (n + 1)^{2} + 2 (n + 1)$ .
2 $= 2 n^{2} + 2 n + 2 n^{2} + 4 n + 2 + 2 n + 2 = 4 n^{2} + 8 n + 4$ .
3 $= 4 (n^{2} + 2 n + 1) = (2 n + 2)^{2}$ .
4Liczba $2 n + 2$ jest naturalna, co kończy dowód.

Zadanie 34

Matura: maj 2003

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór rekurencyjny

Matura · 3 pkt

Ciąg

(a_{n})

określony jest wzorem:

a_{1} = 1

a_{2} = 2

a_{n + 2} = 2^{n - 1} + a_{n} + a_{n + 1}

. Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Najpierw policz $a_{3}$ (dla $n = 1$ ), potem $a_{4}$ (dla $n = 2$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $n = 1$ : $a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2} = 1 + 1 + 2 = 4$ .
2Dla $n = 2$ : $a_{4} = 2^{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 2 + 4 = 8$ .

Odpowiedź: $a_{4} = 8$

Zadanie 35

Matura: maj 2005

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy spełniające nierówność

Matura · 4 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

, gdzie

a_{n} = \frac{n + 2}{3 n + 1}

dla

n = 1, 2, 3, \dots

. Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od

\frac{1}{2}

Wskazówka

Pomnóż nierówność na krzyż — mianowniki są dodatnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{n + 2}{3 n + 1} > \frac{1}{2} ⟺ 2 (n + 2) > 3 n + 1$ .
2 $2 n + 4 > 3 n + 1 ⟺ n < 3$ .
3Zatem $n = 1$ lub $n = 2$ : $a_{1} = \frac{3}{4}$ , $a_{2} = \frac{4}{7}$ .

Odpowiedź: $a_{1} = \frac{3}{4}$ , $a_{2} = \frac{4}{7}$

Zadanie 36

Matura: wrzesień 2001

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Dowód monotoniczności

Matura · 4 pkt

Ciąg liczbowy

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = n + n^{2}

. Wykaż, że jest to ciąg rosnący.

Wskazówka

Wystarczy pokazać, że $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ dla każdego $n ⩾ 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = (n + 1) + (n + 1)^{2} - n - n^{2}$ .
2 $= 1 + 2 n + 1 = 2 n + 2$ .
3Dla $n ⩾ 1$ mamy $2 n + 2 > 0$ , więc ciąg jest rosnący.

Zadanie 37

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór rekurencyjny

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem rekurencyjnym:

a_{1} = - 2

a_{n + 1} = n \cdot a_{n} + 4

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Licz kolejno $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ — pamiętaj, że mnożnik $n$ zmienia się w każdym kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = 1 \cdot (- 2) + 4 = 2$ .
2 $a_{3} = 2 \cdot 2 + 4 = 8$ .
3 $a_{4} = 3 \cdot 8 + 4 = 28$ .
4 $S_{4} = - 2 + 2 + 8 + 28 = 36$ .

Odpowiedź: $36$

Zadanie 38

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy ciągu

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \frac{2 - n}{n ^{2}}

dla

n = 1, 2, 3, \dots

. Oblicz

a_{2}

a_{4}

a_{5}

Wskazówka

Pamiętaj o znaku czynnika $(- 1)^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = 1 \cdot \frac{2 - 2}{4} = 0$ .
2 $a_{4} = 1 \cdot \frac{2 - 4}{16} = - \frac{1}{8}$ .
3 $a_{5} = (- 1) \cdot \frac{2 - 5}{25} = \frac{3}{25}$ .

Odpowiedź: $a_{2} = 0$ , $a_{4} = - \frac{1}{8}$ , $a_{5} = \frac{3}{25}$

Zadanie 39

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów spełniających warunek

Matura · 2 pkt

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = n^{2} - 2 n - 24

dla

n ⩾ 1

Wskazówka

Rozłóż trójmian na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $n^{2} - 2 n - 24 = (n - 6) (n + 4)$ .
2Dla $n ⩾ 1$ mamy $n + 4 > 0$ , więc $a_{n} < 0 ⟺ n < 6$ .
3Zatem $n \in {1, 2, 3, 4, 5}$ — 5 wyrazów.

Odpowiedź: $5$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 2

a_{n + 1} = a_{n} - 6

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.
2. Ciąg

(a_{n})

jest malejący.

Wskazówka

Sprawdź, ile wynosi różnica $a_{n + 1} - a_{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = - 6$ — różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (PRAWDA).
2Różnica jest ujemna, więc ciąg jest malejący (PRAWDA).

Odpowiedź: P, P

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 2 pkt

Czterowyrazowy ciąg

(7, a_{2}, a_{3}, a_{4})

jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Zapisz sumę jako $4 a_{1} + 6 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 \cdot 7 + 6 r = 54$ , czyli $6 r = 26$ , więc $r = \frac{13}{3}$ .
2 $a_{2} = 7 + \frac{13}{3} = \frac{34}{3} = 11 \frac{1}{3}$ .

Odpowiedź: $a_{2} = 11 \frac{1}{3}$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. W tym ciągu

a_{1} = 1

oraz

a_{5} = 17

. Dziewiąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz różnicę z warunku $a_{5} = a_{1} + 4 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $17 = 1 + 4 r \Rightarrow r = 4$ .
2 $a_{9} = 1 + 8 \cdot 4 = 33$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $33$

Zadanie 4

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 5

a_{n + 1} = a_{n} + 2

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

To ciąg arytmetyczny o $a_{1} = 5$ i $r = 2$ ; skorzystaj ze wzoru na $S_{100}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{100} = 5 + 99 \cdot 2 = 203$ .
2 $S_{100} = \frac{100 ( 5 + 203 )}{2} = 50 \cdot 208 = 10400$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $10400$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Różnica tego ciągu jest równa

(- 4)

oraz

a_{10} = - 24

. Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Od $a_{10}$ cofnij się o cztery różnice.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{6} = a_{10} - 4 r = - 24 - 4 \cdot (- 4) = - 24 + 16 = - 8$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 8)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.
2. Wszystkie wyrazy ciągu

(a_{n})

są liczbami parzystymi.

Wskazówka

Zauważ, że $a_{n} = 3 n (n - 1)$ — iloczyn kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 0$ , $a_{2} = 6$ , $a_{3} = 18$ — różnice $6$ i $12$ nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny (FAŁSZ).
2 $a_{n} = 3 n (n - 1)$ , a iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty, więc każdy wyraz jest parzysty (PRAWDA).

Odpowiedź: F, P

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 15.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są wyrazy

a_{1} = 52

oraz

a_{25} = 2

. Różnica ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{25} = a_{1} + 24 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 = 52 + 24 r \Rightarrow 24 r = - 50$ .
2 $r = - \frac{50}{24} = - \frac{25}{12}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{25}{12})$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 15.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są wyrazy

a_{1} = 52

oraz

a_{25} = 2

. Suma

S_{25}

dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{25} = \frac{25 ( a _{1} + a _{25} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{25} = \frac{25 ( 52 + 2 )}{2} = \frac{25 \cdot 54}{2} = 675$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $675$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(5 m, 4 + 2 m, m)

jest arytmetyczny, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 (4 + 2 m) = 5 m + m$ , czyli $8 + 4 m = 6 m$ .
2 $2 m = 8 \Rightarrow m = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 10

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(2 m - 5, 4, 9)

jest arytmetyczny. Dokończ zdanie: ten ciąg jest **A.** rosnący / **B.** malejący oraz **1.**

m = - 1

/ **2.**

m = 2

/ **3.**

m = 3

Wskazówka

Skorzystaj z warunku $2 \cdot 4 = (2 m - 5) + 9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = 2 m + 4 \Rightarrow m = 2$ .
2Ciąg ma postać $(- 1, 4, 9)$ — jest rosnący.

Odpowiedź: A, 2

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są wyrazy

a_{1} = 7

oraz

a_{2} = 13

. Wyraz

a_{10}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = a_{2} - a_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 13 - 7 = 6$ .
2 $a_{10} = 7 + 9 \cdot 6 = 61$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $61$

Zadanie 12

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. W tym ciągu

a_{2} = 4

oraz

a_{3} = 9

. Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = a_{3} - a_{2}$ , a $a_{6} = a_{3} + 3 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 9 - 4 = 5$ .
2 $a_{6} = 9 + 3 \cdot 5 = 24$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $24$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1, 4, a + 5)

jest arytmetyczny. Liczba

a

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$2 \cdot 4 = 1 + (a + 5)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = a + 6 \Rightarrow a = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 14

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = - 3 n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Liczby

2

(- 1)

(- 4)

są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu

(a_{n})

.
2.

(a_{n})

jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej 5.

Wskazówka

Policz trzy pierwsze wyrazy i różnicę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 2$ , $a_{2} = - 1$ , $a_{3} = - 4$ — PRAWDA.
2Różnica jest równa $- 3$ , a nie $5$ — FAŁSZ.

Odpowiedź: P, F

Zadanie 15

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Pięciowyrazowy ciąg

(- 3, \frac{1}{2}, x, y, 11)

jest arytmetyczny. Liczby

x

oraz

y

są równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Różnicę wyznacz z pierwszych dwóch wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = \frac{1}{2} - (- 3) = \frac{7}{2}$ .
2 $x = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 4$ , $y = 4 + \frac{7}{2} = \frac{15}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 4$ oraz $y = \frac{15}{2}$

Zadanie 16

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Monotoniczność ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Ciąg

(a_{n})

jest **A.** rosnący / **B.** malejący / **C.** stały, ponieważ dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

: **1.**

a_{n + 1} - a_{n} = - 1

/ **2.**

a_{n + 1} - a_{n} = 0

/ **3.**

a_{n + 1} - a_{n} = 3

Wskazówka

Policz różnicę kolejnych wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = 3 (n + 1) - 1 - (3 n - 1) = 3$ .
2Różnica jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Odpowiedź: A, 3

Zadanie 17

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Nierówność dla wyrazu ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

. Najmniejszą wartością

n

, dla której wyraz

a_{n}

jest większy od 25, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż nierówność $3 n - 1 > 25$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 n > 26 \Rightarrow n > \frac{26}{3} \approx 8, 67$ .
2Najmniejsze naturalne: $n = 9$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $9$

Zadanie 18

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

. Suma

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa 57 dla

n

równego

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ , gdzie $a_{1} = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{n} = \frac{n ( 2 + 3 n - 1 )}{2} = \frac{n ( 3 n + 1 )}{2} = 57$ .
2 $3 n^{2} + n - 114 = 0 \Rightarrow n = 6$ (drugi pierwiastek nie jest naturalny).

Prawidłowa odpowiedź: A. $6$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma różnicę równą 2 oraz

a_{8} = 48

. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{8} - 4 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{4} = 48 - 4 \cdot 2 = 40$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $40$

Zadanie 20

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

mamy

a_{5} = - 31

oraz

a_{10} = - 66

. Różnica tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Między $a_{5}$ i $a_{10}$ jest pięć różnic.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{10} - a_{5} = 5 r \Rightarrow - 66 + 31 = 5 r$ .
2 $5 r = - 35 \Rightarrow r = - 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 7$

Zadanie 21

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własność wyrazów sąsiednich

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

spełnia warunek

a_{3} + a_{5} = 58

. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4}$ jest średnią arytmetyczną $a_{3}$ i $a_{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} + a_{5} = 2 a_{4} = 58$ .
2 $a_{4} = 29$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $29$

Zadanie 22

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma różnicę równą 5, a pierwszy wyraz równy

(- 3)

. Wtedy iloraz

\frac{a _{4}}{a _{2}}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $a_{2}$ i $a_{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} = - 3 + 5 = 2$ , $a_{4} = - 3 + 15 = 12$ .
2 $\frac{a _{4}}{a _{2}} = \frac{12}{2} = 6$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $6$

Zadanie 23

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciągi są określone wzorami:

a_{n} = 6 n^{2} - n^{3}

b_{n} = 2 n + 13

c_{n} = 2^{n}

. Wskaż zdanie prawdziwe.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ciąg o wzorze liniowym $an + b$ jest arytmetyczny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b_{n + 1} - b_{n} = 2 (n + 1) + 13 - (2 n + 13) = 2$ — stała różnica.
2Pozostałe wzory nie są liniowe, więc te ciągi nie są arytmetyczne.

Prawidłowa odpowiedź: B. Ciąg $(b_{n})$ jest arytmetyczny.

Zadanie 24

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 2

a_{2} = 5

. Stąd wynika, że

n

-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 3$ .
2 $a_{n} = 2 + 3 (n - 1) = 3 n - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a_{n} = 3 n - 1$

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własność wyrazów symetrycznych

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

spełnia warunek

a_{4} = 2020

. Suma

a_{2} + a_{6}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{2}$ i $a_{6}$ leżą symetrycznie wokół $a_{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2} + a_{6} = 2 a_{4} = 2 \cdot 2020 = 4040$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $4040$

Zadanie 26

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cofnij się od $a_{4}$ i dodaj cztery wyrazy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = - 2$ , $a_{2} = - 7$ , $a_{1} = - 12$ .
2 $S_{4} = - 12 - 7 - 2 + 3 = - 18$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 18$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = - 11

a_{9} = 5

. Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{9} = \frac{9 ( - 11 + 5 )}{2} = \frac{9 \cdot ( - 6 )}{2} = - 27$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 27$

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własności wyrazów

Matura · 1 pkt

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

o wyrazach dodatnich. Jeśli

a_{2} + a_{9} = a_{4} + a_{k}

, to

k

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

W ciągu arytmetycznym suma wyrazów zależy tylko od sumy indeksów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 + 9 = 4 + k \Rightarrow k = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $7$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczby podzielne — ciąg arytmetyczny

Matura · 1 pkt

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza to 12, ostatnia 96, różnica 6.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $96 = 12 + (n - 1) \cdot 6 \Rightarrow n - 1 = 14$ .
2 $n = 15$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $15$

Zadanie 30

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 7

a_{8} = - 49

. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{8} = \frac{8 ( a _{1} + a _{8} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{8} = 4 \cdot (7 - 49) = 4 \cdot (- 42) = - 168$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 168$

Zadanie 31

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własność wyrazów sąsiednich

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

spełnia warunek

a_{3} + a_{4} + a_{5} = 15

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Suma trzech kolejnych wyrazów to trzykrotność wyrazu środkowego.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 3 a_{4} = 15$ .
2 $a_{4} = 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a_{4} = 5$

Zadanie 32

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 16 - \frac{1}{2} n

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

We wzorze $a_{n} = an + b$ różnicą jest współczynnik $a$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $r = - \frac{1}{2}$

Zadanie 33

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{5 - 2 n}{6}

dla

n ⩾ 1

. Ciąg ten jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz wzór jako $\frac{5}{6} - \frac{n}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} n$ — wzór liniowy, więc ciąg jest arytmetyczny.
2 $r = - \frac{1}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r = - \frac{1}{3}$

Zadanie 34

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własność wyrazów sąsiednich

Matura · 1 pkt

Dla ciągu arytmetycznego

(a_{n})

spełniony jest warunek

a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Suma trzech kolejnych wyrazów to $3 a_{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 a_{5} = 12 \Rightarrow a_{5} = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a_{5} = 4$

Zadanie 35

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczby podzielne — ciąg arytmetyczny

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza to 1000, ostatnia 2015.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2015 = 1000 + (n - 1) \cdot 5 \Rightarrow n - 1 = 203$ .
2 $n = 204$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $204$

Zadanie 36

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Który wyraz ma daną wartość

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 2

a_{2} = 9

. Wtedy

a_{n} = 79

dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = 7$ , więc $a_{n} = 2 + 7 (n - 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 + 7 (n - 1) = 79 \Rightarrow 7 (n - 1) = 77$ .
2 $n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $n = 12$

Zadanie 37

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

spełniony jest warunek

2 a_{3} = a_{2} + a_{1} + 1

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wszystkie wyrazy zapisz przez $a_{1}$ i $r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 (a_{1} + 2 r) = (a_{1} + r) + a_{1} + 1$ .
2 $2 a_{1} + 4 r = 2 a_{1} + r + 1 \Rightarrow 3 r = 1$ .
3 $r = \frac{1}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{3}$

Zadanie 38

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczby podzielne — ciąg arytmetyczny

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Od 12 do 99 co 3.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $99 = 12 + (n - 1) \cdot 3 \Rightarrow n - 1 = 29$ .
2 $n = 30$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $30$

Zadanie 39

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz z sumy $S_n$

Matura · 1 pkt

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest określona wzorem

S_{n} = 2 n^{2} + n

. Wtedy wyraz

a_{2}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{2} = S_{2} - S_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{2} = 8 + 2 = 10$ , $S_{1} = 3$ .
2 $a_{2} = 10 - 3 = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $7$

Zadanie 40

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 6 (n - 16)

dla

n ⩾ 1

. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $a_{1}$ i $a_{10}$ , potem użyj wzoru na sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 6 (1 - 16) = - 90$ , $a_{10} = 6 (10 - 16) = - 36$ .
2 $S_{10} = \frac{10 ( - 90 - 36 )}{2} = 5 \cdot (- 126) = - 630$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 630$

Zadanie 41

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa

(- \frac{3}{2})

. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{7} = a_{14} - 7 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{7} = 8 - 7 \cdot (- \frac{3}{2}) = 8 + \frac{21}{2} = \frac{37}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{37}{2}$

Zadanie 42

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczby podzielne — ciąg arytmetyczny

Matura · 1 pkt

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwszy wyraz to 14, różnica 7.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{12} = 14 + 11 \cdot 7 = 14 + 77 = 91$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $91$

Zadanie 43

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własności wyrazów

Matura · 1 pkt

Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Porównaj sumy indeksów: $1 + 6 = 3 + 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} + a_{6} = 2 a_{1} + 5 r$ oraz $a_{3} + a_{4} = 2 a_{1} + 5 r$ .
2Obie sumy są równe, więc $a_{3} + a_{4} = 13$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $13$

Zadanie 44

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 1 pkt

Mural tworzą trójkąty równoboczne: najmniejszy ma bok długości 1 m, a bok każdego następnego jest o 10 cm dłuższy od poprzedniego. Ostatni trójkąt ma bok długości 5,9 m. Ile trójkątów przedstawia mural?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Boki tworzą ciąg arytmetyczny: $100$ cm, $110$ cm, …, $590$ cm.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $590 = 100 + (n - 1) \cdot 10 \Rightarrow n - 1 = 49$ .
2 $n = 50$ trójkątów.

Prawidłowa odpowiedź: B. $50$

Zadanie 45

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równa 35, a

a_{1} = 3

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw do wzoru $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 (3 + a_{10}) = 35 \Rightarrow 3 + a_{10} = 7$ .
2 $a_{10} = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{10} = 4$

Zadanie 46

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{2} = 11

a_{4} = 7

. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz $r$ z zależności $a_{4} = a_{2} + 2 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $7 = 11 + 2 r \Rightarrow r = - 2$ , więc $a_{1} = 13$ , $a_{3} = 9$ .
2 $S_{4} = 13 + 11 + 9 + 7 = 40$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $40$

Zadanie 47

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Liczby

2

- 1

- 4

są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego

(a_{n})

. Wzór ogólny tego ciągu ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = - 3$ , $a_{1} = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = 2 - 3 (n - 1) = - 3 n + 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $a_{n} = - 3 n + 5$

Zadanie 48

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Liczby

7

a

49

w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy

a

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Środkowy wyraz to średnia skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{7 + 49}{2} = 28$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $28$

Zadanie 49

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, w którym

r = - 2

oraz

a_{20} = 17

. Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{1} = a_{20} - 19 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 17 - 19 \cdot (- 2) = 17 + 38 = 55$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $55$

Zadanie 50

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny oraz

a_{3} = 10

a_{4} = 14

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$r = a_{4} - a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 4$ .
2 $a_{1} = a_{3} - 2 r = 10 - 8 = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{1} = 2$

Zadanie 51

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = - 2 n + 1

dla

n ⩾ 1

. Różnica tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Różnicą jest współczynnik przy $n$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = - 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 2$

Zadanie 52

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

a_{1} = 3

oraz

a_{20} = 7

. Wtedy suma

S_{20}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{20} = \frac{20 ( a _{1} + a _{20} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{20} = 10 \cdot (3 + 7) = 100$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $100$

Zadanie 53

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

mamy

a_{2} = 5

a_{4} = 11

. Oblicz

a_{5}

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{2} + 2 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $11 = 5 + 2 r \Rightarrow r = 3$ .
2 $a_{5} = 11 + 3 = 14$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $14$

Zadanie 54

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są

a_{3} = 13

a_{5} = 39

. Wtedy wyraz

a_{1}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{3} + 2 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $39 = 13 + 2 r \Rightarrow r = 13$ .
2 $a_{1} = 13 - 2 \cdot 13 = - 13$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 13$

Zadanie 55

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica ciągu arytmetycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Różnica tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Między wyrazami trzecim i jedenastym jest osiem różnic.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $34 - 14 = 8 r \Rightarrow 8 r = 20$ .
2 $r = \frac{5}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{5}{2}$

Zadanie 56

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Liczby

1

3

x - 11

w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$2 \cdot 3 = 1 + (x - 11)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 = x - 10 \Rightarrow x = 16$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $16$

Zadanie 57

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 1 pkt

Liczby

x - 1

4

8

(w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$2 \cdot 4 = (x - 1) + 8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = x + 7 \Rightarrow x = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 58

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Układ warunków na $a_1$ i $r$

Matura · 3 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Suma

S_{10}

dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa 90. Średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa 10. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Zapisz oba warunki przez $a_{1}$ i $r$ , a potem rozwiąż układ równań.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{10} = \frac{10 ( 2 a _{1} + 9 r )}{2} = 5 (2 a_{1} + 9 r) = 90$ , czyli $2 a_{1} + 9 r = 18$ .
2 $a_{1} + a_{7} + a_{8} = 3 a_{1} + 13 r = 30$ .
3Z pierwszego równania $a_{1} = \frac{18 - 9 r}{2}$ ; po podstawieniu: $54 - 27 r + 26 r = 60$ .
4 $- r = 6 \Rightarrow r = - 6$ , a wtedy $a_{1} = \frac{18 + 54}{2} = 36$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 36$ , $r = - 6$

Zadanie 59

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 3 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{3 n + 9}{n + 1}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Wyznacz wszystkie wartości

x

, dla których trzywyrazowy ciąg

(a_{5}, 2 x^{2}, 3 x^{2} + 5)

jest arytmetyczny.

Wskazówka

Policz $a_{5}$ , a potem wykorzystaj warunek na średnią.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5} = \frac{24}{6} = 4$ .
2 $2 \cdot 2 x^{2} = 4 + 3 x^{2} + 5 \Rightarrow 4 x^{2} = 3 x^{2} + 9$ .
3 $x^{2} = 9 \Rightarrow x = - 3$ lub $x = 3$ .

Odpowiedź: $x = - 3$ lub $x = 3$

Zadanie 60

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 3 pkt

Wyznacz wartość

m

, dla której trzywyrazowy ciąg

(2 m + 11, m^{2} + 3, 5 - m)

jest arytmetyczny i malejący.

Wskazówka

Najpierw wyznacz kandydatów z warunku na średnią, a potem sprawdź monotoniczność.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 (m^{2} + 3) = (2 m + 11) + (5 - m) \Rightarrow 2 m^{2} + 6 = m + 16$ .
2 $2 m^{2} - m - 10 = 0$ , $Δ = 81$ , więc $m = \frac{1 \pm 9}{4}$ : $m = \frac{5}{2}$ lub $m = - 2$ .
3Dla $m = \frac{5}{2}$ ciąg to $(16, 9 \frac{1}{4}, 2 \frac{1}{2})$ — malejący.
4Dla $m = - 2$ ciąg to $(7, 7, 7)$ — stały, więc odpada.

Odpowiedź: $m = \frac{5}{2}$

Zadanie 61

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica z sumy wyrazów

Matura · 2 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma trzeci wyraz równy

(- 1)

, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

(- 165)

. Oblicz różnicę tego ciągu.

Wskazówka

Dla nieparzystej liczby wyrazów $S_{15} = 15 a_{8}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{15} = 15 a_{8} = - 165 \Rightarrow a_{8} = - 11$ .
2 $a_{8} - a_{3} = 5 r \Rightarrow - 11 + 1 = 5 r$ .
3 $r = - 2$ .

Odpowiedź: $r = - 2$

Zadanie 62

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 2 pkt

Ciąg

(3 x^{2} + 5 x, x^{2}, 20 - x^{2})

jest arytmetyczny. Oblicz

x

Wskazówka

$2 \cdot x^{2}$ musi być sumą wyrazów skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 x^{2} = 3 x^{2} + 5 x + 20 - x^{2} = 2 x^{2} + 5 x + 20$ .
2 $0 = 5 x + 20 \Rightarrow x = - 4$ .

Odpowiedź: $x = - 4$

Zadanie 63

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 2 pkt

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Wskazówka

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o $r = - 30$ i $S_{18} = 8910$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{18} = \frac{18 ( 2 a _{1} + 17 \cdot ( - 30 ))}{2} = 9 (2 a_{1} - 510) = 8910$ .
2 $2 a_{1} - 510 = 990 \Rightarrow 2 a_{1} = 1500$ .
3 $a_{1} = 750$ zł.

Odpowiedź: $750$ zł

Zadanie 64

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy z układu warunków

Matura · 2 pkt

Trójwyrazowy ciąg

(x, y - 4, y)

jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wskazówka

Zapisz dwa równania: warunek na średnią i warunek na sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 (y - 4) = x + y \Rightarrow x = y - 8$ .
2 $x + (y - 4) + y = 6 \Rightarrow x + 2 y = 10$ .
3 $(y - 8) + 2 y = 10 \Rightarrow y = 6$ , więc $x = - 2$ .
4Ciąg ma postać $(- 2, 2, 6)$ .

Odpowiedź: $- 2, 2, 6$

Zadanie 65

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma stu wyrazów

Matura · 2 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

mamy

a_{1} = - 1

a_{4} = 8

. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Wskazówka

Najpierw wyznacz $r$ z $a_{4} = a_{1} + 3 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = - 1 + 3 r \Rightarrow r = 3$ .
2 $S_{100} = \frac{100 ( 2 \cdot ( - 1 ) + 99 \cdot 3 )}{2} = 50 (- 2 + 297)$ .
3 $S_{100} = 50 \cdot 295 = 14750$ .

Odpowiedź: $14750$

Zadanie 66

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica z warunku na sumę

Matura · 2 pkt

Suma dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równa

20 a_{21} + 62

. Oblicz różnicę ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Zapisz obie strony przez $a_{1}$ i $r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{20} = 10 (2 a_{1} + 19 r) = 20 a_{1} + 190 r$ .
2 $20 a_{21} + 62 = 20 (a_{1} + 20 r) + 62 = 20 a_{1} + 400 r + 62$ .
3 $190 r = 400 r + 62 \Rightarrow - 210 r = 62$ .
4 $r = - \frac{31}{105}$ .

Odpowiedź: $r = - \frac{31}{105}$

Zadanie 67

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Sumy wyrazów parzystych i nieparzystych

Matura · 4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{40})

suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Każdy wyraz parzysty jest o $r$ większy od poprzedniego nieparzystego — takich par jest 20.

Rozwiązanie krok po kroku

1Różnica sum: $1340 - 1400 = 20 r \Rightarrow r = - 3$ .
2 $S_{40} = 1340 + 1400 = 2740 = 20 (a_{1} + a_{40})$ , więc $a_{1} + a_{40} = 137$ .
3 $a_{40} = a_{1} + 39 \cdot (- 3) = a_{1} - 117$ , zatem $2 a_{1} - 117 = 137$ i $a_{1} = 127$ .
4 $a_{40} = 127 - 117 = 10$ .

Odpowiedź: $a_{40} = 10$

Zadanie 68

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz i numer wyrazu

Matura · 4 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma różnicę

r = - 4

, a średnia arytmetyczna sześciu początkowych wyrazów jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę

k

, dla której

a_{k} = - 78

Wskazówka

Ze średniej wyznacz $S_{6}$ , a stąd $a_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{6} = 6 \cdot 16 = 96$ , a $S_{6} = 6 a_{1} + 15 r = 6 a_{1} - 60$ .
2 $6 a_{1} = 156 \Rightarrow a_{1} = 26$ .
3 $a_{k} = 26 - 4 (k - 1) = - 78 \Rightarrow - 4 (k - 1) = - 104$ .
4 $k - 1 = 26 \Rightarrow k = 27$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 26$ , $k = 27$

Zadanie 69

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Układ warunków na $a_1$ i $r$

Matura · 2 pkt

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Wskazówka

Dwa równania: $a_{1} + 8 r = 34$ oraz $8 a_{1} + 28 r = 110$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z pierwszego: $a_{1} = 34 - 8 r$ .
2 $8 (34 - 8 r) + 28 r = 110 \Rightarrow 272 - 64 r + 28 r = 110$ .
3 $- 36 r = - 162 \Rightarrow r = 4, 5$ .
4 $a_{1} = 34 - 36 = - 2$ .

Odpowiedź: $a_{1} = - 2$ , $r = 4 \frac{1}{2}$

Zadanie 70

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Układ warunków na $a_1$ i $r$

Matura · 4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

wyraz szósty jest dwa razy większy od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów jest równa

S_{10} = \frac{15}{4}

. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Wskazówka

Warunek $a_{6} = 2 a_{5}$ zapisz przez $a_{1}$ i $r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} + 5 r = 2 (a_{1} + 4 r) \Rightarrow - a_{1} = 3 r$ , czyli $a_{1} = - 3 r$ .
2 $S_{10} = 10 a_{1} + 45 r = - 30 r + 45 r = 15 r = \frac{15}{4}$ .
3 $r = \frac{1}{4}$ , więc $a_{1} = - \frac{3}{4}$ .

Odpowiedź: $a_{1} = - \frac{3}{4}$ , $r = \frac{1}{4}$

Zadanie 71

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz z sumy

Matura · 2 pkt

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wskazówka

$S_{12} = \frac{12 ( a _{1} + a _{12} )}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 (a_{1} + 30) = 162 \Rightarrow a_{1} + 30 = 27$ .
2 $a_{1} = - 3$ .

Odpowiedź: $a_{1} = - 3$

Zadanie 72

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Własności wyrazów symetrycznych

Matura · 2 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

spełniona jest równość

a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100

. Oblicz sumę

a_{25} + a_{26}

Wskazówka

Porównaj sumy indeksów: $21 + 30 = 24 + 27 = 25 + 26$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{21} + a_{30} = a_{24} + a_{27} = a_{25} + a_{26}$ .
2Zatem $2 (a_{25} + a_{26}) = 100$ .
3 $a_{25} + a_{26} = 50$ .

Odpowiedź: $a_{25} + a_{26} = 50$

Zadanie 73

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Różnica z sumy wyrazów

Matura · 2 pkt

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

jest równa 30, a

a_{30} = 30

. Oblicz różnicę tego ciągu.

Wskazówka

Z sumy wyznacz $a_{1}$ , a potem skorzystaj z $a_{30} = a_{1} + 29 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{30} = 15 (a_{1} + 30) = 30 \Rightarrow a_{1} + 30 = 2$ , więc $a_{1} = - 28$ .
2 $30 = - 28 + 29 r \Rightarrow 29 r = 58$ .
3 $r = 2$ .

Odpowiedź: $r = 2$

Zadanie 74

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów dodatnich

Matura · 4 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

określony jest wzorem

a_{n} = 2016 - 3 n

dla

n ⩾ 1

. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Wskazówka

Najpierw sprawdź, ile wyrazów jest dodatnich.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2016 - 3 n > 0 ⟺ n < 672$ , więc dodatnie są wyrazy od $a_{1}$ do $a_{671}$ .
2 $a_{1} = 2013$ , $a_{671} = 2016 - 2013 = 3$ .
3 $S_{671} = \frac{671 ( 2013 + 3 )}{2} = \frac{671 \cdot 2016}{2} = 676368$ .

Odpowiedź: $676368$

Zadanie 75

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Układ warunków na $a_1$ i $r$

Matura · 5 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2016

oraz

a_{5} + a_{6} + \dots + a_{12} = 2016

. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Zapisz obie sumy przez $a_{1}$ i $r$ : pierwsza ma 4 wyrazy, druga 8.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 a_{1} + 6 r = 2016 \Rightarrow 2 a_{1} + 3 r = 1008$ .
2 $8 a_{1} + 60 r = 2016 \Rightarrow 2 a_{1} + 15 r = 504$ .
3Odejmując: $12 r = - 504 \Rightarrow r = - 42$ , a wtedy $a_{1} = 567$ .
4 $a_{n} = 609 - 42 n > 0 ⟺ n < 14, 5$ , więc najmniejszy dodatni to $a_{14} = 21$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 567$ , $r = - 42$ , $a_{14} = 21$

Zadanie 76

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz i różnica

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, w którym

a_{5} = 22

oraz

a_{10} = 47

. Oblicz pierwszy wyraz

a_{1}

i różnicę

r

tego ciągu.

Wskazówka

Między $a_{5}$ i $a_{10}$ jest pięć różnic.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $47 - 22 = 5 r \Rightarrow r = 5$ .
2 $a_{1} = a_{5} - 4 r = 22 - 20 = 2$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 2$ , $r = 5$

Zadanie 77

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 2 pkt

Liczby

6

2 x + 4

x + 26

w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę

r

tego ciągu.

Wskazówka

Skorzystaj z warunku $2 (2 x + 4) = 6 + (x + 26)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 x + 8 = x + 32 \Rightarrow 3 x = 24$ , czyli $x = 8$ .
2Ciąg ma postać $(6, 20, 34)$ .
3 $r = 20 - 6 = 14$ .

Odpowiedź: $r = 14$

Zadanie 78

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 2 pkt

Liczby

2 x + 1

6

16 x + 2

są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

x

Wskazówka

$2 \cdot 6$ jest sumą wyrazów skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 = (2 x + 1) + (16 x + 2) = 18 x + 3$ .
2 $18 x = 9 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $x = \frac{1}{2}$

Zadanie 79

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy z układu równań

Matura · 2 pkt

Liczby

x

y

19

w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym

x + y = 8

. Oblicz

x

y

Wskazówka

Drugi warunek to $2 y = x + 19$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 8 - y$ , więc $2 y = (8 - y) + 19$ .
2 $3 y = 27 \Rightarrow y = 9$ , a wtedy $x = - 1$ .

Odpowiedź: $x = - 1$ , $y = 9$

Zadanie 80

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz z sumy

Matura · 2 pkt

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Dla pięciu wyrazów $S_{5} = 5 a_{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $5 a_{3} = 70 \Rightarrow a_{3} = 14$ .
2 $a_{5} - a_{3} = 2 r \Rightarrow 12 = 2 r$ , czyli $r = 6$ .
3 $a_{1} = 14 - 2 \cdot 6 = 2$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 2$

Zadanie 81

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Dowód

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdego

m

ciąg

(\frac{m + 1}{4}, \frac{m + 3}{6}, \frac{m + 9}{12})

jest arytmetyczny.

Wskazówka

Sprawdź, czy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma wyrazów skrajnych: $\frac{m + 1}{4} + \frac{m + 9}{12} = \frac{3 m + 3 + m + 9}{12} = \frac{4 m + 12}{12} = \frac{m + 3}{3}$ .
2Połowa tej sumy: $\frac{m + 3}{6}$ — dokładnie środkowy wyraz.
3Warunek na ciąg arytmetyczny jest spełniony dla każdego $m$ .

Zadanie 82

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Dowód

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 4 n - 9

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Wykaż, że ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.

Wskazówka

Policz różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n + 1} - a_{n} = 4 (n + 1) - 9 - (4 n - 9) = 4$ .
2Różnica jest stała i niezależna od $n$ , więc ciąg jest arytmetyczny o $r = 4$ .

Zadanie 83

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy spełniające nierówność

Matura · 2 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

dane są wyrazy

a_{3} = 4

a_{6} = 19

. Wyznacz wszystkie wartości

n

, dla których wyrazy ciągu

(a_{n})

są mniejsze od 200.

Wskazówka

Najpierw wyznacz wzór ogólny ciągu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $19 - 4 = 3 r \Rightarrow r = 5$ , więc $a_{1} = 4 - 10 = - 6$ .
2 $a_{n} = - 6 + 5 (n - 1) = 5 n - 11$ .
3 $5 n - 11 < 200 ⟺ n < 42, 2$ .
4Zatem $n \in {1, 2, \dots, 42}$ .

Odpowiedź: $n \in {1, 2, 3, \dots, 42}$

Zadanie 84

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Równanie z sumą ciągu

Matura · 3 pkt

Rozwiąż równanie

(2 x + 1) + (2 x + 4) + (2 x + 7) + \dots + (2 x + 28) = 155

, jeśli składniki po lewej stronie są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.

Wskazówka

Policz najpierw, ile jest składników: stałe wyrazy tworzą ciąg $1, 4, 7, \dots, 28$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $28 = 1 + (n - 1) \cdot 3 \Rightarrow n = 10$ składników.
2Suma stałych: $\frac{10 ( 1 + 28 )}{2} = 145$ .
3 $10 \cdot 2 x + 145 = 155 \Rightarrow 20 x = 10$ .
4 $x = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $x = \frac{1}{2}$

Zadanie 85

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek na trzy wyrazy

Matura · 2 pkt

Liczby

x - 2

3

x + 6

są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

x

Wskazówka

$2 \cdot 3 = (x - 2) + (x + 6)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 = 2 x + 4 \Rightarrow 2 x = 2$ .
2 $x = 1$ .

Odpowiedź: $x = 1$

Zadanie 86

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyrazy o zadanych numerach

Matura · 2 pkt

Liczby

2

x - 3

8

są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

x

Wskazówka

Uwaga: trzecia liczba jest wyrazem czwartym, więc $a_{4} - a_{1} = 3 r$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 - 2 = 3 r \Rightarrow r = 2$ .
2 $a_{2} = 2 + 2 = 4$ , czyli $x - 3 = 4$ .
3 $x = 7$ .

Odpowiedź: $x = 7$

Zadanie 87

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg z warunkiem podzielności

Matura · 2 pkt

Wyrazami ciągu arytmetycznego

(a_{n})

są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto

a_{3} = 12

. Oblicz

a_{15}

Wskazówka

Kolejne takie liczby różnią się o 5.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r = 5$ , więc $a_{1} = 12 - 2 \cdot 5 = 2$ .
2 $a_{15} = 2 + 14 \cdot 5 = 72$ .

Odpowiedź: $a_{15} = 72$

Zadanie 88

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Sumy kolejnych bloków wyrazów

Matura · 2 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma różnicę równą 4, a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wskazówka

Każdy wyraz drugiej piątki jest o $5 r$ większy od odpowiadającego wyrazu pierwszej piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma następnych pięciu wyrazów to $S_{5} + 5 \cdot 5 r = S_{5} + 100$ .
2 $3 S_{5} = S_{5} + 100 \Rightarrow 2 S_{5} = 100$ , czyli $S_{5} = 50$ .
3 $S_{5} = 5 a_{1} + 10 \cdot 4 = 5 a_{1} + 40 = 50$ .
4 $a_{1} = 2$ .

Odpowiedź: $a_{1} = 2$

Zadanie 89

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 35.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 1 pkt

Pani Joanna 1 czerwca 2020 roku wpłaciła na subkonto 300 zł, a pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o 25 zł więcej niż w miesiącu poprzednim. Oblicz kwotę, jaką wpłaciła 1 czerwca 2022 roku.

Wskazówka

Od czerwca 2020 do czerwca 2022 minęły 24 miesiące.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wpłata z 1 czerwca 2022 to wyraz $a_{25}$ ciągu o $a_{1} = 300$ i $r = 25$ .
2 $a_{25} = 300 + 24 \cdot 25 = 300 + 600 = 900$ zł.

Odpowiedź: $900$ zł

Zadanie 90

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 35.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 2 pkt

Pani Joanna 1 czerwca 2020 roku wpłaciła na subkonto 300 zł i pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o pewną stałą kwotę więcej. Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim powinna odkładać, aby 1 czerwca 2025 roku (razem z wpłatą w tym dniu) na subkoncie była kwota 76 860 zł.

Wskazówka

Policz, ile wpłat przypada od czerwca 2020 do czerwca 2025 włącznie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczba wpłat: $5 \cdot 12 + 1 = 61$ .
2 $S_{61} = 61 \cdot 300 + d \cdot \frac{61 \cdot 60}{2} = 18300 + 1830 d = 76860$ .
3 $1830 d = 58560 \Rightarrow d = 32$ zł.

Odpowiedź: $32$ zł

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 5}

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Ciąg

(a_{n})

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz iloraz $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{2}$ — iloraz jest stały, więc ciąg jest geometryczny.
2 $q = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ przy dodatnich wyrazach, więc ciąg jest malejący.

Prawidłowa odpowiedź: D. geometryczny i malejący

Zadanie 2

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, x + 4, 2 x + 8)

, o wszystkich wyrazach dodatnich, jest geometryczny. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z warunku $(x + 4)^{2} = x (2 x + 8)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 8 x + 16 = 2 x^{2} + 8 x \Rightarrow x^{2} = 16$ .
2Wyrazy są dodatnie, więc $x = 4$ i ciąg to $(4, 8, 16)$ .
3 $q = \frac{8}{4} = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloczyn wyrazów

Matura · 1 pkt

Pięciowyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{2}, 2, a_{4}, a_{5})

jest geometryczny. Iloczyn

a_{1} \cdot a_{2} \cdot 2 \cdot a_{4} \cdot a_{5}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyrazy skrajne mnożą się do kwadratu wyrazu środkowego.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{4} = a_{3}^{2} = 4$ .
2Iloczyn wszystkich wyrazów $= 4 \cdot 4 \cdot 2 = 32$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $32$

Zadanie 4

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest malejący, a jego wyrazy spełniają warunek

a_{6} = 25 \cdot a_{8}

. Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{8} = a_{6} q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{6} = 25 a_{6} q^{2} \Rightarrow q^{2} = \frac{1}{25}$ .
2 $q = \frac{1}{5}$ lub $q = - \frac{1}{5}$ ; ciąg malejący daje $q = \frac{1}{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{5}$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

o wyrazach różnych od 0 spełnia warunek

a_{3} = - 8 \cdot a_{6}

. Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{6} = a_{3} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = - 8 a_{3} q^{3} \Rightarrow q^{3} = - \frac{1}{8}$ .
2 $q = - \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- \frac{1}{2})$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(5, 1, x)

jest arytmetyczny, a ciąg

(5, 1, y)

jest geometryczny. Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $x = 2 - 5$ i $y = \frac{1}{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Arytmetyczny: $2 \cdot 1 = 5 + x \Rightarrow x = 2 - 5 \approx - 0, 24 < 0$ .
2Geometryczny: $1 = 5 \cdot y \Rightarrow y = \frac{5}{5} > 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x < 0$ i $y > 0$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(4, m, m - 1)

jest geometryczny, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$m^{2} = 4 (m - 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m^{2} - 4 m + 4 = 0 ⟺ (m - 2)^{2} = 0$ .
2 $m = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 8

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

a_{1} = 2

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.
2. Ciąg

(a_{n})

jest geometryczny.

Wskazówka

Policz trzy pierwsze wyrazy i sprawdź różnice oraz ilorazy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 5$ , $a_{3} = 11$ .
2Różnice: $3$ i $6$ — nie jest arytmetyczny (FAŁSZ).
3Ilorazy: $\frac{5}{2}$ i $\frac{11}{5}$ — nie jest geometryczny (FAŁSZ).

Odpowiedź: F, F

Zadanie 9

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 27

oraz

a_{2} = 9

. Czwarty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{2}}{a _{1}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{1}{3}$ .
2 $a_{4} = 27 \cdot (\frac{1}{3})^{3} = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 10

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 \cdot (- 1)^{n} + 10

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest geometryczny.
2. Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa 80.

Wskazówka

Wyrazy przyjmują naprzemiennie dwie wartości.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 7$ , $a_{2} = 13$ , $a_{3} = 7$ — iloraz nie jest stały, więc ciąg nie jest geometryczny (FAŁSZ).
2Każda para daje $7 + 13 = 20$ , a par jest cztery: $S_{8} = 80$ (PRAWDA).

Odpowiedź: F, P

Zadanie 11

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{2} = \frac{1}{6}

oraz

a_{3} = \frac{1}{9}

. Piąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{3}}{a _{2}}$ , a $a_{5} = a_{3} q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{1/9}{1/6} = \frac{2}{3}$ .
2 $a_{5} = \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{81}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{4}{81}$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{2} = 2

oraz

a_{5} = 54

. Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{2} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $54 = 2 q^{3} \Rightarrow q^{3} = 27$ .
2 $q = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n + 1} + 5

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest malejący.
2. Ciąg

(a_{n})

jest geometryczny.

Wskazówka

Policz kilka pierwszych wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 7$ , $a_{2} = 3$ , $a_{3} = 7$ — ciąg nie jest malejący (FAŁSZ).
2Ilorazy $\frac{3}{7}$ i $\frac{7}{3}$ są różne — ciąg nie jest geometryczny (FAŁSZ).

Odpowiedź: F, F

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(- 1, 2, x)

jest arytmetyczny, a ciąg

(- 1, 2, y)

jest geometryczny. Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

W ciągu geometrycznym $q = \frac{2}{- 1} = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Arytmetyczny: $4 = - 1 + x \Rightarrow x = 5 > 0$ .
2Geometryczny: $q = - 2$ , więc $y = 2 \cdot (- 2) = - 4 < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x > 0$ i $y < 0$

Zadanie 15

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(12, 6, 2 m - 1)

jest geometryczny. Dokończ zdanie: ten ciąg jest **A.** rosnący / **B.** malejący oraz **1.**

m = \frac{1}{2}

/ **2.**

m = 2

/ **3.**

m = 3

Wskazówka

Wyznacz iloraz z dwóch pierwszych wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , więc $2 m - 1 = 3$ i $m = 2$ .
2Ciąg $(12, 6, 3)$ jest malejący.

Odpowiedź: B, 2

Zadanie 16

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1 - 2 a, 12, 48)

jest geometryczny. Liczba

a

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{48}{12}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = 4$ , więc $12 = (1 - 2 a) \cdot 4$ , czyli $1 - 2 a = 3$ .
2 $a = - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 1)$

Zadanie 17

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Znaki wyrazów ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 128

, a iloraz jest równy

(- \frac{1}{2})

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Wyraz

a_{2023}

jest liczbą ujemną.
2. Różnica

a_{3} - a_{2}

jest równa 96.

Wskazówka

Znak wyrazu zależy od parzystości wykładnika $n - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{2023} = 128 \cdot (- \frac{1}{2})^{2022}$ — wykładnik parzysty, więc wyraz jest dodatni (FAŁSZ).
2 $a_{2} = - 64$ , $a_{3} = 32$ , więc $a_{3} - a_{2} = 96$ (PRAWDA).

Odpowiedź: F, P

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

a_{1} = 3, 75

oraz

a_{2} = - 7, 5

. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloraz jest równy $- 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{- 7 , 5}{3 , 75} = - 2$ , więc $a_{3} = 15$ .
2 $S_{3} = 3, 75 - 7, 5 + 15 = 11, 25$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $11, 25$

Zadanie 19

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(27, 9, a - 1)

jest geometryczny. Liczba

a

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a - 1 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$ .
2 $a = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Zadanie 20

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Matura · 2 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = - 5

a_{2} = 15

a_{3} = - 45

. Wskaż **dwie** poprawne postacie wzoru ogólnego: **A.**

a_{n} = - 5 \cdot (- 3)^{n - 1}

, **B.**

a_{n} = - 5 \cdot (- 3)^{n}

, **C.**

a_{n} = - 5 \cdot 3^{n - 1}

, **D.**

a_{n} = - 5 \cdot \frac{( - 3 ) ^{n}}{3}

, **E.**

a_{n} = 5 \cdot \frac{( - 3 ) ^{n}}{3}

, **F.**

a_{n} = 5 \cdot (- 3)^{n} \cdot 3

Wskazówka

Iloraz jest równy $- 3$ ; sprawdź każdą postać dla $n = 1$ i $n = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{15}{- 5} = - 3$ , więc $a_{n} = - 5 \cdot (- 3)^{n - 1}$ (odpowiedź A).
2 $5 \cdot \frac{( - 3 ) ^{n}}{3}$ dla $n = 1$ daje $- 5$ , dla $n = 2$ daje $15$ — ta sama postać (odpowiedź E).

Odpowiedź: A, E

Zadanie 21

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{7 ^{n}}{21}

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1. Ciąg

(a_{n})

jest geometryczny.
2. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa 20.

Wskazówka

Policz iloraz oraz trzy pierwsze wyrazy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 7$ — ciąg jest geometryczny (PRAWDA).
2 $S_{3} = \frac{7 + 49 + 343}{21} = \frac{399}{21} = 19 \neq = 20$ (FAŁSZ).

Odpowiedź: P, F

Zadanie 22

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

drugi wyraz oraz iloraz są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz $a_{1} = \frac{a _{2}}{q}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 1$ , więc kolejne wyrazy to $1, 2, 4, 8, 16$ .
2 $S_{5} = 31$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $31$

Zadanie 23

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie i

9 a_{5} = 4 a_{3}

. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{3} q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 q^{2} = 4 \Rightarrow q^{2} = \frac{4}{9}$ .
2Wyrazy są dodatnie, więc $q = \frac{2}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{2}{3}$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zależność między $a_1$ i $q$

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest rosnący, wszystkie jego wyrazy są dodatnie i spełniony jest warunek

a_{3} = a_{1} \cdot a_{2}

. Niech

q

oznacza iloraz ciągu. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $a_{2}$ i $a_{3}$ przez $a_{1}$ i $q$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} q^{2} = a_{1} \cdot a_{1} q$ .
2Dzielimy przez $a_{1} q \neq = 0$ : $q = a_{1}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{1} = q$

Zadanie 25

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(15, 3 x, \frac{5}{3})

jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(3 x)^{2} = 15 \cdot \frac{5}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 x^{2} = 25 \Rightarrow 3 x = 5$ (wyrazy dodatnie).
2 $x = \frac{5}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $x = \frac{5}{3}$

Zadanie 26

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloczyn wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy 64. Stąd wynika, że

y

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z $x z = y^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x y z = y^{2} \cdot y = y^{3} = 64$ .
2 $y = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Znaki wyrazów ciągu

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

spełnia

a_{2} = 6

a_{5} = - 48

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wyznacz $q$ z $a_{5} = a_{2} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 48 = 6 q^{3} \Rightarrow q^{3} = - 8$ , więc $q = - 2$ .
2 $a_{7} = a_{2} q^{5} = 6 \cdot (- 32) = - 192 < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{7} < 0$

Zadanie 28

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie. Drugi wyraz jest równy 162, a piąty 48. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{2} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $48 = 162 q^{3} \Rightarrow q^{3} = \frac{8}{27}$ .
2 $q = \frac{2}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{2}{3}$

Zadanie 29

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie i

\frac{a _{5}}{a _{3}} = \frac{1}{9}

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$\frac{a _{5}}{a _{3}} = q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q^{2} = \frac{1}{9}$ , a wyrazy są dodatnie.
2 $q = \frac{1}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{3}$

Zadanie 30

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Dla pewnej liczby

x

ciąg

(x, x + 4, 16)

jest geometryczny. Liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(x + 4)^{2} = 16 x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 8 x + 16 = 16 x ⟺ x^{2} - 8 x + 16 = 0$ .
2 $(x - 4)^{2} = 0 \Rightarrow x = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie i

3 a_{2} = 2 a_{3}

. Stąd wynika, że iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{3} = a_{2} q$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 a_{2} = 2 a_{2} q \Rightarrow 3 = 2 q$ .
2 $q = \frac{3}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $q = \frac{3}{2}$

Zadanie 32

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 2

a_{2} = 22

a_{3} = 42

. Wzór na

n

-ty wyraz tego ciągu ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloraz jest równy 2, więc $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = \frac{2 ^{n} 2}{2} = \frac{2 ^{n}}{2}$ .
2Sprawdzenie dla $n = 1$ : $\frac{2}{2} = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{n} = \frac{2 ^{n}}{2}$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich

(81, 3 x, 4)

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(3 x)^{2} = 81 \cdot 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 x^{2} = 324 \Rightarrow x^{2} = 36$ .
2Wyrazy dodatnie, więc $x = 6$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 6$

Zadanie 34

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(x, 2 x^{2}, 4 x^{3}, 8)

o wyrazach nieujemnych. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloraz wynosi $2 x$ ; zastosuj go do przejścia z $4 x^{3}$ do $8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{2 x ^{2}}{x} = 2 x$ .
2 $4 x^{3} \cdot 2 x = 8 \Rightarrow 8 x^{4} = 8$ .
3 $x^{4} = 1$ , a wyrazy są nieujemne, więc $x = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 1$

Zadanie 35

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz jest równy

(- 216)

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 216 = 8 q^{3} \Rightarrow q^{3} = - 27$ .
2 $q = - 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 3$

Zadanie 36

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = 72

a_{4} = 9

. Iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 = 72 q^{3} \Rightarrow q^{3} = \frac{1}{8}$ .
2 $q = \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $q = \frac{1}{2}$

Zadanie 37

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Ciąg

(x, 2 x + 3, 4 x + 3)

jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$(2 x + 3)^{2} = x (4 x + 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 x^{2} + 12 x + 9 = 4 x^{2} + 3 x \Rightarrow 9 x = - 9$ .
2 $x = - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Zadanie 38

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2^{n}

dla

n ⩾ 1

. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{10} = a_{1} \frac{1 - q ^{10}}{1 - q}$ dla $a_{1} = 2$ i $q = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{10} = 2 \cdot \frac{1 - 2 ^{10}}{1 - 2} = - 2 (1 - 2^{10})$ .
2Liczbowo: $2^{11} - 2 = 2046$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2 (1 - 2^{10})$

Zadanie 39

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W rosnącym ciągu geometrycznym

(a_{n})

spełniony jest warunek

a_{4} = 3 a_{1}

. Iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q^{3} = 3$ .
2 $q = 33$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $q = 33$

Zadanie 40

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{1} = - 2

a_{2} = 2

a_{3} = - 22

. Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{2}{- 2} = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{10} = - 2 \cdot (- 2)^{9} = (2)^{10}$ .
2 $(2)^{10} = 2^{5} = 32$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $32$

Zadanie 41

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

określony jest wzorem

a_{n} = - \frac{3 ^{n}}{4}

dla

n ⩾ 1

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{3 ^{n + 1}}{3 ^{n}} = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 42

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

mamy

a_{1} = 5

oraz

q = - 2

. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$S_{10} = a_{1} \frac{1 - q ^{10}}{1 - q}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{10} = 5 \cdot \frac{1 - 1024}{1 + 2} = 5 \cdot \frac{- 1023}{3}$ .
2 $S_{10} = 5 \cdot (- 341) = - 1705$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 1705$

Zadanie 43

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Liczby

x - 2

6

12

w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{12}{6} = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 = (x - 2) \cdot 2 \Rightarrow x - 2 = 3$ .
2 $x = 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $5$

Zadanie 44

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz środkowy

Matura · 1 pkt

W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy 3, a ostatni 12. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5}^{2} = a_{1} \cdot a_{9}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{5}^{2} = 3 \cdot 12 = 36$ .
2Wyrazy dodatnie, więc $a_{5} = 6$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $6$

Zadanie 45

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Liczby

3 x - 4

8

2

w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 = (3 x - 4) \cdot \frac{1}{4} \Rightarrow 3 x - 4 = 32$ .
2 $3 x = 36 \Rightarrow x = 12$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $x = 12$

Zadanie 46

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

pierwszy wyraz jest równy

\frac{9}{8}

, a czwarty wyraz jest równy

\frac{1}{3}

. Wówczas iloraz

q

tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{3} = \frac{9}{8} q^{3} \Rightarrow q^{3} = \frac{8}{27}$ .
2 $q = \frac{2}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $q = \frac{2}{3}$

Zadanie 47

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Ciąg

(27, 18, x + 5)

jest geometryczny. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x + 5 = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ .
2 $x = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 7$

Zadanie 48

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

dane są

a_{2} = \frac{3}{2}

a_{3} = - \frac{3}{2}

. Wtedy wyraz

a_{1}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{3}}{a _{2}}$ , a $a_{1} = \frac{a _{2}}{q}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = - 3$ .
2 $a_{1} = \frac{\frac{3}{2}}{- 3} = - \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- \frac{1}{2}$

Zadanie 49

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

mamy

a_{3} = 5

a_{4} = 15

. Wtedy wyraz

a_{5}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{4}}{a _{3}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = 3$ .
2 $a_{5} = 15 \cdot 3 = 45$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $45$

Zadanie 50

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

, w którym

a_{3} = 1

a_{4} = \frac{2}{3}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{1} = \frac{a _{3}}{q ^{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{2}{3}$ , więc $q^{2} = \frac{4}{9}$ .
2 $a_{1} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $a_{1} = \frac{9}{4}$

Zadanie 51

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 2

a_{2} = 12

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{4} = 2 \cdot 6^{3} = 2 \cdot 216 = 432$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a_{4} = 432$

Zadanie 52

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W malejącym ciągu geometrycznym

(a_{n})

mamy

a_{1} = - 2

a_{3} = - 4

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{3} = a_{1} q^{2}$ , a potem sprawdź monotoniczność.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 4 = - 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 2$ , więc $q = \pm 2$ .
2Dla $a_{1} = - 2$ ciąg jest malejący przy $q = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 53

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 3

a_{4} = 24

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $24 = 3 q^{3} \Rightarrow q^{3} = 8$ .
2 $q = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 54

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 1 pkt

W ciągu geometrycznym

(a_{n})

dane są

a_{1} = 32

a_{4} = - 4

. Iloraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{4} = a_{1} q^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 4 = 32 q^{3} \Rightarrow q^{3} = - \frac{1}{8}$ .
2 $q = - \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- \frac{1}{2}$

Zadanie 55

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy

(- 2)

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{a _{4}}{a _{3}}$ , a $a_{1} = \frac{a _{3}}{q ^{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = - \frac{1}{2}$ , $q^{2} = \frac{1}{4}$ .
2 $a_{1} = \frac{4}{\frac{1}{4}} = 16$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $16$

Zadanie 56

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Pierwszy wyraz ciągu

Matura · 1 pkt

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piąty wyraz tego ciągu jest równy 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a_{5} = a_{3} q^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1 = 4 q^{2} \Rightarrow q^{2} = \frac{1}{4}$ .
2 $a_{1} = \frac{a _{3}}{q ^{2}} = \frac{4}{\frac{1}{4}} = 16$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $16$

Zadanie 57

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 1 pkt

Liczby

- 8

4

x + 1

(w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = \frac{4}{- 8} = - \frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x + 1 = 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 2$ .
2 $x = - 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 3$

Zadanie 58

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Rozpoznanie rodzaju ciągu

Matura · 1 pkt

Dane są liczby

a = 22

b = 4

c = 42

. Liczby

a

b

c

tworzą w podanej kolejności **A.** ciąg arytmetyczny / **B.** ciąg geometryczny, ponieważ **1.**

b = \frac{a + c}{2}

/ **2.**

b = \frac{( c - a ) ^{2}}{2}

/ **3.**

b^{2} = a \cdot c

Wskazówka

Sprawdź, czy kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b^{2} = 16$ oraz $a \cdot c = 22 \cdot 42 = 16$ .
2Warunek $b^{2} = a c$ jest spełniony, więc ciąg jest geometryczny.

Odpowiedź: B, 3

Zadanie 59

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloczyn wyrazów

Matura · 1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

spełnia warunek

a_{3} \cdot a_{6} = 18

. Uzupełnij: iloczyn

a_{2} \cdot a_{7}

jest równy …

Wskazówka

W ciągu geometrycznym iloczyn zależy tylko od sumy indeksów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} a_{6} = a_{1}^{2} q^{7}$ oraz $a_{2} a_{7} = a_{1}^{2} q^{7}$ .
2Zatem $a_{2} \cdot a_{7} = 18$ .

Odpowiedź: $18$

Zadanie 60

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 3 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzywyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{9}, a_{k})

jest geometryczny. Oblicz

k

Wskazówka

Policz $a_{1}$ i $a_{9}$ , a potem zastosuj warunek $a_{9}^{2} = a_{1} \cdot a_{k}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 8$ , $a_{9} = 32$ .
2 $3 2^{2} = 8 \cdot a_{k} \Rightarrow a_{k} = 128$ .
3 $3 k + 5 = 128 \Rightarrow 3 k = 123$ , czyli $k = 41$ .

Odpowiedź: $k = 41$

Zadanie 61

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 1 pkt

Masa

m

leku zmienia się zgodnie z zależnością

m (t) = m_{0} \cdot (0, 6)^{0, 25 t}

, gdzie

t

to czas w godzinach. Liczby

m (2, 5)

m (4, 5)

m (6, 5)

tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

Wskazówka

Podziel $m (4, 5)$ przez $m (2, 5)$ i skorzystaj z własności potęg.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{m ( 4 , 5 )}{m ( 2 , 5 )} = (0, 6)^{0, 25 (4, 5 - 2, 5)}$ .
2 $q = (0, 6)^{0, 5} = 0, 6$ .

Odpowiedź: $q = 0, 6^{0, 5} = 0, 6$

Zadanie 62

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 2 pkt

Trójwyrazowy ciąg

(x, 3 x + 2, 9 x + 16)

jest geometryczny. Oblicz

x

Wskazówka

$(3 x + 2)^{2} = x (9 x + 16)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 x^{2} + 12 x + 4 = 9 x^{2} + 16 x$ .
2 $4 x = 4 \Rightarrow x = 1$ .

Odpowiedź: $x = 1$

Zadanie 63

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 35

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 5 pkt

Rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

ma sumę pierwszych pięciu wyrazów równą 10, a wyrazy

a_{3}, a_{5}, a_{13}

tworzą — w podanej kolejności — ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Z sumy pięciu wyrazów wyznacz $a_{3}$ , potem zastosuj warunek $a_{5}^{2} = a_{3} a_{13}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{5} = 5 a_{3} = 10 \Rightarrow a_{3} = 2$ .
2 $a_{5} = 2 + 2 r$ , $a_{13} = 2 + 10 r$ , więc $(2 + 2 r)^{2} = 2 (2 + 10 r)$ .
3 $4 + 8 r + 4 r^{2} = 4 + 20 r \Rightarrow 4 r^{2} = 12 r$ , czyli $r = 3$ (ciąg rosnący).
4 $a_{1} = 2 - 2 \cdot 3 = - 4$ , zatem $a_{n} = - 4 + 3 (n - 1) = 3 n - 7$ .

Odpowiedź: $a_{n} = 3 n - 7$

Zadanie 64

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 2 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg

(x + 2, 4 x + 2, x + 11)

. Oblicz wszystkie wartości

x

, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Wskazówka

$(4 x + 2)^{2} = (x + 2) (x + 11)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $16 x^{2} + 16 x + 4 = x^{2} + 13 x + 22$ .
2 $15 x^{2} + 3 x - 18 = 0 ⟺ 5 x^{2} + x - 6 = 0$ .
3 $Δ = 121$ , więc $x = - \frac{6}{5}$ lub $x = 1$ .

Odpowiedź: $x = - \frac{6}{5}$ lub $x = 1$

Zadanie 65

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz z równania

Matura · 4 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

są dodatnie i spełniają warunek

6 a_{1} - 5 a_{2} + a_{3} = 0

. Oblicz iloraz

q

tego ciągu należący do przedziału

⟨ 22, 32 ⟩

Wskazówka

Podziel równanie przez $a_{1}$ i rozwiąż równanie kwadratowe względem $q$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 - 5 q + q^{2} = 0$ , więc $q = 2$ lub $q = 3$ .
2 $22 \approx 2, 83$ , $32 \approx 4, 24$ .
3Do przedziału należy tylko $q = 3$ .

Odpowiedź: $q = 3$

Zadanie 66

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz i wyraz z sum

Matura · 2 pkt

W ciągu geometrycznym

S_{n}

oznacza sumę

n

początkowych wyrazów. Wiadomo, że

S_{1} = 2

S_{2} = 12

. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Wskazówka

$a_{1} = S_{1}$ , a $a_{2} = S_{2} - S_{1}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 12 - 2 = 10$ , więc $q = 5$ .
2 $a_{5} = 2 \cdot 5^{4} = 2 \cdot 625 = 1250$ .

Odpowiedź: $q = 5$ , $a_{5} = 1250$

Zadanie 67

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

taki, że

a_{5} = 18

. Wyrazy

a_{1}

a_{3}

a_{13}

są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

Wskazówka

Zapisz $a_{1}$ , $a_{3}$ , $a_{13}$ przez $a_{5}$ i $r$ , a potem użyj warunku $a_{3}^{2} = a_{1} a_{13}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{1} = 18 - 4 r$ , $a_{3} = 18 - 2 r$ , $a_{13} = 18 + 8 r$ .
2 $(18 - 2 r)^{2} = (18 - 4 r) (18 + 8 r)$ , czyli $324 - 72 r + 4 r^{2} = 324 + 72 r - 32 r^{2}$ .
3 $36 r^{2} = 144 r \Rightarrow r = 4$ (ciąg rosnący), więc $a_{1} = 2$ .
4 $a_{n} = 2 + 4 (n - 1) = 4 n - 2$ .

Odpowiedź: $a_{n} = 4 n - 2$

Zadanie 68

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 5 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

suma jedenastu początkowych wyrazów jest równa 187, a średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu jest równa 12. Wyrazy

a_{1}, a_{3}, a_{k}

tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz

k

Wskazówka

Z sumy wyznacz $a_{6}$ , a ze średniej drugie równanie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{11} = 11 a_{6} = 187 \Rightarrow a_{6} = 17$ , czyli $a_{1} + 5 r = 17$ .
2 $a_{1} + a_{3} + a_{9} = 3 a_{1} + 10 r = 36$ ; po podstawieniu $a_{1} = 17 - 5 r$ : $51 - 15 r + 10 r = 36$ , więc $r = 3$ i $a_{1} = 2$ .
3 $a_{3} = 8$ , a z warunku $a_{3}^{2} = a_{1} a_{k}$ : $64 = 2 a_{k}$ , czyli $a_{k} = 32$ .
4 $2 + 3 (k - 1) = 32 \Rightarrow k = 11$ .

Odpowiedź: $k = 11$

Zadanie 69

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Zastosowanie praktyczne

Matura · 2 pkt

Kwadrat

K_{1}

ma bok długości

a

. Każdy następny kwadrat

K_{2}, K_{3}, \dots

ma bok o połowę krótszy od boku poprzedniego. Wyznacz pole kwadratu

K_{12}

Wskazówka

Boki tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $\frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Bok kwadratu $K_{12}$ : $a \cdot (\frac{1}{2})^{11} = \frac{a}{2048}$ .
2Pole: $(\frac{a}{2048})^{2} = \frac{a ^{2}}{4 194 304}$ .

Odpowiedź: $\frac{a ^{2}}{4 194 304}$

Zadanie 70

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Iloraz ciągu geometrycznego

Matura · 2 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 7 \cdot 3^{n + 1}

dla

n ⩾ 1

. Oblicz iloraz

q

tego ciągu.

Wskazówka

Podziel $a_{n + 1}$ przez $a_{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = \frac{7 \cdot 3 ^{n + 2}}{7 \cdot 3 ^{n + 1}} = 3$ .

Odpowiedź: $q = 3$

Zadanie 71

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Wyraz ciągu geometrycznego

Matura · 2 pkt

Liczby

64

x

4

są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Wskazówka

$x^{2} = 64 \cdot 4$ ; wybierz wartość zgodną z malejącym ciągiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} = 256 \Rightarrow x = 16$ (ciąg malejący o wyrazach dodatnich).
2 $q = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$ .
3 $a_{5} = 64 \cdot (\frac{1}{4})^{4} = \frac{64}{256} = \frac{1}{4}$ .

Odpowiedź: $a_{5} = \frac{1}{4}$

Zadanie 72

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Ciąg

(1, x, y - 1)

jest arytmetyczny, natomiast ciąg

(x, y, 12)

jest geometryczny. Oblicz

x

oraz

y

i podaj ten ciąg geometryczny.

Wskazówka

Z pierwszego warunku otrzymasz $y = 2 x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Arytmetyczny: $2 x = 1 + (y - 1) = y$ .
2Geometryczny: $y^{2} = 12 x$ , więc $4 x^{2} = 12 x$ i $x = 3$ .
3 $y = 6$ , a ciąg geometryczny to $(3, 6, 12)$ .

Odpowiedź: $x = 3$ , $y = 6$ , ciąg $(3, 6, 12)$

Zadanie 73

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Liczby

a, b, c

tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny, a ich suma jest równa 93. Te same liczby są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

a, b, c

Wskazówka

Zapisz $b = a + d$ i $c = a + 6 d$ , a następnie użyj $b^{2} = a c$ oraz sumy.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z sumy: $3 a + 7 d = 93$ . Z warunku geometrycznego: $(a + d)^{2} = a (a + 6 d)$ , czyli $d^{2} = 4 a d$ .
2Stąd $d = 0$ lub $d = 4 a$ .
3Dla $d = 0$ : $3 a = 93$ , więc $a = b = c = 31$ .
4Dla $d = 4 a$ : $3 a + 28 a = 93 \Rightarrow a = 3$ , $d = 12$ , więc $a = 3$ , $b = 15$ , $c = 75$ .

Odpowiedź: $a = 3$ , $b = 15$ , $c = 75$ lub $a = b = c = 31$

Zadanie 74

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Warunek geometryczny

Matura · 2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{x}

dla

x \neq = 0

. Oblicz wartość

m

, dla której liczby

f (m)

f (1)

f (2)

są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Wskazówka

Warunek to $f (1)^{2} = f (m) \cdot f (2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1 = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 m}$ .
2 $2 m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $m = \frac{1}{2}$

Zadanie 75

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Wyznacz wzór na

n

-ty wyraz ciągu arytmetycznego, wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Wskazówka

Z sumy wynika $a_{3} = 2$ ; rozważ także przypadek $r = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $S_{5} = 5 a_{3} = 10 \Rightarrow a_{3} = 2$ .
2 $(2 + 2 r)^{2} = 2 (2 + 10 r) \Rightarrow 4 r^{2} = 12 r$ , czyli $r = 0$ lub $r = 3$ .
3Dla $r = 0$ : $a_{n} = 2$ . Dla $r = 3$ : $a_{1} = - 4$ i $a_{n} = 3 n - 7$ .

Odpowiedź: $a_{n} = 2$ lub $a_{n} = 3 n - 7$

Zadanie 76

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Liczba wyrazów z sumy

Matura · 3 pkt

Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy

\frac{1}{3}

, trzeci wyraz tego ciągu jest równy

\frac{1}{9}

, a suma wszystkich wyrazów to

\frac{364}{243}

. Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg.

Wskazówka

Najpierw wyznacz $a_{1}$ , a potem rozwiąż równanie na sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a_{3} = a_{1} q^{2} = \frac{a _{1}}{9} = \frac{1}{9} \Rightarrow a_{1} = 1$ .
2 $S_{n} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n}) = \frac{364}{243}$ .
3 $1 - (\frac{1}{3})^{n} = \frac{728}{729} \Rightarrow (\frac{1}{3})^{n} = \frac{1}{729}$ .
4 $n = 6$ .

Odpowiedź: $6$ wyrazów

Zadanie 77

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Liczby

x, y, z

, których suma jest równa 114, tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, w którym

x = a_{1}

y = a_{4}

z = a_{25}

. Oblicz liczby

x, y, z

Wskazówka

Zapisz $y = x + 3 d$ , $z = x + 24 d$ i wykorzystaj $y^{2} = x z$ oraz sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma: $3 x + 27 d = 114$ , czyli $x + 9 d = 38$ .
2Warunek geometryczny: $(x + 3 d)^{2} = x (x + 24 d) \Rightarrow 9 d^{2} = 18 x d$ , więc $d = 0$ lub $d = 2 x$ .
3Dla $d = 0$ : $x = y = z = 38$ .
4Dla $d = 2 x$ : $x + 18 x = 38 \Rightarrow x = 2$ , $d = 4$ , więc $y = 14$ i $z = 98$ .

Odpowiedź: $x = y = z = 38$ lub $x = 2$ , $y = 14$ , $z = 98$

Zadanie 78

Oryginalne zadanie: zad. zbiór zadań CKE 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Ciągi

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Matura · 4 pkt

Trzy liczby, których suma jest równa 24, tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o 4, 10 i 40 będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny. Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny.

Wskazówka

Zapisz liczby jako $8 - d$ , $8$ , $8 + d$ — środkowa wynika z sumy.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma $= 3 \cdot$ (wyraz środkowy) $= 24$ , więc liczby to $8 - d$ , $8$ , $8 + d$ .
2Po zwiększeniu: $(12 - d, 18, 48 + d)$ — ciąg geometryczny, więc $324 = (12 - d) (48 + d)$ .
3 $324 = 576 - 36 d - d^{2} \Rightarrow d^{2} + 36 d - 252 = 0$ , $Δ = 2304$ .
4 $d = 6$ lub $d = - 42$ , czyli liczby $2, 8, 14$ lub $50, 8, - 34$ .

Odpowiedź: $2, 8, 14$ lub $50, 8, - 34$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Tożsamość trygonometryczna

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

sin α + sin^{2} α = cos α - cos^{2} α + 1

. Tangens kąta

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przenieś $cos^{2} α$ na lewą stronę i skorzystaj z $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin α + sin^{2} α + cos^{2} α = cos α + 1$ .
2 $sin α + 1 = cos α + 1 \Rightarrow sin α = cos α$ .
3 $tg α = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Kąt rozwarty

Matura · 1 pkt

Kąt o mierze

α

jest rozwarty oraz

sin α = \frac{3}{5}

. Cosinus kąta o mierze

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .
2Kąt rozwarty, więc $cos α = - \frac{4}{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{4}{5})$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Tangens z równania

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

\frac{3 s i n α + 4 c o s α}{4 c o s α} = 6

. Tangens kąta

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez $4 cos α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 sin α + 4 cos α = 24 cos α$ .
2 $3 sin α = 20 cos α \Rightarrow tg α = \frac{20}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{20}{3}$

Zadanie 4

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Tangens z cosinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

cos α = \frac{5}{13}

. Tangens kąta

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw policz $sin α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin^{2} α = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , więc $sin α = \frac{12}{13}$ .
2 $tg α = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{12}{5}$

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{s i n ^{3} 2 5 ^{\circ} + s i n 2 5 ^{\circ} \cdot c o s ^{2} 2 5 ^{\circ}}{c o s 2 5 ^{\circ}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz $sin 2 5^{\circ}$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $sin 2 5^{\circ} (sin^{2} 2 5^{\circ} + cos^{2} 2 5^{\circ}) = sin 2 5^{\circ}$ .
2 $\frac{s i n 2 5 ^{\circ}}{c o s 2 5 ^{\circ}} = tg 2 5^{\circ}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $tg 2 5^{\circ}$

Zadanie 6

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Równanie z tangensem

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

3 tg α = 2 sin α

. Cosinus kąta

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $tg α = \frac{s i n α}{c o s α}$ i skróć $sin α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3 s i n α}{c o s α} = 2 sin α$ .
2Dla kąta ostrego $sin α \neq = 0$ , więc $3 = 2 cos α$ .
3 $cos α = \frac{3}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{2}$

Zadanie 7

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Kąt rozwarty

Matura · 1 pkt

Kąt o mierze

α

jest rozwarty oraz

sin α = \frac{3}{4}

. Cosinus kąta o mierze

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos^{2} α = 1 - \frac{3}{16}$ , a kąt rozwarty ma cosinus ujemny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = \frac{13}{16}$ .
2 $cos α = - \frac{13}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{13}{4})$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Tangens z cosinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

cos α = \frac{24}{25}

. Tangens kąta

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $sin α$ z jedynki trygonometrycznej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin^{2} α = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$ , więc $sin α = \frac{7}{25}$ .
2 $tg α = \frac{7}{24}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{7}{24}$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Liczba

1 + cos^{2} 2 7^{\circ}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $cos^{2} 2 7^{\circ}$ na $1 - sin^{2} 2 7^{\circ}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1 + cos^{2} 2 7^{\circ} = 1 + 1 - sin^{2} 2 7^{\circ} = 2 - sin^{2} 2 7^{\circ}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $2 - sin^{2} 2 7^{\circ}$

Zadanie 10

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Liczba

sin^{3} 2 0^{\circ} + cos^{2} 2 0^{\circ} \cdot sin 2 0^{\circ}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz $sin 2 0^{\circ}$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin 2 0^{\circ} (sin^{2} 2 0^{\circ} + cos^{2} 2 0^{\circ}) = sin 2 0^{\circ}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $sin 2 0^{\circ}$

Zadanie 11

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Tangens z sinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{5}{3}

. Tangens kąta

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos^{2} α = 1 - \frac{5}{9}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos α = \frac{2}{3}$ .
2 $tg α = \frac{5 /3}{2/3} = \frac{5}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{5}{2}$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sinus z cosinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

cos α = \frac{2 6}{7}

. Sinus kąta

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos^{2} α = \frac{24}{49}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin^{2} α = 1 - \frac{24}{49} = \frac{25}{49}$ .
2 $sin α = \frac{5}{7}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{5}{7}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdego kąta ostrego

α

wyrażenie

cos α - cos α \cdot sin^{2} α

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz $cos α$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos α (1 - sin^{2} α) = cos α \cdot cos^{2} α$ .
2 $= cos^{3} α$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $cos^{3} α$

Zadanie 14

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdego kąta ostrego

α

wyrażenie

sin^{4} α + sin^{2} α \cdot cos^{2} α

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz $sin^{2} α$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin^{2} α (sin^{2} α + cos^{2} α) = sin^{2} α$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $sin^{2} α$

Zadanie 15

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Tangens z równania

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

4 tg α = 3 sin^{2} α + 3 cos^{2} α

. Tangens kąta

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prawa strona to $3 (sin^{2} α + cos^{2} α)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 tg α = 3$ .
2 $tg α = \frac{3}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{3}{4}$

Zadanie 16

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Iloczyn $\sin\alpha\cos\alpha$

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

\frac{1}{s i n ^{2} α} + \frac{1}{c o s ^{2} α} = \frac{16}{9}

. Wartość wyrażenia

sin α \cdot cos α

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj ułamki do wspólnego mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{c o s ^{2} α + s i n ^{2} α}{s i n ^{2} α c o s ^{2} α} = \frac{1}{s i n ^{2} α c o s ^{2} α} = \frac{16}{9}$ .
2 $sin^{2} α cos^{2} α = \frac{9}{16}$ , a kąt jest ostry, więc $sin α cos α = \frac{3}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{3}{4}$

Zadanie 17

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

(1 - cos 2 0^{\circ}) (1 + cos 2 0^{\circ}) - sin^{2} 2 0^{\circ}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn to różnica kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1 - cos^{2} 2 0^{\circ}) - sin^{2} 2 0^{\circ} = sin^{2} 2 0^{\circ} - sin^{2} 2 0^{\circ}$ .
2 $= 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sprawdzanie jedynki trygonometrycznej

Matura · 1 pkt

Nie istnieje kąt ostry

α

taki, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, dla której pary $sin^{2} α + cos^{2} α \neq = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1A: $\frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \neq = 1$ — taka para nie istnieje.
2W pozostałych przypadkach suma kwadratów jest równa 1.

Prawidłowa odpowiedź: A. $sin α = \frac{1}{3}$ i $cos α = \frac{2}{3}$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Kąty dopełniające

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{2}{3}

. Wtedy

cos^{2} (9 0^{\circ} - α)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos (9 0^{\circ} - α) = sin α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} (9 0^{\circ} - α) = sin^{2} α = \frac{4}{9}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{4}{9}$

Zadanie 20

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Kąty dopełniające

Matura · 1 pkt

Liczba

cos 1 2^{\circ} \cdot sin 7 8^{\circ} + sin 1 2^{\circ} \cdot cos 7 8^{\circ}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $sin 7 8^{\circ} = cos 1 2^{\circ}$ oraz $cos 7 8^{\circ} = sin 1 2^{\circ}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyrażenie $= cos^{2} 1 2^{\circ} + sin^{2} 1 2^{\circ}$ .
2 $= 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $1$

Zadanie 21

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Cosinus z tangensa

Matura · 1 pkt

Kąt o mierze

α

jest ostry i

tg α = 5

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z zależności $1 + tg^{2} α = \frac{1}{c o s ^{2} α}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{c o s ^{2} α} = 1 + 5 = 6$ .
2 $cos^{2} α = \frac{1}{6}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $cos^{2} α = \frac{1}{6}$

Zadanie 22

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdego kąta ostrego

α

iloczyn

\frac{c o s α}{1 - s i n ^{2} α} \cdot \frac{1 - c o s ^{2} α}{s i n α}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień mianownik i licznik przy pomocy jedynki trygonometrycznej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{c o s α}{c o s ^{2} α} \cdot \frac{s i n ^{2} α}{s i n α} = \frac{1}{c o s α} \cdot sin α$ .
2 $= tg α$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $tg α$

Zadanie 23

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Cosinus z sinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{4}{5}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Kąt ostry ma dodatni cosinus.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ .
2 $cos α = \frac{3}{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $cos α = \frac{3}{5}$

Zadanie 24

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Cosinus z sinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{2 5}{5}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin^{2} α = \frac{4}{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ .
2 $cos α = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $cos α = \frac{5}{5}$

Zadanie 25

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sinus z cosinusa

Matura · 1 pkt

Cosinus kąta ostrego

α

jest równy

\frac{12}{13}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin^{2} α = 1 - \frac{144}{169}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin^{2} α = \frac{25}{169}$ .
2 $sin α = \frac{5}{13}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $sin α = \frac{5}{13}$

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Kąt

α \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

oraz

sin α \cdot cos α = - \frac{3}{8}

. Wartość wyrażenia

(cos α - sin α)^{2} + 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń kwadrat różnicy i skorzystaj z jedynki trygonometrycznej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(cos α - sin α)^{2} = 1 - 2 sin α cos α = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ .
2 $\frac{7}{4} + 2 = \frac{15}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{15}{4}$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

2 sin^{2} 1 8^{\circ} + sin^{2} 7 2^{\circ} + cos^{2} 1 8^{\circ}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin 7 2^{\circ} = cos 1 8^{\circ}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyrażenie $= 2 sin^{2} 1 8^{\circ} + cos^{2} 1 8^{\circ} + cos^{2} 1 8^{\circ}$ .
2 $= 2 (sin^{2} 1 8^{\circ} + cos^{2} 1 8^{\circ}) = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 28

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Cosinus z sinusa

Matura · 1 pkt

Sinus kąta ostrego

α

jest równy

\frac{4}{5}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos^{2} α = \frac{9}{25}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos α = \frac{3}{5}$ (kąt ostry).

Prawidłowa odpowiedź: D. $cos α = \frac{3}{5}$

Zadanie 29

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

cos α = \frac{3}{5}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $sin α$ oraz $tg α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin α = \frac{4}{5}$ , $tg α = \frac{4}{3}$ .
2 $\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{15}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $sin α \cdot tg α = \frac{16}{15}$

Zadanie 30

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Cosinus z sinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{2 6}{7}

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin^{2} α = \frac{24}{49}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = \frac{25}{49}$ .
2 $cos α = \frac{5}{7}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $cos α = \frac{5}{7}$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sinus z tangensa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

tg α = \frac{12}{5}

. Wówczas

sin α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przyjmij przyprostokątne 12 i 5 — przeciwprostokątna ma długość 13.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z trójkąta o przyprostokątnych 12 i 5: przeciwprostokątna $= 13$ .
2 $sin α = \frac{12}{13}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{12}{13}$

Zadanie 32

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{4}{5}

. Wtedy wartość wyrażenia

sin α - cos α

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos α = \frac{3}{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{5}$

Zadanie 33

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sinus z tangensa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

tg α = \frac{2}{3}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przyprostokątne 2 i 3, przeciwprostokątna $13$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin α = \frac{2}{13}$ .
2 $= \frac{2 13}{13}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $sin α = \frac{2 13}{13}$

Zadanie 34

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Cosinus z sinusa

Matura · 1 pkt

Sinus kąta ostrego

α

jest równy

\frac{3}{4}

. Wówczas

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos^{2} α = 1 - \frac{9}{16}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = \frac{7}{16}$ .
2 $cos α = \frac{7}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $cos α = \frac{7}{4}$

Zadanie 35

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

3 sin^{3} α cos α + 3 sin α cos^{3} α

może być przekształcone do postaci

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz $3 sin α cos α$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 sin α cos α (sin^{2} α + cos^{2} α) = 3 sin α cos α$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $3 sin α cos α$

Zadanie 36

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Równanie z tangensem

Matura · 1 pkt

Jeżeli

0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}

oraz

tg α = 2 sin α

, to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $tg α = \frac{s i n α}{c o s α}$ i skróć $sin α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{s i n α}{c o s α} = 2 sin α \Rightarrow 1 = 2 cos α$ .
2 $cos α = \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $cos α = \frac{1}{2}$

Zadanie 37

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartości funkcji dla kątów

Matura · 1 pkt

Liczba

sin 15 0^{\circ}

jest równa liczbie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
2 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $cos 6 0^{\circ}$

Zadanie 38

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełniona jest równość

3 tg α = 2

. Wtedy wartość wyrażenia

sin α + cos α

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$tg α = \frac{2}{3}$ , więc przyprostokątne to 2 i 3.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przeciwprostokątna $= 13$ , więc $sin α = \frac{2}{13}$ , $cos α = \frac{3}{13}$ .
2 $sin α + cos α = \frac{5}{13} = \frac{5 13}{13}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{5 13}{13}$

Zadanie 39

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla

0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}

wyrażenie

\frac{c o s ^{2} α}{1 - s i n ^{2} α} + \frac{1 - c o s ^{2} α}{s i n ^{2} α}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Każdy ułamek upraszcza się do 1.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{c o s ^{2} α}{c o s ^{2} α} = 1$ oraz $\frac{s i n ^{2} α}{s i n ^{2} α} = 1$ .
2Suma jest równa 2.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 40

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia z tangensem

Matura · 1 pkt

Jeżeli

α

jest kątem ostrym oraz

tg α = \frac{2}{5}

, to wartość wyrażenia

\frac{3 c o s α - 2 s i n α}{s i n α - 5 c o s α}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez $cos α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyrażenie $= \frac{3 - 2 tg α}{tg α - 5}$ .
2 $= \frac{3 - \frac{4}{5}}{\frac{2}{5} - 5} = \frac{\frac{11}{5}}{- \frac{23}{5}} = - \frac{11}{23}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{11}{23}$

Zadanie 41

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia z tangensem

Matura · 1 pkt

Jeżeli kąt

α

jest ostry i

tg α = \frac{3}{4}

, to

\frac{2 - c o s α}{2 + c o s α}

równa się

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z trójkąta o przyprostokątnych 3 i 4 wynika $cos α = \frac{4}{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2 - \frac{4}{5}}{2 + \frac{4}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{14}{5}}$ .
2 $= \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{7}$

Zadanie 42

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{3}{3}

. Wtedy wartość wyrażenia

2 cos^{2} α - 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin^{2} α = \frac{1}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .
2 $2 \cdot \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{3}$

Zadanie 43

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Upraszczanie wyrażeń

Matura · 1 pkt

Dla każdego kąta ostrego

α

wyrażenie

sin^{2} α + sin^{2} α \cdot cos^{2} α + cos^{4} α

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z dwóch ostatnich składników wyłącz $cos^{2} α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin^{2} α + cos^{2} α (sin^{2} α + cos^{2} α) = sin^{2} α + cos^{2} α$ .
2 $= 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 44

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{1}{3}

. Wartość wyrażenia

1 + tg α \cdot cos α

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $tg α \cdot cos α = sin α$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1 + sin α = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{4}{3}$

Zadanie 45

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{3}{2}

. Wartość wyrażenia

cos^{2} α - 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos^{2} α = 1 - \frac{3}{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = \frac{1}{4}$ .
2 $\frac{1}{4} - 2 = - \frac{7}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- \frac{7}{4}$

Zadanie 46

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Kąty dopełniające

Matura · 1 pkt

W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre

α = 2 7^{\circ}

β = 6 3^{\circ}

. Wtedy

\frac{c o s α + s i n β}{c o s α}

równa się

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin 6 3^{\circ} = cos 2 7^{\circ}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $cos 2 7^{\circ} + cos 2 7^{\circ} = 2 cos 2 7^{\circ}$ .
2 $\frac{2 c o s 2 7 ^{\circ}}{c o s 2 7 ^{\circ}} = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 47

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Kąty dopełniające

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = cos 4 7^{\circ}

. Wtedy miara kąta

α

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos 4 7^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 4 7^{\circ})$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos 4 7^{\circ} = sin 4 3^{\circ}$ .
2 $α = 4 3^{\circ}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $4 3^{\circ}$

Zadanie 48

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

\frac{s i n ^{2} 3 8 ^{\circ} + c o s ^{2} 3 8 ^{\circ} - 1}{s i n ^{2} 5 2 ^{\circ} + c o s ^{2} 5 2 ^{\circ} + 1}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Licznik jest równy zero.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $1 - 1 = 0$ ; mianownik: $1 + 1 = 2$ .
2 $\frac{0}{2} = 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Zadanie 49

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sinus i tangens z cosinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

cos α = \frac{5}{13}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $sin α$ , a potem iloraz $\frac{s i n α}{c o s α}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin α = \frac{12}{13}$ .
2 $tg α = \frac{12}{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $sin α = \frac{12}{13}$ oraz $tg α = \frac{12}{5}$

Zadanie 50

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sinus z cosinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

cos α = \frac{3}{7}

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin^{2} α = 1 - \frac{9}{49}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin^{2} α = \frac{40}{49}$ .
2 $sin α = \frac{40}{7} = \frac{2 10}{7}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $sin α = \frac{2 10}{7}$

Zadanie 51

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sinus z cosinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

cos α = \frac{3}{4}

. Wtedy

sin α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin^{2} α = 1 - \frac{9}{16}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin^{2} α = \frac{7}{16}$ .
2 $sin α = \frac{7}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{7}{4}$

Zadanie 52

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Wartość wyrażenia

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{3}{4}

. Wartość wyrażenia

2 - cos^{2} α

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos^{2} α = \frac{7}{16}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 - \frac{7}{16} = \frac{32 - 7}{16} = \frac{25}{16}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{25}{16}$

Zadanie 53

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Cosinus z sinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{8}{9}

. Wtedy

cos α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$cos^{2} α = 1 - \frac{64}{81}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = \frac{17}{81}$ .
2 $cos α = \frac{17}{9}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{17}{9}$

Zadanie 54

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Kąt rozwarty

Matura · 1 pkt

Dany jest kąt o mierze

α

taki, że

sin α = \frac{4}{5}

oraz

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

1.

cos α = - \frac{3}{5}

.
2.

∣ tg α ∣ = \frac{3}{4}

Wskazówka

Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = \frac{9}{25}$ , a kąt jest rozwarty, więc $cos α = - \frac{3}{5}$ — PRAWDA.
2 $tg α = \frac{4/5}{- 3/5} = - \frac{4}{3}$ , więc $∣ tg α ∣ = \frac{4}{3} \neq = \frac{3}{4}$ — FAŁSZ.

Odpowiedź: P, F

Zadanie 55

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Sinus z cosinusa

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

cos α = \frac{3}{4}

. Wtedy

sin α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$sin^{2} α = \frac{7}{16}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $sin α = \frac{7}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{7}{4}$

Zadanie 56

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Trygonometria

Temat: Porównywanie wartości

Matura · 1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{1}{4}

. Wówczas

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz dokładnie $cos α$ i porównaj z $\frac{13}{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $cos^{2} α = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ , więc $cos α = \frac{15}{4}$ .
2 $15 > 13$ , więc $cos α > \frac{13}{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $cos α > \frac{13}{4}$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma i różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{8} 4 + lo g_{8} 32 - lo g_{8} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sumę logarytmów zamień na logarytm iloczynu, różnicę — na logarytm ilorazu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{8} 4 + lo g_{8} 32 - lo g_{8} 2 = lo g_{8} \frac{4 \cdot 32}{2}$ .
2 $\frac{4 \cdot 32}{2} = 64$ , a $64 = 8^{2}$ .
3Zatem wartość wyrażenia to $2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z pierwiastka

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{5} 325

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz pierwiastek jako potęgę: $325 = 5^{\frac{2}{3}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $325 = 3 5^{2} = 5^{\frac{2}{3}}$ .
2 $lo g_{5} 5^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2}{3}$

Zadanie 3

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{8} 4 - lo g_{8} 32

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{8} 4 - lo g_{8} 32 = lo g_{8} \frac{4}{32} = lo g_{8} \frac{1}{8}$ .
2 $\frac{1}{8} = 8^{- 1}$ , więc wartość wynosi $- 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 1)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 1)$

Zadanie 4

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z pierwiastka

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{8} 52

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz i podstawę, i liczbę logarytmowaną jako potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $52 = 2^{\frac{1}{5}}$ oraz $8 = 2^{3}$ .
2Szukamy $x$ takiego, że $(2^{3})^{x} = 2^{\frac{1}{5}}$ , czyli $3 x = \frac{1}{5}$ .
3Stąd $x = \frac{1}{15}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{15}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{15}$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} 2 - lo g_{3} 18

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw zamień różnicę na logarytm ilorazu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 2 - lo g_{3} 18 = lo g_{3} \frac{2}{18} = lo g_{3} \frac{1}{9}$ .
2 $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ , więc wartość wynosi $- 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 2)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 2)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Własności logarytmów — prawda/fałsz

Matura · 1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

1. Iloczyn

2 \cdot lo g_{3} 5

jest równy

lo g_{3} 25

.
2. Suma

2 + lo g_{3} 5

jest równa

lo g_{3} 10

Wskazówka

Pamiętaj, że $n lo g_{a} b = lo g_{a} b^{n}$ , a liczbę $2$ przy podstawie $3$ zapiszesz jako $lo g_{3} 9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Stwierdzenie 1: $2 lo g_{3} 5 = lo g_{3} 5^{2} = lo g_{3} 25$ — PRAWDA.
2Stwierdzenie 2: $2 = lo g_{3} 9$ , więc $2 + lo g_{3} 5 = lo g_{3} 45 \neq = lo g_{3} 10$ — FAŁSZ.
3Prawidłowa odpowiedź: P, F

Odpowiedź: P, F

Zadanie 7

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} 108 - 2 lo g_{3} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $2 lo g_{3} 2$ na $lo g_{3} 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 4$ .
2 $lo g_{3} 108 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{108}{4} = lo g_{3} 27$ .
3 $27 = 3^{3}$ , więc wartość wynosi $3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Matura · 1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

wartość wyrażenia

lo g_{7} x + 6 lo g_{7} y

jest równa wartości wyrażenia

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Współczynnik przy logarytmie przenieś do wykładnika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 lo g_{7} y = lo g_{7} y^{6}$ .
2 $lo g_{7} x + lo g_{7} y^{6} = lo g_{7} (x y^{6})$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $lo g_{7} (x y^{6})$

Prawidłowa odpowiedź: D. $lo g_{7} (x y^{6})$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Funkcja logarytmiczna — prawda/fałsz

Matura · 1 pkt

Funkcja logarytmiczna

f

jest określona wzorem

f (x) = lo g_{6} x

dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Wartość funkcji

f

dla argumentu

36

jest równa

6

.
2. Funkcja

f

jest rosnąca.

Wskazówka

Policz $lo g_{6} 36$ i sprawdź, czy podstawa logarytmu jest większa od $1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Stwierdzenie 1: $f (36) = lo g_{6} 36 = 2$ , a nie $6$ — FAŁSZ.
2Stwierdzenie 2: podstawa $6 > 1$ , więc funkcja logarytmiczna jest rosnąca — PRAWDA.
3Prawidłowa odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 10

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Wybór dwóch prawdziwych równości

Matura · 2 pkt

Wskaż **dwie** prawdziwe równości.

A.

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = lo g_{2} 25

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = 2 \cdot lo g_{2} 5

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = lo g_{2} 144

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = lo g_{4} 144

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = 4 + 2 \cdot lo g_{2} 3

lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = 2 \cdot lo g_{4} 12

Wskazówka

Policz najpierw $lo g_{2} 16 = 4$ i zapisz $lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} 16 + lo g_{2} 9 = lo g_{2} (16 \cdot 9) = lo g_{2} 144$ — prawdziwa jest równość C.
2Ponadto $lo g_{2} 16 = 4$ oraz $lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3$ , więc suma to $4 + 2 lo g_{2} 3$ — prawdziwa jest równość E.
3Prawidłowa odpowiedź: C oraz E

Odpowiedź: C, E

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} (\frac{3}{2}) + lo g_{3} (\frac{2}{9})

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sumę logarytmów zamień na logarytm iloczynu i skróć ułamki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$ .
2 $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 1)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 1)$

Zadanie 12

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} 9

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz obie liczby jako potęgi trójki: $3 = 3^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Szukamy $x$ : $(3^{\frac{1}{2}})^{x} = 3^{2}$ , czyli $\frac{x}{2} = 2$ .
2Stąd $x = 4$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 96 - lo g_{2} 3

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} 96 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{96}{3} = lo g_{2} 32$ .
2 $32 = 2^{5}$ , więc wartość wynosi $5$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $5$

Prawidłowa odpowiedź: D. $5$

Zadanie 14

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z jedynki

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{25} 1 - \frac{1}{2} lo g_{25} 5

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytm z jedynki jest zawsze równy $0$ , a $lo g_{25} 5 = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{25} 1 = 0$ .
2 $lo g_{25} 5 = \frac{1}{2}$ , bo $2 5^{\frac{1}{2}} = 5$ .
3 $0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{1}{4})$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{1}{4})$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} \frac{1}{8} + lo g_{2} 4

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz każdy logarytm osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , $lo g_{2} 4 = 2$ .
2 $- 3 + 2 = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 1)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 1)$

Zadanie 16

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{9} 27 + lo g_{9} 3

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień sumę na logarytm iloczynu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{9} 27 + lo g_{9} 3 = lo g_{9} 81$ .
2 $81 = 9^{2}$ , więc wartość wynosi $2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 17

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{7} 98 - lo g_{7} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{7} \frac{98}{2} = lo g_{7} 49 = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 18

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Funkcja logarytmiczna

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = - lo g x

dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych

x

. Wartość funkcji

f

dla argumentu

x = 10

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że $lo g$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, a $10 = 1 0^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ .
2 $f (10) = - \frac{1}{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $(- \frac{1}{2})$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- \frac{1}{2})$

Zadanie 19

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

2 lo g_{5} 5 + 1 - \frac{1}{2} lo g_{5} 625

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $lo g_{5} 5$ oraz $lo g_{5} 625$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{5} 5 = 1$ , $lo g_{5} 625 = 4$ .
2 $2 \cdot 1 + 1 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 + 1 - 2 = 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Zadanie 20

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 32 - lo g_{2} 8

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz oba logarytmy osobno — to potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} 32 = 5$ , $lo g_{2} 8 = 3$ .
2 $5 - 3 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 21

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm dziesiętny

Matura · 1 pkt

Liczba dwukrotnie większa od

lo g 3 + lo g 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw dodaj logarytmy, potem pomnóż wynik przez $2$ i wciągnij $2$ do wykładnika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g 3 + lo g 2 = lo g 6$ .
2 $2 lo g 6 = lo g 6^{2} = lo g 36$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 36$

Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 36$

Zadanie 22

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Liczba

4 lo g_{4} 2 + 2 lo g_{4} 8

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ i $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ , bo $4^{\frac{1}{2}} = 2$ .
2 $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ , bo $4^{\frac{3}{2}} = 8$ .
3 $4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} = 2 + 3 = 5$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 23

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z parametrem

Matura · 1 pkt

Niech

lo g_{3} 18 = c

. Wtedy

lo g_{3} 54

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $54 = 18 \cdot 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 54 = lo g_{3} (18 \cdot 3) = lo g_{3} 18 + lo g_{3} 3$ .
2 $lo g_{3} 3 = 1$ , więc wynik to $c + 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $c + 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $c + 1$

Zadanie 24

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm dziesiętny

Matura · 1 pkt

Suma

2 lo g 10 + lo g 1 0^{3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$lo g 10 = \frac{1}{2}$ , a $lo g 1 0^{3} = 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g 10 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ .
2 $lo g 1 0^{3} = 3$ .
3 $1 + 3 = 4$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Prawidłowa odpowiedź: C. $4$

Zadanie 25

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Liczba

2 lo g_{5} 4 - 3 lo g_{5} \frac{1}{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $4$ i $\frac{1}{2}$ jako potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g_{5} 4 = 2 lo g_{5} 2^{2} = 4 lo g_{5} 2$ .
2 $3 lo g_{5} \frac{1}{2} = 3 lo g_{5} 2^{- 1} = - 3 lo g_{5} 2$ .
3 $4 lo g_{5} 2 - (- 3 lo g_{5} 2) = 7 lo g_{5} 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $7 lo g_{5} 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $7 lo g_{5} 2$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Matura · 1 pkt

Liczba

2 lo g 5 + 3 lo g 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Współczynnik przy logarytmie to wykładnik liczby logarytmowanej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g 5 = lo g 5^{2}$ oraz $3 lo g 2 = lo g 2^{3}$ .
2Suma logarytmów to logarytm iloczynu: $lo g (5^{2} \cdot 2^{3})$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $lo g (5^{2} \cdot 2^{3})$

Prawidłowa odpowiedź: D. $lo g (5^{2} \cdot 2^{3})$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 4^{8}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $4^{8}$ jako potęgę dwójki i skorzystaj z $2 = 2^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16}$ .
2Szukamy $x$ : $(2^{\frac{1}{2}})^{x} = 2^{16}$ , czyli $\frac{x}{2} = 16$ .
3Stąd $x = 32$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $32$

Prawidłowa odpowiedź: C. $32$

Zadanie 28

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z pierwiastka

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{5} 125

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $125$ jako potęgę piątki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $125 = 5^{3} = 5^{\frac{3}{2}}$ .
2 $lo g_{5} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{3}{2}$

Zadanie 29

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ile razy trzeba pomnożyć $2$ przez siebie, aby otrzymać $2$ ?

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2)^{2} = 2$ .
2Zatem $lo g_{2} 2 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Iloraz logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{l o g _{3} 27}{l o g _{3} 27}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno licznik i mianownik — nie skracaj logarytmów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 27 = 3$ .
2 $lo g_{3} 27 = lo g_{3} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$ .
3 $\frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 31

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{7} 7

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z równości $(7)^{2} = 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(7)^{2} = 7$ , więc szukany wykładnik to $2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 32

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{4} 96 - lo g_{4} 6

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{4} \frac{96}{6} = lo g_{4} 16 = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 33

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Porównywanie logarytmów

Matura · 1 pkt

Dane są liczby:

a = lo g_{\frac{1}{2}} 8

b = lo g_{4} 8

c = lo g_{4} \frac{1}{2}

. Liczby te spełniają warunek

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz każdą z liczb osobno; dwie z nich są ujemne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = lo g_{\frac{1}{2}} 8 = - 3$ , bo $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ .
2 $b = lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ .
3 $c = lo g_{4} \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$ .
4Porządek: $\frac{3}{2} > - \frac{1}{2} > - 3$ , czyli $b > c > a$ .
5Prawidłowa odpowiedź: D. $b > c > a$

Prawidłowa odpowiedź: D. $b > c > a$

Zadanie 34

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Liczba

2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień $2 lo g_{3} 6$ na $lo g_{3} 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g_{3} 6 = lo g_{3} 36$ .
2 $lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} 9 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 35

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{4} 8 + 5 lo g_{4} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $lo g_{4} 8$ i $lo g_{4} 2$ jako liczby.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ , $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ .
2 $\frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Zadanie 36

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z jedynki

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} 27 - lo g_{3} 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$lo g_{a} 1 = 0$ dla każdej dopuszczalnej podstawy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 27 = 3$ , $lo g_{3} 1 = 0$ .
2 $3 - 0 = 3$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 37

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Iloraz logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{l o g _{3} 729}{l o g _{6} 36}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno $lo g_{3} 729$ i $lo g_{6} 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $729 = 3^{6}$ , więc $lo g_{3} 729 = 6$ .
2 $36 = 6^{2}$ , więc $lo g_{6} 36 = 2$ .
3 $\frac{6}{2} = 3$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 38

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{3} \frac{3}{2} + lo g_{3} \frac{2}{9}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż liczby logarytmowane i skróć ułamek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$ .
2 $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 1$

Zadanie 39

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm o podstawie niewymiernej

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} (22)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $22$ jako potęgę $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $22 = (2)^{2} \cdot 2 = (2)^{3}$ .
2Zatem logarytm jest równy $3$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 40

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{5} 0, 04 - \frac{1}{2} lo g_{25} 5 \cdot lo g_{25} 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $lo g_{25} 1 = 0$ , więc cały drugi składnik znika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 04 = \frac{1}{25} = 5^{- 2}$ , więc $lo g_{5} 0, 04 = - 2$ .
2 $lo g_{25} 1 = 0$ , więc $\frac{1}{2} lo g_{25} 5 \cdot 0 = 0$ .
3Wartość wyrażenia to $- 2$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $- 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 2$

Zadanie 41

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Iloczyn liczb z logarytmami

Matura · 1 pkt

Dane są liczby

a = - \frac{1}{27}

b = lo g_{\frac{1}{4}} 64

c = lo g_{\frac{1}{3}} 27

. Iloczyn

ab c

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytmy o podstawie mniejszej od $1$ z liczby większej od $1$ są ujemne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b = lo g_{\frac{1}{4}} 64 = - 3$ , bo $(\frac{1}{4})^{- 3} = 64$ .
2 $c = lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3$ .
3 $ab c = - \frac{1}{27} \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - \frac{9}{27} = - \frac{1}{3}$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{1}{3}$

Zadanie 42

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Równanie wykładnicze i logarytm

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

4^{x} = 9

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z definicji logarytmu $x = lo g_{4} 9$ — a $9 = 3^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z definicji logarytmu: $x = lo g_{4} 9$ .
2 $lo g_{4} 9 = lo g_{4} 3^{2} = 2 lo g_{4} 3$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $2 lo g_{4} 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2 lo g_{4} 3$

Zadanie 43

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Definicja logarytmu

Matura · 1 pkt

Liczba

c = lo g_{3} 2

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytm to wykładnik: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z definicji logarytmu $lo g_{3} 2 = c$ oznacza $3^{c} = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $3^{c} = 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3^{c} = 2$

Zadanie 44

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Porównywanie logarytmów

Matura · 1 pkt

Dane są liczby:

a = lo g_{3} \frac{1}{9}

b = lo g_{3} 3

c = lo g_{3} \frac{1}{27}

. Który z poniższych warunków jest prawdziwy?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz wszystkie trzy logarytmy — to liczby całkowite.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = - 2$ , $b = 1$ , $c = - 3$ .
2Zatem $- 3 < - 2 < 1$ , czyli $c < a < b$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $c < a < b$

Prawidłowa odpowiedź: D. $c < a < b$

Zadanie 45

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Działania na logarytmach

Matura · 1 pkt

Suma

lo g_{8} 16 + 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $8$ i $16$ jako potęgi dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{8} 16 = x$ oznacza $2^{3 x} = 2^{4}$ , czyli $x = \frac{4}{3}$ .
2 $\frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{7}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{7}{3}$

Zadanie 46

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 100 - lo g_{2} 50

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} \frac{100}{50} = lo g_{2} 2 = 1$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 47

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm dziesiętny

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 4 + lo g 5 - lo g 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz wszystko w jeden logarytm.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g \frac{4 \cdot 5}{2} = lo g 10 = 1$ .
2Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 48

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{2} 20 - lo g_{2} 5

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczby logarytmowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} \frac{20}{5} = lo g_{2} 4 = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 49

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytmy o różnych podstawach

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 100 - lo g_{2} 8

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytmy mają różne podstawy — policz każdy osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g 100 = 2$ , $lo g_{2} 8 = 3$ .
2 $2 - 3 = - 1$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 1$

Zadanie 50

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z ułamka

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{3} \frac{1}{27}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ .
2Zatem $lo g_{3} \frac{1}{27} = - 3$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $- 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 3$

Zadanie 51

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z jedynki

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} 4 + 2 lo g_{3} 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$lo g_{3} 1 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} 4 = 2$ , $lo g_{3} 1 = 0$ .
2 $2 + 2 \cdot 0 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 52

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Dziedzina wyrażenia logarytmicznego

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

lo g_{4} (2 x - 1)

jest określone dla wszystkich liczb

x

spełniających warunek

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $2 x - 1 > 0$ .
2 $2 x > 1$ , więc $x > \frac{1}{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $x > \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x > \frac{1}{2}$

Zadanie 53

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Różnica logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{5} 5 - lo g_{5} 125

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz oba logarytmy osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{5} 5 = 1$ , $lo g_{5} 125 = 3$ .
2 $1 - 3 = - 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $- 2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 2$

Zadanie 54

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm z jedynki

Matura · 1 pkt

Różnica

lo g_{3} 9 - lo g_{3} 1

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$lo g_{3} 1 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{3} 9 = 2$ , $lo g_{3} 1 = 0$ .
2 $2 - 0 = 2$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 55

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Suma logarytmów

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{4} 8 + lo g_{4} 2

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zamień sumę na logarytm iloczynu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{4} 8 + lo g_{4} 2 = lo g_{4} 16 = 2$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 56

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Definicja logarytmu

Matura · 1 pkt

O liczbie

x

wiadomo, że

lo g_{3} x = 9

. Zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj z definicji: $lo g_{a} x = c ⟺ x = a^{c}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z definicji logarytmu $x = 3^{9}$ .
2Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 3^{9}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 3^{9}$

Zadanie 57

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Zastosowanie logarytmu

Matura · 1 pkt

Zależność liczby bakterii

K (t)

w próbce od czasu

t

(w godzinach) przedstawiono jako wykres

lo g K (t)

. Po trzech godzinach od chwili

t = 0

odczytujemy

lo g K = 3

. Liczba

K

bakterii była wtedy równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Jeśli $lo g K = 3$ , to $K = 1 0^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z definicji logarytmu dziesiętnego: $lo g K = 3 ⟺ K = 1 0^{3}$ .
2 $1 0^{3} = 1000$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $1000$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1000$

Zadanie 58

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Logarytm iloczynu potęg

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g_{2} [(2)^{2} \cdot (2)^{4} \cdot (2)^{8}]

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz każdą potęgę $2$ jako potęgę dwójki i dodaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2)^{2} = 2$ , $(2)^{4} = 2^{2}$ , $(2)^{8} = 2^{4}$ .
2Iloczyn: $2^{1 + 2 + 4} = 2^{7}$ .
3 $lo g_{2} 2^{7} = 7$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $7$

Prawidłowa odpowiedź: B. $7$

Zadanie 59

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie logarytmów dziesiętnych

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 36

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$36 = 6^{2}$ , a $lo g 1 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g 6 = lo g 36$ , a $lo g 1 = 0$ .
2Zatem $2 lo g 6 - lo g 1 = lo g 36$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $2 lo g 6 - lo g 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2 lo g 6 - lo g 1$

Zadanie 60

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie logarytmów dziesiętnych

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 12

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Logarytm iloczynu to suma logarytmów — nie iloczyn.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 = 3 \cdot 4$ , więc $lo g 12 = lo g 3 + lo g 4$ .
2Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 3 + lo g 4$

Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 3 + lo g 4$

Zadanie 61

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Przekształcanie logarytmów dziesiętnych

Matura · 1 pkt

Liczba

lo g 24

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, która odpowiedź daje $lo g (6 \cdot 4)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 lo g 2 = lo g 4$ .
2 $lo g 6 + lo g 4 = lo g 24$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 6 + 2 lo g 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $lo g 6 + 2 lo g 2$

Zadanie 62

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Wyrażenie logarytmiczne z parametrem

Matura · 1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g k + lo g \frac{1}{100} k^{2} - lo g \frac{1}{10} k^{3}

, gdzie

k > 0

, jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Połącz wszystko w jeden logarytm — potęgi $k$ się skrócą.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g k + lo g \frac{k ^{2}}{100} - lo g \frac{k ^{3}}{10} = lo g \frac{k \cdot \frac{k ^{2}}{100}}{\frac{k ^{3}}{10}}$ .
2 $\frac{\frac{k ^{3}}{100}}{\frac{k ^{3}}{10}} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ .
3 $lo g \frac{1}{10} = - 1$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 1)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 1)$

Zadanie 63

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Własności logarytmów — dwie odpowiedzi

Matura · 2 pkt

Liczby rzeczywiste

x, y, z

spełniają warunki:

x, y, z > 0

x, y, z \neq = 1

oraz

y^{z} = x

. Wskaż **dwie** prawdziwe równości.

A.

lo g_{x} y = z

y^{- l o g_{y} x} = \frac{1}{x}

lo g_{x} z = y

y^{l o g_{x} y} = x

lo g_{y} x = z

z^{- l o g_{x} z} = \frac{1}{y}

Wskazówka

Z definicji logarytmu przekształć warunek $y^{z} = x$ oraz skorzystaj z tożsamości $a^{l o g_{a} b} = b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z $y^{z} = x$ wynika wprost $lo g_{y} x = z$ — prawdziwa jest równość E.
2Ponadto $y^{l o g_{y} x} = x$ , więc $y^{- l o g_{y} x} = \frac{1}{x}$ — prawdziwa jest równość B.
3Prawidłowa odpowiedź: B oraz E

Odpowiedź: B, E

Zadanie 64

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Zadanie otwarte — działania na logarytmach

Matura · 2 pkt

Dane są liczby

a = 3 lo g_{2} 12 - lo g_{2} 27

b = (6 - 7) (36 + 37)

. Wartością

a - b

jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Wskazówka

W liczbie $a$ wciągnij współczynnik do wykładnika, a w $b$ wyłącz $3$ i skorzystaj ze wzoru $(u - v) (u + v) = u^{2} - v^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = lo g_{2} 1 2^{3} - lo g_{2} 27 = lo g_{2} \frac{1728}{27} = lo g_{2} 64 = 6$ .
2 $b = 3 (6 - 7) (6 + 7) = 3 (6 - 7) = - 3$ .
3 $a - b = 6 - (- 3) = 9$ .
4Odpowiedź: $a - b = 9$

Odpowiedź: $a - b = 9$

Zadanie 65

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Zadanie otwarte — skala Richtera

Matura · 2 pkt

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi i opisana jest wzorem

R = lo g \frac{A}{A _{0}}

, gdzie

A

to amplituda trzęsienia w centymetrach, a

A_{0} = 1 0^{- 4}

cm jest amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile

6, 2

w skali Richtera. Oblicz amplitudę tego trzęsienia i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy mniejsza od

100

cm.

Wskazówka

Z definicji logarytmu wyznacz $\frac{A}{A _{0}} = 1 0^{R}$ , a potem porównaj wykładniki z $100 = 1 0^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z $6, 2 = lo g \frac{A}{A _{0}}$ wynika $\frac{A}{A _{0}} = 1 0^{6, 2}$ .
2 $A = 1 0^{6, 2} \cdot 1 0^{- 4} = 1 0^{2, 2}$ cm.
3Ponieważ $2, 2 > 2$ , to $1 0^{2, 2} > 1 0^{2} = 100$ .
4Odpowiedź: $A = 1 0^{2, 2}$ cm $> 100$ cm — amplituda jest większa od $100$ cm.

Odpowiedź: $A = 1 0^{2, 2} cm > 100 cm$

Zadanie 66

Poziom: Podstawowy

Dział: Logarytmy

Temat: Zadanie otwarte — definicja logarytmu

Matura · 2 pkt

Liczby dodatnie

a, b, c

spełniają warunek

lo g_{4} c = lo g_{3} b = lo g_{2} a = 2

. Oblicz

ab c

Wskazówka

Z każdego z logarytmów wyznacz kolejno $a$ , $b$ i $c$ z definicji logarytmu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lo g_{2} a = 2 \Rightarrow a = 4$ .
2 $lo g_{3} b = 2 \Rightarrow b = 9$ .
3 $lo g_{4} c = 2 \Rightarrow c = 16$ .
4 $ab c = 4 \cdot 9 \cdot 16 = 576$ , więc $ab c = 24$ .
5Odpowiedź: $ab c = 24$

Odpowiedź: $ab c = 24$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cyfra jedności musi być parzysta i taka sama jak cyfra tysięcy, więc nie może być zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra jedności i tysięcy może być jedną z cyfr $2, 4, 6, 8$ , czyli mamy $4$ możliwości.
2Cyfrę setek wybieramy na $10$ sposobów i cyfrę dziesiątek także na $10$ sposobów.
3Z reguły mnożenia otrzymujemy $4 \cdot 10 \cdot 10 = 400$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. 400

Zadanie 2

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Kolorowanie obszarów

Matura · 1 pkt

Rysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 1 do 6. Każdy z tych obszarów należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów w taki sposób, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor. Wszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest

Rysunek drwala z sześcioma ponumerowanymi obszarami do pokolorowania — Rysunek do zadania: sześć obszarów drwala.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwszy obszar można pokolorować dowolnie, a każdy kolejny sąsiadujący obszar nie może mieć koloru poprzedniego.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla pierwszego obszaru mamy $7$ możliwych kolorów.
2Każdy następny obszar graniczący z już pokolorowanym ma $6$ możliwych kolorów, bo odpada kolor sąsiada.
3Dla pięciu kolejnych obszarów otrzymujemy $6^{5}$ możliwości, więc razem $7 \cdot 6^{5}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $7 \cdot 6^{5}$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra

0

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz osobno przypadek, gdy zero stoi na końcu, i gdy zero stoi w środku.

Rozwiązanie krok po kroku

1Jeśli zero jest cyfrą jedności, to setki i dziesiątki wybieramy spośród $1, \dots, 9$ : $9 \cdot 9 = 81$ .
2Jeśli zero jest cyfrą dziesiątek, to cyfra setek ma $9$ możliwości, a cyfra jedności musi być jedną z $2, 4, 6, 8$ , czyli $4$ możliwości.
3Razem $81 + 9 \cdot 4 = 81 + 36 = 117$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. 117

Zadanie 4

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra

0

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczba nieparzysta nie może kończyć się zerem, a zero nie może być cyfrą setek.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zero może wystąpić tylko na miejscu dziesiątek.
2Cyfrę setek wybieramy na $9$ sposobów, a cyfrę jedności spośród $1, 3, 5, 7, 9$ , czyli na $5$ sposobów.
3Otrzymujemy $9 \cdot 5 = 45$ liczb.

Prawidłowa odpowiedź: A. 45

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

2, 4, 7

(np.

7272

2222

7244

), jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ostatnia cyfra musi być parzysta, czyli może być tylko $2$ albo $4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra jedności ma $2$ możliwości: $2$ lub $4$ .
2Każda z trzech pozostałych cyfr może być jedną z $2, 4, 7$ , czyli ma $3$ możliwości.
3Razem jest $3^{3} \cdot 2 = 54$ liczb.

Prawidłowa odpowiedź: C. 54

Zadanie 6

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Permutacje

Matura · 1 pkt

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr

1, 3, 6, 8

, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

To liczba ustawień czterech różnych cyfr w kolejności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Na pierwszym miejscu można ustawić jedną z $4$ cyfr, na drugim jedną z $3$ , na trzecim jedną z $2$ , a na czwartym ostatnią cyfrę.
2Zatem liczba kodów to $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. 24

Zadanie 7

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Cyfry bez powtórzeń

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza cyfra nie może być zerem, a potem odpadają już użyte cyfry.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfrę tysięcy wybieramy na $9$ sposobów: od $1$ do $9$ .
2Cyfrę setek wybieramy na $9$ sposobów, bo można użyć zera, ale nie można powtórzyć pierwszej cyfry.
3Dalej zostaje $8$ i $7$ możliwości, więc wynik to $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$

Zadanie 8

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

0, 5, 7

(np.

57075

55555

), jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza cyfra nie może być zerem, pozostałe mogą być dowolne z trzech podanych cyfr.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra dziesiątek tysięcy ma $2$ możliwości: $5$ albo $7$ .
2Każda z czterech pozostałych cyfr ma $3$ możliwości: $0, 5, 7$ .
3Razem otrzymujemy $2 \cdot 3^{4}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2 \cdot 3^{4}$

Zadanie 9

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra

2

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza cyfra nie może być zerem ani dwójką.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfrę setek wybieramy spośród $1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ , czyli na $8$ sposobów.
2Cyfrę dziesiątek i jedności wybieramy spośród wszystkich cyfr oprócz $2$ , czyli każdą na $9$ sposobów.
3Wynik to $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. 648

Zadanie 10

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Podzielność i parzystość

Matura · 1 pkt

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez

25

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nieparzysta liczba podzielna przez $25$ kończy się na $25$ albo $75$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dwie ostatnie cyfry mogą tworzyć końcówkę $25$ albo $75$ , więc są $2$ możliwości.
2Cyfra tysięcy ma $9$ możliwości, a cyfra setek ma $10$ możliwości.
3Wynik to $9 \cdot 10 \cdot 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $9 \cdot 10 \cdot 2$

Zadanie 11

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od

300

o wszystkich cyfrach parzystych jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cyfra setek musi być parzysta i większa od $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra setek może być jedną z $4, 6, 8$ , czyli ma $3$ możliwości.
2Cyfra dziesiątek i jedności może być jedną z $0, 2, 4, 6, 8$ , czyli każda ma $5$ możliwości.
3Razem mamy $3 \cdot 5 \cdot 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $3 \cdot 5 \cdot 5$

Zadanie 12

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Cyfry bez powtórzeń

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od

700

, w których każda cyfra należy do zbioru

{1, 2, 3, 7, 8, 9}

i żadna cyfra się nie powtarza, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Na pierwszym miejscu może stać tylko $7$ , $8$ albo $9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfrę setek wybieramy spośród $7, 8, 9$ , czyli na $3$ sposoby.
2Po wyborze cyfry setek zostaje $5$ cyfr na miejsce dziesiątek i $4$ cyfry na miejsce jedności.
3Otrzymujemy $3 \cdot 5 \cdot 4 = 60$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. 60

Zadanie 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Cyfry bez powtórzeń

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od

700

, w których każda cyfra należy do zbioru

{1, 2, 3, 7, 8, 9}

i żadna cyfra się nie powtarza, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

To ten sam schemat: najpierw wybierz cyfrę setek spośród $7, 8, 9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra setek ma $3$ możliwości: $7$ , $8$ albo $9$ .
2Dwie pozostałe cyfry wybieramy bez powtórzeń: $5 \cdot 4$ możliwości.
3Razem $3 \cdot 5 \cdot 4 = 60$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. 60

Zadanie 14

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Dokładnie jedna wskazana cyfra

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra

7

występuje dokładnie jeden raz, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cyfra $7$ nie może stać na końcu, bo liczba ma być parzysta.

Rozwiązanie krok po kroku

1Jeśli $7$ jest cyfrą setek, to cyfra dziesiątek ma $9$ możliwości, a cyfra jedności $5$ możliwości: $45$ liczb.
2Jeśli $7$ jest cyfrą dziesiątek, to cyfra setek ma $8$ możliwości, a cyfra jedności $5$ możliwości: $40$ liczb.
3Razem $45 + 40 = 85$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. 85

Zadanie 15

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od

4

, a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od

6

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cyfry większe od $4$ to $5, 6, 7, 8, 9$ , a cyfry mniejsze od $6$ to $0, 1, 2, 3, 4, 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra tysięcy ma $5$ możliwości i cyfra setek też ma $5$ możliwości.
2Cyfra dziesiątek ma $6$ możliwości i cyfra jedności także ma $6$ możliwości.
3Wynik to $5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6$

Zadanie 16

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Cyfry bez powtórzeń

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr

1, 3, 5, 7, 9

, w których cyfry się nie powtarzają?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Na pierwszą cyfrę masz $5$ wyborów, na drugą zostają $4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfrę dziesiątek wybieramy na $5$ sposobów.
2Cyfrę jedności wybieramy na $4$ sposoby, bo nie może się powtórzyć.
3Otrzymujemy $5 \cdot 4 = 20$ liczb.

Prawidłowa odpowiedź: C. 20

Zadanie 17

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry

1, 2, 3

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Aby liczba była parzysta, ostatnia cyfra musi być równa $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra jedności jest ustalona: musi być $2$ .
2Każda z trzech pozostałych cyfr ma $3$ możliwości: $1, 2, 3$ .
3Razem $3^{3} = 27$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. 27

Zadanie 18

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry

0, 2, 5

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza cyfra nie może być zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsza cyfra ma $2$ możliwości: $2$ albo $5$ .
2Każda z czterech pozostałych cyfr ma $3$ możliwości: $0, 2, 5$ .
3Wynik to $2 \cdot 3^{4} = 162$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. 162

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Parzystość i cyfry zakazane

Matura · 1 pkt

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry

0

2

, jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dostępnych jest osiem cyfr, a na końcu mogą stać tylko trzy cyfry parzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1Po wykluczeniu $0$ i $2$ zostaje $8$ cyfr do wyboru na trzy pierwsze miejsca.
2Na końcu może stać jedna z cyfr $4, 6, 8$ , czyli są $3$ możliwości.
3Wynik to $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 3$

Zadanie 20

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od

3000

, utworzonych wyłącznie z cyfr

1, 2, 3

, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Aby liczba była większa od $3000$ , pierwsza cyfra musi być równa $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra tysięcy jest ustalona i wynosi $3$ .
2Każde z trzech pozostałych miejsc można uzupełnić jedną z cyfr $1, 2, 3$ .
3Otrzymujemy $3^{3} = 27$ liczb.

Prawidłowa odpowiedź: D. 27

Zadanie 21

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Kombinacje

Matura · 1 pkt

Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród

10

zawodników?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Kolejność wybranych graczy nie ma znaczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wybieramy $2$ osoby z $10$ , więc korzystamy z symbolu Newtona $(2 10)$ .
2 $(2 10) = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. 45

Zadanie 22

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Kombinacje

Matura · 1 pkt

Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Każdy uścisk to jedna para osób.

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczba uścisków to liczba par wśród $12$ osób.
2 $(2 12) = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. 66

Zadanie 23

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Podzielność przez 5

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez

5

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wśród liczb od $100$ do $999$ co piąta jest podzielna przez $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczb trzycyfrowych jest $900$ .
2Co piąta z nich jest podzielna przez $5$ , więc $900 : 5 = 180$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. 180

Zadanie 24

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

W karcie dań jest

5

zup i

4

drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Do każdej zupy można dobrać każde drugie danie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zupę wybieramy na $5$ sposobów, a drugie danie na $4$ sposoby.
2Z reguły mnożenia jest $5 \cdot 4 = 20$ obiadów.

Prawidłowa odpowiedź: B. 20

Zadanie 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Podzbiory

Matura · 2 pkt

Pojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od

1

6

wypukłych punktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej kolumnie. Czarne kropki w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły. Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.

Przykładowe znaki w piśmie Braille’a — Przykład napisu w piśmie Braille’a.

Wskazówka

Każde z sześciu miejsc może być wypukłe albo niewypukłe, ale nie wolno wybrać konfiguracji bez wypukłości.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla każdego z $6$ punktów są $2$ możliwości: wypukły albo niewypukły.
2Wszystkich układów jest $2^{6} = 64$ .
3Odrzucamy układ bez żadnego punktu wypukłego, więc zostaje $64 - 1 = 63$ .

Odpowiedź: 63

Zadanie 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Andrzej ma w szafie

4

koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską;

3

pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz

5

par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie. Andrzej wybiera zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Zestawy uznajemy za różne, gdy różnią się kolorem chociaż jednego elementu. Liczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania jest równa

Kolorowe koszule, spodnie i buty Andrzeja — Zestawy ubrań z zadania.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wybór koszuli, spodni i butów są niezależne.

Rozwiązanie krok po kroku

1Koszulę można wybrać na $4$ sposoby, spodnie na $3$ sposoby, a buty na $5$ sposobów.
2Z reguły mnożenia jest $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ zestawów.

Prawidłowa odpowiedź: C. 60

Zadanie 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Cyfry parzyste

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cyfra dziesiątek nie może być zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra dziesiątek może być jedną z $2, 4, 6, 8$ , więc są $4$ możliwości.
2Cyfra jedności może być jedną z $0, 2, 4, 6, 8$ , więc jest $5$ możliwości.
3Razem $4 \cdot 5 = 20$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. 20

Zadanie 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od

5

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cyfra dziesiątek nie może być zerem, ale cyfra jedności może.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra dziesiątek ma $4$ możliwości: $1, 2, 3, 4$ .
2Cyfra jedności ma $5$ możliwości: $0, 1, 2, 3, 4$ .
3Razem $4 \cdot 5 = 20$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. 20

Zadanie 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Wariacje

Matura · 1 pkt

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw posadź Alę, potem Bartka na innym miejscu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Ala może wybrać jedno z $5$ miejsc.
2Bartek może usiąść na jednym z pozostałych $4$ miejsc.
3Razem $5 \cdot 4 = 20$ sposobów.

Prawidłowa odpowiedź: B. 20

Zadanie 30

Oryginalne zadanie: zad. 56

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Dokładnie jedna wskazana cyfra

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których cyfra

5

występuje dokładnie jeden raz, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz trzy pozycje, na których może wystąpić cyfra $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Gdy $5$ jest cyfrą setek, pozostałe dwie cyfry nie mogą być $5$ : $9 \cdot 9 = 81$ .
2Gdy $5$ jest cyfrą dziesiątek lub jedności, cyfra setek ma $8$ możliwości, a druga pozostała cyfra $9$ możliwości: po $72$ liczby.
3Razem $81 + 72 + 72 = 225$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. 225

Zadanie 31

Oryginalne zadanie: zad. 58

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Permutacje

Matura · 1 pkt

Na dwóch półkach ustawiano

9

książek:

4

biograficzne i

5

fantasy. Ustawiono je w taki sposób, aby na każdej półce znalazły się książki wyłącznie jednego rodzaju. Wszystkich sposobów ustawienia książek przy zadanym warunku jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Trzeba ustawić książki w obrębie każdego rodzaju i wybrać, który rodzaj trafi na którą półkę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Książki biograficzne można ustawić na $4!$ sposobów, a książki fantasy na $5!$ sposobów.
2Są $2$ możliwości przypisania rodzaju książek do półek.
3Razem $4! \cdot 5! \cdot 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $4! \cdot 5! \cdot 2$

Zadanie 32

Oryginalne zadanie: zad. 59

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Reguła mnożenia

Matura · 1 pkt

Firma krawiecka produkuje prostokątne dwukolorowe obrusy w jednakowym rozmiarze. Każdy obrus jest zszyty z trzech pasów materiału tej samej szerokości. Zewnętrzne pasy są w tym samym kolorze. Cały obrus jest obszyty lamówką w jednym kolorze. W magazynie materiały są dostępne w

5

kolorach, a lamówka w

3

kolorach. Obrusy uznajemy za różne, gdy różnią się kolorem lamówki lub kolorem pasów zewnętrznych, lub kolorem pasa wewnętrznego. Liczba wszystkich różnych obrusów jest równa

Prostokątny obrus z trzema pasami materiału i lamówką — Schemat obrusu z trzema pasami.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Kolor pasa wewnętrznego musi być inny niż kolor pasów zewnętrznych.

Rozwiązanie krok po kroku

1Kolor pasów zewnętrznych można wybrać na $5$ sposobów.
2Kolor pasa wewnętrznego musi być inny, więc ma $4$ możliwości.
3Kolor lamówki ma $3$ możliwości, zatem razem $5 \cdot 4 \cdot 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $5 \cdot 4 \cdot 3$

Zadanie 33

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Ciąg arytmetyczny cyfr

Matura · 2 pkt

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy

- 3

Wskazówka

Najpierw wypisz możliwe trójki cyfr na początku numeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Trzy pierwsze cyfry mają postać $(a, a - 3, a - 6)$ , więc możliwe są $4$ trójki: $(6, 3, 0)$ , $(7, 4, 1)$ , $(8, 5, 2)$ , $(9, 6, 3)$ .
2Po wybraniu takiej trójki zostaje $7$ cyfr na czwarte miejsce, $6$ na piąte i $5$ na szóste.
3Liczba numerów to $4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 840$ .

Odpowiedź: 840

Zadanie 34

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zasada dopełnienia

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę

(a, b)

, gdzie

a

jest wynikiem pierwszego losowania,

b

jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par

(a, b)

takich, że iloczyn

a \cdot b

jest liczbą parzystą.

Wskazówka

Łatwiej odjąć pary, w których iloczyn jest nieparzysty.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wszystkich par uporządkowanych bez zwracania jest $15 \cdot 14 = 210$ .
2Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Liczb nieparzystych jest $8$ , więc takich par jest $8 \cdot 7 = 56$ .
3Szukana liczba par to $210 - 56 = 154$ .

Odpowiedź: 154

Zadanie 35

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 2 pkt

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o

3

większa od cyfry setek.

Wskazówka

Najpierw wybierz cyfrę setek; wtedy cyfra jedności jest już ustalona.

Rozwiązanie krok po kroku

1Jeśli cyfra setek to $b$ , to cyfra jedności wynosi $b + 3$ , więc $b$ może być jedną z cyfr $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ — jest $7$ możliwości.
2Cyfra tysięcy ma $9$ możliwości, a cyfra dziesiątek ma $10$ możliwości.
3Wynik to $9 \cdot 10 \cdot 7 = 630$ .

Odpowiedź: 630

Zadanie 36

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Warunki na cyfry

Matura · 4 pkt

Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie warunki: cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste; cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek; cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności; w zapisie tej liczby nie występuje cyfra

9

Wskazówka

Trzy ostatnie cyfry to malejący wybór trzech różnych cyfr parzystych.

Rozwiązanie krok po kroku

1Trzy ostatnie cyfry wybieramy spośród $0, 2, 4, 6, 8$ i ustawiamy malejąco. Wystarczy wybrać $3$ z $5$ cyfr: $(3 5) = 10$ .
2Cyfra dziesiątek tysięcy nie może być $0$ ani $9$ , więc ma $8$ możliwości.
3Cyfra tysięcy może być dowolną cyfrą od $0$ do $8$ , czyli ma $9$ możliwości.
4Razem $10 \cdot 8 \cdot 9 = 720$ .

Odpowiedź: 720

Zadanie 37

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Parzystość cyfr

Matura · 2 pkt

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.

Wskazówka

Pierwsza cyfra parzysta nie może być zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsza cyfra może być jedną z $2, 4, 6, 8$ , więc ma $4$ możliwości.
2Każda z pozostałych cyfr może być jedną z $1, 3, 5, 7, 9$ , czyli ma $5$ możliwości.
3Razem $4 \cdot 5^{3} = 500$ .

Odpowiedź: 500

Zadanie 38

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Dokładnie jeden kolor

Matura · 3 pkt

Andrzej ma w szafie

4

koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską;

3

pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz

5

par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie. Wybiera jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Oblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element ubioru będzie niebieski.

Wskazówka

Rozbij zadanie na trzy przypadki: niebieska koszula, niebieskie spodnie albo niebieskie buty.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niebieska koszula: spodnie niebieskie odpadają, więc $2$ możliwości, a buty niebieskie odpadają, więc $4$ możliwości. Razem $8$ .
2Niebieskie spodnie: koszula nie może być niebieska ( $3$ możliwości), buty nie mogą być niebieskie ( $4$ możliwości). Razem $12$ .
3Niebieskie buty: koszula nie może być niebieska ( $3$ możliwości), spodnie nie mogą być niebieskie ( $2$ możliwości). Razem $6$ .
4Suma: $8 + 12 + 6 = 26$ .

Odpowiedź: 26

Zadanie 39

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Dokładnie jedna cyfra nieparzysta

Matura · 2 pkt

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste? Przyjmij, że zero jest liczbą parzystą.

Wskazówka

Rozpatrz osobno przypadek, gdy cyfra nieparzysta stoi na początku, oraz gdy stoi dalej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Jeśli cyfra nieparzysta jest cyfrą tysięcy, mamy $5 \cdot 5^{3} = 625$ liczb.
2Jeśli cyfra nieparzysta stoi na jednym z trzech dalszych miejsc, to cyfra tysięcy ma $4$ parzyste niezerowe możliwości, cyfra nieparzysta ma $5$ możliwości, a dwa pozostałe miejsca mają po $5$ możliwości.
3Dla tych trzech położeń mamy $3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5^{2} = 1500$ liczb.
4Razem $625 + 1500 = 2125$ .

Odpowiedź: 2125

Zadanie 40

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Podzielność

Matura · 2 pkt

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez

15

lub

20

Wskazówka

Policz wielokrotności $15$ i $20$ , a wspólną wielokrotność odejmij raz.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dwucyfrowe wielokrotności $15$ to $15, 30, 45, 60, 75, 90$ — jest ich $6$ .
2Dwucyfrowe wielokrotności $20$ to $20, 40, 60, 80$ — jest ich $4$ .
3Liczba $60$ została policzona dwa razy, więc wynik to $6 + 4 - 1 = 9$ .

Odpowiedź: 9

Zadanie 41

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Różnica cyfr

Matura · 2 pkt

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o

2

większa od cyfry jedności?

Wskazówka

Wybierz cyfrę jedności od $0$ do $7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Jeśli cyfra jedności to $c$ , to cyfra dziesiątek wynosi $c + 2$ .
2Cyfra jedności może być jedną z $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ , czyli ma $8$ możliwości.
3Cyfra setek ma $9$ możliwości, więc razem $9 \cdot 8 = 72$ .

Odpowiedź: 72

Zadanie 42

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Kombinacje geometryczne

Matura · 2 pkt

Na jednej prostej zaznaczono

3

punkty, a na drugiej

4

punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?

Dwie proste z zaznaczonymi trzema i czterema punktami — Rysunek do zadania: punkty na dwóch prostych.

Wskazówka

Wybierz dowolne trzy punkty z siedmiu i odejmij wybory leżące na jednej prostej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z $7$ punktów można wybrać $(3 7) = 35$ trójek.
2Nie powstaje trójkąt, gdy wszystkie trzy punkty leżą na jednej prostej. Odpada $(3 3) = 1$ trójka z pierwszej prostej oraz $(3 4) = 4$ trójki z drugiej.
3Wynik to $35 - 1 - 4 = 30$ .

Odpowiedź: 30

Zadanie 43

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Suma liczb

Matura · 2 pkt

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru

{0, 1, 2, 3}

Wskazówka

Policz wkład cyfr na miejscu setek, dziesiątek i jedności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra setek może być jedną z $1, 2, 3$ , a pozostałe cyfry jedną z $0, 1, 2, 3$ , więc jest $3 \cdot 4 \cdot 4 = 48$ liczb.
2Na miejscu setek każda z cyfr $1, 2, 3$ występuje $16$ razy, więc wkład setek to $(1 + 2 + 3) \cdot 16 \cdot 100 = 9600$ .
3Na miejscu dziesiątek każda z cyfr $0, 1, 2, 3$ występuje $12$ razy, więc wkład to $(0 + 1 + 2 + 3) \cdot 12 \cdot 10 = 720$ .
4Na miejscu jedności wkład wynosi $(0 + 1 + 2 + 3) \cdot 12 = 72$ .
5Suma wszystkich liczb to $9600 + 720 + 72 = 10392$ .

Odpowiedź: 10392

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

W pewnym sklepie czekolada C kosztuje

x

złotych, a baton B kosztuje

y

złotych. Piotr kupił w tym sklepie 8 czekolad C oraz 4 batony B i zapłacił za te zakupy 82 złote. Natalia kupiła w tym sklepie 3 czekolady C oraz 9 batonów B i zapłaciła za te zakupy 60 złotych. Oblicz cenę

x

czekolady C.

Wskazówka

Zapisz dwa równania – jedno dla zakupów Piotra, drugie dla zakupów Natalii.

Rozwiązanie krok po kroku

1Układ równań: ${8 x + 4 y = 82 3 x + 9 y = 60$
2Drugie równanie dzielimy przez 3: $x + 3 y = 20$ , więc $x = 20 - 3 y$ .
3Podstawiamy: $8 (20 - 3 y) + 4 y = 82$ , czyli $160 - 20 y = 82$ .
4Stąd $y = 3, 9$ , a $x = 20 - 11, 7 = 8, 3$ .

Odpowiedź: $x = 8, 30$ zł

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według cennika: bilet normalny – 35 zł, bilet ulgowy – 25 zł. Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości

25%

wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.

Wskazówka

Kwota 4665 zł to $75%$ wszystkich wpływów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wpływy $W$ : $0, 75 W = 4665$ , więc $W = 6220$ zł.
2Niech $u$ – liczba biletów ulgowych, $200 - u$ – normalnych.
3 $35 (200 - u) + 25 u = 6220$ , czyli $7000 - 10 u = 6220$ .
4Stąd $u = 78$ .

Odpowiedź: $78$ biletów ulgowych

Zadanie 3

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Właściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów:

x

kg pomidorów malinowych w cenie 11 złotych za kilogram oraz

y

kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych. Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.

Wskazówka

Masz $x + y = 75$ oraz równanie kosztów. Wyznacz $y$ z pierwszego równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1 ${x + y = 75 11 x + 7, 98 y = 752, 52$
2 $y = 75 - x$ , więc $11 x + 7, 98 (75 - x) = 752, 52$ .
3 $11 x + 598, 5 - 7, 98 x = 752, 52$ , czyli $3, 02 x = 154, 02$ .
4 $x = 51$ .

Odpowiedź: $51$ kg

Zadanie 4

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę 2. Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę

\frac{8}{17}

. Wyznacz ten ułamek.

Wskazówka

Oznacz ułamek jako $\frac{a}{b}$ i zapisz oba warunki jako równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a + 32}{b} = 2 \Rightarrow a = 2 b - 32$ .
2 $\frac{a - 6}{b - 6} = \frac{8}{17} \Rightarrow 17 (a - 6) = 8 (b - 6)$ .
3Podstawiamy: $17 (2 b - 38) = 8 b - 48$ , czyli $34 b - 646 = 8 b - 48$ .
4 $26 b = 598$ , więc $b = 23$ i $a = 14$ .

Odpowiedź: $\frac{14}{23}$

Zadanie 5

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 4 pkt

Ala jeździ do szkoły rowerem, a Ola skuterem. Obie pokonują tę samą drogę. Ala wyjechała do szkoły o godzinie

7 : 00

i pokonała całą drogę w ciągu 40 minut. Ola wyjechała 10 minut później niż Ala, a pokonanie całej drogi zajęło jej tylko 20 minut. Oblicz, o której godzinie Ola wyprzedziła Alę.

Wskazówka

Oznacz drogę przez $s$ . Ala w minutę pokonuje $\frac{s}{40}$ , a Ola $\frac{s}{20}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $t$ – czas jazdy Oli (w minutach) do chwili spotkania; Ala jedzie wtedy $t + 10$ minut.
2Przebyte drogi są równe: $\frac{s}{20} t = \frac{s}{40} (t + 10)$ .
3 $2 t = t + 10$ , więc $t = 10$ .
4Ola wyprzedziła Alę o $7 : 10 + 10$ min, czyli o $7 : 20$ .

Odpowiedź: o godzinie $7 : 20$

Zadanie 6

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Niech

\frac{m}{n}

będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy 6, a do mianownika dodamy 15, jego wartość nie zmieni się. Oblicz liczby

m

n

Wskazówka

Zapisz równanie $\frac{m + 6}{n + 15} = \frac{m}{n}$ i pomnóż na krzyż.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{m + 6}{n + 15} = \frac{m}{n} \Rightarrow n (m + 6) = m (n + 15)$ .
2 $mn + 6 n = mn + 15 m$ , czyli $6 n = 15 m$ .
3 $\frac{m}{n} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .
4Ułamek jest nieskracalny, więc $m = 2$ , $n = 5$ .

Odpowiedź: $m = 2$ , $n = 5$

Zadanie 7

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Dana jest liczba dwucyfrowa

a

, w której suma cyfr jest równa 14. Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o 18 mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr. Oblicz liczbę

a

Wskazówka

Liczba o cyfrach $x$ (dziesiątki) i $y$ (jedności) to $10 x + y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x + y = 14$ oraz $10 x + y - (10 y + x) = 18$ .
2Z drugiego: $9 x - 9 y = 18$ , czyli $x - y = 2$ .
3Dodajemy równania: $2 x = 16$ , więc $x = 8$ , $y = 6$ .

Odpowiedź: $a = 86$

Zadanie 8

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 3 pkt

Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była 30 m. Długość każdego skoku psa jest równa 2 m, długość każdego skoku lisa jest równa 1 m. W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy. Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa.

Wskazówka

Policz, o ile metrów pies zbliża się do lisa w czasie trzech skoków lisa.

Rozwiązanie krok po kroku

1W jednym cyklu lis pokonuje $3 \cdot 1 = 3$ m, a pies $2 \cdot 2 = 4$ m.
2Pies zbliża się o $1$ m na cykl, więc dogoni lisa po $30$ cyklach.
3Dystans psa: $30 \cdot 4 = 120$ m.

Odpowiedź: $120$ m

Zadanie 9

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Suma liczb rzeczywistych

a

b

równa jest 527. Wiemy, że

8%

liczby

a

jest równe

7, 5%

liczby

b

. Oblicz liczby

a

b

Wskazówka

Zapisz $0, 08 a = 0, 075 b$ i wyznacz $b$ przez $a$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 08 a = 0, 075 b \Rightarrow b = \frac{16}{15} a$ .
2 $a + \frac{16}{15} a = 527$ , czyli $\frac{31}{15} a = 527$ .
3 $a = 255$ , $b = 527 - 255 = 272$ .

Odpowiedź: $a = 255$ , $b = 272$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 11.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Monotoniczność i miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

f (x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in ⟨ 0, 10 ⟩

. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Funkcja

f

jest malejąca.
2. Funkcja

f

nie ma miejsc zerowych.

Wskazówka

Zapisz wzór: masa bańki plus masa mleka.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = 6, 5 + 1, 03 x$ – im więcej mleka, tym większa masa, więc funkcja jest rosnąca – FAŁSZ.
2Dla $x \in ⟨ 0, 10 ⟩$ mamy $f (x) \geq 6, 5 > 0$ , więc brak miejsc zerowych – PRAWDA.
3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 2

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 11.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Największa wartość funkcji

Matura · 1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

f (x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in ⟨ 0, 10 ⟩

. Największa wartość funkcji

f

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja jest rosnąca, więc największą wartość przyjmuje dla pełnej bańki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = 6, 5 + 1, 03 x$ jest rosnąca.
2 $f (10) = 6, 5 + 10, 3 = 16, 8$

Prawidłowa odpowiedź: A. $16, 8$

Zadanie 3

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja określona tabelą

Matura · 2 pkt

Funkcja

y = f (x)

jest określona za pomocą tabeli:

x y - 6 - 3 - 4 - 4 - 2 4 01254062

Uzupełnij, wybierając odpowiedzi spośród A–E.

9.1. Największa wartość funkcji

f

jest równa …
9.2. Miejsce zerowe funkcji

f

jest równe …

A.

1

2

4

5

6

Wskazówka

Szukaj największej liczby w wierszu $y$ oraz argumentu, dla którego $y = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Największa wartość w wierszu $y$ to $5$ – odpowiedź D.
2 $y = 0$ dla $x = 4$ – odpowiedź C.

Odpowiedź: 9.1 – D, 9.2 – C

Zadanie 4

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Monotoniczność z wykresu

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek). Funkcja

f

jest rosnąca w przedziale

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukaj fragmentu wykresu, który idzie w górę przy przesuwaniu się w prawo.

Rozwiązanie krok po kroku

1Na $⟨ - 1, 4 ⟩$ wykres opada, na $⟨ - 7, - 1 ⟩$ jest stały.
2Wykres wznosi się od punktu $(5, 1)$ do $(7, 6)$ , więc $f$ jest rosnąca w $⟨ 5, 7 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $⟨ 5, 7 ⟩$

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 13.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Dziedzina i zbiór wartości

Matura · 2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek). Uzupełnij, wybierając odpowiedzi spośród A–F.

1. Dziedziną funkcji

f

jest zbiór …
2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest zbiór …

A.

⟨ - 3, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, 3 ⟩

(- 3, 3)

(- 3, - 1) \cup (1, 3)

⟨ - 5, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, 5 ⟩

(- 5, 5)

(- 5, - 1) \cup (1, 5)

Wskazówka

Dziedzinę odczytaj z osi $x$ , zbiór wartości z osi $y$ . Zwróć uwagę na kółka puste i pełne.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wykres składa się z części dla $x \in (- 5, - 1)$ i $x \in (1, 5)$ – końce są niezamalowane, więc dziedzina to F.
2Lewa część przyjmuje wartości od $- 3$ do $- 1$ (osiągane wewnątrz), prawa od $1$ do $3$ , więc zbiór wartości to $⟨ - 3, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, 3 ⟩$ – A.

Odpowiedź: 1 – F, 2 – A

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 13.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Nierówność z wykresu

Matura · 2 pkt

Wykorzystaj wykres funkcji

f

z poprzedniego zadania (zobacz rysunek). Zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < - 1

Wskazówka

Znajdź argumenty, dla których wykres leży poniżej prostej $y = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \in (- 5, - 4 ⟩$ mamy $f (x) = - 3$ , a od $x = - 4$ do $x = - 3$ wykres rośnie do $- 1$ .
2Wartość $- 1$ jest osiągana od $x = - 3$ , więc $f (x) < - 1$ dla $x \in (- 5, - 3)$ .

Odpowiedź: $x \in (- 5, - 3)$

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 12.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Dziedzina funkcji

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek). Dziedziną funkcji

f

jest zbiór

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj skrajne argumenty i sprawdź, czy punkty na końcach są zamalowane.

Rozwiązanie krok po kroku

1Najbardziej na lewo leży zamalowany punkt $(- 6, 2)$ , a na prawo zamalowany punkt $(5, 3)$ .
2Dla każdego $x$ między nimi istnieje punkt wykresu, więc $D = ⟨ - 6, 5 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨ - 6, 5 ⟩$

Zadanie 8

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 12.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Największa wartość w przedziale

Matura · 1 pkt

Wykorzystaj wykres funkcji

f

(zobacz rysunek). Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ - 4, 1 ⟩

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozważ tylko fragment wykresu dla $x$ od $- 4$ do $1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \in ⟨ - 4, - 3)$ funkcja przyjmuje wartość $2$ .
2Dla $x \in ⟨ - 3, 1 ⟩$ wartości rosną od $- 3$ do $1$ ; wartość $5$ jest dopiero dla $x > 1$ .
3Największa wartość to $2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 9

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 12.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Monotoniczność z wykresu

Matura · 1 pkt

Wykorzystaj wykres funkcji

f

(zobacz rysunek). Funkcja

f

jest malejąca w zbiorze

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukaj fragmentu wykresu opadającego.

Rozwiązanie krok po kroku

1Na $⟨ - 6, - 3)$ i $(1, 2 ⟩$ funkcja jest stała, na $⟨ - 3, 1 ⟩$ rośnie.
2Od $(2, 5)$ do $(5, 3)$ wykres opada, więc $f$ maleje w $⟨ 2, 5 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $⟨ 2, 5 ⟩$

Zadanie 10

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 10.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Znak funkcji i miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej dla każdego

x \in ⟨ - 5, 4)

. Zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Dla każdego argumentu z przedziału

(- 4, - 2)

funkcja

f

przyjmuje wartości ujemne.
2. Funkcja

f

ma trzy miejsca zerowe.

Wskazówka

Sprawdź $f (- 2)$ oraz to, czy punkt $(4, 0)$ należy do wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (- 2) = 1 > 0$ , a wykres przecina oś $x$ między $- 3$ i $- 2$ , więc przy $x$ bliskim $- 2$ wartości są dodatnie – FAŁSZ.
2Miejsca zerowe: $x = - 4$ , jedno między $- 3$ a $- 2$ oraz $x = 0$ ; $x = 4$ nie należy do dziedziny – PRAWDA.
3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 11

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 10.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Najmniejsza wartość w przedziale

Matura · 1 pkt

Wykorzystaj wykres funkcji

f

(zobacz rysunek). Najmniejsza wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ - 4, 0)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wartość $- 4$ funkcja przyjmuje dopiero dla $x = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1W przedziale $⟨ - 4, 0)$ najniżej leży punkt $(- 3, - 2)$ .
2Najmniejsza wartość to $- 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 2)$

Zadanie 12

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 12.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja w zastosowaniach

Matura · 1 pkt

Basen ma długość 25 m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa 1,2 m. Głębokość

y

basenu zmienia się wraz z odległością

x

od brzegu w sposób opisany funkcją:

y = {a x + b 0, 18 x - 0, 9 dla 0 \leq x \leq 15 dla 15 \leq x \leq 25

. Odległość

x

jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody. Wielkości

x

y

są wyrażone w metrach. Największa głębokość basenu jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Basen jest najgłębszy przy drugim brzegu, czyli dla $x = 25$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x = 25$ : $y = 0, 18 \cdot 25 - 0, 9 = 4, 5 - 0, 9 = 3, 6$
2Największa głębokość to $3, 6$ m.

Prawidłowa odpowiedź: B. $3, 6$ m

Zadanie 13

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 12.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja w zastosowaniach

Matura · 2 pkt

Basen ma długość 25 m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa 1,2 m. Głębokość

y

basenu zmienia się wraz z odległością

x

od brzegu w sposób opisany funkcją:

y = {a x + b 0, 18 x - 0, 9 dla 0 \leq x \leq 15 dla 15 \leq x \leq 25

. Odległość

x

jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody. Wielkości

x

y

są wyrażone w metrach. Oblicz wartość współczynnika

a

oraz wartość współczynnika

b

Wskazówka

Dla $x = 0$ głębokość to $1, 2$ m, a dla $x = 15$ oba wzory dają tę samą głębokość.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y (0) = b = 1, 2$
2Dla $x = 15$ : $0, 18 \cdot 15 - 0, 9 = 1, 8$
3 $15 a + 1, 2 = 1, 8 \Rightarrow 15 a = 0, 6 \Rightarrow a = 0, 04$

Odpowiedź: $a = 0, 04$ , $b = 1, 2$

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Liczba rozwiązań równania

Matura · 1 pkt

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji

y = f (x)

. W przedziale

(- 4, 6)

równanie

f (x) = - 1

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Narysuj prostą $y = - 1$ i policz jej punkty wspólne z wykresem dla $x \in (- 4, 6)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Między $- 4$ a $- 3$ wykres rośnie od $- 2$ do $4$ , więc raz przecina prostą $y = - 1$ .
2Prosta część wykresu przechodzi przez $(3, 0)$ i $(6, - 2)$ , więc $y = - 1$ dla $x = 4, 5$ .
3Lewa gałąź przecina $y = - 1$ dla $x < - 4$ – poza przedziałem. Są dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. ma dokładnie dwa rozwiązania.

Zadanie 15

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Odczytywanie wartości z wykresu

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

. Iloczyn

f (- 3) \cdot f (0) \cdot f (4)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Środkowy odcinek przechodzi przez $(- 4, - 3)$ i $(3, 4)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Na $⟨ - 4, 3 ⟩$ wykres to prosta $y = x + 1$ , więc $f (- 3) = - 2$ , $f (0) = 1$ .
2Dla $x \in ⟨ 3, 8 ⟩$ mamy $f (x) = 4$ , więc $f (4) = 4$ .
3 $(- 2) \cdot 1 \cdot 4 = - 8$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 8$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Własności funkcji z wykresu

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej w zbiorze

(- 1, 7)

. Wskaż zdanie prawdziwe.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zwróć uwagę na niezamalowane końce w $x = - 1$ i $x = 7$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe: $x = 1$ i jedno między $4$ a $5$ ( $x = 7$ nie należy do dziedziny) – A fałszywe.
2Wartość $1$ jest osiągana dla $x \in ⟨ 5, 6 ⟩$ , więc zbiór wartości to $⟨ - 1, 1 ⟩$ – B fałszywe, C prawdziwe.
3Dla $x \in (- 1, 0)$ wartości są dodatnie – D fałszywe.

Prawidłowa odpowiedź: C. Funkcja $f$ osiąga wartość największą równą 1.

Zadanie 17

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Wartość funkcji dla argumentu

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{2}}{2 x - 2}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

. Wtedy dla argumentu

x = 3 - 1

wartość funkcji

f

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz osobno licznik i mianownik.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} = (3 - 1)^{2} = 4 - 23$
2 $2 x - 2 = 23 - 4$
3 $f (x) = \frac{4 - 2 3}{2 3 - 4} = - 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 1$

Zadanie 18

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Punkt należący do wykresu

Matura · 1 pkt

Do wykresu funkcji

f

określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f (x) = 3^{x} - 2

należy punkt o współrzędnych

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw pierwszą współrzędną do wzoru i porównaj wynik z drugą.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (0) = 3^{0} - 2 = - 1$ , więc punkt $(0, - 1)$ należy do wykresu.
2Dla porównania: $f (- 1) = - \frac{5}{3}$ , $f (2) = 7$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $(0, - 1)$

Zadanie 19

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Własności funkcji z wykresu

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

. Wskaż zdanie prawdziwe.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dziedzina to $(- 3, 5 ⟩$ ; sprawdź punkty puste w $x = - 3$ i $x = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dziedzina to $(- 3, 5 ⟩$ – A fałszywe.
2Punkt $(- 2, 0)$ jest pusty, więc jedynym miejscem zerowym jest $x = 4$ – B fałszywe.
3 $f (1) = 3$ – C fałszywe.
4Wartości od $- 4$ (nieosiągane) do $5$ (osiągane w $x = 2$ ) – zbiór $(- 4, 5 ⟩$ , D prawdziwe.

Prawidłowa odpowiedź: D. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- 4, 5 ⟩$ .

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Zbiór wartości funkcji

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

każdej liczbie naturalnej

n \geq 1

przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Zbiorem wartości funkcji

f

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Reszta z dzielenia przez 4 jest mniejsza od 4.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (1) = 1$ , $f (2) = 2$ , $f (3) = 3$ , $f (4) = 0$ , dalej reszty się powtarzają.
2Zbiór wartości: ${0, 1, 2, 3}$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. ${0, 1, 2, 3}$

Zadanie 21

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Liczba rozwiązań równania

Matura · 1 pkt

Rysunek przedstawia wykres funkcji

f

zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty

B = (2, - 1)

C = (4, - 1)

należą do wykresu funkcji. Równanie

f (x) = - 1

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Spójrz na odcinek $B C$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Odcinek $B C$ leży na prostej $y = - 1$ .
2Każdy $x \in ⟨ 2, 4 ⟩$ spełnia $f (x) = - 1$ , więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Prawidłowa odpowiedź: D. nieskończenie wiele rozwiązań.

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Wartość funkcji dla argumentu

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = - 2 (x + 2)^{- 1} (x - 3)^{2}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = - 2

. Wartość funkcji

f

dla argumentu 2 jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (2) = - 2 \cdot 4^{- 1} \cdot (- 1)^{2}$
2 $= - 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = - \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{1}{2}$

Zadanie 23

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Wartość funkcji dla argumentu

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{2 x - 8}{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 0

. Wówczas wartość funkcji

f (2)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel każdy składnik licznika przez $2$ i usuń niewymierność.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (2) = \frac{2 2 - 8}{2} = 2 - \frac{8}{2}$
2 $\frac{8}{2} = \frac{8 2}{2} = 42$
3Wynik: $2 - 42$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2 - 42$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Monotoniczność z wykresu

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

. Funkcja

f

jest rosnąca w przedziale

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znajdź fragment, na którym wykres się wznosi.

Rozwiązanie krok po kroku

1Na $⟨ - 2, 1 ⟩$ i $⟨ 6, 9 ⟩$ funkcja jest stała, na $⟨ 1, 5 ⟩$ maleje.
2Od $(5, - 1)$ do $(6, 1)$ wykres rośnie – przedział $⟨ 5, 6 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨ 5, 6 ⟩$

Zadanie 25

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Zbiór wartości funkcji

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

. Zbiorem wartości funkcji jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Punkt $(0, - 2)$ jest pusty, a wartość $2$ jest osiągana na odcinku poziomym.

Rozwiązanie krok po kroku

1Najniższy punkt $(0, - 2)$ jest niezamalowany – wartość $- 2$ nie jest osiągana.
2Wartość $2$ jest osiągana dla $x \in (0, 1 ⟩$ .
3Zbiór wartości: $(- 2, 2 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $(- 2, 2 ⟩$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Dziedzina funkcji

Matura · 1 pkt

Wykorzystaj przedstawiony wykres funkcji

f

. Dziedziną funkcji

f

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Lewy koniec wykresu jest pustym kółkiem, prawy – pełnym.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wykres zaczyna się w pustym punkcie $(- 3, - 3)$ i kończy w pełnym $(8, 3)$ .
2Dziedzina: $(- 3, 8 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $(- 3, 8 ⟩$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Największa wartość funkcji

Matura · 1 pkt

Wykorzystaj przedstawiony wykres funkcji

f

. Największą wartością funkcji

f

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukaj najwyżej położonego punktu wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Najwyżej położone punkty mają drugą współrzędną $3$ (np. na odcinku od $x = - 1$ do $x = 2$ oraz w $(8, 3)$ ).
2Największa wartość: $3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Zadanie 28

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Zbiór wartości funkcji

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

, określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie

x

ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji

f

zawiera dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ostatnia cyfra kwadratu zależy tylko od ostatniej cyfry liczby.

Rozwiązanie krok po kroku

1Kwadraty cyfr $0$ – $9$ kończą się na: $0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1$ .
2Zbiór wartości: ${0, 1, 4, 5, 6, 9}$ – 6 elementów.

Prawidłowa odpowiedź: B. 6 elementów.

Zadanie 29

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja określona słownie

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb:

f (42)

f (44)

f (45)

f (48)

największa to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \Rightarrow f (42) = 7$
2 $44 = 2^{2} \cdot 11 \Rightarrow f (44) = 11$
3 $45 = 3^{2} \cdot 5 \Rightarrow f (45) = 5$ ; $48 = 2^{4} \cdot 3 \Rightarrow f (48) = 3$
4Największa jest $f (44)$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $f (44)$

Zadanie 30

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Największa wartość w przedziale

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

y = f (x)

. Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ - 1, 1 ⟩

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Na przedziale $⟨ - 1, 1 ⟩$ wykres rośnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ wykres rośnie od $1$ do $3$ .
2Największa wartość: $f (1) = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Zbiór wartości funkcji

Matura · 1 pkt

Wykorzystaj przedstawiony wykres funkcji

f

. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj najniższy i najwyższy punkt wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Najniższy punkt: $(7, - 3)$ , najwyższy: $(0, 5)$ .
2Zbiór wartości: $⟨ - 3, 5 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨ - 3, 5 ⟩$

Zadanie 32

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Znak funkcji

Matura · 1 pkt

Wykorzystaj przedstawiony wykres funkcji

f

. Przedziałem, w którym funkcja

f

przyjmuje tylko wartości ujemne, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Miejscem zerowym jest $x = 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (5) = 0$ , a dla $x > 5$ wykres leży pod osią $x$ aż do końca dziedziny $x = 7$ .
2Szukany przedział: $(5, 7 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(5, 7 ⟩$

Zadanie 33

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Zbiór wartości funkcji

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

y = f (x)

. Zbiorem wartości tej funkcji jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Punkt $(0, 1)$ jest pusty, a $(0, - 1)$ – pełny.

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa część: wartości od $3$ (osiągane) do $1$ (nieosiągane) – $(1, 3 ⟩$ .
2Prawa część: od $- 1$ (osiągane) do $- 4$ (osiągane) – $⟨ - 4, - 1 ⟩$ .
3Zbiór wartości: $⟨ - 4, - 1 ⟩ \cup (1, 3 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨ - 4, - 1 ⟩ \cup (1, 3 ⟩$

Zadanie 34

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Zbiór wartości funkcji

Matura · 1 pkt

Wykorzystaj przedstawiony wykres funkcji

f

. Zbiorem wartości funkcji

f

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj najniższy i najwyższy punkt wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Najwyższy punkt: $(- 2, 5)$ , najniższy: $(1, - 2)$ .
2Zbiór wartości: $⟨ - 2, 5 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨ - 2, 5 ⟩$

Zadanie 35

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Porównywanie wartości funkcji

Matura · 1 pkt

Korzystając z wykresu funkcji

f

, wskaż nierówność prawdziwą.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj $f (- 1)$ , $f (0)$ , $f (1)$ i $f (3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z wykresu: $f (- 1) = 2, 5$ , $f (0) = 0$ , $f (1) = - 2$ , $f (3) = 1$ .
2Prawdziwa jest tylko nierówność $f (1) < f (3)$ , czyli $- 2 < 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $f (1) < f (3)$

Zadanie 36

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Liczba rozwiązań równania

Matura · 1 pkt

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji

y = f (x)

. Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Środkowy łuk ma wierzchołek w punkcie $(4, 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = 0$ ma 2 rozwiązania ( $x = 2$ , $x = 6$ ), $f (x) = 1$ – 4 rozwiązania, $f (x) = 3$ – 2 rozwiązania.
2Prosta $y = 2$ przecina obie gałęzie i dotyka łuku w $(4, 2)$ – 3 rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. $f (x) = 2$

Zadanie 37

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Miejsce zerowe funkcji

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f (x) = x^{3} - b - 52

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Miejscem zerowym funkcji

f

jest

x = 2 + 1

. Współczynnik

b

we wzorze funkcji

f

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz $(2 + 1)^{3}$ ze wzoru na sześcian sumy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 + 1)^{3} = 22 + 3 \cdot 2 + 32 + 1 = 7 + 52$
2 $f (2 + 1) = 7 + 52 - b - 52 = 7 - b = 0$
3 $b = 7$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b = 7$

Zadanie 38

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Zbiór wartości funkcji

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja

y = f (x)

określona dla

x \in ⟨ - 1, 8 ⟩

, której wykres jest przedstawiony na rysunku. Wskaż zbiór wartości tej funkcji.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja jest ciągła, a jej wykres przyjmuje wszystkie wartości między najniższą a najwyższą.

Rozwiązanie krok po kroku

1Najniższa wartość: $- 1$ (dla $x \in ⟨ - 1, 0 ⟩$ ), najwyższa: $4$ (dla $x = 6$ ).
2Zbiór wartości: $⟨ - 1, 4 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨ - 1, 4 ⟩$

Zadanie 39

Oryginalne zadanie: zad. 25.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Porównywanie funkcji z wykresu

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji:

f

g

h

s

. Największą wartość dla argumentu

x = 2

przyjmuje funkcja

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Poprowadź pionową prostą $x = 2$ i sprawdź, który wykres przecina najwyżej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x = 2$ : $f (2) = 5$ , $s (2) = 3, 5$ , $g (2) = 2, 5$ , $h (2) = 1, 5$ .
2Największą wartość przyjmuje $f$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $f$

Zadanie 40

Oryginalne zadanie: zad. 25.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Porównywanie funkcji z wykresu

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji:

f

g

h

s

. Dla argumentu

x = 3

tę samą wartość przyjmują funkcje

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukaj punktu przecięcia wykresów nad $x = 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wykresy $f$ i $g$ przecinają się w punkcie $(3, 2)$ .
2 $f (3) = g (3) = 2$ , natomiast $h (3) = 1$ , $s (3) = 3, 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $f$ i $g$

Zadanie 41

Oryginalne zadanie: zad. 25.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Nierówność z wykresu

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji:

f

g

h

s

. Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność

g (x) > h (x)

Wskazówka

Znajdź punkty przecięcia wykresów $g$ i $h$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wykresy $g$ i $h$ przecinają się w punktach $(1, 3)$ i $(6, 0, 5)$ .
2Między nimi wykres $g$ leży powyżej wykresu $h$ .
3Odpowiedź: $x \in (1, 6)$ .

Odpowiedź: $(1, 6)$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Przesunięcie wzdłuż osi Ox

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 5 x

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

f

przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi

O x

i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej

g

. Funkcja

g

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przesunięcie o 1 w prawo oznacza $g (x) = f (x - 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $g (x) = f (x - 1) = 5 (x - 1)$
2 $g (x) = 5 x - 5$

Prawidłowa odpowiedź: A. $g (x) = 5 x - 5$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 11.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Przesunięcie wzdłuż osi Ox

Matura · 1 pkt

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z prostą o równaniu

y = 2

ma obie współrzędne całkowite. Na rysunku 2. przedstawiono wykres funkcji

g

, powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji

f

wzdłuż osi

O x

o 4 jednostki w lewo.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.

Funkcje

f

g

są powiązane zależnością: A.

g (x) = f (x + 4)

g (x) = f (x - 4)

g (x) = f (x) - 4

oraz mają takie same: 1. dziedziny 2. zbiory wartości.

Wskazówka

Pamiętaj: $f (x - p)$ to przesunięcie o $p$ w prawo, $f (x + p)$ – o $p$ w lewo, $f (x) + q$ – o $q$ w górę, $f (x) - q$ – o $q$ w dół.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przesunięcie o 4 w lewo: $g (x) = f (x + 4)$ – odpowiedź A.
2Przesunięcie poziome zmienia dziedzinę ( $⟨ - 1, 7 ⟩ \to ⟨ - 5, 3 ⟩$ ), ale nie zmienia zbioru wartości ( $⟨ 0, 4 ⟩$ ) – odpowiedź 2.

Odpowiedź: A2

Zadanie 3

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 10.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Przesunięcie wzdłuż osi Ox

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f

, której fragment wykresu przedstawiono na rysunku (u góry). Wierzchołek paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami mają współrzędne całkowite. Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = f (x - 2)

. Wykres funkcji

g

przedstawiono na rysunku

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$f (x - 2)$ to przesunięcie wykresu o 2 jednostki w prawo – wierzchołek przesuwa się poziomo.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wierzchołek paraboli $f$ to $(1, 8)$ .
2Po przesunięciu o 2 w prawo wierzchołek ma współrzędne $(3, 8)$ , a parabola zachowuje kształt.
3Taki wykres jest na rysunku D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Zadanie 4

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Dziedzina po przesunięciu

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej na zbiorze

⟨ - 2, 5)

. Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = f (x - 1)

. Wykres funkcji

g

można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji

f

. Dziedziną funkcji

g

jest zbiór

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$f (x - 1)$ przesuwa wykres o 1 w prawo – oba końce dziedziny zwiększają się o 1.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $g (x) = f (x - 1)$ – przesunięcie o 1 w prawo.
2Dziedzina: $⟨ - 2 + 1, 5 + 1) = ⟨ - 1, 6)$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $⟨ - 1, 6)$

Zadanie 5

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Rozpoznawanie przesunięcia

Matura · 1 pkt

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji

f

określonej na zbiorze

⟨ - 4, 5 ⟩

. Funkcję

g

określono za pomocą funkcji

f

. Wykres funkcji

g

przedstawiono na rysunku 2. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj: $f (x - p)$ to przesunięcie o $p$ w prawo, $f (x + p)$ – o $p$ w lewo, $f (x) + q$ – o $q$ w górę, $f (x) - q$ – o $q$ w dół.

Rozwiązanie krok po kroku

1Punkt $(- 4, 1)$ przeszedł w $(- 6, 1)$ , a $(0, 2)$ w $(- 2, 2)$ – wykres przesunięto o 2 w lewo.
2Przesunięcie o 2 w lewo: $g (x) = f (x + 2)$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $g (x) = f (x + 2)$

Zadanie 6

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Przesunięcie wzdłuż osi Oy

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej w zbiorze

⟨ - 6, 5 ⟩

. Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = f (x) - 2

dla

x \in ⟨ - 6, 5 ⟩

. Wskaż zdanie prawdziwe.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj $f (2)$ z wykresu, a potem $g (2) = f (2) - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (2) = 0$ , więc $g (2) = - 2$ i $f (2) + g (2) = - 2$ – A prawdziwe.
2Przesunięcie w dół zmienia zbiór wartości i miejsca zerowe – B i C fałszywe.
3 $f (0) = - 2$ , ale $g (0) = - 4$ – D fałszywe.

Prawidłowa odpowiedź: A. Liczba $f (2) + g (2)$ jest równa $(- 2)$ .

Zadanie 7

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Wierzchołek po przesunięciu

Matura · 1 pkt

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

y = f (x)

ma współrzędne

(2, 2)

. Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji

g (x) = f (x + 2)

ma współrzędne

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$f (x + 2)$ to przesunięcie o 2 w lewo.

Rozwiązanie krok po kroku

1Przesunięcie o 2 w lewo zmniejsza pierwszą współrzędną o 2.
2Wierzchołek: $(2 - 2, 2) = (0, 2)$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(0, 2)$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Rozpoznawanie przesunięcia

Matura · 1 pkt

Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji

f

(po lewej) i

g

(po prawej). Funkcja

g

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Porównaj położenie punktu $(0, 5)$ na wykresie $f$ z odpowiadającym mu punktem na wykresie $g$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Punkt $(0, 5)$ przeszedł w $(0, 4)$ , a $(7, - 3)$ w $(7, - 4)$ – wykres przesunięto o 1 w dół.
2Zatem $g (x) = f (x) - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $g (x) = f (x) - 1$

Zadanie 9

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Rozpoznawanie przesunięcia

Matura · 1 pkt

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji

y = f (x)

określonej dla

x \in ⟨ - 7, 4 ⟩

. Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj: $f (x - p)$ to przesunięcie o $p$ w prawo, $f (x + p)$ – o $p$ w lewo, $f (x) + q$ – o $q$ w górę, $f (x) - q$ – o $q$ w dół.

Rozwiązanie krok po kroku

1Punkt $(- 7, 1)$ przeszedł w $(- 5, 1)$ , a $(4, 2)$ w $(6, 2)$ – przesunięcie o 2 w prawo.
2Zatem $y = f (x - 2)$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = f (x - 2)$

Zadanie 10

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Przesunięcie wzdłuż osi Oy

Matura · 1 pkt

Na rysunku (u góry) przedstawiono wykres funkcji

f

. Wykres funkcji

g

określonej wzorem

g (x) = f (x) + 2

jest przedstawiony na rysunku

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$f (x) + 2$ to przesunięcie o 2 w górę – argumenty się nie zmieniają.

Rozwiązanie krok po kroku

1Każdy punkt $(x, y)$ przechodzi w $(x, y + 2)$ , np. $(- 4, 4) \to (- 4, 6)$ , $(1, - 2) \to (1, 0)$ .
2Taki wykres jest na rysunku B.

Prawidłowa odpowiedź: B. Rysunek B

Zadanie 11

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Rozpoznawanie przesunięcia

Matura · 1 pkt

Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji

y = f (x)

. Funkcja przedstawiona na rysunku 2 jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, czy wykres przesunął się w poziomie, czy w pionie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Argumenty punktów się nie zmieniły, a każda wartość zmalała o 2 (np. $(- 1, 3) \to (- 1, 1)$ ).
2Zatem $y = f (x) - 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = f (x) - 2$

Zadanie 12

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Przesunięcie wzdłuż osi Ox

Matura · 1 pkt

Rysunek (u góry) przedstawia wykres funkcji

y = f (x)

. Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji

y = f (x + 1)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$f (x + 1)$ to przesunięcie o 1 w lewo.

Rozwiązanie krok po kroku

1Każdy punkt $(x, y)$ przechodzi w $(x - 1, y)$ , np. $(- 1, 3) \to (- 2, 3)$ , $(0, 2) \to (- 1, 2)$ .
2Wartości się nie zmieniają – taki wykres jest na rysunku D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Zadanie 13

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcje

Temat: Przesunięcie i symetria

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja

y = f (x)

określona dla

x \in ⟨ - 3, 5 ⟩

, której wykres przedstawiono na rysunku. Funkcje

g

oraz

h

są określone wzorami

g (x) = f (x + 2)

oraz

h (x) = f (- x)

. Na rysunkach A–F przedstawiono wykresy różnych funkcji – w tym wykresy funkcji

g

oraz

h

. Każdej z funkcji

g

oraz

h

przyporządkuj jej wykres.

Wskazówka

$f (x + 2)$ – przesunięcie o 2 w lewo; $f (- x)$ – symetria względem osi $O y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f$ ma punkty $(- 3, 4)$ , $(3, 8)$ , $(5, 5)$ .
2 $g$ : przesunięcie o 2 w lewo – punkty $(- 5, 4)$ , $(1, 8)$ , $(3, 5)$ – rysunek D.
3 $h$ : odbicie względem osi $O y$ – punkty $(3, 4)$ , $(- 3, 8)$ , $(- 5, 5)$ – rysunek B.

Odpowiedź: $g$ – D, $h$ – B

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Znaki współczynników

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu z osiami ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

O x

pod kątem o mierze

α

(zobacz rysunek). Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Współczynnik

a

we wzorze funkcji

f

jest liczbą dodatnią.
2. Współczynnik

b

we wzorze funkcji

f

jest liczbą dodatnią.

Wskazówka

Znak $a$ odczytasz z kierunku wykresu (rośnie – $a > 0$ , maleje – $a < 0$ ), a znak $b$ z punktu przecięcia z osią $O y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wykres maleje, więc $a < 0$ – FAŁSZ.
2Wykres przecina oś $O y$ w punkcie $(0, - 3)$ , więc $b = - 3 < 0$ – FAŁSZ.
3Odpowiedź: F, F

Odpowiedź: F, F

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Kąt nachylenia prostej

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu z osiami ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

O x

pod kątem o mierze

α

(zobacz rysunek). Tangens kąta o mierze

α

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$tg α$ jest równy współczynnikowi kierunkowemu $a$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta przechodzi przez $(- 2, 0)$ i $(0, - 3)$ .
2 $a = \frac{- 3 - 0}{0 - ( - 2 )} = - \frac{3}{2}$
3 $tg α = a = - \frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{3}{2})$

Zadanie 3

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 11.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Monotoniczność funkcji przedziałami liniowej

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 5 x + 3 - 2 x + 5 dla x \in ⟨ - 4, - 2) dla x \in ⟨ - 2, 1 ⟩ dla x \in (1, 3 ⟩

. Wykres funkcji przedstawiono na rysunku. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Funkcja

f

jest rosnąca w przedziale

⟨ - 4, - 2 ⟩

.
2. Funkcja

f

jest malejąca w przedziale

⟨ 1, 3 ⟩

Wskazówka

Sprawdź, co dzieje się z wartościami na końcach przedziałów, np. w $x = - 2$ i $x = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (- 2, 5) = 2, 5$ , ale $f (- 2) = 1$ – większy argument ma mniejszą wartość, więc $f$ nie jest rosnąca w $⟨ - 4, - 2 ⟩$ – FAŁSZ.
2 $f (1) = 4$ , a dla $x \in (1, 3 ⟩$ wartości maleją od $3$ do $- 1$ , więc $f$ maleje w $⟨ 1, 3 ⟩$ – PRAWDA.
3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 4

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Współczynnik kierunkowy i pole trójkąta

Matura · 1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji

f

z osią

O y

ma współrzędne

(0, 4)

(zobacz rysunek). Oceń prawdziwość stwierdzeń.

1. Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji

f

, jest równy

(- 2)

.
2. Pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych oraz wykresem funkcji

f

jest równe 8.

Wskazówka

Oblicz $a$ z dwóch punktów $(2, 0)$ i $(0, 4)$ ; trójkąt jest prostokątny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{4 - 0}{0 - 2} = - 2$ – PRAWDA.
2Przyprostokątne mają długości $2$ i $4$ , więc $P = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \neq = 8$ – FAŁSZ.
3Odpowiedź: P, F

Odpowiedź: P, F

Zadanie 5

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Znaki współczynników

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Liczba

a

oraz liczba

b

we wzorze funkcji

f

spełniają warunki:

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znak $a$ odczytasz z kierunku wykresu (rośnie – $a > 0$ , maleje – $a < 0$ ), a znak $b$ z punktu przecięcia z osią $O y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wykres maleje, więc $a < 0$ .
2Wykres przecina oś $O y$ powyżej zera, więc $b > 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $a < 0$ i $b > 0$

Zadanie 6

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Znaki współczynników

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja liniowa

f

określona wzorem

f (x) = a x + b

. Wykres funkcji

f

przedstawiono na rysunku. Współczynniki

a

b

we wzorze funkcji

f

spełniają warunki

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znak $a$ odczytasz z kierunku wykresu (rośnie – $a > 0$ , maleje – $a < 0$ ), a znak $b$ z punktu przecięcia z osią $O y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wykres rośnie, więc $a > 0$ .
2Wykres przecina oś $O y$ poniżej zera, więc $b < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a > 0$ i $b < 0$

Zadanie 7

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Graficzna interpretacja układu równań

Matura · 1 pkt

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi

x

y

. Wskaż ten układ.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Jedna prosta rośnie, druga maleje. Odczytaj punkty przecięcia z osiami.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta rosnąca przechodzi przez $(0, - 4)$ i $(2, 0)$ : $y = 2 x - 4$ .
2Prosta malejąca przechodzi przez $(0; 3, 5)$ i $(7, 0)$ : $y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$ .
3Proste przecinają się w $(3, 2)$ – to układ B.

Prawidłowa odpowiedź: B. ${y = 2 x - 4 y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Kąt nachylenia prostej

Matura · 1 pkt

Prosta

l

jest nachylona do osi

O x

pod kątem

3 0^{\circ}

i przecina oś

O y

w punkcie

(0, - 3)

(zobacz rysunek). Prosta

l

ma równanie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Współczynnik kierunkowy to $a = tg 3 0^{\circ}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = tg 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$
2 $b = - 3$
3 $y = \frac{3}{3} x - 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $y = \frac{3}{3} x - 3$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Symetria względem początku układu

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej

f

, przy czym

f (0) = - 2

f (1) = 0

. Wykres funkcji

g

jest symetryczny do wykresu funkcji

f

względem początku układu współrzędnych. Funkcja

g

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Symetria względem $(0, 0)$ : $g (x) = - f (- x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = 2 x - 2$ .
2 $g (x) = - f (- x) = - (- 2 x - 2) = 2 x + 2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $g (x) = 2 x + 2$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe

k

l

o równaniach

y = a x + b

oraz

y = m x + n

. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = m$ (i $a \neq = 0$ ), więc $a \cdot m = a^{2} > 0$ .
2Prosta $k$ przecina oś $O y$ nad początkiem ( $b > 0$ ), prosta $l$ pod nim ( $n < 0$ ), więc $b \cdot n < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $a \cdot m > 0$ i $b \cdot n < 0$

Zadanie 11

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Graficzna interpretacja układu równań

Matura · 1 pkt

Na jednym z rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań

{x + 3 y = - 5 3 x - 2 y = - 4

. Wskaż ten rysunek.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż układ i znajdź rysunek, na którym proste przecinają się w otrzymanym punkcie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z pierwszego równania $x = - 5 - 3 y$ .
2 $3 (- 5 - 3 y) - 2 y = - 4 \Rightarrow - 11 y = 11 \Rightarrow y = - 1$ , $x = - 2$ .
3Proste przecinają się w $(- 2, - 1)$ – rysunek A.

Prawidłowa odpowiedź: A. Rysunek A

Zadanie 12

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Współczynnik kierunkowy

Matura · 1 pkt

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty

A = (- 4, 3)

oraz

B = (8, 7)

, jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{7 - 3}{8 - ( - 4 )} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $a = \frac{1}{3}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Wzór prostej z wykresu

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu

y = a x + b

przechodzącej przez punkty

(0, - 2)

(6, 2)

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$b$ to druga współrzędna punktu na osi $O y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $b = - 2$
2 $a = \frac{2 - ( - 2 )}{6 - 0} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a = \frac{2}{3}$ , $b = - 2$

Zadanie 14

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Liczba rozwiązań układu równań

Matura · 1 pkt

Układ równań

{x - y = 3 2 x + 0, 5 y = 4

opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Porównaj współczynniki kierunkowe obu prostych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y = x - 3$ (współczynnik $1$ ) oraz $y = - 4 x + 8$ (współczynnik $- 4$ ).
2Współczynniki są różne, więc proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie.

Prawidłowa odpowiedź: B. dokładnie jeden punkt.

Zadanie 15

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Graficzna interpretacja układu równań

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj punkty przecięcia każdej prostej z osią $O y$ oraz kierunek prostych.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta rosnąca przechodzi przez $(- 1, 0)$ i $(0, 1)$ : $y = x + 1$ .
2Prosta malejąca przechodzi przez $(0, 4)$ i $(2, 0)$ : $y = - 2 x + 4$ .
3To układ C.

Prawidłowa odpowiedź: C. ${y = x + 1 y = - 2 x + 4$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Równanie ogólne prostej

Matura · 1 pkt

Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na wykresie.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prosta przechodzi przez $(0, 2)$ i $(4, 0)$ – sprawdź, które równanie spełniają oba punkty.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{0 - 2}{4 - 0} = - \frac{1}{2}$ , $b = 2$ , więc $y = - \frac{1}{2} x + 2$ .
2Mnożymy przez 2: $2 y = - x + 4$ , czyli $x + 2 y - 4 = 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $x + 2 y - 4 = 0$

Zadanie 17

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Znaki współczynników

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej

y = a x + b

. Jakie znaki mają współczynniki

a

b

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znak $a$ odczytasz z kierunku wykresu (rośnie – $a > 0$ , maleje – $a < 0$ ), a znak $b$ z punktu przecięcia z osią $O y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wykres maleje, więc $a < 0$ .
2Wykres przecina oś $O y$ poniżej zera, więc $b < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $a < 0$ i $b < 0$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Znaki współczynników

Matura · 1 pkt

Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej

y = a x + b

takiej, że

a > 0

b < 0

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znak $a$ odczytasz z kierunku wykresu (rośnie – $a > 0$ , maleje – $a < 0$ ), a znak $b$ z punktu przecięcia z osią $O y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a > 0$ – wykres rośnie (rysunki A i C).
2 $b < 0$ – przecięcie z osią $O y$ poniżej zera: tylko rysunek C.

Prawidłowa odpowiedź: C. Rysunek C

Zadanie 1

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (3 - m) x - 4

. Funkcja

f

nie ma miejsca zerowego dla

m

równego

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego, gdy jest stała i różna od zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $3 - m = 0$ funkcja ma postać $f (x) = - 4$ – nigdy nie przyjmuje wartości 0.
2Stąd $m = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej

f (x) = (3 - m) x + 4

. Liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw miejsce zerowe do wzoru i przyrównaj wartość funkcji do zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (2) = (3 - m) \cdot 2 + 4 = 0$
2 $6 - 2 m + 4 = 0 \Rightarrow 2 m = 10 \Rightarrow m = 5$

Prawidłowa odpowiedź: D. $5$

Zadanie 3

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (- 2 k + 3) x + k - 1

, gdzie

k \in R

. Funkcja

f

jest malejąca dla każdej liczby

k

należącej do przedziału

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest rosnąca dla $a > 0$ , malejąca dla $a < 0$ i stała dla $a = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $- 2 k + 3 < 0$
2 $- 2 k < - 3 \Rightarrow k > \frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(\frac{3}{2}, + \infty)$

Zadanie 4

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcje liniowe

f

oraz

g

, określone wzorami

f (x) = 3 x + 6

oraz

g (x) = a x + 7

, mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik

a

we wzorze funkcji

g

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f$ i podstaw je do wzoru funkcji $g$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 2$
2 $g (- 2) = - 2 a + 7 = 0 \Rightarrow a = \frac{7}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{7}{2}$

Zadanie 5

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dana jest prosta

k

o równaniu

y = 3 x + b

, przechodząca przez punkt

A = (- 1, 3)

. Współczynnik

b

w równaniu tej prostej jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji: $y = f (x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 = 3 \cdot (- 1) + b$
2 $b = 6$

Prawidłowa odpowiedź: B. $6$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

określona wzorem

f (x) = (2 m - 5) x + 22

jest rosnąca dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest rosnąca dla $a > 0$ , malejąca dla $a < 0$ i stała dla $a = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 m - 5 > 0$
2 $m > 2, 5$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m > 2, 5$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Punkt

M = (3, - 2)

należy do wykresu funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = 5 x + b - 4

. Wynika stąd, że

b

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji: $y = f (x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 = 5 \cdot 3 + b - 4$
2 $- 2 = 11 + b \Rightarrow b = - 13$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 13)$

Zadanie 8

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = 3 x - 5

oraz

y = \frac{m - 3}{2} x + \frac{9}{2}

są równoległe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{m - 3}{2} = 3$
2 $m - 3 = 6 \Rightarrow m = 9$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 9$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcje liniowe

f

g

określone wzorami

f (x) = - 4 x + 12

g (x) = - 2 x + k + 3

mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f$ i podstaw je do wzoru funkcji $g$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 4 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3$
2 $g (3) = - 6 + k + 3 = 0 \Rightarrow k = 3$

Prawidłowa odpowiedź: C. $k = 3$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Punkt

P = (- 3, 7)

leży na wykresie funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = (2 m - 1) x + 5

. Zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji: $y = f (x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $7 = (2 m - 1) (- 3) + 5$
2 $2 = - 6 m + 3 \Rightarrow 6 m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $m = \frac{1}{6}$

Zadanie 11

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Punkt

A = (\frac{1}{3}, - 1)

należy do wykresu funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = 3 x + b

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji: $y = f (x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 1 = 3 \cdot \frac{1}{3} + b$
2 $- 1 = 1 + b \Rightarrow b = - 2$

Prawidłowa odpowiedź: D. $b = - 2$

Zadanie 12

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (a + 1) x + 11

, gdzie

a

to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe

x = \frac{3}{4}

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw miejsce zerowe do wzoru i przyrównaj wartość funkcji do zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a + 1) \cdot \frac{3}{4} + 11 = 0$
2 $a + 1 = - \frac{44}{3}$
3 $a = - \frac{47}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $a = - \frac{47}{3}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcja

f

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f (x) = (m 5 - 1) x + 3

. Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby

m

spełniającej warunek

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest rosnąca dla $a > 0$ , malejąca dla $a < 0$ i stała dla $a = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m 5 - 1 > 0$
2 $m > \frac{1}{5}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $m > \frac{1}{5}$

Zadanie 14

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej

f (x) = a x + b

, a punkt

M = (3, - 2)

należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik

a

we wzorze tej funkcji jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wykres przechodzi przez punkty $(1, 0)$ i $(3, - 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{- 2 - 0}{3 - 1} = - 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Zadanie 15

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Proste opisane równaniami

y = \frac{2}{m - 1} x + m - 2

oraz

y = m x + \frac{1}{m + 1}

są prostopadłe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $- 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2}{m - 1} \cdot m = - 1$
2 $2 m = - (m - 1) \Rightarrow 3 m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m = \frac{1}{3}$

Zadanie 16

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = (m^{2} - 4) x + 2

jest malejąca, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest rosnąca dla $a > 0$ , malejąca dla $a < 0$ i stała dla $a = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m^{2} - 4 < 0$
2 $m^{2} < 4 \Rightarrow m \in (- 2, 2)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m \in (- 2, 2)$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Liczba

(- 3)

jest miejscem zerowym funkcji

f (x) = (2 m - 1) x + 9

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw miejsce zerowe do wzoru i przyrównaj wartość funkcji do zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 m - 1) (- 3) + 9 = 0$
2 $- 6 m + 12 = 0 \Rightarrow m = 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m = 2$

Zadanie 18

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Punkt

A = (0, 1)

leży na wykresie funkcji liniowej

f (x) = (m - 2) x + m - 3

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji: $y = f (x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (0) = m - 3 = 1$
2 $m = 4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 4$

Zadanie 19

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = (m - 2) x - 11

jest rosnąca dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest rosnąca dla $a > 0$ , malejąca dla $a < 0$ i stała dla $a = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m - 2 > 0 \Rightarrow m > 2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $m > 2$

Zadanie 20

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Układ równań

{4 x + 2 y = 10 6 x + a y = 15

ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy równania są proporcjonalne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{6}{4} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
2Musi być $\frac{a}{2} = \frac{3}{2}$ , więc $a = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $a = 3$

Zadanie 21

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Wskaż

m

, dla którego funkcja liniowa określona wzorem

f (x) = (m - 1) x + 3

jest stała.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest rosnąca dla $a > 0$ , malejąca dla $a < 0$ i stała dla $a = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $m = 1$

Zadanie 22

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Wskaż

m

, dla którego funkcja liniowa

f (x) = (m - 1) x + 6

jest rosnąca.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest rosnąca dla $a > 0$ , malejąca dla $a < 0$ i stała dla $a = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1$
2Spośród podanych liczb warunek spełnia tylko $m = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 2$

Zadanie 23

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Prosta o równaniu

y = - 2 x + (3 m + 3)

przecina w układzie współrzędnych oś

O y

w punkcie

(0, 2)

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyraz wolny jest drugą współrzędną punktu przecięcia z osią $O y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 m + 3 = 2$
2 $m = - \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = - \frac{1}{3}$

Zadanie 24

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Prosta o równaniu

y = - 4 x + (2 m - 7)

przechodzi przez punkt

A = (2, - 1)

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji: $y = f (x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 1 = - 8 + 2 m - 7$
2 $2 m = 14 \Rightarrow m = 7$

Prawidłowa odpowiedź: A. $m = 7$

Zadanie 25

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Liczba

x = - 7

jest miejscem zerowym funkcji liniowej

f (x) = (3 - a) x + 7

dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw miejsce zerowe do wzoru i przyrównaj wartość funkcji do zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 - a) (- 7) + 7 = 0$
2 $3 - a = 1 \Rightarrow a = 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $a = 2$

Zadanie 26

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Funkcja liniowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej

f (x) = (2 - m) x + 1

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw miejsce zerowe do wzoru i przyrównaj wartość funkcji do zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 - m) \cdot 1 + 1 = 0$
2 $m = 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 3$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (m - 3) x + (m + 4)

oraz

l : y = - 5 x + 1

. Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m - 3 = - 5 \Rightarrow m = - 2$
2Wtedy $k : y = - 5 x + 2$ – inny wyraz wolny niż w $l$ , więc proste są równoległe (nie pokrywają się).

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 2)$

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = - \frac{1}{3} x + 2

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przechodzi przez punkt

(2, - 2)

. Prosta

l

przecina oś

O y

w punkcie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prosta $l$ ma postać $y = - \frac{1}{3} x + b$ ; podstaw punkt $(2, - 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 = - \frac{1}{3} \cdot 2 + b$
2 $b = - 2 + \frac{2}{3} = - \frac{4}{3}$
3Punkt przecięcia z osią $O y$ : $(0, - \frac{4}{3})$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(0, - \frac{4}{3})$

Zadanie 3

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : (m - 1) x + 3 y + 5 = 0

oraz

l : 6 x + y + 7 = 0

. Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz obie proste w postaci kierunkowej $y = a x + b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $k : y = - \frac{m - 1}{3} x - \frac{5}{3}$ , $l : y = - 6 x - 7$
2 $- \frac{m - 1}{3} = - 6 \Rightarrow m - 1 = 18 \Rightarrow m = 19$

Prawidłowa odpowiedź: D. $19$

Zadanie 4

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (m - 2) x + 5

oraz

l : y = - 4 x + (m + 3)

. Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m - 2 = - 4 \Rightarrow m = - 2$
2Wtedy $l : y = - 4 x + 1$ , a $k : y = - 4 x + 5$ – proste są równoległe.

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 2)$

Zadanie 5

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = - 7 x + 3

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przecina oś

O y

w punkcie

(0, 6)

. Punkt o współrzędnych

(1, p)

należy do prostej

l

. Liczba

p

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prosta $l$ ma ten sam współczynnik kierunkowy co $k$ i wyraz wolny $6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $l : y = - 7 x + 6$
2 $p = - 7 \cdot 1 + 6 = - 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 1)$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (3 m - 2) x - 2

oraz

l : y = (2 m + 4) x + 2

. Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 m - 2 = 2 m + 4$
2 $m = 6$

Prawidłowa odpowiedź: D. $6$

Zadanie 7

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są proste

k

oraz

l

o równaniach

k : y = - \frac{1}{2} x - 7

oraz

l : y = (2 m - 1) x + 13

. Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 m - 1 = - \frac{1}{2}$
2 $2 m = \frac{1}{2} \Rightarrow m = \frac{1}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = \frac{1}{4}$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są prosta

k

o równaniu

y = \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}

oraz punkt

P = (12, - 1)

. Prosta przechodząca przez punkt

P

i równoległa do prostej

k

ma równanie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukana prosta ma postać $y = \frac{3}{4} x + b$ ; podstaw punkt $P$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 1 = \frac{3}{4} \cdot 12 + b = 9 + b$
2 $b = - 10$ , więc $y = \frac{3}{4} x - 10$

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = \frac{3}{4} x - 10$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresy funkcji liniowych

f (x) = (2 m + 3) x + 5

oraz

g (x) = - x

nie mają punktów wspólnych dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wykresy nie mają punktów wspólnych, gdy są równoległe i różne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 m + 3 = - 1 \Rightarrow m = - 2$
2Wyrazy wolne $5$ i $0$ są różne, więc proste się nie pokrywają.

Prawidłowa odpowiedź: A. $m = - 2$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = - \frac{1}{m - 2} x - 1

y = \frac{1}{3} x + 1

są równoległe. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- \frac{1}{m - 2} = \frac{1}{3}$
2 $m - 2 = - 3 \Rightarrow m = - 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = - 1$

Zadanie 11

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = (m - 2) x

oraz

y = \frac{3}{4} x + 7

są równoległe. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m - 2 = \frac{3}{4}$
2 $m = \frac{11}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m = \frac{11}{4}$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = (4 m + 1) x - 19

oraz

y = (5 m - 4) x + 20

są równoległe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 m + 1 = 5 m - 4$
2 $m = 5$

Prawidłowa odpowiedź: A. $m = 5$

Zadanie 13

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = (2 m + 2) x - 2019

oraz

y = (3 m - 3) x + 2019

są równoległe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 m + 2 = 3 m - 3$
2 $m = 5$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 5$

Zadanie 14

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = (3 m - 4) x + 2

oraz

y = (12 - m) x + 3 m

są równoległe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 m - 4 = 12 - m \Rightarrow 4 m = 16 \Rightarrow m = 4$
2Wyrazy wolne: $2$ oraz $3 \cdot 4 = 12$ – różne, więc proste są równoległe.

Prawidłowa odpowiedź: A. $m = 4$

Zadanie 15

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = (m + 2) x + 3

oraz

y = (2 m - 1) x - 3

są równoległe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m + 2 = 2 m - 1$
2 $m = 3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = 3$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Prosta

k

przecina oś

O y

układu współrzędnych w punkcie

(0, 6)

i jest równoległa do prostej o równaniu

y = - 3 x

. Wówczas prosta

k

przecina oś

O x

układu współrzędnych w punkcie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prosta $k$ ma równanie $y = - 3 x + 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $k : y = - 3 x + 6$
2 $- 3 x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2$
3Punkt: $(2, 0)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(2, 0)$

Zadanie 17

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Prosta

l

o równaniu

y = m^{2} x + 3

jest równoległa do prostej

k

o równaniu

y = (4 m - 4) x - 3

. Zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m^{2} = 4 m - 4$
2 $m^{2} - 4 m + 4 = 0 \Rightarrow (m - 2)^{2} = 0$
3 $m = 2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $m = 2$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach:

y = m x - 5

oraz

y = (1 - 2 m) x + 7

są równoległe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ . Przyrównaj współczynniki kierunkowe i wyznacz $m$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m = 1 - 2 m$
2 $3 m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m = \frac{1}{3}$

Zadanie 19

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Prostą równoległą do prostej o równaniu

y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}

jest prosta opisana równaniem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Szukamy prostej o współczynniku kierunkowym $\frac{2}{3}$ .
2Tylko $y = \frac{2}{3} x + \frac{4}{3}$ ma taki współczynnik.

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = \frac{2}{3} x + \frac{4}{3}$

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Dana jest prosta

l

o równaniu

y = - \frac{2}{5} x

. Prosta

k

równoległa do prostej

l

i przecinająca oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

ma równanie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- \frac{2}{5} = - 0, 4$ , a wyraz wolny to $3$ .
2 $k : y = - 0, 4 x + 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $y = - 0, 4 x + 3$

Zadanie 21

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Prosta

k

ma równanie

y = 2 x - 3

. Wskaż równanie prostej

l

równoległej do prostej

k

i przechodzącej przez punkt

D

o współrzędnych

(- 2, 1)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prosta $l$ ma postać $y = 2 x + b$ ; podstaw punkt $D$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1 = 2 \cdot (- 2) + b \Rightarrow b = 5$
2 $l : y = 2 x + 5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = 2 x + 5$

Zadanie 22

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu

y = - 3 x + 5

jest równy:

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy: $- 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 3$

Zadanie 23

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Prosta

l

ma równanie

y = 2 x - 11

. Wskaż równanie prostej równoległej do

l

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Szukamy prostej o współczynniku kierunkowym $2$ : $y = 2 x$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $y = 2 x$

Zadanie 24

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe

Matura · 1 pkt

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu

y = 2 x - 7

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Szukamy prostej o współczynniku kierunkowym $2$ : $y = 2 x - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $y = 2 x - 1$

Zadanie 1

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (m + 1) x + 7

oraz

l : y = - 2 x + 7

. Proste

k

oraz

l

są prostopadłe, gdy liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(m + 1) \cdot (- 2) = - 1$
2 $m + 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow m = - \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- \frac{1}{2}$

Zadanie 2

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste o równaniach:

y = 3 x + 6

y = - 3 x + 6

y = - \frac{1}{3} x - 2

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta

K L M

.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt

K L M

jest: A. równoramienny, B. prostokątny, ponieważ: 1. oś

O x

przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta. 2. dwie z tych prostych są prostopadłe. 3. oś

O y

zawiera dwusieczną tego trójkąta.

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Współczynniki kierunkowe: $3$ , $- 3$ , $- \frac{1}{3}$ .
2 $3 \cdot (- \frac{1}{3}) = - 1$ – pierwsza i trzecia prosta są prostopadłe.
3Trójkąt ma kąt prosty, więc jest prostokątny – odpowiedź B2.

Odpowiedź: B2

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - x + 1

. Funkcja

g

jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

g

przechodzi przez punkt

P = (0, - 1)

i jest prostopadły do wykresu funkcji

f

. Wzorem funkcji

g

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 1 \cdot a = - 1 \Rightarrow a = 1$
2Punkt $(0, - 1)$ daje $b = - 1$ , więc $g (x) = x - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $g (x) = x - 1$

Zadanie 4

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są proste

k : y = \frac{2}{3} x

oraz

l : y = - \frac{3}{2} x + 13

.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Proste

k

oraz

l

: A. są prostopadłe, B. nie są prostopadłe i przecinają się w punkcie

P

o współrzędnych: 1.

(- 6, - 4)

(6, 4)

(- 6, 4)

Wskazówka

Sprawdź iloczyn współczynników kierunkowych, a punkt przecięcia wyznacz, przyrównując wzory.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2}{3} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1$ – proste są prostopadłe (A).
2 $\frac{2}{3} x = - \frac{3}{2} x + 13 \Rightarrow \frac{13}{6} x = 13 \Rightarrow x = 6$ , $y = 4$ (2).
3Odpowiedź: A2

Odpowiedź: A2

Zadanie 5

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe i prostopadłe

Matura · 2 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dana jest prosta

k

o równaniu

y = - 3 x + 1

. Dokończ zdania.

19.1. Jedną z prostych równoległych do prostej

k

jest prosta o równaniu: A.

y = 3 x + 2

y = - 3 x + 2

y = \frac{1}{3} x + 1

y = - \frac{1}{3} x + 1

19.2. Jedną z prostych prostopadłych do prostej

k

jest prosta o równaniu: E.

y = \frac{1}{3} x + 2

y = - \frac{1}{3} x + 2

y = 3 x + 1

y = - 3 x + 1

Wskazówka

Równoległa – ten sam współczynnik kierunkowy; prostopadła – iloczyn współczynników równy $- 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Równoległa do $k$ ma współczynnik $- 3$ i inny wyraz wolny: $y = - 3 x + 2$ – B.
2Prostopadła ma współczynnik $\frac{1}{3}$ , bo $- 3 \cdot \frac{1}{3} = - 1$ : $y = \frac{1}{3} x + 2$ – E.

Odpowiedź: 19.1 – B, 19.2 – E

Zadanie 6

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dane są proste

k : y = \frac{1}{3} x - 1

oraz

l : y = - 3 x + 6

. Proste

k

oraz

l

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{3} \cdot (- 3) = - 1$ – proste są prostopadłe.
2Punkt $(0, - 1)$ nie leży na $l$ , bo $l (0) = 6$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. są prostopadłe.

Zadanie 7

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dane są prosta

k

o równaniu

y = \frac{1}{2} x + 5

oraz prosta

l

o równaniu

y - 1 = - 2 x

. Proste

k

l

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $l : y = - 2 x + 1$
2 $\frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$ – proste są prostopadłe.

Prawidłowa odpowiedź: C. są prostopadłe.

Zadanie 8

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = \frac{2}{3} x - 3

oraz

y = (2 m - 1) x + 1

są prostopadłe, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2}{3} (2 m - 1) = - 1 \Rightarrow 2 m - 1 = - \frac{3}{2}$
2 $2 m = - \frac{1}{2} \Rightarrow m = - \frac{1}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = - \frac{1}{4}$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = - \frac{5}{4} x - 2

oraz

y = \frac{4}{2 m - 1} x + 1

są prostopadłe. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{2 m - 1} = - 1 \Rightarrow \frac{5}{2 m - 1} = 1$
2 $2 m - 1 = 5 \Rightarrow m = 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 3$

Zadanie 10

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Dane są cztery proste

k, l, m, n

o równaniach:

k : y = - x + 1

l : y = \frac{2}{3} x + 1

m : y = - \frac{3}{2} x + 4

n : y = - \frac{2}{3} x - 1

. Wśród tych prostych prostopadłe są

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2}{3} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1$ – proste $l$ i $m$ są prostopadłe.

Prawidłowa odpowiedź: C. proste $l$ oraz $m$ .

Zadanie 11

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = 3 a x - 2

y = 2 x + 3 a

są prostopadłe. Wtedy

a

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 a \cdot 2 = - 1$
2 $a = - \frac{1}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{1}{6}$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 \cdot \frac{1}{2} = - 1$ – proste $y = - 2 x$ i $y = \frac{1}{2} x$ są prostopadłe.

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = - 2 x$ i $y = \frac{1}{2} x$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = (m - 2) x

oraz

y = \frac{3}{4} x + 7

są prostopadłe. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(m - 2) \cdot \frac{3}{4} = - 1 \Rightarrow m - 2 = - \frac{4}{3}$
2 $m = \frac{2}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = \frac{2}{3}$

Zadanie 14

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 18

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Prosta o równaniu

y = a x + b

jest prostopadła do prostej o równaniu

y = - 4 x + 1

i przechodzi przez punkt

P = (\frac{1}{2}, 0)

, gdy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 4 a = - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$
2 $0 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + b \Rightarrow b = - \frac{1}{8}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $a = \frac{1}{4}$ i $b = - \frac{1}{8}$

Zadanie 15

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach:

y = 2 m x - m^{2} - 1

oraz

y = 4 m^{2} x + m^{2} + 1

są prostopadłe dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 m \cdot 4 m^{2} = - 1 \Rightarrow m^{3} = - \frac{1}{8}$
2 $m = - \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $m = - \frac{1}{2}$

Zadanie 16

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Dane są równania czterech prostych:

k : y = \frac{1}{2} x + 5

l : y = 2 x + 5

m : y = - 2 x + 3

n : y = 2 x - 5

. Prostopadłe są proste

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$ – proste $k$ i $m$ są prostopadłe.

Prawidłowa odpowiedź: D. $k$ i $m$

Zadanie 17

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Równania

y = - \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}

oraz

y = - \frac{4}{3}

opisują dwie proste

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Druga prosta jest pozioma (równoległa do osi $O x$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta $y = - \frac{4}{3}$ jest pozioma, a pierwsza ma współczynnik $- \frac{3}{4} \neq = 0$ , więc się przecinają.
2Prostopadła do poziomej byłaby tylko prosta pionowa, więc kąt jest różny od $9 0^{\circ}$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. przecinające się pod kątem różnym od $9 0^{\circ}$ .

Zadanie 18

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Prosta o równaniu

y = \frac{2}{m} x + 1

jest prostopadła do prostej o równaniu

y = - \frac{3}{2} x - 1

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2}{m} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1 \Rightarrow \frac{3}{m} = 1$
2 $m = 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 3$

Zadanie 19

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Punkt

A = (0, 5)

leży na prostej

k

prostopadłej do prostej o równaniu

y = x + 1

. Prosta

k

ma równanie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Współczynnik kierunkowy $k$ : $- 1$ .
2Punkt $(0, 5)$ daje $b = 5$ : $y = - x + 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = - x + 5$

Zadanie 20

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Proste o równaniach

y = 2 x + 3

oraz

y = - \frac{1}{3} x + 2

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Współczynniki są różne, więc proste się przecinają.
2 $2 \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \neq = - 1$ – kąt nie jest prosty.

Prawidłowa odpowiedź: C. przecinają się pod kątem innym niż prosty

Zadanie 21

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Prosta

l

ma równanie

y = - \frac{1}{4} x + 7

. Wskaż równanie prostej prostopadłej do

l

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- \frac{1}{4} \cdot a = - 1 \Rightarrow a = 4$
2Taki współczynnik ma prosta $y = 4 x - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = 4 x - 1$

Zadanie 22

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Wykres funkcji liniowej określonej wzorem

f (x) = 3 x + 2

jest prostą prostopadłą do prostej o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 \cdot a = - 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{3}$
2Prosta: $y = - \frac{1}{3} x - 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $y = - \frac{1}{3} x - 1$

Zadanie 23

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Prosta

l

ma równanie

y = - 7 x + 2

. Równanie prostej prostopadłej do

l

i przechodzącej przez punkt

P = (0, 1)

ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 7 a = - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{7}$
2Punkt $(0, 1)$ daje $b = 1$ : $y = \frac{1}{7} x + 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = \frac{1}{7} x + 1$

Zadanie 24

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste prostopadłe

Matura · 1 pkt

Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu

y = 4 x + 5

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Proste $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 a = - 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{4}$
2Prosta: $y = - \frac{1}{4} x + 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = - \frac{1}{4} x + 3$

Zadanie 25

Oryginalne zadanie: zad. 45

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Proste równoległe i prostopadłe

Matura · 1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, rozważamy dwie proste o równaniach

y = a + b \cdot x

oraz

y = - \frac{1}{a} - \frac{2}{3} b^{2} \cdot x

, gdzie

a \neq = 0

b \neq = 0

.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Dla

a = 2

b = - \frac{3}{2}

rozważane proste są: A. prostopadłe, B. równoległe, ponieważ: 1.

a \cdot (- \frac{1}{a}) = - 1

(a + b) (- \frac{1}{a} - \frac{2}{3} b^{2}) = - 1

b = - \frac{2}{3} b^{2}

Wskazówka

Współczynnikami kierunkowymi są liczby stojące przy $x$ : $b$ oraz $- \frac{2}{3} b^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $b = - \frac{3}{2}$ : $- \frac{2}{3} b^{2} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = - \frac{3}{2} = b$ .
2Współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne ( $2$ i $- \frac{1}{2}$ ) różne – proste są równoległe.
3Odpowiedź: B3

Odpowiedź: B3

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Dana jest nierówność

\frac{7 + 2 x}{5} \geq \frac{4}{15}

. Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pozbądź się mianowników (pomnóż obie strony przez ich wspólną wielokrotność), przenieś wyrazy z $x$ na jedną stronę. Pamiętaj, że dzielenie przez liczbę ujemną zmienia zwrot nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 15: $3 (7 + 2 x) \geq 4$
2 $21 + 6 x \geq 4 \Rightarrow x \geq - \frac{17}{6} \approx - 2, 83$
3Najmniejsza liczba całkowita: $- 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- 2)$

Zadanie 2

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

3 - x \geq \frac{5 x - 1}{2}

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 2: $6 - 2 x \geq 5 x - 1$
2 $7 \geq 7 x \Rightarrow x \leq 1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \infty, 1 ⟩$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Dana jest nierówność

8 - \frac{1 - 2 x}{2} \geq 3 x

. Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 2: $16 - 1 + 2 x \geq 6 x$
2 $15 \geq 4 x \Rightarrow x \leq 3, 75$
3Największa liczba całkowita: $3$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Zadanie 4

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Dana jest nierówność

3 - 2 (1 - 2 x) \geq 2 x - 17

. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających tę nierówność?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - 2 + 4 x \geq 2 x - 17$
2 $2 x \geq - 18 \Rightarrow x \geq - 9$
3Zbiór $⟨ - 9, + \infty)$ – rysunek D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Zadanie 5

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{3 ( 6 - x )}{17} \leq 3

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 17: $18 - 3 x \leq 51$
2 $- 3 x \leq 33 \Rightarrow x \geq - 11$

Prawidłowa odpowiedź: D. $⟨ - 11, + \infty)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności

\frac{3 x - 5}{12} < \frac{1}{3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 12: $3 x - 5 < 4$
2 $x < 3$
3Liczby całkowite dodatnie: $1, 2$ – są dwie.

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 7

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

1 - \frac{3}{2} x < \frac{2}{3} - x

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 6: $6 - 9 x < 4 - 6 x$
2 $2 < 3 x \Rightarrow x > \frac{2}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(\frac{2}{3}, + \infty)$

Zadanie 8

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

- 2 (x + 3) \leq \frac{2 - x}{3}

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 3: $- 6 x - 18 \leq 2 - x$
2 $- 5 x \leq 20 \Rightarrow x \geq - 4$

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨ - 4, \infty)$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Dana jest nierówność

2 - \frac{x}{2} \geq \frac{x}{3} - 3

. Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 6: $12 - 3 x \geq 2 x - 18$
2 $30 \geq 5 x \Rightarrow x \leq 6$
3Największa liczba całkowita: $6$

Prawidłowa odpowiedź: A. $6$

Zadanie 10

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{8 x - 3}{4} > 6 x

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 4: $8 x - 3 > 24 x$
2 $- 3 > 16 x \Rightarrow x < - \frac{3}{16}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- \infty, - \frac{3}{16})$

Zadanie 11

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{2}{5} - \frac{x}{3} > \frac{x}{5}

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 15: $6 - 5 x > 3 x$
2 $6 > 8 x \Rightarrow x < \frac{3}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- \infty, \frac{3}{4})$

Zadanie 12

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych

x

, spełniających jednocześnie nierówności

0 < 7 - 3 x

oraz

7 - 3 x \leq 5 x - 3

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż obie nierówności osobno i wyznacz część wspólną.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0 < 7 - 3 x \Rightarrow x < \frac{7}{3}$
2 $7 - 3 x \leq 5 x - 3 \Rightarrow 10 \leq 8 x \Rightarrow x \geq \frac{5}{4}$
3Część wspólna: $⟨ \frac{5}{4}, \frac{7}{3})$ – rysunek B.

Prawidłowa odpowiedź: B. Rysunek B

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem równania

x 3 + 2 = 2 x - 8

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbierz wyrazy z $x$ po jednej stronie i usuń niewymierność z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x 3 - 2 x = - 10 \Rightarrow x (3 - 2) = - 10$
2 $x = \frac{- 10}{3 - 2} = \frac{10}{2 - 3}$
3 $x = \frac{10 ( 2 + 3 )}{4 - 3} = 10 (2 + 3)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $10 (2 + 3)$

Zadanie 14

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{2 - x}{2} - 2 x \geq 1

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 2: $2 - x - 4 x \geq 2$
2 $- 5 x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- \infty, 0 ⟩$

Zadanie 15

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem rozwiązań nierówności

\frac{12 - 5 x}{2} < 3 (1 - \frac{1}{2} x) + 7 x

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 2: $12 - 5 x < 6 - 3 x + 14 x$
2 $6 < 16 x \Rightarrow x > \frac{3}{8}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(\frac{3}{8}, + \infty)$

Zadanie 16

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

\frac{5 ( 4 - x )}{2} < x

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 2: $20 - 5 x < 2 x$
2 $20 < 7 x \Rightarrow x > \frac{20}{7} \approx 2, 86$
3Najmniejsza liczba całkowita: $3$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

\frac{1}{6} - x \geq \frac{2}{3} x + 4

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 6: $1 - 6 x \geq 4 x + 24$
2 $- 23 \geq 10 x \Rightarrow x \leq - 2, 3$
3Największa liczba całkowita: $- 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 3$

Zadanie 18

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równanie w postaci iloczynowej

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

x (x - 3) (x + 2) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $x = 0$ , $x = 3$ , $x = - 2$
2Suma: $0 + 3 - 2 = 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 19

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Równość

\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{a} = 1

jest prawdziwa dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz najpierw $\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20}$
2 $\frac{1}{a} = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$
3 $a = \frac{20}{11}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $a = \frac{20}{11}$

Zadanie 20

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{1 - 2 x}{2} > \frac{1}{3}

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 6: $3 (1 - 2 x) > 2$
2 $3 - 6 x > 2 \Rightarrow x < \frac{1}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \infty, \frac{1}{6})$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb

x

spełniających warunek:

11 \leq 2 x - 7 \leq 15

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj 7 do każdej części nierówności podwójnej, a potem podziel przez 2.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $18 \leq 2 x \leq 22$
2 $9 \leq x \leq 11$
3Przedział $⟨ 9, 11 ⟩$ – rysunek D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Zadanie 22

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

\frac{x}{5} + 7 > 0

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oszacuj $57 = 175$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x > - 57 = - 175$
2 $1 3^{2} = 169 < 175 < 196 = 1 4^{2}$ , więc $- 14 < - 175 < - 13$
3Najmniejsza liczba całkowita: $- 13$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 13$

Zadanie 23

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

2 (x - 2) \leq 4 (x - 1) + 1

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 x - 4 \leq 4 x - 3$
2 $- 1 \leq 2 x \Rightarrow x \geq - \frac{1}{2}$
3Najmniejsza liczba całkowita: $0$

Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Zadanie 24

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

- 4 \leq x - 1 \leq 4

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj 1 do każdej części nierówności. Zwróć uwagę na zamalowane kółka.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 3 \leq x \leq 5$
2Przedział domknięty $⟨ - 3, 5 ⟩$ – rysunek C.

Prawidłowa odpowiedź: C. Rysunek C

Zadanie 25

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Ile liczb całkowitych

x

spełnia nierówność

\frac{2}{7} < \frac{x}{14} < \frac{4}{3}

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż wszystkie części przez 14.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 < x < \frac{56}{3} \approx 18, 67$
2Liczby całkowite: $5, 6, \dots, 18$ – jest ich $14$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $14$

Zadanie 26

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem rozwiązań nierówności

\frac{2 - x}{3} - \frac{2 x - 1}{2} < x

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 6: $2 (2 - x) - 3 (2 x - 1) < 6 x$
2 $7 - 8 x < 6 x \Rightarrow 7 < 14 x$
3 $x > \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(\frac{1}{2}, + \infty)$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności

2 (3 - x) > x

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 - 2 x > x \Rightarrow 6 > 3 x$
2 $x < 2$ – przedział $(- \infty, 2)$ , rysunek D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Zadanie 28

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

\frac{x}{2} \leq \frac{2 x}{3} + \frac{1}{4}

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 12: $6 x \leq 8 x + 3$
2 $- 3 \leq 2 x \Rightarrow x \geq - 1, 5$
3Najmniejsza liczba całkowita: $- 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 1$

Zadanie 29

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem równania

3 (2 - 3 x) = x - 4

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń nawias i zbierz wyrazy z $x$ po jednej stronie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 - 9 x = x - 4$
2 $10 = 10 x \Rightarrow x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 1$

Zadanie 30

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja liniowa

Temat: Wzór funkcji liniowej

Matura · 1 pkt

Do wykresu funkcji liniowej

f

należą punkty

A = (1, 2)

B = (- 2, 5)

. Funkcja

f

ma wzór

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz współczynnik kierunkowy $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{5 - 2}{- 2 - 1} = - 1$
2 $2 = - 1 + b \Rightarrow b = 3$
3 $f (x) = - x + 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $f (x) = - x + 3$

Zadanie 31

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Rozwiązanie równania

x (x + 3) - 49 = x (x - 4)

należy do przedziału

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po rozwinięciu nawiasów wyrazy $x^{2}$ się redukują.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 3 x - 49 = x^{2} - 4 x$
2 $7 x = 49 \Rightarrow x = 7$
3 $7 \in (2, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(2, + \infty)$

Zadanie 32

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności

\frac{3}{8} + \frac{x}{6} < \frac{5 x}{12}

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 24: $9 + 4 x < 10 x$
2 $9 < 6 x \Rightarrow x > 1, 5$
3Najmniejsza liczba całkowita: $2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 33

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności

\frac{x}{4} + \frac{1}{6} < \frac{x}{3}

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy przez 12: $3 x + 2 < 4 x$
2 $x > 2$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(2, + \infty)$

Zadanie 34

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Która z liczb jest rozwiązaniem równania

2 (x - 1) + x = x - 3 (2 - 3 x)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń nawiasy po obu stronach.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x - 2 = x - 6 + 9 x = 10 x - 6$
2 $4 = 7 x \Rightarrow x = \frac{4}{7}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{4}{7}$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 (x - 2)^{2} + 4

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P – prawda, F – fałsz).

1. Funkcja

f

ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe.
2. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

x = 2

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W = (2, 4)$ i $a = 2 > 0$ , więc $f (x) ⩾ 4 > 0$ — brak miejsc zerowych: FAŁSZ.
2Oś symetrii: $x = p = 2$ — PRAWDA.
3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 2

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 (x - 2)^{2} + 4

. Wzorem funkcji

f

zapisanym w postaci ogólnej jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń kwadrat $(x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = 2 (x^{2} - 4 x + 4) + 4$
2 $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 8 + 4 = 2 x^{2} - 8 x + 12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 12$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (- 3, 7)

. Liczba

t

spełnia warunki:

f (t) = f (- 9)

oraz

t \neq = - 9

. Liczba

t

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Argumenty o równych wartościach leżą symetrycznie względem prostej $x = - 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{t + ( - 9 )}{2} = - 3$
2 $t = - 6 + 9 = 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (- 3, 7)

. Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g (x) = f (x - 5)

. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji

g

ma współrzędne

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$g (x) = f (x - 5)$ to przesunięcie wykresu o $5$ jednostek w prawo.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wierzchołek przesuwa się z $(- 3, 7)$ do $(- 3 + 5, 7)$ .
2 $W_{g} = (2, 7)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(2, 7)$

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{2} - k x + 6

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba

2

jest miejscem zerowym funkcji

f

. Liczba

k

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $x = 2$ i przyrównaj do zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (2) = 8 - 2 k + 6 = 0$
2 $2 k = 14 \Rightarrow k = 7$

Prawidłowa odpowiedź: C. $7$

Zadanie 6

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 32.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 5 (x - π)^{2} + 2

. Funkcja

f

przyjmuje wartość największą w przedziale

⟨ 0, 6 ⟩

dla argumentu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Parabola ma ramiona skierowane w dół; sprawdź, czy wierzchołek należy do przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = - 5 < 0$ , wierzchołek ma $p = π \approx 3, 14 \in ⟨ 0, 6 ⟩$ .
2Największa wartość jest w wierzchołku, czyli dla $x = π$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $π$

Zadanie 7

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 32.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 5 (x - π)^{2} + 2

. Funkcja

f

przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale

⟨ 0, 6 ⟩

dla argumentu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najmniejsza wartość jest na końcu przedziału najbardziej oddalonym od wierzchołka.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣0 - π ∣ = π \approx 3, 14$ , $∣6 - π ∣ \approx 2, 86$ .
2Dalej od wierzchołka leży $0$ , więc tam wartość jest najmniejsza.

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

. Funkcja

f

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{6 + x _{2}}{2} = 1 \Rightarrow x_{2} = - 4$
2 $f (x) = \frac{1}{2} (x + 4) (x - 6)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $f (x) = \frac{1}{2} (x + 4) (x - 6)$

Zadanie 9

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P – prawda, F – fałsz).

1. Współczynnik

b

we wzorze funkcji

f

jest liczbą dodatnią.
2. Współczynnik

c

we wzorze funkcji

f

jest liczbą dodatnią.

Wskazówka

Wymnóż postać iloczynową $\frac{1}{2} (x + 4) (x - 6)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x - 24) = \frac{1}{2} x^{2} - x - 12$
2 $b = - 1 < 0$ — FAŁSZ; $c = - 12 < 0$ — FAŁSZ.
3Odpowiedź: F, F

Odpowiedź: F, F

Zadanie 10

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 14.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

. Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x - 3)

. Osią symetrii wykresu funkcji

g

jest prosta o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przesunięcie o $3$ w prawo przesuwa oś symetrii.

Rozwiązanie krok po kroku

1Oś $x = 1$ przesuwa się do $x = 1 + 3$ .
2 $x = 4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $x = 4$

Zadanie 11

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 12.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

. Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek i jest pionowa.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W = (3, 6)$ , więc oś symetrii: $x = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 3$

Zadanie 12

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Monotoniczność

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0, - 9)

. Funkcja

f

jest malejąca w przedziale

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ustal kierunek ramion: $f (0) = - 9 < 0 = q$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = a (x - 3)^{2}$ , $f (0) = 9 a = - 9 \Rightarrow a = - 1 < 0$ .
2Ramiona w dół — funkcja maleje w $⟨ 3, + \infty)$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $⟨ 3, + \infty)$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0, - 9)

. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.

Wzór funkcji

f

zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: ..... oraz ..... .

A.

f (x) = - x^{2} - 9

f (x) = - (x - 3)^{2}

f (x) = - (x + 3)^{2}

f (x) = - x^{2} + 6 x - 9

f (x) = - x^{2} - 6 x + 9

f (x) = - x^{2} - 6 x - 9

Wskazówka

Wyznacz $a$ z punktu $(0, - 9)$ i zapisz postać kanoniczną, potem ogólną.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = a (x - 3)^{2}$ , $9 a = - 9 \Rightarrow a = - 1$ .
2 $f (x) = - (x - 3)^{2} = - x^{2} + 6 x - 9$ .
3Odpowiedź: B oraz D

Odpowiedź: B, D

Zadanie 14

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0, - 9)

. Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (x) - 1

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P – prawda, F – fałsz).

1. Funkcja

g

ma jedno miejsce zerowe.
2. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

osią symetrii wykresu funkcji

g

jest prosta o równaniu

x = 3

Wskazówka

$g$ to wykres $f$ przesunięty o $1$ w dół.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $g (x) = - (x - 3)^{2} - 1 ⩽ - 1 < 0$ — brak miejsc zerowych: FAŁSZ.
2Przesunięcie pionowe nie zmienia osi: $x = 3$ — PRAWDA.
3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 15

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

mają obie współrzędne całkowite. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj z rysunku wierzchołek paraboli.

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe: $- 1$ i $3$ , wierzchołek $W = (1, - 2)$ , ramiona w górę.
2 $Z W = ⟨ - 2, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $⟨ - 2, + \infty)$

Zadanie 16

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

mają obie współrzędne całkowite. Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$
2Oś symetrii: $x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 1$

Zadanie 17

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

mają obie współrzędne całkowite. Funkcja

f

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W = (1, - 2)$ , więc $f (x) = a (x - 1)^{2} - 2$ .
2 $f (3) = 4 a - 2 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
3 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 15.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x + 1)^{2} + 4

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu funkcji

y = f (x)

. Fragment wykresu funkcji

y = f (x)

przedstawiono na rysunku

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W = (- 1, 4)$ , $a = - 1 < 0$ — ramiona w dół.
2Taki wykres (miejsca zerowe $- 3$ i $1$ ) jest na rysunku B.

Prawidłowa odpowiedź: B. Rysunek B

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 15.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x + 1)^{2} + 4

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P – prawda, F – fałsz).

1. Wykres funkcji

f

przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 4)

.
2. Miejsca zerowe funkcji

f

są równe:

(- 3)

oraz

1

Wskazówka

Oblicz $f (0)$ i rozwiąż $f (x) = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (0) = - 1 + 4 = 3$ , punkt $(0, 3)$ — FAŁSZ.
2 $(x + 1)^{2} = 4 \Rightarrow x = 1$ lub $x = - 3$ — PRAWDA.
3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 20

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 14.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj wierzchołek z rysunku.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z rysunku: $W = (1, 9)$ , ramiona w dół.
2 $f (x) = - (x - 1)^{2} + 9$ (sprawdzenie: $f (0) = 8$ ).

Prawidłowa odpowiedź: B. $f (x) = - (x - 1)^{2} + 9$

Zadanie 21

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 14.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. Dla funkcji

f

prawdziwa jest równość

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukaj argumentu symetrycznego do $- 4$ względem $x = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{- 4 + t}{2} = 1 \Rightarrow t = 6$
2 $f (- 4) = f (6)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $f (- 4) = f (6)$

Zadanie 22

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z rysunku: miejsca zerowe $2$ i $6$ , wierzchołek $W = (4, - 2)$ , ramiona w górę.
2 $Z W = ⟨ - 2, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨ - 2, + \infty)$

Zadanie 23

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.

Wzór funkcji

f

można przedstawić w postaci: ..... oraz ..... .

A.

f (x) = \frac{1}{2} (x - 2) (x - 6)

f (x) = \frac{1}{2} (x - 4)^{2} - 2

f (x) = 2 (x - 2) (x - 6)

f (x) = \frac{1}{2} (x + 4)^{2} - 2

f (x) = 2 (x + 2) (x + 6)

f (x) = 2 (x + 4)^{2} - 2

Wskazówka

Wyznacz $a$ z punktu przecięcia z osią $O y$ : $(0, 6)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = a (x - 2) (x - 6)$ , $f (0) = 12 a = 6 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ .
2Postać kanoniczna: $\frac{1}{2} (x - 4)^{2} - 2$ .
3Odpowiedź: A oraz B

Odpowiedź: A, B

Zadanie 24

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11.4

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (x + 1)

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu funkcji

y = g (x)

. Fragment wykresu funkcji

y = g (x)

przedstawiono na rysunku

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$f (x + 1)$ — przesunięcie wykresu o $1$ jednostkę w lewo.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wierzchołek $(4, - 2)$ przechodzi w $(3, - 2)$ , miejsca zerowe: $1$ i $5$ .
2Taki wykres przedstawia rysunek B.

Prawidłowa odpowiedź: B. Rysunek B

Zadanie 25

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 2 pkt

Funkcje

A

B

C

D

E

oraz

F

są określone dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.

Przedział

(- \infty, 2 ⟩

jest zbiorem wartości funkcji ..... oraz ..... .

A.

A (x) = - (x - 3)^{2} + 2

B (x) = x^{2} + 2

C (x) = - 5 (x - 2)^{2}

D (x) = (x - 2)^{2}

E (x) = 2 x^{2} - 8 x + 10

F (x) = - 2 x^{2} + 4 x

Wskazówka

Szukasz funkcji z ramionami w dół i $q = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $A$ : $a = - 1$ , $q = 2$ — pasuje.
2 $C$ : $q = 0$ ; $B, D, E$ mają $a > 0$ .
3 $F (x) = - 2 (x^{2} - 2 x) = - 2 (x - 1)^{2} + 2$ — pasuje.
4Odpowiedź: A oraz F

Odpowiedź: A, F

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + 1

, gdzie

a

oraz

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że

a < 0

b > 0

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji. Fragment wykresu funkcji

f

przedstawiono na rysunku

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$a < 0$ — ramiona w dół; znak $p = - \frac{b}{2 a}$ mówi, po której stronie osi $O y$ jest wierzchołek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a < 0$ : ramiona w dół; $c = 1$ : wykres przecina $O y$ w $(0, 1)$ .
2 $p = - \frac{b}{2 a} > 0$ (licznik dodatni, mianownik ujemny) — wierzchołek po prawej stronie osi $O y$ .
3Rysunek D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Zadanie 27

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej

f

jest liczba

(- 5)

. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji

f

, jest równa

3

. Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{- 5 + x _{2}}{2} = 3$
2 $x_{2} = 11$

Prawidłowa odpowiedź: A. $11$

Zadanie 28

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f (x) = a x^{2} + b x + c

, gdzie

a

b

c

są liczbami rzeczywistymi takimi, że

a \neq = 0

oraz

c < 0

. Funkcja

f

nie ma miejsc zerowych. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Wykres funkcji

f

leży w całości

A. nad osią

O x

,
B. pod osią

O x

,

ponieważ

1.

a < 0

b^{2} - 4 a c < 0

.
2.

a > 0

b^{2} - 4 a c < 0

.
3.

a < 0

b^{2} - 4 a c = 0

Wskazówka

$f (0) = c < 0$ , a wykres nie przecina osi $O x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Brak miejsc zerowych: $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ .
2 $f (0) = c < 0$ , więc cały wykres leży pod osią $O x$ , a to oznacza $a < 0$ .
3Odpowiedź: B1

Odpowiedź: B1

Zadanie 29

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x - 1)^{2} + 2

. Wykresem funkcji

f

jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = 1$ , $q = 2$
2 $W = (1, 2)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(1, 2)$

Zadanie 30

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x - 1)^{2} + 2

. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = - 1 < 0$ , $q = 2$
2 $Z W = (- \infty, 2 ⟩$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \infty, 2 ⟩$

Zadanie 31

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = x^{2} + b x + c

osiąga dla

x = 2

wartość najmniejszą równą

4

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz postać kanoniczną z wierzchołkiem $(2, 4)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = (x - 2)^{2} + 4 = x^{2} - 4 x + 8$
2 $b = - 4$ , $c = 8$

Prawidłowa odpowiedź: A. $b = - 4, c = 8$

Zadanie 32

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Monotoniczność

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = - 2 (x - 2) (x + 1)

. Funkcja

f

jest rosnąca w zbiorze

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ . Dla $a < 0$ funkcja rośnie w $(- \infty, p ⟩$ i maleje w $⟨ p, + \infty)$ ; dla $a > 0$ odwrotnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{2 + ( - 1 )}{2} = \frac{1}{2}$ , $a = - 2 < 0$ .
2Funkcja rośnie w $(- \infty, \frac{1}{2} ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \infty, \frac{1}{2} ⟩$

Zadanie 33

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = 2 x^{2} + 5 x

. Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = f (p)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = - \frac{5}{2 \cdot 2} = - \frac{5}{4}$
2Oś symetrii: $x = - \frac{5}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = - \frac{5}{4}$

Zadanie 34

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Monotoniczność

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = - 2 (x - 1)^{2} + 3

jest rosnąca w przedziale

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dla $a < 0$ funkcja rośnie w $(- \infty, p ⟩$ i maleje w $⟨ p, + \infty)$ ; dla $a > 0$ odwrotnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = 1$ , $a = - 2 < 0$
2Funkcja rośnie w $(- \infty, 1 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \infty, 1 ⟩$

Zadanie 35

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = 3 x^{2} + b x + c

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (- 3, 2)

. Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = 3$ , $p = - 3$ , $q = 2$
2 $f (x) = 3 (x + 3)^{2} + 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $f (x) = 3 (x + 3)^{2} + 2$

Zadanie 36

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - 3 (x + 4) (x - 2)

jest parabola o wierzchołku

W = (p, q)

. Współrzędne wierzchołka

W

spełniają warunki

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1 < 0$
2 $q = f (- 1) = - 3 \cdot 3 \cdot (- 3) = 27 > 0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $p < 0$ i $q > 0$

Zadanie 37

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

2

. Do wykresu funkcji

f

należy punkt

(0, 3)

. Prosta o równaniu

x = - 2

jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji

f

. Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{2 + x _{2}}{2} = - 2$
2 $x_{2} = - 6$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 6$

Zadanie 38

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

2

. Do wykresu funkcji

f

należy punkt

(0, 3)

. Prosta o równaniu

x = - 2

jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji

f

. Wartość funkcji

f

dla argumentu

(- 4)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Punkty $- 4$ i $0$ leżą symetrycznie względem prostej $x = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (- 4) = f (0)$
2 $f (0) = 3$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3$

Zadanie 39

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Monotoniczność

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = - 2 (x + 1) (x - 3)

jest malejąca w przedziale

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ , $a = - 2 < 0$ .
2Funkcja maleje w $⟨ 1, + \infty)$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨ 1, + \infty)$

Zadanie 40

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - (x + 9)^{2} + m

jest przedział

(- \infty, - 5 ⟩

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = m$ i $Z W = (- \infty, m ⟩$ .
2 $m = - 5$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m = - 5$

Zadanie 41

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 4 x + 7

jest prosta o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = f (p)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = - \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{3}} = - \frac{4}{\frac{2}{3}} = - 6$
2Oś symetrii: $x = - 6$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = - 6$

Zadanie 42

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Kierunek ramion daje znak $a$ , punkt przecięcia z osią $O y$ daje znak $c = f (0)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ramiona w górę: $a > 0$ .
2Wykres przecina oś $O y$ powyżej zera: $c > 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. ${a > 0 c > 0$

Zadanie 43

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - x^{2} + 6 x + 4

jest parabola o wierzchołku w punkcie

(3, q)

. Liczba

q

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$q = f (3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $q = - 9 + 18 + 4 = 13$

Prawidłowa odpowiedź: D. $13$

Zadanie 44

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Znak $b$ wynika z położenia wierzchołka: $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ramiona w dół: $a < 0$ .
2Wierzchołek ma $p > 0$ , więc $- \frac{b}{2 a} > 0$ ; przy $a < 0$ daje to $b > 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. ${a < 0 b > 0$

Zadanie 45

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a (x - 1) (x - 3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, 1)

. Współczynnik

a

we wzorze funkcji

f

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw współrzędne wierzchołka do wzoru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (2) = a \cdot 1 \cdot (- 1) = - a = 1$
2 $a = - 1$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 1$

Zadanie 46

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a (x - 1) (x - 3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, 1)

. Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ 1, 4 ⟩

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wierzchołek $p = 2$ należy do przedziału, a ramiona są skierowane w dół.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 \in ⟨ 1, 4 ⟩$ , $a < 0$ .
2Największa wartość: $q = 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 47

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a (x - 1) (x - 3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, 1)

. Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W = (2, 1)$ , więc oś: $x = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 2$

Zadanie 48

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = 9 - (3 - x)^{2}

są liczby

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż $(3 - x)^{2} = 9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - x = 3$ lub $3 - x = - 3$
2 $x = 0$ lub $x = 6$

Prawidłowa odpowiedź: D. $0$ oraz $6$

Zadanie 49

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

g

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (1, 1)

. Zbiorem wartości funkcji

g

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ramiona w dół, $q = 1$ .
2 $Z W = (- \infty, 1 ⟩$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(- \infty, 1 ⟩$

Zadanie 50

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, - 4)

. Liczby

0

4

to miejsca zerowe funkcji

f

. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ramiona w górę, $q = - 4$ .
2 $Z W = ⟨ - 4, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $⟨ - 4, + \infty)$

Zadanie 51

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, - 4)

. Liczby

0

4

to miejsca zerowe funkcji

f

. Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ 1, 4 ⟩

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ramiona w górę — największa wartość jest na końcu przedziału dalszym od wierzchołka.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (1) = - 3$ , $f (4) = 0$ (miejsce zerowe).
2Największa wartość: $0$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $0$

Zadanie 52

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, - 4)

. Liczby

0

4

to miejsca zerowe funkcji

f

. Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W = (2, - 4)$ , więc oś: $x = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $x = 2$

Zadanie 53

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = x^{2} - 2 x - 11

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = f (p)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{2}{2} = 1$
2 $q = 1 - 2 - 11 = - 12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(1, - 12)$

Zadanie 54

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem

f (x) = - 3 (x - 2) (x - 9)

. Liczby

x_{1}

x_{2}

są różnymi miejscami zerowymi funkcji

f

. Zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj miejsca zerowe z postaci iloczynowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 9$
2 $x_{1} + x_{2} = 11$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x_{1} + x_{2} = 11$

Zadanie 55

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Największą wartością funkcji

y = - (x - 2)^{2} + 4

w przedziale

⟨ 3, 5 ⟩

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wierzchołek $p = 2$ nie należy do przedziału; funkcja maleje w $⟨ 3, 5 ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Funkcja maleje w $⟨ 2, + \infty)$ , więc największa wartość jest dla $x = 3$ .
2 $y (3) = - 1 + 4 = 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 56

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Największą wartością funkcji

y = - (x - 2)^{2} + 4

w przedziale

⟨ 3, 5 ⟩

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wierzchołek $p = 2$ nie należy do przedziału; funkcja maleje w $⟨ 3, 5 ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Największa wartość dla $x = 3$ :
2 $y (3) = - 1 + 4 = 3$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3$

Zadanie 57

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem

f (x) = - (x - 1) (3 - x)

. Wskaż ten rysunek.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przekształć: $- (x - 1) (3 - x) = (x - 1) (x - 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = (x - 1) (x - 3)$ : ramiona w górę, miejsca zerowe $1$ i $3$ .
2Wierzchołek $(2, - 1)$ , $f (0) = 3$ — rysunek D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Zadanie 58

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem

f (x) = - 2 (x + 3) (x - 5)

. Liczby

x_{1}

x_{2}

są różnymi miejscami zerowymi funkcji

f

. Zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj miejsca zerowe z postaci iloczynowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 5$
2 $x_{1} + x_{2} = 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x_{1} + x_{2} = 2$

Zadanie 59

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wykres funkcji kwadratowej

f (x) = x^{2} - 6 x - 3

jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = f (p)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{6}{2} = 3$
2 $q = 9 - 18 - 3 = - 12$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(3, - 12)$

Zadanie 60

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Współczynniki

b

c

spełniają warunki:

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$c = f (0)$ , a znak $b$ wynika z $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ramiona w górę: $a > 0$ ; wykres przecina $O y$ nad zerem: $c > 0$ .
2 $p > 0$ i $a > 0$ , więc $b < 0$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $b < 0, c > 0$

Zadanie 61

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = x^{2} + b x + c

oraz

f (- 1) = f (3) = 1

. Współczynnik

b

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Równe wartości — argumenty symetryczne względem osi paraboli.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$
2 $- \frac{b}{2} = 1 \Rightarrow b = - 2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 2$

Zadanie 62

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (x - 3) (7 - x)

. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji

f

należy do prostej o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{3 + 7}{2} = 5$
2 $q = f (5) = 2 \cdot 2 = 4$ , więc $W$ leży na prostej $y = 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $y = 4$

Zadanie 63

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Punkt

A = (2017, 0)

należy do wykresu funkcji

f

określonej wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukasz funkcji, której miejscem zerowym jest $2017$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2017 + 2017) (2017 - 2017) = 0$
2Odpowiedź C.

Prawidłowa odpowiedź: C. $f (x) = (x + 2017) (x - 2017)$

Zadanie 64

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Monotoniczność

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem

f (x) = (x - 1) (x - 9)

. Wynika stąd, że funkcja

f

jest rosnąca w przedziale

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = 5$ , $a = 1 > 0$
2Funkcja rośnie w $⟨ 5, + \infty)$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨ 5, + \infty)$

Zadanie 65

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Jeśli funkcja kwadratowa

f (x) = x^{2} + 2 x + 3 a

nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba

a

spełnia warunek

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Brak miejsc zerowych $\Leftrightarrow Δ < 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 4 - 12 a < 0$
2 $a > \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $a > \frac{1}{3}$

Zadanie 66

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Monotoniczność

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f (x) = - 2 (x + 5) (x - 11)

. Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja

f

jest rosnąca.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{- 5 + 11}{2} = 3$ , $a = - 2 < 0$ .
2Funkcja rośnie w $(- \infty, 3 ⟩$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \infty, 3 ⟩$

Zadanie 67

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (1, 9)

. Liczby

- 2

4

to miejsca zerowe funkcji

f

. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ramiona w dół, $q = 9$ .
2 $Z W = (- \infty, 9 ⟩$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(- \infty, 9 ⟩$

Zadanie 68

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (1, 9)

. Liczby

- 2

4

to miejsca zerowe funkcji

f

. Najmniejsza wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ - 1, 2 ⟩

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ramiona w dół — najmniejsza wartość jest na końcu przedziału dalszym od $p = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (x) = - (x + 2) (x - 4)$
2 $f (- 1) = - 1 \cdot (- 5) = 5$ , $f (2) = - 4 \cdot (- 2) = 8$
3Najmniejsza wartość: $5$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $5$

Zadanie 69

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Parabola o wierzchołku

W = (- 3, 5)

i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a < 0$ , $p = - 3$ , $q = 5$
2 $y = - 2 (x + 3)^{2} + 5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = - 2 \cdot (x + 3)^{2} + 5$

Zadanie 70

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem

f (x) = x^{2} + x + c

. Jeżeli

f (3) = 4

, to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz $c$ z warunku $f (3) = 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $9 + 3 + c = 4 \Rightarrow c = - 8$
2 $f (1) = 1 + 1 - 8 = - 6$

Prawidłowa odpowiedź: A. $f (1) = - 6$

Zadanie 71

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie

A = (2, 4)

, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

. Funkcja

f

może być opisana wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ramiona w dół: $a < 0$ ; $p = 2$ , $q = 4$ .
2 $f (x) = - (x - 2)^{2} + 4$

Prawidłowa odpowiedź: C. $f (x) = - (x - 2)^{2} + 4$

Zadanie 72

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział

(- \infty, - 3 ⟩

, może być określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Potrzeba $a < 0$ oraz $q = - 3$ .
2Spełnia to $y = - (x - 2)^{2} - 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = - (x - 2)^{2} - 3$

Zadanie 73

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem

f (x) = (x - 2) (x + 4)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj miejsca zerowe i kierunek ramion.

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe: $2$ i $- 4$ , ramiona w górę.
2 $W = (- 1, f (- 1)) = (- 1, - 9)$ — rysunek D.

Prawidłowa odpowiedź: D. Rysunek D

Zadanie 74

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu

y = (x + 2) (x - 4)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 75

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej

f (x) = 3 x^{2} + 7 x + c

jest liczba

- \frac{7}{3}

. Wówczas

c

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $x = - \frac{7}{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 \cdot \frac{49}{9} - \frac{49}{3} + c = 0$
2 $\frac{49}{3} - \frac{49}{3} + c = 0 \Rightarrow c = 0$

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Zadanie 76

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

. Funkcja

f

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj miejsca zerowe i kierunek ramion.

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe: $- 1$ i $3$ , ramiona w dół: $a < 0$ .
2 $f (x) = - \frac{1}{2} (x - 3) (x + 1)$ ; sprawdzenie: $f (1) = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $f (x) = - \frac{1}{2} (x - 3) (x + 1)$

Zadanie 77

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku

W = (5, 7)

. Wówczas prawdziwa jest równość

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukaj liczby symetrycznej do $1$ względem $x = 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1 + t}{2} = 5 \Rightarrow t = 9$
2 $f (1) = f (9)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $f (1) = f (9)$

Zadanie 78

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wierzchołkiem paraboli o równaniu

y = - 3 (x - 2)^{2} + 4

jest punkt o współrzędnych

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = 2$ , $q = 4$
2 $W = (2, 4)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(2, 4)$

Zadanie 79

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej

f (x) = x^{2} - 4

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} ⩾ 0 \Rightarrow x^{2} - 4 ⩾ - 4$
2 $Z W = ⟨ - 4, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨ - 4, + \infty)$

Zadanie 80

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Dane są funkcje liniowe

f (x) = x - 2

oraz

g (x) = x + 4

określone dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji

h (x) = f (x) \cdot g (x)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$h (x) = (x - 2) (x + 4)$ — odczytaj miejsca zerowe i znak $a$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe: $- 4$ i $2$ , $a = 1 > 0$ — ramiona w górę.
2Rysunek A.

Prawidłowa odpowiedź: A. Rysunek A

Zadanie 81

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu

y = x^{2} - 4 x + 2010

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = f (p)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{4}{2} = 2$
2Oś: $x = 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 2$

Zadanie 82

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wierzchołek paraboli

y = x^{2} + 4 x - 13

leży na prostej o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = f (p)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = - \frac{4}{2} = - 2$
2Wierzchołek leży na prostej $x = - 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = - 2$

Zadanie 83

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej

f

jest przedział

(- \infty, 3 ⟩

. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Szukasz paraboli z ramionami w dół i wierzchołkiem na wysokości $y = 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Z W = (- \infty, 3 ⟩$ : $a < 0$ , $q = 3$ .
2Rysunek B.

Prawidłowa odpowiedź: B. Rysunek B

Zadanie 84

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = - 3 x^{2} + 3

jest parabola o wierzchołku w punkcie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Brak wyrazu z $x$ , więc $p = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = 0$ , $q = f (0) = 3$
2 $W = (0, 3)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(0, 3)$

Zadanie 85

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wierzchołek paraboli o równaniu

y = - 3 (x + 1)^{2}

ma współrzędne

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Postać kanoniczna $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ : wierzchołek $W = (p, q)$ , oś symetrii $x = p$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = - 1$ , $q = 0$
2 $W = (- 1, 0)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- 1, 0)$

Zadanie 86

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wykres funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Do wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + x - 2

należy punkt

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz $f (- 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (- 1) = 1 - 1 - 2 = - 2$
2Punkt $(- 1, - 2)$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $(- 1, - 2)$

Zadanie 87

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Miejsca zerowe

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x^{2} + b x - 5

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Współczynnik

b

jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Funkcja

f

A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,
B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,
C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,

ponieważ

1.

b^{2} + 60 > 0

.
2.

b^{2} + 60 = 0

.
3.

b^{2} + 60 < 0

Wskazówka

Oblicz wyróżnik $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = b^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5) = b^{2} + 60 > 0$
2Funkcja ma dwa miejsca zerowe.
3Odpowiedź: A1

Odpowiedź: A1

Zadanie 88

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

y = f (x)

, której fragment wykresu przedstawiono na rysunku. Funkcja kwadratowa

y = f (x)

jest określona wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Odczytaj wierzchołek z rysunku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W = (- 5, 6)$ , ramiona w dół.
2 $y = - (x + 5)^{2} + 6$

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = - (x + 5)^{2} + 6$

Zadanie 89

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział

⟨ - 2, \infty)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Potrzeba $a > 0$ oraz $q = - 2$ .
2 $y = (x + 1)^{2} - 2$

Prawidłowa odpowiedź: D. $y = (x + 1)^{2} - 2$

Zadanie 90

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Wykres funkcji kwadratowej

f (x) = (x - 3)^{2} - 2

nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Z W = ⟨ - 2, + \infty)$
2 $- 3 \in / Z W$ — prosta $y = - 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $y = - 3$

Zadanie 91

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wierzchołek i oś symetrii

Matura · 1 pkt

Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem

y = - x^{2} + 4 x - 11

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = f (p)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$
2Oś: $x = 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x = 2$

Zadanie 92

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział

(- \infty, 3 ⟩

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Potrzeba $a < 0$ oraz $q = 3$ .
2 $f (x) = - (x - 2)^{2} + 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $f (x) = - (x - 2)^{2} + 3$

Zadanie 93

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Wykres funkcji kwadratowej

f (x) = 3 (x + 1)^{2} - 4

nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór wartości: dla $a > 0$ jest to $⟨ q, + \infty)$ , dla $a < 0$ — $(- \infty, q ⟩$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Z W = ⟨ - 4, + \infty)$
2 $- 5 \in / Z W$ — prosta $y = - 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $y = - 5$

Zadanie 94

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Prosta o równaniu

y = a

ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = - x^{2} + 6 x - 10

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pozioma prosta ma jeden punkt wspólny z parabolą tylko w wierzchołku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = 3$ , $q = f (3) = - 9 + 18 - 10 = - 1$
2 $a = - 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $a = - 1$

Zadanie 95

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zbiór wartości i wartości ekstremalne

Matura · 1 pkt

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej

f (x) = x^{2} + 4 x - 3

w przedziale

⟨ 0, 3 ⟩

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź, czy $p$ należy do przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = - 2 \in / ⟨ 0, 3 ⟩$ ; funkcja rośnie w tym przedziale.
2Najmniejsza wartość: $f (0) = - 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $- 3$

Zadanie 96

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 2 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

y = f (x) = x^{2} + 5 x + 6

, gdzie

x \in R

. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.

1. Postać kanoniczna funkcji

f

wyraża się wzorem
A.

y = (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{1}{4}

y = (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{1}{4}

y = (x - \frac{1}{4})^{2} + \frac{5}{2}

y = (x + \frac{1}{4})^{2} - \frac{5}{2}

2. Postać iloczynowa funkcji

f

wyraża się wzorem
E.

y = (x - 2) (x - 3)

y = (x - 2) (x + 3)

y = (x + 2) (x - 3)

y = (x + 2) (x + 3)

Wskazówka

Policz $p$ , $q$ oraz $Δ$ i miejsca zerowe.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = - \frac{5}{2}$ , $q = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = - \frac{1}{4}$ — odpowiedź B.
2 $Δ = 25 - 24 = 1$ , $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = - 2$ — odpowiedź H.
3Odpowiedź: B, H

Odpowiedź: B, H

Zadanie 97

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzór funkcji kwadratowej

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 2 x^{2} + b x + c

i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla

x \in (- 4, 2)

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P – prawda, F – fałsz).

1. Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta

x = 1

.
2. Postać iloczynowa funkcji

f

wyraża się wzorem

f (x) = - 2 (x + 4) (x - 2)

Wskazówka

Miejscami zerowymi są końce przedziału: $- 4$ i $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1$ — oś $x = - 1$ : FAŁSZ.
2 $f (x) = - 2 (x + 4) (x - 2)$ — PRAWDA.
3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 33.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Rzut pionowy

Matura · 1 pkt

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Wysokość

h

(w metrach), na której znajduje się piłeczka w chwili

t

(w sekundach), jest określona wzorem

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

; czas

t

zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż równanie $h (t) = 0$ dla $t > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $t (- 4, 9 t + 14, 7) = 0$
2 $t = 0$ (wyrzut) lub $t = \frac{14 , 7}{4 , 9} = 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $t = 3 s$

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 33.2

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Rzut pionowy

Matura · 1 pkt

Wysokość piłeczki wyrzuconej pionowo do góry opisuje wzór

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

(

t

w sekundach,

h

w metrach). Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Największa wartość jest w wierzchołku paraboli.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p = \frac{0 + 3}{2} = 1, 5$
2 $t = 1, 5 s$

Prawidłowa odpowiedź: A. $t = 1, 5 s$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Optymalizacja zysku

Matura · 1 pkt

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących. Roczny zysk

Z

(w złotych) wyraża się wzorem

Z (x) = (500 + 50 x) (16 - x)

, gdzie

x

– kwota obniżki ceny latarki (w pełnych złotych),

x ⩾ 1

x ⩽ 14

. Roczny zysk

Z

będzie największy dla

x

równego

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe i pierwszą współrzędną wierzchołka.

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe: $x = - 10$ oraz $x = 16$ .
2 $p = \frac{- 10 + 16}{2} = 3$ ; ramiona w dół, $3 \in ⟨ 1, 14 ⟩$ .
3Zysk jest największy dla $x = 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $3$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Optymalizacja przychodu

Matura · 2 pkt

Dzienny przychód

P

ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o

x

zł, wyraża się wzorem

P (x) = (70 - x) (20 + x)

, gdzie

x

jest liczbą całkowitą,

x ⩾ 0

x ⩽ 60

. Uzupełnij zdania, wybierając odpowiedzi spośród A–E.

32.1. Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba

x

jest równa .....
32.2. Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy

800

zł, gdy liczba

x

jest równa .....

A.

25

30

45

50

60

Wskazówka

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi; dla 32.2 rozwiąż $P (x) = 800$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe $70$ i $- 20$ , więc $p = 25$ — odpowiedź A.
2 $(70 - x) (20 + x) = 800 \Rightarrow x^{2} - 50 x - 600 = 0$
3 $Δ = 2500 + 2400 = 4900$ , $x = \frac{50 \pm 70}{2}$ , czyli $x = 60$ (lub $x = - 10$ poza dziedziną) — odpowiedź E.
4Odpowiedź: 32.1 – A, 32.2 – E

Odpowiedź: 32.1 – A, 32.2 – E

Zadanie 5

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 30.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Model kwadratowy

Matura · 1 pkt

Liczbę

L

klientów obsłużonych w aptece

n

-tego dnia opisuje funkcja

L (n) = - n^{2} + 22 n + 279

, gdzie

n

jest liczbą naturalną,

n ⩾ 1

n ⩽ 30

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P – prawda, F – fałsz).

1. Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa

L (30)

.
2. W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono

336

klientów.

Wskazówka

$L (n)$ opisuje liczbę klientów jednego, $n$ -tego dnia.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $L (30)$ to liczba klientów 30. dnia, a nie suma — FAŁSZ.
2 $L (3) = - 9 + 66 + 279 = 336$ — PRAWDA.
3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Zadanie 6

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Tor rzutu

Matura · 1 pkt

Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości

x_{k} = 7, 01

m (w linii poziomej od środka piłki do środka obręczy). Środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie

x_{0} = 0

y_{0} = 2, 50

m i poruszał się po paraboli

y = - 0, 174 x^{2} + 1, 3 x + 2, 5

. Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek obręczy. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (w zaokrągleniu do

0, 01

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz $y (7, 01)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $7, 0 1^{2} = 49, 1401$
2 $y = - 0, 174 \cdot 49, 1401 + 1, 3 \cdot 7, 01 + 2, 5 \approx - 8, 550 + 9, 113 + 2, 5 \approx 3, 06$

Prawidłowa odpowiedź: B. $3, 06$ m

Zadanie 1

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (x - 13)^{2} - 256

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

(- 3)

. Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż $(x - 13)^{2} = 256$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x - 13 = 16$ lub $x - 13 = - 16$
2 $x = 29$ lub $x = - 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $29$

Zadanie 2

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Równanie

x (x - 2) = (x - 2)^{2}

w zbiorze liczb rzeczywistych

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz $(x - 2)$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x - 2) (x - (x - 2)) = 0$
2 $2 (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$ .

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Równanie

2 x^{2} + 11 x + 3 = 0

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz $Δ$ i skorzystaj ze wzorów Viète'a.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 121 - 24 = 97 > 0$ — dwa rozwiązania.
2 $x_{1} x_{2} = \frac{3}{2} > 0$ , $x_{1} + x_{2} = - \frac{11}{2} < 0$ — oba ujemne.

Prawidłowa odpowiedź: D. ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 4

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Pierwiastki

x_{1}

x_{2}

równania

2 (x + 2) (x - 2) = 0

spełniają warunek

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastki odczytasz z postaci iloczynowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$
2 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = 0$

Zadanie 5

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Liczby

x_{1}

x_{2}

są rozwiązaniami równania

4 (x + 2) (x - 6) = 0

. Suma

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastki odczytasz z postaci iloczynowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 6$
2 $4 + 36 = 40$

Prawidłowa odpowiedź: C. $40$

Zadanie 6

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Liczby

x_{1}

x_{2}

są pierwiastkami równania

x^{2} + 10 x - 24 = 0

x_{1} < x_{2}

. Oblicz

2 x_{1} + x_{2}

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż trójmian na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 10 x - 24 = (x + 12) (x - 2)$
2 $x_{1} = - 12$ , $x_{2} = 2$ ; $2 x_{1} + x_{2} = - 24 + 2 = - 22$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 22$

Zadanie 7

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie

x^{2} + 5 x + 6 = 0

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż trójmian na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$
2Rozwiązania: $- 3$ i $- 2$ ; mniejsza: $- 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 3$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(x^{2} - 4) (x^{2} - 9) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $\pm 2$ , $\pm 3$ .
2Suma: $0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Dane jest równanie

3 (x + 3) (x - m) (2 x + 4) = 0

, gdzie

x

jest niewiadomą, natomiast

m

jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa

0

. Liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $- 3$ , $m$ , $- 2$ .
2 $- 3 + m - 2 = 0 \Rightarrow m = 5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 3

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2 x + 3) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 0$ lub $x = \pm 3$ .
2 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ : $Δ = 4 - 12 < 0$ — brak rozwiązań.
3Razem: trzy rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. trzy rozwiązania.

Zadanie 4

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(3 x - 12) (10 + 5 x) (x - 3) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $4$ , $- 2$ , $3$ .
2Suma: $5$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

4 (x - 1)^{2} (x^{2} - 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $1$ , $5$ , $- 5$ .
2Trzy różne rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: B. trzy rozwiązania.

Zadanie 6

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

2 x (x + 3) (x^{2} + 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 0$ lub $x = - 3$ .
2 $x^{2} + 25 > 0$ — brak rozwiązań.

Prawidłowa odpowiedź: A. dwa rozwiązania: $(- 3)$ oraz $0$ .

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Jednym z rozwiązań równania

3 (x^{2} - 2) (x + 3) = 0

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $\pm 2$ oraz $- 3$ .
2Wśród odpowiedzi: $2$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(2 x - 1) (2 x - 2) (x + 2) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $\frac{1}{2}$ , $1$ , $- 2$ .
2Suma: $- \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{1}{2}$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

(x^{2} - 27) (x^{2} + 16) = 0

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} = 27 \Rightarrow x = \pm 33$
2 $x^{2} + 16 > 0$ — brak rozwiązań. Razem: dwa.

Prawidłowa odpowiedź: B. dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 10

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania

2 x (x^{2} - 9) (x + 1) = 0

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $0$ , $\pm 3$ , $- 1$ .
2Jednym z nich jest $0$ , więc iloczyn wynosi $0$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Zadanie 11

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania

2 (x - 4) (x^{2} - 1) = 0

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $4$ , $1$ , $- 1$ .
2Iloczyn: $- 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 4$

Zadanie 12

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności liniowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

3 (1 - x) > 2 (3 x - 1) - 12 x

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Opuść nawiasy i przenieś niewiadome na jedną stronę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 - 3 x > 6 x - 2 - 12 x$
2 $3 - 3 x > - 6 x - 2 \Rightarrow 3 x > - 5$
3 $x > - \frac{5}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

x (5 x + 1) = 5 x + 1

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nie dziel przez $5 x + 1$ — wyłącz ten czynnik przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5 x + 1) (x - 1) = 0$
2 $x = - \frac{1}{5}$ lub $x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. dwa rozwiązania: $x = - \frac{1}{5}$ i $x = 1$ .

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

x (x - 3) (x^{2} + 25) = 0

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 0$ lub $x = 3$ ; $x^{2} + 25 > 0$ .
2Dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. dwa rozwiązania: $x = 0$ , $x = 3$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania

(x - 8) (x^{2} - 4) (x^{2} + 16) = 0

, wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $8$ , $\pm 2$ .
2 $8 + (- 2) = 6$

Prawidłowa odpowiedź: C. $6$

Zadanie 16

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem równania

x^{2} (x + 1) = x^{2} - 8

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wymnóż lewą stronę i uprość.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{3} + x^{2} = x^{2} - 8$
2 $x^{3} = - 8 \Rightarrow x = - 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Liczba niewymiernych rozwiązań równania

x^{2} (x + 5) (2 x - 3) (x^{2} - 7) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $0$ , $- 5$ , $\frac{3}{2}$ , $\pm 7$ .
2Niewymierne: $7$ i $- 7$ — dwa.

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 18

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich pierwiastków równania

(x + 3) (x + 7) (x - 11) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 3 - 7 + 11 = 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 19

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniami równania

(x^{3} - 8) (x - 5) (2 x + 1) = 0

są liczby

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2$
2 $x = 5$ , $x = - \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $- \frac{1}{2}; 2; 5$

Zadanie 20

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Wspólnym pierwiastkiem równań

(x^{2} - 1) (x - 10) (x - 5) = 0

oraz

\frac{2 x - 10}{x - 1} = 0

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Drugie równanie: $2 x - 10 = 0$ , $x \neq = 1$ , więc $x = 5$ .
2 $5$ spełnia też pierwsze równanie.

Prawidłowa odpowiedź: B. $5$

Zadanie 21

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

(2 x - 1) \cdot (x - 2) = (1 - 2 x) \cdot (x + 2)

ma dwa rozwiązania. Są to liczby

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $1 - 2 x = - (2 x - 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 x - 1) (x - 2) + (2 x - 1) (x + 2) = 0$
2 $(2 x - 1) \cdot 2 x = 0$
3 $x = \frac{1}{2}$ lub $x = 0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$ oraz $\frac{1}{2}$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Funkcja

f (x) = 3 x (x^{2} + 5) (2 - x) (x + 1)

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe: $0$ , $2$ , $- 1$ ; $x^{2} + 5 > 0$ .
2Trzy miejsca zerowe.

Prawidłowa odpowiedź: B. trzy miejsca zerowe.

Zadanie 23

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania

(x + 1) (x + 2) (x^{2} + 3) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $- 1$ , $- 2$ ; $x^{2} + 3 > 0$ .
2Dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 24

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania wyższych stopni

Matura · 1 pkt

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie

5 x^{4} - 13 = 0

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz $x^{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{4} = \frac{13}{5} > 0$
2 $x = \pm 4 \frac{13}{5}$ — dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

- 2 (x + 3) (x - 2) > 0

jest przedział

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ramiona paraboli w dół — wartości dodatnie między pierwiastkami.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $- 3$ i $2$ , $a = - 2 < 0$ .
2 $x \in (- 3, 2)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 3, 2)$

Zadanie 2

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Dana jest nierówność kwadratowa

(3 x - 9) (x + k) < 0

z niewiadomą

x

i parametrem

k \in R

. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział

(- 2, 3)

. Liczba

k

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Końce przedziału to pierwiastki trójmianu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $3$ oraz $- k$ .
2 $- k = - 2 \Rightarrow k = 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Jedną z liczb spełniających nierówność

(x - 6) \cdot (x - 2)^{2} \cdot (x + 4) \cdot (x + 10) > 0

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź znak iloczynu dla każdej z liczb.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = - 5$ : $(- 11) \cdot 49 \cdot (- 1) \cdot 5 > 0$ ✓
2Dla $0$ , $3$ , $5$ iloczyn jest ujemny.

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 5$

Zadanie 4

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

(4 + x)^{2} < (x - 4) (x + 4)

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń obie strony — $x^{2}$ się zredukuje.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 8 x + 16 < x^{2} - 16$
2 $8 x < - 32 \Rightarrow x < - 4$
3Największa liczba całkowita: $- 5$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 5$

Zadanie 5

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności:

3 (x - 1) (x - 5) ⩽ 0

x > 1

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż nierówność kwadratową i weź część wspólną z $x > 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 (x - 1) (x - 5) ⩽ 0 \Rightarrow x \in ⟨ 1, 5 ⟩$
2Z warunkiem $x > 1$ : $x \in (1, 5 ⟩$ — rysunek C.

Prawidłowa odpowiedź: C. $(1, 5 ⟩$

Zadanie 6

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem rozwiązań nierówności

(x - 2) (x + 3) ⩾ 0

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ramiona w górę — wartości nieujemne poza pierwiastkami.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $- 3$ i $2$ .
2 $x \in (- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 2, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 2, + \infty)$

Zadanie 7

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem rozwiązań nierówności

x (x + 5) > 0

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastki: $0$ i $- 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ramiona w górę, wartości dodatnie poza pierwiastkami.
2 $x \in (- \infty, - 5) \cup (0, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- \infty, - 5) \cup (0, + \infty)$

Zadanie 8

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Do zbioru rozwiązań nierówności

(x - 2) (x + 3) < 0

należy liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiązaniem jest przedział między pierwiastkami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x \in (- 3, 2)$
2Należy do niego $1$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $1$

Zadanie 9

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Zbiór rozwiązań nierówności

(x + 1) (x - 3) > 0

przedstawiony jest na rysunku

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastki: $- 1$ i $3$ ; ramiona w górę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wartości dodatnie poza pierwiastkami.
2 $x \in (- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ — rysunek C.

Prawidłowa odpowiedź: C. $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

Zadanie 10

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem rozwiązań nierówności

x^{2} ⩾ 9

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$x^{2} ⩾ 9 \Leftrightarrow ∣ x ∣ ⩾ 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x ⩽ - 3$ lub $x ⩾ 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 3, + \infty)$

Zadanie 11

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem rozwiązań nierówności

x^{2} > 4 x

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nie dziel przez $x$ — przenieś wszystko na jedną stronę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x (x - 4) > 0$
2 $x \in (- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

Zadanie 12

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Nierówności

Temat: Nierówności kwadratowe

Matura · 1 pkt

Zbiorem rozwiązań nierówności

x^{2} ⩾ 5

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$x^{2} ⩾ 5 \Leftrightarrow ∣ x ∣ ⩾ 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x ⩽ - 5$ lub $x ⩾ 5$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 5, + \infty)$

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

(np.:

321

555

), jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Reguła mnożenia: liczba możliwości to iloczyn liczby wyborów dla każdej pozycji.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra setek: $6$ możliwości (bez $0$ ).
2Cyfra dziesiątek: $7$ możliwości.
3Cyfra jedności nieparzysta: $1, 3, 5$ — $3$ możliwości.
4Razem: $6 \cdot 7 \cdot 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $6 \cdot 7 \cdot 3$

Zadanie 2

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od

500

, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cyfra setek musi być nieparzysta i nie mniejsza niż $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra setek: $5, 7, 9$ — $3$ możliwości (liczba $500$ ma cyfry parzyste, więc nie trzeba jej wykluczać).
2Dziesiątki i jedności: po $5$ możliwości.
3 $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$

Prawidłowa odpowiedź: C. $75$

Zadanie 3

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry

0, 1, 2, 3

(np.

12303

11111

), jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Reguła mnożenia: liczba możliwości to iloczyn liczby wyborów dla każdej pozycji.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsza cyfra: $3$ możliwości, trzy środkowe: po $4$ , ostatnia ( $1$ lub $3$ ): $2$ .
2 $3 \cdot 4^{3} \cdot 2 = 384$

Prawidłowa odpowiedź: B. $384$

Zadanie 4

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o

3

większa od cyfry jedności, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wypisz możliwe cyfry jedności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Cyfra jedności $j \in {0, 1, \dots, 6}$ , wtedy dziesiątek $j + 3 ⩽ 9$ .
2Liczby: $30, 41, 52, 63, 74, 85, 96$ — razem $7$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $7$

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej

3

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wypisz wszystkie takie liczby, zaczynając od cyfry setek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $300$ , $210$ , $201$ , $120$ , $102$ , $111$
2Razem $6$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $6$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Rozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa

3

. Wszystkich takich liczb jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz osobno cyfrę tysięcy równą $3$ , $2$ i $1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Tysiące $3$ : $3000$ — $1$ liczba.
2Tysiące $2$ : jedna jedynka na trzech pozostałych miejscach — $3$ liczby.
3Tysiące $1$ : suma $2$ na trzech miejscach: dwójka ( $3$ sposoby) lub dwie jedynki ( $3$ sposoby) — $6$ liczb.
4Razem: $1 + 3 + 6 = 10$

Prawidłowa odpowiedź: B. $10$

Zadanie 7

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od

2020

i podzielnych przez

4

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najmniejsza taka liczba to $1000$ , największa $2016$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczby $1000, 1004, \dots, 2016$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $4$ .
2 $\frac{2016 - 1000}{4} + 1 = 254 + 1 = 255$

Prawidłowa odpowiedź: D. $255$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż

2017

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz liczby od $1000$ do $2016$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2016 - 1000 + 1 = 1017$

Prawidłowa odpowiedź: D. $1017$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez

6

i niepodzielnych przez

9

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Od liczby dwucyfrowych wielokrotności $6$ odejmij wielokrotności $18$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wielokrotności $6$ : $12, 18, \dots, 96$ — $15$ liczb.
2Podzielne też przez $9$ (czyli przez $18$ ): $18, 36, 54, 72, 90$ — $5$ liczb.
3 $15 - 5 = 10$

Prawidłowa odpowiedź: B. $10$

Zadanie 10

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej

2

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wypisz je.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2000$ , $1100$ , $1010$ , $1001$
2Razem $4$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $4$

Zadanie 11

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wybieramy liczbę

a

ze zbioru

A = {2, 3, 4, 5}

oraz liczbę

b

ze zbioru

B = {1, 4}

. Ile jest takich par

(a, b)

, że iloczyn

a \cdot b

jest liczbą nieparzystą?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy oba czynniki są nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a \in {3, 5}$ , $b = 1$ .
2Pary: $(3, 1)$ , $(5, 1)$ — $2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 12

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Kombinatoryka

Temat: Zliczanie liczb

Matura · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez

6

lub przez

10

, jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zasada włączeń i wyłączeń: odejmij liczby podzielne przez $30$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Podzielne przez $6$ : $15$ ; przez $10$ : $9$ .
2Przez $30$ : $30, 60, 90$ — $3$ .
3 $15 + 9 - 3 = 21$

Prawidłowa odpowiedź: C. $21$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany

W

V

oraz

H

określone wzorami:

W (x) = x^{4}

V (x) = x^{3} + 1

H (x) = x - 2

. Wielomian

W (x) - V (x) \cdot H (x)

jest określony wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wymnóż $V (x) \cdot H (x)$ , potem odejmij wynik od $W (x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $V (x) \cdot H (x) = (x^{3} + 1) (x - 2) = x^{4} - 2 x^{3} + x - 2$
2 $W (x) - V (x) \cdot H (x) = x^{4} - x^{4} + 2 x^{3} - x + 2 = 2 x^{3} - x + 2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2 x^{3} - x + 2$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Wielomian

W (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

jest iloczynem wielomianów

F (x) = (2 - 3 x)^{2}

oraz

G (x) = 3 x - 2

. Uzupełnij zdanie: suma

a + b + c + d

współczynników wielomianu

W

jest równa

\dots

Wskazówka

Suma współczynników wielomianu to jego wartość dla $x = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a + b + c + d = W (1) = F (1) \cdot G (1)$
2 $F (1) = (2 - 3)^{2} = 1$ , $G (1) = 3 - 2 = 1$
3 $W (1) = 1 \cdot 1 = 1$

Odpowiedź: $1$

Zadanie 3

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x

. Oceń prawdziwość stwierdzeń (P/F):

1. Wielomian

W

jest iloczynem wielomianów

F (x) = 3 x

G (x) = x^{2} + 2 x + 3

.
2. Liczba

(- 1)

jest rozwiązaniem równania

W (x) = 0

Wskazówka

Wymnóż $F (x) \cdot G (x)$ i oblicz $W (- 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x (x^{2} + 2 x + 3) = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x = W (x)$ — stwierdzenie 1 prawdziwe.
2 $W (- 1) = - 3 + 6 - 9 = - 6 \neq = 0$ — stwierdzenie 2 fałszywe.

Odpowiedź: 1. P, 2. F

Zadanie 4

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + k x + 1

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian

W

można zapisać w postaci

W (x) = (x + 1) \cdot Q (x)

dla pewnego wielomianu

Q

. Liczba

k

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skoro $(x + 1)$ dzieli $W$ , to $W (- 1) = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (- 1) = 3 - 1 - k + 1 = 3 - k$
2 $3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 5

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = 3 x^{3} + k x^{2} - 12 x - 7 k + 12

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba

(- 2)

jest pierwiastkiem tego wielomianu. Liczba

k

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $x = - 2$ i przyrównaj do zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (- 2) = - 24 + 4 k + 24 - 7 k + 12 = 12 - 3 k$
2 $12 - 3 k = 0 \Rightarrow k = 4$

Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Zadanie 6

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dany jest wielomian

W

określony wzorem

W (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 6

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wielomian

W

przy rozkładzie na czynniki ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pogrupuj wyrazy parami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (x) = x^{2} (x - 2) - 3 (x - 2)$
2 $W (x) = (x - 2) (x^{2} - 3)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $W (x) = (x - 2) (x^{2} - 3)$

Zadanie 7

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Punkt

A = (1, 2)

należy do wykresu funkcji

f

, określonej wzorem

f (x) = (m^{2} - 3) x^{3} - m^{2} + m + 1

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Warunek: $f (1) = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (1) = m^{2} - 3 - m^{2} + m + 1 = m - 2$
2 $m - 2 = 2 \Rightarrow m = 4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 4$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Jednym z rozwiązań równania

5 (x + 1) - x^{2} (x + 1) = 0

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz $(x + 1)$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x + 1) (5 - x^{2}) = 0$
2 $x = - 1$ lub $x = 5$ lub $x = - 5$
3Wśród odpowiedzi jest $- 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 1)$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Jedną z liczb spełniających nierówność

x^{4} - 3 x^{3} + 3 < 0

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź każdą z liczb, podstawiając ją do lewej strony.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 1$ : $1 - 3 + 3 = 1 > 0$
2 $x = - 1$ : $1 + 3 + 3 = 7 > 0$
3 $x = 2$ : $16 - 24 + 3 = - 5 < 0$ ✓
4 $x = - 2$ : $16 + 24 + 3 = 43 > 0$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany:

W (x) = 2 x^{2} - 1

P (x) = x^{3} + x

Q (x) = (1 - x) (x + 1)

. Stopień wielomianu

W (x) \cdot P (x) \cdot Q (x)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Stopień iloczynu to suma stopni czynników.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie: $W$ — $2$ , $P$ — $3$ , $Q$ — $2$ .
2 $2 + 3 + 2 = 7$

Prawidłowa odpowiedź: C. $7$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Iloczyn wielomianów

2 x - 3

oraz

- 4 x^{2} - 6 x - 9

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz minus i skorzystaj ze wzoru na różnicę sześcianów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 x - 3) (- 4 x^{2} - 6 x - 9) = - (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)$
2 $= - (8 x^{3} - 27) = - 8 x^{3} + 27$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 8 x^{3} + 27$

Zadanie 12

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Wielomian

W (x) = (3 x^{2} - 2)^{2}

jest równy wielomianowi

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wzór $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x^{2})^{2} - 2 \cdot 3 x^{2} \cdot 2 + 2^{2} = 9 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $9 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany

W (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x - 11

V (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 1

. Stopień wielomianu

W (x) - V (x)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz różnicę i znajdź najwyższą potęgę $x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (x) - V (x) = x - 12$
2Stopień: $1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 14

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany

W (x) = - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 3

oraz

P (x) = 2 x^{3} + 12 x

. Wielomian

W (x) + P (x)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj wyrazy podobne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 x^{3} + 2 x^{3} = 0$
2 $W (x) + P (x) = 5 x^{2} + 12 x - 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $5 x^{2} + 12 x - 3$

Zadanie 15

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Liczba

2

jest pierwiastkiem wielomianu

W (x) = x^{3} + a x^{2} + 6 x - 4

. Współczynnik

a

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Warunek: $W (2) = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (2) = 8 + 4 a + 12 - 4 = 4 a + 16$
2 $4 a + 16 = 0 \Rightarrow a = - 4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 4$

Zadanie 16

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany:

W (x) = x^{3} - 3 x + 1

oraz

V (x) = 2 x^{3}

. Wielomian

W (x) \cdot V (x)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż każdy wyraz $W (x)$ przez $2 x^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 x^{3} \cdot x^{3} = 2 x^{6}$ , $2 x^{3} \cdot (- 3 x) = - 6 x^{4}$ , $2 x^{3} \cdot 1 = 2 x^{3}$
2 $W (x) \cdot V (x) = 2 x^{6} - 6 x^{4} + 2 x^{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2 x^{6} - 6 x^{4} + 2 x^{3}$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

. Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

Wskazówka

Zapisz prostą przez $K$ : $y = a (x - 1) + 2$ i wyznacz jej punkty przecięcia z osiami.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta $A B$ : $y = a (x - 1) + 2$ , przy czym $a < 0$ (przecina dodatnie półosie).
2 $B$ : dla $x = 0$ mamy $y = 2 - a$ , więc $B = (0, 2 - a)$ .
3 $A$ : dla $y = 0$ mamy $x = 1 - \frac{2}{a} = \frac{a - 2}{a}$ , więc $A = (\frac{a - 2}{a}, 0)$ .
4 $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{a - 2}{a} \cdot (2 - a) = \frac{- ( a - 2 ) ^{2}}{2 a} = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}$
5Co należało wykazać.

Odpowiedź: Dowód — $P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}$ dla $a < 0$

Zadanie 2

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których wykresy funkcji

f

g

, określonych wzorami

f (x) = x - 2

oraz

g (x) = 5 - a x

, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Wskazówka

Rozwiąż równanie $f (x) = g (x)$ i zażądaj $x > 0$ oraz $y > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x - 2 = 5 - a x \Rightarrow (1 + a) x = 7$ , więc $a \neq = - 1$ i $x = \frac{7}{1 + a}$ .
2 $x > 0 \Leftrightarrow a > - 1$ .
3 $y = \frac{7}{1 + a} - 2 > 0 \Leftrightarrow 7 > 2 (1 + a)$ (dla $a > - 1$ ) $\Leftrightarrow a < \frac{5}{2}$ .
4 $a \in (- 1, \frac{5}{2})$

Odpowiedź: $a \in (- 1, 2 \frac{1}{2})$

Zadanie 3

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Funkcja liniowa

f

określona jest wzorem

f (x) = a x + b

dla

x \in R

.

a) Dla

a = 2008

b = 2009

zbadaj, czy do wykresu funkcji należy punkt

P = (2009, 200 9^{2})

.

b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór

A = {(x, y) : x \in ⟨ - 1, 3 ⟩ i y = - \frac{1}{2} x + b i b \in ⟨ - 2, 1 ⟩}

Wskazówka

a) Oblicz $f (2009)$ i wyłącz $2009$ przed nawias. b) Zbiór wypełniają odcinki równoległych prostych między $y = - \frac{1}{2} x - 2$ a $y = - \frac{1}{2} x + 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1a) $f (2009) = 2008 \cdot 2009 + 2009 = 2009 \cdot (2008 + 1) = 200 9^{2}$ — punkt $P$ należy do wykresu.
2b) Dla każdego $b \in ⟨ - 2, 1 ⟩$ otrzymujemy odcinek prostej $y = - \frac{1}{2} x + b$ dla $x \in ⟨ - 1, 3 ⟩$ .
3Skrajne proste: $y = - \frac{1}{2} x + 1$ oraz $y = - \frac{1}{2} x - 2$ ; ograniczają zbiór pionowe proste $x = - 1$ i $x = 3$ .
4Zbiór $A$ to równoległobok (z brzegiem) o wierzchołkach $(- 1, \frac{3}{2})$ , $(3, - \frac{1}{2})$ , $(3, - \frac{7}{2})$ , $(- 1, - \frac{3}{2})$ .

Odpowiedź: a) należy; b) równoległobok o wierzchołkach $(- 1, \frac{3}{2})$ , $(3, - \frac{1}{2})$ , $(3, - \frac{7}{2})$ , $(- 1, - \frac{3}{2})$

Zadanie 4

Matura: styczeń 2003

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie postaci

a^{2} \cdot x - 1 = x + a

, w którym niewiadomą jest

x

. Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru

a

Wskazówka

Doprowadź do postaci $(a^{2} - 1) x = a + 1$ i rozpatrz przypadek, gdy współczynnik przy $x$ jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a^{2} - 1) x = a + 1$ , czyli $(a - 1) (a + 1) x = a + 1$ .
2Dla $a \in R ∖ {- 1, 1}$ : jedno rozwiązanie $x = \frac{1}{a - 1}$ .
3Dla $a = 1$ : $0 \cdot x = 2$ — brak rozwiązań.
4Dla $a = - 1$ : $0 \cdot x = 0$ — nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań dla $a = 1$ ; jedno dla $a \in R ∖ {- 1, 1}$ ; nieskończenie wiele dla $a = - 1$

Zadanie 5

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Dane są funkcje liniowe

g

h

określone wzorami:

g (x) = a x + b

h (x) = b x + a

. Wiadomo, że funkcja

g

jest rosnąca, a funkcja

h

malejąca.

a) Wyznacz pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji.

b) Oblicz liczby

a

b

, wiedząc, że wykresy funkcji

g

h

są prostymi prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi

O x

Wskazówka

Z monotoniczności: $a > 0$ , $b < 0$ . Prostopadłość: $a \cdot b = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1a) $a x + b = b x + a \Rightarrow (a - b) x = a - b$ ; ponieważ $a > 0 > b$ , mamy $a - b \neq = 0$ , więc $x = 1$ .
2b) Punkt przecięcia $(1, 0)$ : $g (1) = a + b = 0$ , więc $b = - a$ .
3Prostopadłość: $a \cdot b = - 1 \Rightarrow - a^{2} = - 1 \Rightarrow a = 1$ (bo $a > 0$ ).
4 $a = 1$ , $b = - 1$

Odpowiedź: a) $x = 1$ ; b) $a = 1$ , $b = - 1$

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 6∣ - ∣ x^{2} - 9∣ < 0

Wskazówka

Zauważ, że $∣2 x - 6∣ = 2∣ x - 3∣$ oraz $∣ x^{2} - 9∣ = ∣ x - 3∣ \cdot ∣ x + 3∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2∣ x - 3∣ < ∣ x - 3∣ \cdot ∣ x + 3∣$
2Dla $x = 3$ obie strony są równe $0$ — nierówność nie zachodzi.
3Dla $x \neq = 3$ dzielimy przez $∣ x - 3∣ > 0$ : $∣ x + 3∣ > 2$ , czyli $x < - 5$ lub $x > - 1$ .
4 $x \in (- \infty, - 5) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 5) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Zadanie 2

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ - 2 \cdot ∣ x + 3∣ < - 2

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 3$ : $2 - x + 2 x + 6 < - 2 \Rightarrow x < - 10$ .
2Dla $- 3 ⩽ x < 2$ : $2 - x - 2 x - 6 < - 2 \Rightarrow x > - \frac{2}{3}$ , więc $x \in (- \frac{2}{3}, 2)$ .
3Dla $x ⩾ 2$ : $x - 2 - 2 x - 6 < - 2 \Rightarrow x > - 6$ — cały przedział $⟨ 2, \infty)$ .
4 $x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Zadanie 3

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 < \frac{25}{3} - x^{2} - 6 x + 9

Wskazówka: skorzystaj z tego, że

a^{2} = ∣ a ∣

dla każdej liczby rzeczywistej

a

Wskazówka

Pod pierwiastkami są kwadraty: $(x + 2)^{2}$ i $(x - 3)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ < \frac{25}{3}$
2Dla $x < - 2$ : $- 2 x + 1 < \frac{25}{3} \Rightarrow x > - \frac{11}{3}$ .
3Dla $- 2 ⩽ x < 3$ : $5 < \frac{25}{3}$ — zawsze.
4Dla $x ⩾ 3$ : $2 x - 1 < \frac{25}{3} \Rightarrow x < \frac{14}{3}$ .
5 $x \in (- 3 \frac{2}{3}, 4 \frac{2}{3})$

Odpowiedź: $x \in (- 3 \frac{2}{3}, 4 \frac{2}{3})$

Zadanie 4

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 3 pkt

Rozwiąż równanie:

∣ x - 3∣ = 2 x + 11

Wskazówka

Rozpatrz $x ⩾ 3$ i $x < 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩾ 3$ : $x - 3 = 2 x + 11 \Rightarrow x = - 14$ — sprzeczne z założeniem.
2Dla $x < 3$ : $3 - x = 2 x + 11 \Rightarrow x = - \frac{8}{3}$ — spełnia założenie.
3 $x = - 2 \frac{2}{3}$

Odpowiedź: $x = - 2 \frac{2}{3}$

Zadanie 5

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Liczba różnych pierwiastków równania

3 x + ∣ x - 4∣ = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz $x ⩾ 4$ i $x < 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩾ 4$ : $4 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$ — odpada.
2Dla $x < 4$ : $2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 2$ .
3Jeden pierwiastek.

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 6

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

∣ x - 5∣ = (a - 1)^{2} - 4

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Równanie $∣ x - 5∣ = m$ ma rozwiązania $5 \pm m$ ; oba dodatnie i różne, gdy $0 < m < 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $0 < (a - 1)^{2} - 4 < 5$ , czyli $4 < (a - 1)^{2} < 9$ .
2 $2 < ∣ a - 1∣ < 3$
3 $a - 1 \in (- 3, - 2) \cup (2, 3)$
4 $a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)$

Odpowiedź: $a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż każdą nierówność i policz liczby całkowite w otrzymanym przedziale.

Rozwiązanie krok po kroku

1B: $- 7 < \frac{4}{3} x + 5 < - 3 \Rightarrow - \frac{21}{4} < x < - \frac{9}{4}$
2Liczby całkowite: $- 5, - 4, - 3$ — dokładnie trzy.
3A: $x \in (- \frac{28}{3}, - 4)$ — cztery; C: $x \in (- 10, - \frac{10}{3})$ — sześć; D: $x \in (- \frac{25}{4}, - \frac{5}{4})$ — pięć.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{3} x + 5 < 2$

Zadanie 8

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Równanie

∣∣ x ∣ - 2∣ = ∣ x ∣ + 2

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prawa strona jest dodatnia; rozpatrz $∣ x ∣ - 2 = \pm (∣ x ∣ + 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x ∣ - 2 = ∣ x ∣ + 2$ — sprzeczność.
2 $∣ x ∣ - 2 = - ∣ x ∣ - 2 \Rightarrow ∣ x ∣ = 0 \Rightarrow x = 0$ .
3Dokładnie jedno rozwiązanie.

Prawidłowa odpowiedź: B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Równanie

∣∣ x - 4∣ - 2∣ = 2

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣ x - 4∣ - 2 = 2$ lub $∣ x - 4∣ - 2 = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x - 4∣ = 4 \Rightarrow x = 0$ lub $x = 8$ .
2 $∣ x - 4∣ = 0 \Rightarrow x = 4$ .
3Trzy rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: D. trzy rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x^{2} - 3 x + 2∣ ⩾ ∣ x - 1∣

Wskazówka

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x - 1∣ \cdot ∣ x - 2∣ ⩾ ∣ x - 1∣$
2Dla $x = 1$ : $0 ⩾ 0$ — prawda.
3Dla $x \neq = 1$ : $∣ x - 2∣ ⩾ 1 \Rightarrow x ⩽ 1$ lub $x ⩾ 3$ .
4 $x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 2 pkt

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność

∣ x ∣ < ∣ x - 1025∣

. Zakoduj kolejno cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

Wskazówka

Odległość $x$ od $0$ ma być mniejsza niż od $1025$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Punkty bliższe $0$ niż $1025$ : $x < \frac{1025}{2} = 512, 5$ .
2Największa liczba całkowita: $512$ .

Odpowiedź: $512$

Zadanie 12

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono przedział

⟨ - 1, k ⟩

— zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

∣2 x - 8∣ ⩽ 10

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż $- 10 ⩽ 2 x - 8 ⩽ 10$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 ⩽ 2 x ⩽ 18$
2 $- 1 ⩽ x ⩽ 9$ , więc $k = 9$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $k = 9$

Zadanie 13

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f (x) = {x - 2 ∣∣ x + 3∣ - 4∣ dla x ⩽ 0 dla x > 0

Równanie

f (x) = 1

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz osobno obie części wzoru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩽ 0$ : $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$ — odpada.
2Dla $x > 0$ : $∣ x + 3∣ = x + 3$ , więc $∣ x - 1∣ = 1 \Rightarrow x = 0$ (odpada) lub $x = 2$ .
3Jedno rozwiązanie: $x = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. jedno rozwiązanie

Zadanie 14

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 6∣ + ∣ x + 7∣ ⩾ 17

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 7$ : $- 3 x - 1 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩽ - 6$ — cały przedział.
2Dla $- 7 ⩽ x < 3$ : $- x + 13 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩽ - 4$ .
3Dla $x ⩾ 3$ : $3 x + 1 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩾ \frac{16}{3}$ .
4 $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{1}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{1}{3}, \infty)$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x + 6∣ - 2∣ x - 4∣ ⩽ 2 x - 3

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 6$ : $x - 14 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩾ - 11$ , więc $⟨ - 11, - 6)$ .
2Dla $- 6 ⩽ x < 4$ : $3 x - 2 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩽ - 1$ , więc $⟨ - 6, - 1 ⟩$ .
3Dla $x ⩾ 4$ : $- x + 14 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩾ \frac{17}{3}$ .
4 $x \in ⟨ - 11, - 1 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{2}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 11, - 1 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{2}{3}, \infty)$

Zadanie 16

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 2 pkt

Liczba

n

jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie

2 \cdot ∣ x + 57∣ = ∣ x - 39∣

Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby

∣ n ∣

Wskazówka

$2 (x + 57) = x - 39$ lub $2 (x + 57) = - (x - 39)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 x + 114 = x - 39 \Rightarrow x = - 153$
2 $2 x + 114 = - x + 39 \Rightarrow x = - 25$
3 $n = - 153$ , $∣ n ∣ = 153$

Odpowiedź: $153$

Zadanie 17

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 5∣ - ∣ x + 4∣ ⩽ 2 - 2 x

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 4$ : $- x + 9 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩽ - 7$ .
2Dla $- 4 ⩽ x < \frac{5}{2}$ : $- 3 x + 1 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩾ - 1$ .
3Dla $x ⩾ \frac{5}{2}$ : $x - 9 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩽ \frac{11}{3}$ .
4 $x \in (- \infty, - 7 ⟩ \cup ⟨ - 1, 3 \frac{2}{3} ⟩$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 7 ⟩ \cup ⟨ - 1, 3 \frac{2}{3} ⟩$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 5 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 ⩾ 11 - x^{2} - 6 x + 9

Wskazówka

$a^{2} = ∣ a ∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ ⩾ 11$
2Dla $x < - 2$ : $- 2 x + 1 ⩾ 11 \Rightarrow x ⩽ - 5$ .
3Dla $- 2 ⩽ x < 3$ : $5 ⩾ 11$ — brak.
4Dla $x ⩾ 3$ : $2 x - 1 ⩾ 11 \Rightarrow x ⩾ 6$ .
5 $x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 6, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 6, \infty)$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ + ∣ x + 1∣ ⩾ 3 x - 3

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $- 2 x + 1 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ \frac{4}{5}$ — cały przedział.
2Dla $- 1 ⩽ x < 2$ : $3 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ 2$ — cały przedział.
3Dla $x ⩾ 2$ : $2 x - 1 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ 2$ , więc $x = 2$ .
4 $x \in (- \infty, 2 ⟩$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 2 ⟩$

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 4∣ + ∣ x - 5∣ ⩾ 12

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 2$ : $- 3 x + 9 ⩾ 12 \Rightarrow x ⩽ - 1$ .
2Dla $2 ⩽ x < 5$ : $x + 1 ⩾ 12$ — brak.
3Dla $x ⩾ 5$ : $3 x - 9 ⩾ 12 \Rightarrow x ⩾ 7$ .
4 $x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 7, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 7, \infty)$

Zadanie 21

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x + 4∣ + ∣ x - 1∣ ⩽ 6

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 2$ : $- 3 x - 3 ⩽ 6 \Rightarrow x ⩾ - 3$ .
2Dla $- 2 ⩽ x < 1$ : $x + 5 ⩽ 6$ — cały przedział.
3Dla $x ⩾ 1$ : $3 x + 3 ⩽ 6 \Rightarrow x ⩽ 1$ .
4 $x \in ⟨ - 3, 1 ⟩$

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 3, 1 ⟩$

Zadanie 22

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x + 2∣ + ∣ x - 2∣ > 5

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $- 3 x > 5 \Rightarrow x < - \frac{5}{3}$ .
2Dla $- 1 ⩽ x < 2$ : $x + 4 > 5 \Rightarrow x > 1$ .
3Dla $x ⩾ 2$ : $3 x > 5$ — cały przedział.
4 $x \in (- \infty, - 1 \frac{2}{3}) \cup (1, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 1 \frac{2}{3}) \cup (1, \infty)$

Zadanie 23

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x + 3∣ + ∣3 x + 9∣ < ∣ x + 5∣

Wskazówka

Lewa strona to $4∣ x + 3∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4∣ x + 3∣ < ∣ x + 5∣$
2Dla $x < - 5$ : $- 4 x - 12 < - x - 5 \Rightarrow x > - \frac{7}{3}$ — brak.
3Dla $- 5 ⩽ x < - 3$ : $- 4 x - 12 < x + 5 \Rightarrow x > - \frac{17}{5}$ .
4Dla $x ⩾ - 3$ : $4 x + 12 < x + 5 \Rightarrow x < - \frac{7}{3}$ .
5 $x \in (- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{1}{3})$

Odpowiedź: $x \in (- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{1}{3})$

Zadanie 24

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ + ∣3 x - 6∣ < ∣ x ∣

Wskazówka

Lewa strona to $4∣ x - 2∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4∣ x - 2∣ < ∣ x ∣$
2Dla $x < 0$ : $8 - 4 x < - x \Rightarrow x > \frac{8}{3}$ — brak.
3Dla $0 ⩽ x < 2$ : $8 - 4 x < x \Rightarrow x > \frac{8}{5}$ .
4Dla $x ⩾ 2$ : $4 x - 8 < x \Rightarrow x < \frac{8}{3}$ .
5 $x \in (1 \frac{3}{5}, 2 \frac{2}{3})$

Odpowiedź: $x \in (1 \frac{3}{5}, 2 \frac{2}{3})$

Zadanie 25

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 5 pkt

Niech

A

będzie zbiorem wszystkich liczb

x

, które spełniają równość

∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ = 2

. Niech

B

będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów

4

6

jest nie większa niż

4

. Zaznacz na osi liczbowej zbiory

A

B

oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do

A

i do

B

Wskazówka

$∣ x - a ∣$ to odległość $x$ od $a$ na osi liczbowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma odległości od $1$ i $3$ równa $2$ (odległości między nimi) — tylko punkty odcinka: $A = ⟨ 1, 3 ⟩$ .
2 $∣ x - 4∣ + ∣ x - 6∣ ⩽ 4$ : dla $x < 4$ : $10 - 2 x ⩽ 4 \Rightarrow x ⩾ 3$ ; dla $x > 6$ : $2 x - 10 ⩽ 4 \Rightarrow x ⩽ 7$ .
3 $B = ⟨ 3, 7 ⟩$
4 $A \cap B = {3}$

Odpowiedź: $A = ⟨ 1, 3 ⟩$ , $B = ⟨ 3, 7 ⟩$ , część wspólna: ${3}$

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru

m

, gdzie

m \neq = 0

, dla których funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = m^{2} \cdot x^{2} - 2 m x - m + 1

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

należące do przedziału

(- 2, 2)

Wskazówka

Ramiona paraboli są skierowane w górę ( $m^{2} > 0$ ). Potrzebujesz: $Δ > 0$ , $f (- 2) > 0$ , $f (2) > 0$ i wierzchołka w $(- 2, 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 4 m^{2} - 4 m^{2} (1 - m) = 4 m^{3} > 0 \Rightarrow m > 0$
2 $f (2) = 4 m^{2} - 5 m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{4}$ lub $m > 1$
3 $f (- 2) = 4 m^{2} + 3 m + 1 > 0$ — zawsze ( $Δ < 0$ ).
4 $x_{w} = \frac{1}{m} \in (- 2, 2)$ przy $m > 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}$
5Część wspólna: $m \in (1, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (1, \infty)$

Zadanie 2

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

. Fragment wykresu funkcji

g

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto). Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja

g

przyjmuje w przedziale

⟨ 9, 11 ⟩

Wskazówka

Miejsca zerowe trójmianu pod modułem to $2$ i $10$ ; $10$ leży w przedziale.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 12 x + 20 = 0 \Leftrightarrow x \in {2, 10}$
2 $g (9) = - \frac{81}{4} + 22 = \frac{7}{4}$ , $g (10) = 0$ , $g (11) = - \frac{121}{4} + 28 = \frac{9}{4}$
3Na $⟨ 9, 10 ⟩$ funkcja maleje do $0$ , na $⟨ 10, 11 ⟩$ rośnie do $\frac{9}{4}$ .
4Zbiór wartości: $⟨ 0, \frac{9}{4} ⟩$

Odpowiedź: $⟨ 0, \frac{9}{4} ⟩$

Zadanie 3

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2.2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

(wykres na rysunku). Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru

m

, dla których równanie

g (x) = ∣ m ∣

ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Odczytaj z wykresu: $g (0) = 5$ , lokalne maksimum $g (6) = 4$ , zera w $2$ i $10$ . Policz punkty przecięcia z prostą $y = ∣ m ∣$ dla $x > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > 0$ : $g$ maleje od $5$ do $0$ na $(0, 2)$ , rośnie do $4$ na $(2, 6)$ , maleje do $0$ na $(6, 10)$ i rośnie do $\infty$ .
2 $∣ m ∣ = 0$ : rozwiązania $2$ i $10$ — dwa.
3 $0 < ∣ m ∣ < 4$ : cztery; $∣ m ∣ = 4$ : trzy.
4 $4 < ∣ m ∣ < 5$ : dwa (na $(0, 2)$ i na $(10, \infty)$ ); $∣ m ∣ ⩾ 5$ : jedno.
5 $m \in (- 5, - 4) \cup {0} \cup (4, 5)$

Odpowiedź: $m \in (- 5, - 4) \cup {0} \cup (4, 5)$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 3) (x^{2} + (m - 1) x - 6 m^{2} + 2 m) = 0

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Wskazówka

Policz wyróżnik trójmianu — jest pełnym kwadratem, więc pierwiastki da się zapisać jawnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 1)^{2} + 4 (6 m^{2} - 2 m) = (5 m - 1)^{2}$
2Pierwiastki trójmianu: $x = 2 m$ oraz $x = 1 - 3 m$ .
3Zbiór ${3, 2 m, 1 - 3 m}$ ma mieć dokładnie dwa elementy.
4 $2 m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$ (rozwiązania $3$ i $- \frac{7}{2}$ ); $1 - 3 m = 3 \Rightarrow m = - \frac{2}{3}$ (rozwiązania $3$ i $- \frac{4}{3}$ ).
5 $2 m = 1 - 3 m \Rightarrow m = \frac{1}{5}$ : pierwiastek podwójny $\frac{2}{5}$ i $3$ — również dwa rozwiązania.
6Uwaga: klucz w pliku podaje tylko $m = \frac{3}{2}$ i $m = - \frac{2}{3}$ , pomijając przypadek $m = \frac{1}{5}$ .

Odpowiedź: $m \in {- \frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}}$ (klucz z pliku: $m = \frac{3}{2}$ lub $m = - \frac{2}{3}$ )

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których nierówność

(m^{2} + 4 m - 5) \cdot x^{2} + 2 x > 2 m x - 2

jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x

Wskazówka

Zapisz $(m^{2} + 4 m - 5) x^{2} + (2 - 2 m) x + 2 > 0$ i rozpatrz osobno przypadek, gdy współczynnik przy $x^{2}$ jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m^{2} + 4 m - 5 = (m + 5) (m - 1)$
2 $m = 1$ : $2 > 0$ — prawda. $m = - 5$ : $12 x + 2 > 0$ — nie dla każdego $x$ .
3W pozostałych przypadkach: $a > 0$ i $Δ < 0$ .
4 $Δ = 4 (m - 1)^{2} - 8 (m + 5) (m - 1) = - 4 (m - 1) (m + 11) < 0 \Rightarrow m < - 11$ lub $m > 1$
5Z $a > 0$ ( $m < - 5$ lub $m > 1$ ): $m \in (- \infty, - 11) \cup (1, \infty)$ ; dołączamy $m = 1$ .
6 $m \in (- \infty, - 11) \cup ⟨ 1, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 11) \cup ⟨ 1, \infty)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Parametr

m

dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

(4 - m^{2}) \cdot x = m^{2} - 3 m + 2

z niewiadomą

x

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Równanie tożsamościowe: $0 \cdot x = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 - m^{2} = 0 \Rightarrow m = \pm 2$
2 $m^{2} - 3 m + 2 = (m - 1) (m - 2) = 0 \Rightarrow m \in {1, 2}$
3Oba warunki: $m = 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m = 2$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = - x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 1

x_{2} = 12

. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wskazówka

$f (x) = - (x + 1) (x - 12)$ , wierzchołek w środku między miejscami zerowymi.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{w} = \frac{- 1 + 12}{2} = \frac{11}{2}$
2 $f (\frac{11}{2}) = - \frac{13}{2} \cdot (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} = 42, 25$
3Kod: $2, 2, 5$

Odpowiedź: $225$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału

(- \infty, 3)

Wskazówka

Warunki: $Δ > 0$ , $f (3) > 0$ , $x_{w} < 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow m < - 2$ lub $m > 2$
2 $f (3) = 2 m^{2} - 9 m + 10 > 0 \Rightarrow m < 2$ lub $m > \frac{5}{2}$
3 $x_{w} = \frac{3 m}{2} < 3 \Rightarrow m < 2$
4 $m \in (- \infty, - 2)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 2)$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Liczba

m

jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

k^{2} x^{2} + (k - 1) x + 1 = 0, gdzie k \neq = 0.

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem

f (m) = 2^{m}

Wskazówka

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (k - 1)^{2} - 4 k^{2} = - (k + 1) (3 k - 1) > 0 \Rightarrow k \in (- 1, \frac{1}{3})$ , $k \neq = 0$
2 $m = \frac{- ( k - 1 ) / k ^{2}}{1/ k ^{2}} = 1 - k \in (\frac{2}{3}, 2)$ , $m \neq = 1$
3 $f (m) = 2^{m} \in (2^{2/3}, 4) ∖ {2}$

Odpowiedź: $(34, 4) ∖ {2}$

Zadanie 10

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Liczby

(- 1)

3

są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

f

. Oblicz

\frac{f ( 6 )}{f ( 12 )}

Wskazówka

Postać iloczynowa: $f (x) = a (x + 1) (x - 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (6) = a \cdot 7 \cdot 3 = 21 a$
2 $f (12) = a \cdot 13 \cdot 9 = 117 a$
3 $\frac{21 a}{117 a} = \frac{7}{39}$

Odpowiedź: $\frac{7}{39}$

Zadanie 11

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu

y = \frac{1}{4} x^{2} + 1

jest równoodległy od osi

O x

i od punktu

F = (0, 2)

Wskazówka

Porównaj kwadraty odległości punktu $(x, \frac{1}{4} x^{2} + 1)$ od $O x$ i od $F$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Odległość od $O x$ : $y = \frac{1}{4} x^{2} + 1 > 0$ .
2 $∣ P F ∣^{2} = x^{2} + (\frac{1}{4} x^{2} - 1)^{2} = \frac{1}{16} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + 1 = (\frac{1}{4} x^{2} + 1)^{2}$
3Zatem $∣ P F ∣ = \frac{1}{4} x^{2} + 1$ — odległości są równe.

Odpowiedź: Dowód

Zadanie 12

Matura: maj 2007

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 7 pkt

Wierzchołki trójkąta równobocznego

A B C

są punktami paraboli

y = - x^{2} + 6 x

. Punkt

C

jest jej wierzchołkiem, a bok

A B

jest równoległy do osi

O x

. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Wskazówka

$C = (3, 9)$ . Niech $A = (3 - t, y)$ , $B = (3 + t, y)$ ; wysokość trójkąta to $3 t$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y = - (x - 3)^{2} + 9$ , więc $C = (3, 9)$ .
2Dla $A = (3 - t, 9 - t^{2})$ , $B = (3 + t, 9 - t^{2})$ : bok $2 t$ , wysokość $t^{2}$ .
3 $t^{2} = 3 t \Rightarrow t = 3$ , $y = 6$ .
4 $A = (3 - 3, 6)$ , $B = (3 + 3, 6)$ , $C = (3, 9)$

Odpowiedź: $A = (3 - 3, 6)$ , $B = (3 + 3, 6)$ , $C = (3, 9)$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2005

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie liczby całkowite

k

, dla których funkcja

f (x) = x^{2} - 2^{k} \cdot x + 2^{k} + \frac{5}{4}

przyjmuje wartości dodatnie dla każdego

x \in R

Wskazówka

Warunek $Δ < 0$ ; podstaw $t = 2^{k} > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 4^{k} - 4 \cdot 2^{k} - 5 < 0$
2 $t^{2} - 4 t - 5 = (t - 5) (t + 1) < 0 \Rightarrow 0 < t < 5$
3 $2^{k} < 5 \Rightarrow k ⩽ 2$ dla $k$ całkowitych.

Odpowiedź: $k \in {2, 1, 0, - 1, - 2, \dots}$

Zadanie 14

Matura: styczeń 2003

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

f : R \to R

, określonej wzorem

f (x) = (x - 1) \cdot (5 - x)

, w przedziale

⟨ 0, 7 ⟩

Wskazówka

Wierzchołek leży w środku między miejscami zerowymi $1$ i $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{w} = 3 \in ⟨ 0, 7 ⟩$ , $f (3) = 4$
2 $f (0) = - 5$ , $f (7) = 6 \cdot (- 2) = - 12$
3Najmniejsza: $- 12$ , największa: $4$

Odpowiedź: najmniejsza $- 12$ , największa $4$

Zadanie 15

Matura: maj 2002

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - 3 (m + 1) x + m = 0

nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wskazówka

Dla $m = 0$ równanie jest liniowe; dla $m \neq = 0$ żądaj $Δ < 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m = 0$ : $- 3 x = 0$ — ma rozwiązanie.
2 $Δ = 9 (m + 1)^{2} - 4 m^{2} = (m + 3) (5 m + 3) < 0$
3 $m \in (- 3, - \frac{3}{5})$

Odpowiedź: $m \in (- 3, - \frac{3}{5})$

Zadanie 16

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + b x + c = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wartości

b

oraz

c

tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

Wskazówka

Podstaw $x = b$ i $x = c$ do równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = b$ : $2 b^{2} + c = 0 \Rightarrow c = - 2 b^{2}$
2 $x = c$ : $c^{2} + b c + c = 0 \Rightarrow c = 0$ lub $c = - b - 1$
3 $c = 0 \Rightarrow b = 0$
4 $- b - 1 = - 2 b^{2} \Rightarrow 2 b^{2} - b - 1 = 0 \Rightarrow b = 1$ ( $c = - 2$ ) lub $b = - \frac{1}{2}$ ( $c = - \frac{1}{2}$ )

Odpowiedź: $b = 0, c = 0$ lub $b = - \frac{1}{2}, c = - \frac{1}{2}$ lub $b = 1, c = - 2$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + m x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + 4 \cdot x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} ⩾ 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} - 4 m > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > 4$ .
2 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (s^{2} - 2 p)^{2} - 2 p^{2}$ , gdzie $s = - m$ , $p = m$ .
3 $(m^{2} - 2 m)^{2} - 2 m^{2} + 4 m^{3} = m^{4} + 2 m^{2} ⩾ 3 \Rightarrow m^{2} ⩾ 1$
4 $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (4, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (4, \infty)$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + 2 m x + 2 m - 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

m (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = 3 m \cdot x_{1} \cdot x_{2} + 2

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 4 (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 1$ .
2 $m (4 m^{2} - 4 m + 2) = 3 m (2 m - 1) + 2 \Rightarrow 4 m^{3} - 10 m^{2} + 5 m - 2 = 0$
3 $(m - 2) (4 m^{2} - 2 m + 1) = 0$ , drugi czynnik nie ma pierwiastków.
4 $m = 2$

Odpowiedź: $m = 2$

Zadanie 3

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = (2 - m) x^{2} - 2 (2 m + 1) x + m + 8

dla każdej liczby rzeczywistej

x

, gdzie

m \neq = 2

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dokładnie dwa miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

tego samego znaku, które spełniają warunek

(x_{1} - x_{2})^{2} ⩽ 180

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 20 (m^{2} + 2 m - 3) > 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $m > 1$ .
2Ten sam znak: $x_{1} x_{2} = \frac{m + 8}{2 - m} > 0 \Rightarrow m \in (- 8, 2)$ .
3 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{a ^{2}} = \frac{20 ( m ^{2} + 2 m - 3 )}{( 2 - m ) ^{2}} ⩽ 180 \Rightarrow 8 m^{2} - 38 m + 39 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ \frac{3}{2}$ lub $m ⩾ \frac{13}{4}$
4 $m \in (- 8, - 3) \cup (1, 1 \frac{1}{2} ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- 8, - 3) \cup (1, 1 \frac{1}{2} ⟩$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(3 - m) \cdot x^{2} + (m + 1) \cdot x - (m + 1)^{2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} \cdot x_{2} + 7

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 3$ ; $Δ = (m + 1)^{2} (13 - 4 m) > 0 \Rightarrow m \neq = - 1$ i $m < \frac{13}{4}$ .
2Warunek: $s^{2} - 3 p = 7$ , czyli $(m + 1)^{2} (10 - 3 m) = 7 (3 - m)^{2}$ .
3 $3 m^{3} + 3 m^{2} - 59 m + 53 = 0 \Rightarrow (m - 1) (3 m^{2} + 6 m - 53) = 0$
4 $m = 1$ lub $m = \frac{- 3 \pm 2 42}{3}$ ; $\frac{- 3 + 2 42}{3} > \frac{13}{4}$ odpada.

Odpowiedź: $m \in {1, \frac{- 3 - 2 42}{3}}$

Zadanie 5

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (3 m + 1) \cdot x + 2 m^{2} + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2} - 3) ⩽ 3 m - 7

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} + 2 m - 3 > 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $m > 1$ .
2Lewa strona: $s^{3} - 3 p s + 3 p s - 9 p = s^{3} - 9 p$ .
3 $(3 m + 1)^{3} - 9 (2 m^{2} + m + 1) ⩽ 3 m - 7 \Leftrightarrow (3 m + 1)^{2} (3 m - 1) ⩽ 0 \Leftrightarrow m ⩽ \frac{1}{3}$
4 $m \in (- \infty, - 3)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 3)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - (m + 1) x - 2 m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} < 1

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 0$ ; $Δ = 9 m^{2} - 10 m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{9}$ lub $m > 1$ ; $x_{1} x_{2} \neq = 0 \Rightarrow m \neq = \frac{3}{2}$ .
2 $\frac{s ^{2} - 2 p}{p ^{2}} < 1 \Rightarrow (m + 1)^{2} - 2 m (3 - 2 m) < (3 - 2 m)^{2} \Rightarrow m^{2} + 8 m - 8 < 0$
3 $m \in (- 4 - 26, - 4 + 26)$ , przy czym $- 4 + 26 \approx 0, 9$ .
4Z warunkiem $Δ > 0$ : $m \in (- 4 - 26, 0) \cup (0, \frac{1}{9})$ .
5Uwaga: klucz w pliku podaje $(- 4 - 26, 0) \cup (0, - 4 + 26)$ — pomija warunek $Δ > 0$ (np. dla $m = \frac{1}{2}$ równanie nie ma rozwiązań).

Odpowiedź: $m \in (- 4 - 26, 0) \cup (0, \frac{1}{9})$ (klucz z pliku: $(- 4 - 26, 0) \cup (0, - 4 + 26)$ )

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m \neq = 2

, dla których równanie

x^{2} + 4 x - \frac{m - 3}{m - 2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 28

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $16 + \frac{4 ( m - 3 )}{m - 2} > 0 \Rightarrow \frac{5 m - 11}{m - 2} > 0 \Rightarrow m < 2$ lub $m > \frac{11}{5}$ .
2 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = s^{3} - 3 p s = - 64 - \frac{12 ( m - 3 )}{m - 2} > - 28 \Rightarrow \frac{4 m - 9}{m - 2} < 0 \Rightarrow m \in (2, \frac{9}{4})$
3 $m \in (2 \frac{1}{5}, 2 \frac{1}{4})$

Odpowiedź: $m \in (2 \frac{1}{5}, 2 \frac{1}{4})$

Zadanie 8

Matura: pokazowa 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dane jest równanie

(x - 6) \cdot [(m - 2) x^{2} - 4 (m + 3) x + m + 1] = 0

z niewiadomą

x

i parametrem

m \in R

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Trójmian ma mieć dwa różne pierwiastki dodatnie, różne od $6$ ; $m \neq = 2$ .
2 $Δ = 16 (m + 3)^{2} - 4 (m - 2) (m + 1) > 0 \Leftrightarrow 3 m^{2} + 25 m + 38 > 0 \Leftrightarrow m < - \frac{19}{3}$ lub $m > - 2$
3 $x_{1} x_{2} = \frac{m + 1}{m - 2} > 0$ i $x_{1} + x_{2} = \frac{4 ( m + 3 )}{m - 2} > 0$ $\Rightarrow m < - 3$ lub $m > 2$ .
4 $x = 6$ jest pierwiastkiem trójmianu dla $m = 11$ — wykluczamy.
5 $m \in (- \infty, - 6 \frac{1}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)$ (w kluczu w pliku zgubiono minus przy $6 \frac{1}{3}$ ).

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 6 \frac{1}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} < 5 x_{1}^{2} \cdot x_{2} + 5 x_{1} \cdot x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m - 4)^{2} - 4 (m - 3) (m - 4) = - (m - 4) (3 m - 8) > 0 \Rightarrow m \in (\frac{8}{3}, 4)$ .
2 $s^{3} - 3 p s < 5 p s \Leftrightarrow s (s^{2} - 8 p) < 0$ , gdzie $s = m - 4 < 0$ .
3 $s^{2} - 8 p > 0 \Leftrightarrow (m - 4)^{2} - 8 (m - 3) (m - 4) > 0 \Leftrightarrow (m - 4) (- 7 m + 20) > 0 \Leftrightarrow m \in (\frac{20}{7}, 4)$
4 $m \in (2 \frac{6}{7}, 4)$

Odpowiedź: $m \in (2 \frac{6}{7}, 4)$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 4) [x^{2} + (m - 3) x + m^{2} - m - 6] = 0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

oraz

x_{3}

, spełniające warunek

x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} > x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 5 m - 51

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Trójmian: dwa różne pierwiastki różne od $4$ . $Δ = - 3 m^{2} - 2 m + 33 > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{11}{3}, 3)$ .
2 $4$ jest pierwiastkiem dla $m^{2} + 3 m - 2 = 0$ , tj. $m = \frac{- 3 \pm 17}{2}$ — wykluczamy.
3 $x_{3} = 4$ : $4 p > 16 + s^{2} - 2 p - 5 m - 51 \Rightarrow 6 p - s^{2} + 5 m + 35 > 0$
4 $6 (m^{2} - m - 6) - (m - 3)^{2} + 5 m + 35 = 5 m^{2} + 5 m - 10 > 0 \Rightarrow m < - 2$ lub $m > 1$
5 $m \in (- 3 \frac{2}{3}, \frac{- 3 - 17}{2}) \cup (\frac{- 3 - 17}{2}, - 2) \cup (1, 3)$

Odpowiedź: $m \in (- 3 \frac{2}{3}, \frac{- 3 - 17}{2}) \cup (\frac{- 3 - 17}{2}, - 2) \cup (1, 3)$

Zadanie 11

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m + 1) x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + 2 = \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $1$ i $m$ ; warunki $m \neq = 1$ , $m \neq = 0$ .
2 $1 + \frac{1}{m} + 2 = 1 + \frac{1}{m ^{2}} \Rightarrow 2 m^{2} + m - 1 = 0$
3 $m = \frac{1}{2}$ lub $m = - 1$

Odpowiedź: $m \in {- 1, \frac{1}{2}}$

Zadanie 12

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian kwadratowy

4 x^{2} - 2 (m + 1) x + m

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

x_{1} + x_{2} ⩽ \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (m + 1)^{2} - 16 m = 4 (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 1$ ; $p \neq = 0 \Rightarrow m \neq = 0$ .
2 $s ⩽ \frac{s}{p}$ , gdzie $s = \frac{m + 1}{2}$ , $p = \frac{m}{4}$ : $\frac{m + 1}{2} (1 - \frac{4}{m}) ⩽ 0$
3 $\frac{( m + 1 ) ( m - 4 )}{m} ⩽ 0 \Rightarrow m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 4 ⟩$
4 $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 1) \cup (1, 4 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 1) \cup (1, 4 ⟩$

Zadanie 13

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

x^{2} - 2 a x + a^{3} - 2 a = 0

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ > 0$ : $4 a^{2} - 4 a^{3} + 8 a > 0 \Rightarrow a (a^{2} - a - 2) < 0 \Rightarrow a < - 1$ lub $0 < a < 2$
2 $x_{1} + x_{2} = 2 a > 0$ , $x_{1} x_{2} = a (a^{2} - 2) > 0 \Rightarrow a > 2$
3 $a \in (2, 2)$

Odpowiedź: $a \in (2, 2)$

Zadanie 14

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie kwadratowe

x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których różne rozwiązania

x_{1}

x_{2}

tego równania istnieją i spełniają warunek

2 x_{1}^{2} + 5 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = 2

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m - 8)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 8$ .
2 $2 s^{2} + p = 2 \Rightarrow 2 (3 m + 2)^{2} + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 2 \Rightarrow 20 m^{2} + 31 m - 9 = 0$
3 $m = \frac{1}{4}$ lub $m = - \frac{9}{5}$

Odpowiedź: $m \in {- \frac{9}{5}, \frac{1}{4}}$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} + (2 - 4 m) x + m^{2} - m - 2 = 0

ma dwa różne dodatnie rozwiązania

x_{1}, x_{2}

spełniające nierówność

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ⩽ \frac{17}{4}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (2 - 4 m)^{2} - 16 (m^{2} - m - 2) = 36 > 0$ — zawsze.
2Dodatnie: $s = \frac{2 m - 1}{2} > 0$ , $p = \frac{( m - 2 ) ( m + 1 )}{4} > 0 \Rightarrow m > 2$
3 $s^{2} - 2 p = \frac{( 2 m - 1 ) ^{2} - 2 ( m ^{2} - m - 2 )}{4} = \frac{2 m ^{2} - 2 m + 5}{4} ⩽ \frac{17}{4} \Rightarrow m \in ⟨ - 2, 3 ⟩$
4 $m \in (2, 3 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (2, 3 ⟩$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + (m + 1) (2 m - 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania

x_{1}, x_{2}

spełniające warunki:

x_{1} \cdot x_{2} \neq = 0

oraz

0 < \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} ⩽ \frac{2}{3}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m - 2)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 2$ ; $p \neq = 0 \Rightarrow m \neq = - 1, \frac{1}{2}$ .
2 $\frac{s}{p} = \frac{3 m}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} > 0 \Rightarrow m \in (- 1, 0) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$
3 $\frac{3 m}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} ⩽ \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{( 4 m + 1 ) ( m - 2 )}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} ⩾ 0$
4 $m \in ⟨ - \frac{1}{4}, 0) \cup (2, \infty)$

Odpowiedź: $m \in ⟨ - \frac{1}{4}, 0) \cup (2, \infty)$

Zadanie 17

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (m + 1) x - m^{2} + 1 = 0

ma dwa rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

(

x_{1} \neq = x_{2}

), spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 7 x_{1} x_{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m + 1) (5 m - 3) > 0 \Rightarrow m < - 1$ lub $m > \frac{3}{5}$ .
2 $s^{3} - 3 p s + 7 p > 0$ , gdzie $s = - (m + 1)$ , $p = 1 - m^{2}$ .
3 $(m + 1) [- (m + 1)^{2} + 3 (1 - m^{2}) + 7 (1 - m)] = - (m + 1) (4 m - 3) (m + 3) > 0$
4 $(m + 1) (4 m - 3) (m + 3) < 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $- 1 < m < \frac{3}{4}$
5Z warunkiem $Δ > 0$ : $m \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})$

Zadanie 18

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} - 6 m x + (2 m + 3) (m - 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

, przy czym

x_{1} < x_{2}

, spełniające warunek

(4 x_{1} - 4 x_{2} - 1) (4 x_{1} - 4 x_{2} + 1) < 0

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $16 (x_{1} - x_{2})^{2} < 1$ .
2 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{16}$ , $Δ = 36 m^{2} - 16 (2 m^{2} - 3 m - 9) = 4 (m + 6)^{2}$
3 $Δ > 0 \Rightarrow m \neq = - 6$ ; $4 (m + 6)^{2} < 1 \Rightarrow ∣ m + 6∣ < \frac{1}{2}$
4 $m \in (- 6 \frac{1}{2}, - 6) \cup (- 6, - 5 \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in (- 6 \frac{1}{2}, - 6) \cup (- 6, - 5 \frac{1}{2})$

Zadanie 19

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Dany jest trójmian kwadratowy

f (x) = x^{2} + 2 (m + 1) x + 6 m + 1

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru

m

, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

tego samego znaku, spełniające warunek

∣ x_{1} - x_{2} ∣ < 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 4 (m^{2} - 4 m) > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > 4$ .
2Ten sam znak: $6 m + 1 > 0 \Rightarrow m > - \frac{1}{6}$ .
3 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = Δ = 2 m^{2} - 4 m < 3 \Rightarrow 4 m^{2} - 16 m - 9 < 0 \Rightarrow m \in (- \frac{1}{2}, \frac{9}{2})$
4 $m \in (- \frac{1}{6}, 0) \cup (4, 4 \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in (- \frac{1}{6}, 0) \cup (4, 4 \frac{1}{2})$

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{m ^{2} + m - 6}{m - 5} x^{2} - (m - 2) x + m - 5

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wyznacz całkowite wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wartość największa: $a = \frac{( m + 3 ) ( m - 2 )}{m - 5} < 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $2 < m < 5$ .
2Jednakowe znaki: $x_{1} x_{2} = \frac{( m - 5 ) ^{2}}{( m + 3 ) ( m - 2 )} > 0$ — spełnione przy $m < - 3$ lub $m > 2$ .
3 $Δ = (m - 2)^{2} - 4 (m + 3) (m - 2) = - (m - 2) (3 m + 14) > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{14}{3}, 2)$
4Część wspólna: $m \in (- \frac{14}{3}, - 3)$ ; jedyna liczba całkowita: $m = - 4$ .

Odpowiedź: $m = - 4$

Zadanie 21

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dany jest trójmian kwadratowy

f (x) = (m + 1) x^{2} + 2 (m - 2) x - m + 4

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian

f

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = x_{1}^{4} - x_{2}^{4}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = - 1$ ; $Δ = 4 (m - 2)^{2} + 4 (m + 1) (m - 4) = 4 (2 m^{2} - 7 m) > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > \frac{7}{2}$
2 $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$ . Gdy $x_{1} = - x_{2}$ : $s = 0 \Rightarrow m = 2$ — odpada ( $Δ < 0$ ).
3Zatem $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1$ : $\frac{4 ( m - 2 ) ^{2}}{( m + 1 ) ^{2}} - \frac{2 ( 4 - m )}{m + 1} = 1 \Rightarrow 5 m^{2} - 24 m + 7 = 0$
4 $m = \frac{12 \pm 109}{5}$ ; $\frac{12 - 109}{5} \approx 0, 31$ nie spełnia warunku $Δ > 0$ , zostaje $m = \frac{12 + 109}{5} \approx 4, 49$ .

Odpowiedź: $m = \frac{12 + 109}{5}$

Zadanie 22

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(m^{2} - m) x^{2} - x + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

\frac{1}{x _{1} + x _{2}} ⩽ \frac{m}{3} ⩽ \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 0, 1$ ; $Δ = 1 - 4 (m^{2} - m) > 0 \Rightarrow m \in (\frac{1 - 2}{2}, \frac{1 + 2}{2})$
2 $x_{1} + x_{2} = \frac{1}{m ^{2} - m}$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{s}{p} = 1$
3 $m^{2} - m ⩽ \frac{m}{3} ⩽ 1 \Rightarrow m \in ⟨ 0, \frac{4}{3} ⟩$ , $m ⩽ 3$
4 $m \in (0, 1) \cup (1, \frac{1 + 2}{2})$

Odpowiedź: $m \in (0, 1) \cup (1, \frac{1 + 2}{2})$

Zadanie 23

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja kwadratowa

f (x) = x^{2} - (2 m + 2) x + 2 m + 5

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

takie, że suma kwadratów odległości punktów

A = (x_{1}, 0)

B = (x_{2}, 0)

od prostej o równaniu

x + y + 1 = 0

jest równa

6

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (m + 1)^{2} - 4 (2 m + 5) = 4 (m^{2} - 4) > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 2$ .
2 $\frac{( x _{1} + 1 ) ^{2} + ( x _{2} + 1 ) ^{2}}{2} = 6 \Rightarrow s^{2} - 2 p + 2 s + 2 = 12$
3 $(2 m + 2)^{2} - 2 (2 m + 5) + 2 (2 m + 2) - 10 = 0 \Rightarrow 4 m^{2} + 8 m - 12 = 0 \Rightarrow m \in {1, - 3}$
4 $m = 1$ odpada, $m = - 3$

Odpowiedź: $m = - 3$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (2 m - 5) x + 2 m + 3 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

(x_{1} + x_{2})^{2} ⩾ x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} ⩾ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(2 m - 5)^{2} - 4 (2 m + 3) = 4 m^{2} - 28 m + 13 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2}$ lub $m > \frac{13}{2}$ .
2 $s^{2} ⩾ p^{2} \Leftrightarrow (s - p) (s + p) ⩾ 0$ : $(- 4 m + 2) (8) ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ \frac{1}{2}$
3 $p^{2} ⩾ s^{2} - 2 p \Leftrightarrow (2 m + 3)^{2} + 2 (2 m + 3) - (2 m - 5)^{2} ⩾ 0 \Leftrightarrow 36 m - 10 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩾ \frac{5}{18}$
4 $m \in ⟨ \frac{5}{18}, \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in ⟨ \frac{5}{18}, \frac{1}{2})$

Zadanie 25

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + 2 (1 - m) x + m^{2} - m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1} \cdot x_{2} ⩽ 6 m ⩽ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (1 - m)^{2} - 4 (m^{2} - m) = 4 (1 - m) > 0 \Rightarrow m < 1$ .
2 $m^{2} - m ⩽ 6 m \Rightarrow m \in ⟨ 0, 7 ⟩$
3 $6 m ⩽ 4 (1 - m)^{2} - 2 (m^{2} - m) = 2 m^{2} - 6 m + 4 \Rightarrow m^{2} - 6 m + 2 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ 3 - 7$ lub $m ⩾ 3 + 7$
4 $m \in ⟨ 0, 3 - 7 ⟩$

Odpowiedź: $m \in ⟨ 0, 3 - 7 ⟩$

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(m + 1) x^{2} - 3 m x + m + 1 = 0

ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż

2, 5

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = - 1$ ; $Δ = 9 m^{2} - 4 (m + 1)^{2} = (5 m + 2) (m - 2) > 0 \Rightarrow m < - \frac{2}{5}$ lub $m > 2$
2 $\frac{3 m}{m + 1} ⩽ \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{m - 5}{m + 1} ⩽ 0 \Rightarrow m \in (- 1, 5 ⟩$
3 $m \in (- 1, - \frac{2}{5}) \cup (2, 5 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- 1, - \frac{2}{5}) \cup (2, 5 ⟩$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

(x_{1} + x_{2}) (x_{1} + x_{2} - 1) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m \in (\frac{8}{3}, 4)$ (jak w zad. 9).
2 $s^{2} - s = s^{2} - 2 p \Rightarrow s = 2 p$
3 $m - 4 = 2 (m - 3) (m - 4) \Rightarrow (m - 4) (2 m - 7) = 0$
4 $m = 4$ odpada, $m = \frac{7}{2}$

Odpowiedź: $m = 3 \frac{1}{2}$

Zadanie 28

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Oblicz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m + 2) x + m + 4 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = 4 m^{3} + 6 m^{2} - 32 m + 12

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m + 2)^{2} - 4 (m + 4) = m^{2} - 12 > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 23$ .
2 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (s^{2} - 2 p)^{2} - 2 p^{2} = (m^{2} + 2 m - 4)^{2} - 2 (m + 4)^{2}$
3Po przyrównaniu: $m^{4} - 14 m^{2} = 0$ , czyli $m^{2} (m^{2} - 14) = 0$
4 $m = \pm 14$ ( $m = 0$ odpada)

Odpowiedź: $m \in {- 14, 14}$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

2 x^{2} + (3 - 2 m) x - m + 1 = 0

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

takie, że

∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = \frac{Δ}{∣ a ∣}$ , $Δ = (3 - 2 m)^{2} + 8 (m - 1) = 4 m^{2} - 4 m + 1 = (2 m - 1)^{2}$
2 $\frac{∣2 m - 1∣}{2} = 3 \Rightarrow ∣2 m - 1∣ = 6$
3 $m = \frac{7}{2}$ lub $m = - \frac{5}{2}$

Odpowiedź: $m \in {- 2 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}}$

Zadanie 30

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 4 m x - m^{3} + 6 m^{2} + m - 2 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

(x_{1} - x_{2})^{2} < 8 (m + 1)

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x_{1} - x_{2})^{2} = Δ = 16 m^{2} + 4 (m^{3} - 6 m^{2} - m + 2) = 4 (m^{3} - 2 m^{2} - m + 2) = 4 (m - 2) (m - 1) (m + 1)$
2 $Δ > 0 \Rightarrow m \in (- 1, 1) \cup (2, \infty)$
3 $4 (m - 2) (m - 1) (m + 1) < 8 (m + 1) \Leftrightarrow (m + 1) (m^{2} - 3 m) < 0 \Leftrightarrow m (m + 1) (m - 3) < 0$
4 $m \in (0, 1) \cup (2, 3)$

Odpowiedź: $m \in (0, 1) \cup (2, 3)$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

2 x^{2} - (m - 2) x - 3 m = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} ⩽ 25

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 2)^{2} + 24 m = m^{2} + 20 m + 4 > 0 \Rightarrow m < - 10 - 46$ lub $m > - 10 + 46$
2 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{4} ⩽ 25 \Rightarrow m^{2} + 20 m - 96 ⩽ 0 \Rightarrow m \in ⟨ - 24, 4 ⟩$
3 $m \in ⟨ - 24, - 10 - 46) \cup (- 10 + 46, 4 ⟩$

Odpowiedź: $m \in ⟨ - 24, - 10 - 46) \cup (- 10 + 46, 4 ⟩$

Zadanie 32

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + m x + 2 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od

2 m^{2} - 13

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} - 8 > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 22$ .
2 $m^{2} - 4 > 2 m^{2} - 13 \Rightarrow m^{2} < 9$
3 $m \in (- 3, - 22) \cup (22, 3)$

Odpowiedź: $m \in (- 3, - 22) \cup (22, 3)$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 4 m = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od

2 m^{3} - 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m - 4)^{2} - 4 (m^{2} - 4 m) = - 3 m^{2} + 8 m + 16 = - (3 m + 4) (m - 4) > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{4}{3}, 4)$ .
2 $m - 4 < 2 m^{3} - 3 \Leftrightarrow 2 m^{3} - m + 1 > 0 \Leftrightarrow (m + 1) (2 m^{2} - 2 m + 1) > 0 \Leftrightarrow m > - 1$
3 $m \in (- 1, 4)$

Odpowiedź: $m \in (- 1, 4)$

Zadanie 34

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Liczby

x_{1} = 5 + 23

x_{2} = 5 - 23

są rozwiązaniami równania

x^{2} - (p^{2} + q^{2}) x + (p + q) = 0

z niewiadomą

x

. Oblicz wartości

p

q

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} + x_{2} = 10 = p^{2} + q^{2}$
2 $x_{1} x_{2} = 25 - 23 = 2 = p + q$
3 $p^{2} + q^{2} = (p + q)^{2} - 2 pq \Rightarrow pq = - 3$
4 $p, q$ to pierwiastki $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ : ${- 1, 3}$

Odpowiedź: $p = - 1, q = 3$ lub $p = 3, q = - 1$

Zadanie 35

Matura: maj 2005

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 10 pkt

Dane jest równanie:

x^{2} + (m - 5) x + m^{2} + m + \frac{1}{4} = 0

. Zbadaj, dla jakich wartości parametru

m

stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 5)^{2} - 4 (m + \frac{1}{2})^{2} ⩾ 0 \Rightarrow (m - 5 - 2 m - 1) (m - 5 + 2 m + 1) ⩾ 0 \Rightarrow m \in ⟨ - 6, \frac{4}{3} ⟩$ , $m \neq = - \frac{1}{2}$
2 $f (m) = \frac{s}{p} = \frac{5 - m}{( m + \frac{1}{2} ) ^{2}}$
3 $f^{'} (m) = \frac{m - \frac{21}{2}}{( m + \frac{1}{2} ) ^{3}}$ : $f$ rośnie na $⟨ - 6, - \frac{1}{2})$ i maleje na $(- \frac{1}{2}, \frac{4}{3} ⟩$ ; $f (\frac{4}{3}) = \frac{12}{11}$ .
4 $f (- 6) = \frac{11}{\frac{121}{4}} = \frac{4}{11}$

Odpowiedź: $m = - 6$ , najmniejsza wartość $\frac{4}{11}$

Zadanie 36

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + (3 m - 2) x = - m - 2

z niewiadomą

x

. Sformułuj warunki, jakie powinien spełniać parametr

m

, by to równanie miało dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + (3 m - 2) x + m + 2 = 0$ ; $Δ = 9 m^{2} - 16 m - 4 = (9 m + 2) (m - 2) > 0 \Rightarrow m < - \frac{2}{9}$ lub $m > 2$
2 $\frac{s}{p} = \frac{2 - 3 m}{m + 2} > 0 \Rightarrow m \in (- 2, \frac{2}{3})$
3 $m \in (- 2, - \frac{2}{9})$

Odpowiedź: $m \in (- 2, - \frac{2}{9})$

Zadanie 1

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 6 pkt

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty

P

postaci

P = (\frac{1}{2} m + \frac{5}{2}, m)

, gdzie

m \in ⟨ - 1, 7 ⟩

. Oblicz najmniejszą i największą wartość

∣ P Q ∣^{2}

, gdzie

Q = (\frac{55}{2}, 0)

Wskazówka

Zapisz $∣ P Q ∣^{2}$ jako funkcję kwadratową zmiennej $m$ i sprawdź, gdzie leży wierzchołek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ P Q ∣^{2} = (\frac{1}{2} m - 25)^{2} + m^{2} = \frac{5}{4} m^{2} - 25 m + 625$
2 $m_{w} = 10 \in / ⟨ - 1, 7 ⟩$ — funkcja maleje na tym przedziale.
3 $m = 7$ : $511 \frac{1}{4}$ ; $m = - 1$ : $651 \frac{1}{4}$

Odpowiedź: najmniejsza $511 \frac{1}{4}$ , największa $651 \frac{1}{4}$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Na płaszczyźnie dane są punkty

A = (3, - 2)

B = (11, 4)

. Na prostej o równaniu

y = 8 x + 10

znajdź punkt

P

, dla którego suma

∣ A P ∣^{2} + ∣ B P ∣^{2}

jest najmniejsza.

Wskazówka

$P = (x, 8 x + 10)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A P ∣^{2} + ∣ B P ∣^{2} = (x - 3)^{2} + (8 x + 12)^{2} + (x - 11)^{2} + (8 x + 6)^{2} = 130 x^{2} + 260 x + 310$
2Minimum dla $x = - 1$ , wtedy $y = 2$ .

Odpowiedź: $P = (- 1, 2)$

Zadanie 3

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa

24

, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Wskazówka

Krawędzi podstaw jest $12$ , bocznych $6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 a + 6 h = 24 \Rightarrow h = 4 - 2 a$ , $a \in (0, 2)$
2 $P_{b} = 6 ah = 24 a - 12 a^{2}$
3Maksimum dla $a = 1$ .

Odpowiedź: $1$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku równym

2

. Na bokach

B C

C D

wybrano odpowiednio punkty

E

F

, różne od wierzchołków kwadratu, takie że

∣ C E ∣ = ∣ D F ∣ = x

. Oblicz wartość

x

, dla której pole trójkąta

A E F

jest najmniejsze, i oblicz to pole.

Wskazówka

Od pola kwadratu odejmij pola trzech trójkątów prostokątnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = 4 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2 - x) - \frac{1}{2} x (2 - x) - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x = \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$
2Minimum dla $x = 1$ : $P = \frac{3}{2}$

Odpowiedź: $x = 1$ , $P = 1 \frac{1}{2}$

Zadanie 5

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Bok kwadratu

A B C D

ma długość

1

. Na bokach

B C

C D

wybrano odpowiednio punkty

E

F

umieszczone tak, by

∣ C E ∣ = 2∣ D F ∣

. Oblicz wartość

x = ∣ D F ∣

, dla której pole trójkąta

A E F

jest najmniejsze.

Wskazówka

$∣ C E ∣ = 2 x$ , $∣ B E ∣ = 1 - 2 x$ , $∣ C F ∣ = 1 - x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = 1 - \frac{1}{2} (1 - 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 2 x (1 - x) - \frac{1}{2} x = x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$
2Minimum dla $x = \frac{1}{4} \in (0, \frac{1}{2})$ .

Odpowiedź: $x = \frac{1}{4}$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Dane są punkty

A = (1, 5)

B = (9, 3)

i prosta

k

o równaniu

y = x + 1

. Oblicz współrzędne punktu

C

leżącego na prostej

k

, dla którego suma

∣ A C ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2}

jest najmniejsza.

Wskazówka

$C = (x, x + 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A C ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} = (x - 1)^{2} + (x - 4)^{2} + (x - 9)^{2} + (x - 2)^{2} = 4 x^{2} - 32 x + 102$
2Minimum dla $x = 4$ : $C = (4, 5)$ .

Odpowiedź: $C = (4, 5)$

Zadanie 7

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu

y = x^{2}

, a drugi na prostej o równaniu

y = 2 x - 6

. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od

5

. Sporządź odpowiedni rysunek.

Wskazówka

Odcinek jest nie krótszy niż odległość jego końca na paraboli od prostej $2 x - y - 6 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $P = (t, t^{2})$ : $d = \frac{∣2 t - t ^{2} - 6∣}{5} = \frac{( t - 1 ) ^{2} + 5}{5} ⩾ \frac{5}{5} = 5$
2Długość odcinka $⩾ d ⩾ 5$ (równość dla $P = (1, 1)$ ).

Odpowiedź: Dowód

Zadanie 8

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

W skarbcu królewskim było

k

monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił

25

monet, a każdego następnego ranka dorzucał o

2

monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia

50

monet. Oblicz najmniejszą liczbę

k

, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości

k

oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Wskazówka

Dorzucane kwoty tworzą ciąg arytmetyczny $25, 27, 29, \dots$

Rozwiązanie krok po kroku

1Po południu $n$ -tego dnia: $k + (n^{2} + 24 n) - 50 n = k + n^{2} - 26 n$
2Minimum dla $n = 13$ : $k - 169$ .
3 $k - 169 ⩾ 1 \Rightarrow k = 170$

Odpowiedź: $k = 170$ , trzynastego dnia

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Zdarzenie

A

polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie większa od

10

. Prawdopodobieństwo zdarzenia

A

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma $11$ : $(5, 6), (6, 5)$ ; suma $12$ : $(6, 6)$ .
2 $∣ A ∣ = 3$ , $P (A) = \frac{3}{36}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{36}$

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są dwa zbiory cyfr:

X = {1, 3, 5, 7, 9}

oraz

Y = {0, 2, 4, 6, 8}

. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru

X

, a następnie jedną cyfrę ze zbioru

Y

. Zapisujemy liczbę dwucyfrową, w której cyfra ze zbioru

X

jest cyfrą dziesiątek, a cyfra ze zbioru

Y

— cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana liczba będzie podzielna przez

6

Wskazówka

Liczba jest parzysta zawsze; wystarczy, by suma cyfr dzieliła się przez $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 5 \cdot 5 = 25$
2Liczby: $12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90, 96$ — $∣ A ∣ = 9$ .
3 $P (A) = \frac{9}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{9}{25}$

Zadanie 3

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie

A

polega na tym, że wylosujemy liczbę, która jest wielokrotnością liczby

34

. Prawdopodobieństwo zdarzenia

A

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczb dwucyfrowych jest $90$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wielokrotności $34$ : $34$ , $68$ .
2 $P (A) = \frac{2}{90}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{2}{90}$

Zadanie 4

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Zdarzenie

A

polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa

11

. Prawdopodobieństwo zdarzenia

A

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5, 6), (6, 5)$
2 $P (A) = \frac{2}{36}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{2}{36}$

Zadanie 5

Matura: sierpień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są dwa zbiory:

C = {0, 4, 5, 7, 9}

oraz

D = {1, 2, 3}

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

C

, a następnie jedną liczbę ze zbioru

D

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od

9

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 5 \cdot 3 = 15$
2Pary: $(9, 1), (9, 2), (9, 3), (7, 3)$ — $∣ A ∣ = 4$ .
3 $P (A) = \frac{4}{15}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{4}{15}$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest

18

. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli czarnej jest równe

\frac{3}{5}

. Liczba kul białych w pudełku była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oznacz liczbę kul białych przez $b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{18}{18 + b} = \frac{3}{5}$
2 $90 = 54 + 3 b \Rightarrow b = 12$

Prawidłowa odpowiedź: B. $12$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pary z równymi wynikami: $6$ ; pozostałe $30$ dzielą się po połowie.
2 $∣ A ∣ = 15$ , $P (A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{12}$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest nieparzysty, gdy oba czynniki są nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A ∣ = 3 \cdot 3 = 9$
2 $P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{4}$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 29.1

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale

[19 dag, 21 dag]

. Pobrano próbę kontrolną liczącą

50

jabłek i zważono każde z nich. Na wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w próbie. Spośród

50

zważonych jabłek losujemy jedno. Prawdopodobieństwo, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zsumuj słupki dla $19$ , $20$ i $21$ dag.

Rozwiązanie krok po kroku

1Z wykresu: $8 + 17 + 11 = 36$ jabłek.
2 $P = \frac{36}{50} = \frac{18}{25}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{18}{25}$

Zadanie 10

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy

2 : 7

. Zakupiono jeden los. Prawdopodobieństwo, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Na każde $2 + 7 = 9$ losów przypadają $2$ wygrywające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{2}{2 + 7} = \frac{2}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{2}{9}$

Zadanie 11

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy

4 : 5

. Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Kul białych jest $4 k$ , czerwonych $5 k$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{4 k}{9 k} = \frac{4}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{4}{9}$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez

3

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwszy rzut nie ma znaczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1W drugim rzucie: $3$ lub $6$ — $2$ z $6$ wyników.
2 $p = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $p = \frac{1}{3}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oznacz liczbę kul zielonych przez $z$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Zielone $z$ , czarne $3 z$ , białe $6 z$ ; razem $10 z$ .
2 $P = \frac{6 z}{10 z} = \frac{3}{5}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{3}{5}$

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku znajdują się płytki z literami — spółgłoskowymi albo samogłoskowymi. Płytek ze spółgłoskami jest o

25%

więcej niż płytek z samogłoskami. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Samogłosek $s$ , spółgłosek $1, 25 s$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Razem $2, 25 s$ .
2 $P = \frac{s}{2 , 25 s} = \frac{4}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{4}{9}$

Zadanie 15

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 26

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Z wierzchołków sześcianu

A B C D E F G H

losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sześcian ma $4$ przekątne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = (2 8) = 28$
2 $P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{7}$

Zadanie 16

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez

5

, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczb dwucyfrowych jest $90$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Podzielne przez $5$ : $10, 15, \dots, 95$ — $18$ liczb.
2 $P = \frac{18}{90}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{18}{90}$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W urnie jest

9

kul, w tym cztery czerwone, trzy zielone i dwie białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Chodzi o wylosowanie kuli czerwonej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{4}{9}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{9}$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W grupie

60

osób (kobiet i mężczyzn) jest

35

kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mężczyzn: $60 - 35 = 25$ .
2 $P = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{5}{12}$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych

{20, 21, 22, \dots, 39, 40}

losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez

4

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbiór ma $21$ elementów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Podzielne przez $4$ : $20, 24, 28, 32, 36, 40$ — $6$ .
2 $P = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2}{7}$

Zadanie 20

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku jest

40

kul. Wśród nich jest

35

kul białych, a pozostałe są czerwone. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo otrzymania kuli czerwonej jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1Czerwonych: $5$ .
2 $P = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{8}$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W grupie liczącej

29

uczniów jest

15

chłopców. Losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dziewcząt: $14$ .
2 $P = \frac{14}{29}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{14}{29}$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę białą, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣Ω∣ = 2^{4} = 16$ ; wybierz miejsce jedynej kuli czarnej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A ∣ = 4$
2 $P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{4}$

Zadanie 23

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W pudełku jest

50

kuponów, wśród których

15

jest przegrywających, a pozostałe są wygrywające. Losujemy jeden kupon. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuponu wygrywającego jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wygrywających: $35$ .
2 $P = \frac{35}{50}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{35}{50}$

Zadanie 24

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Z pudełka, w którym jest tylko

6

kul białych i

n

kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

\frac{1}{3}

. Liczba kul czarnych jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ułóż równanie z $n$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{6}{6 + n} = \frac{1}{3}$
2 $18 = 6 + n \Rightarrow n = 12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $n = 12$

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od

20

, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)$ — $6$ par.
2 $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{1}{6}$

Zadanie 26

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo, że wynikiem są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣Ω∣ = 2 \cdot 2 \cdot 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 24$ , $∣ A ∣ = 1$
2 $P = \frac{1}{24}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{24}$

Zadanie 27

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy $n$ rzutach monetą $∣Ω∣ = 2^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $O R R, R O R, R R O$ — $3$ z $8$ .
2 $p = \frac{3}{8} = 0, 375$

Prawidłowa odpowiedź: B. $0, 25 ⩽ p ⩽ 0, 4$

Zadanie 28

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dwóch orłów w trzech rzutach. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy $n$ rzutach monetą $∣Ω∣ = 2^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $O O R, O R O, R O O$ — $3$ z $8$ .
2 $p = 0, 375$

Prawidłowa odpowiedź: C. $0, 35 < p ⩽ 0, 5$

Zadanie 29

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W grupie jest

15

kobiet i

18

mężczyzn. Losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo, że będzie to kobieta, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{15}{33}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{15}{33}$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Na loterię przygotowano pulę

100

losów, w tym

4

wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po wylosowaniu $k$ losów zostały $3$ wygrywające na $100 - k$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{3}{100 - k} = \frac{4}{100}$
2 $300 = 400 - 4 k \Rightarrow k = 25$

Prawidłowa odpowiedź: D. $25$ losów.

Zadanie 31

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul: czerwona i niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣Ω∣ = 2^{3} = 8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Kula niebieska z jednego z $3$ pojemników: $∣ A ∣ = 3$ .
2 $p = \frac{3}{8}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $p = \frac{3}{8}$

Zadanie 32

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech

p_{i}

oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia

i

oczek w

i

-tym rzucie. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Każdy rzut jest niezależny; konkretna liczba oczek ma prawdopodobieństwo $\frac{1}{6}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p_{i} = \frac{1}{6}$ dla każdego $i$ .
2Prawdziwe: $p_{6} = \frac{1}{6}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $p_{6} = \frac{1}{6}$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zdarzenie przeciwne: same orły.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{7}{8}$

Zadanie 34

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, \dots, 30}

losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wypisz kwadraty nie większe od $30$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 4, 9, 16, 25$ — $5$ liczb.
2 $P = \frac{5}{30}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{5}{30}$

Zadanie 35

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech

p_{i}

oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez

i

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz $p_{2}$ , $p_{3}$ , $p_{4}$ , $p_{6}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $p_{2} = \frac{3}{6}$ , $p_{3} = \frac{2}{6}$ , $p_{4} = \frac{1}{6}$ , $p_{6} = \frac{1}{6}$
2 $2 p_{6} = \frac{2}{6} = p_{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2 p_{6} = p_{3}$

Zadanie 36

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 23

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Tylko $(5, 5)$ .
2 $P = \frac{1}{36}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{1}{36}$

Zadanie 37

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 24

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wynik trzeciego rzutu nie zależy od poprzednich.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A ∣ = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ , $∣Ω∣ = 8$
2 $P = \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{1}{2}$

Zadanie 38

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy

5

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1, 5), (5, 1)$
2 $p = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $p = \frac{1}{18}$

Zadanie 39

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez

30

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Liczb dwucyfrowych jest $90$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $30, 60, 90$
2 $P = \frac{3}{90}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{3}{90}$

Zadanie 40

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1, 2), (2, 1)$
2 $P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{1}{18}$

Zadanie 41

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 25

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, \dots, 11}

wybieramy losowo jedną liczbę. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo wybrania wielokrotności liczby

3

. Wówczas

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3, 6, 9$ — $p = \frac{3}{11} \approx 0, 27$
2 $p < 0, 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $p < 0, 3$

Zadanie 42

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba

p

jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez

3

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Klasyczna definicja: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ — policz wszystkie wyniki i wyniki sprzyjające.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3, 6$ — $p = \frac{2}{8} = 0, 25$
2 $p < 0, 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $p < 0, 3$

Zadanie 43

Oryginalne zadanie: zad. 63

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Marek ma

3

koszulki w kolorach: czerwonym, niebieskim i białym. Darek ma

5

koszulek w kolorach: czerwonym, białym, zielonym, żółtym i szarym. Następnego dnia każdy z nich założy losowo wybraną jedną ze swoich koszulek. Prawdopodobieństwo, że chłopcy założą koszulki w tym samym kolorze, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wspólne kolory: czerwony i biały.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 3 \cdot 5 = 15$ , $∣ A ∣ = 2$
2 $P = \frac{2}{15}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\frac{2}{15}$

Zadanie 44

Oryginalne zadanie: zad. 64

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Dany jest pięciokąt foremny

A B C D E

. Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo, że wylosowane wierzchołki będą końcami przekątnej pięciokąta, jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pięciokąt ma $\frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ przekątnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = (2 5) = 10$ , $∣ A ∣ = 5$
2 $P = \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{1}{2}$

Zadanie 45

Oryginalne zadanie: zad. 65

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 1 pkt

Ze zbioru pięciu liczb

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oceń prawdziwość stwierdzeń (P – prawda, F – fałsz).

1. Prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta, jest równe

\frac{8}{25}

.
2. Prawdopodobieństwo, że obie liczby będą parzyste, jest równe

\frac{2}{25}

Wskazówka

$∣Ω∣ = 25$ ; suma parzysta — obie parzyste lub obie nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma parzysta: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13$ , $P = \frac{13}{25}$ — FAŁSZ.
2Obie parzyste: $4$ , $P = \frac{4}{25}$ — FAŁSZ.
3Odpowiedź: F, F

Odpowiedź: F, F

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dany jest sześcioelementowy zbiór

K = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

. Ze zbioru

K

losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od

16

Wskazówka

Losowanie bez zwracania: $∣Ω∣ = 6 \cdot 5$ . Rozpatrz osobno pierwszą liczbę $2$ , $4$ i $6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 30$
2Pierwsza $2$ : brak; pierwsza $4$ : druga $5, 6, 7$ ; pierwsza $6$ : druga $3, 4, 5, 7$ .
3 $∣ A ∣ = 0 + 3 + 4 = 7$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{7}{30}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{7}{30}$

Zadanie 2

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga — cyfrą jedności liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez

3

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Liczby: $15, 21, 33, 45, 51, 63$ — $∣ A ∣ = 6$ .
2 $P (A) = \frac{6}{36}$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są zbiory

X = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}

oraz

Y = {- 2, - 1, 0, 1}

. Losujemy jedną liczbę

x

ze zbioru

X

, a następnie jedną liczbę

y

ze zbioru

Y

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że para

(x, y)

spełnia warunek

x \cdot y ⩾ 0

Wskazówka

Policz zdarzenie przeciwne: $x \cdot y < 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 6 \cdot 4 = 24$
2 $x \cdot y < 0$ : $x < 0, y > 0$ : $3 \cdot 1$ ; $x > 0, y < 0$ : $2 \cdot 2$ — razem $7$ .
3 $∣ A ∣ = 24 - 7 = 17$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{17}{24}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{17}{24}$

Zadanie 4

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są zbiory

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

oraz

D = {7, 8, 9, 10}

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

C

, a następnie jedną ze zbioru

D

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb będzie podzielny przez

4

Wskazówka

Rozpatrz osobno każdą liczbę ze zbioru $D$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 24$
2 $8$ : każda z $6$ liczb; $10$ : liczby parzyste $2, 4, 6$ ; $7$ i $9$ : tylko $4$ .
3 $∣ A ∣ = 6 + 3 + 1 + 1 = 11$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{24}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{24}$

Zadanie 5

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dany jest zbiór

K = {5, 6, 7, 8, 9}

. Losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Wskazówka

Suma jest parzysta, gdy obie liczby mają tę samą parzystość.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$
2Obie nieparzyste: $3 \cdot 3 = 9$ ; obie parzyste: $2 \cdot 2 = 4$ .
3 $∣ A ∣ = 13$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{13}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{13}{25}$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

Wskazówka

Bez zwracania: $∣Ω∣ = 5 \cdot 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 20$
2 $∣ A ∣ = 3 \cdot 2 = 6$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{10}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{10}$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb od

1

8

losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech

A

oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby

8

. Oblicz

P (A)

Wskazówka

Najmniejsza możliwa suma to $3$ , więc wchodzą w grę sumy $4$ i $8$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 8 \cdot 7 = 56$
2Suma $4$ : $(1, 3), (3, 1)$ ; suma $8$ : $(1, 7), (7, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3)$ .
3 $∣ A ∣ = 8$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{7}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{7}$

Zadanie 8

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez

15

Wskazówka

Iloczyn musi zawierać czynnik $5$ (tylko liczba $5$ ) i czynnik $3$ ( $3$ , $6$ lub $9$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 64$
2Jedna liczba to $5$ , druga z ${3, 6, 9}$ , w dowolnej kolejności: $2 \cdot 3 = 6$ .
3 $P (A) = \frac{6}{64}$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{32}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{32}$

Zadanie 9

Matura: pokazowa 2023

Oryginalne zadanie: zad. 28

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 3 pkt

W pojemniku znajdują się losy ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od

1000

9999

. Każdy los, którego numer ma sumę cyfr równą

3

, jest wygrywający. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.

Wskazówka

Wypisz czterocyfrowe liczby o sumie cyfr $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 9000$
2 $3000$ ; $2100, 2010, 2001$ ; $1200, 1020, 1002, 1110, 1101, 1011$ — $10$ liczb.
3 $P = \frac{10}{9000}$
4Odpowiedź: $P = \frac{1}{900}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{900}$

Zadanie 10

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{- 5, - 4, 1, 2, 3}

losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie

A

polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz

P (A)

Wskazówka

Iloczyn jest ujemny, gdy liczby mają różne znaki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$
2 $∣ A ∣ = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{12}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{12}{25}$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od

53

losujemy jedną liczbę. Niech

A

oznacza wylosowanie liczby podzielnej przez

7

. Oblicz

P (A)

Wskazówka

Liczby od $54$ do $99$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 99 - 54 + 1 = 46$
2 $56, 63, 70, 77, 84, 91, 98$ — $7$ liczb.
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{7}{46}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{7}{46}$

Zadanie 12

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

M = {1, 2, \dots, 9}

losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie

A

polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest równy

24

. Oblicz

P (A)

Wskazówka

Rozłóż $24$ na iloczyn dwóch cyfr.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 81$
2 $(3, 8), (8, 3), (4, 6), (6, 4)$ — $∣ A ∣ = 4$ .
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{4}{81}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{4}{81}$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do

{3, 4, 5, 6, 7, 8}

, a cyfra jedności do

{0, 1, 2, 3, 4}

, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę podzielną przez

4

Wskazówka

Wypisz liczby podzielne przez $4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 6 \cdot 5 = 30$
2 $32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84$ — $9$ .
3 $P = \frac{9}{30}$
4Odpowiedź: $P = \frac{3}{10}$

Odpowiedź: $P = \frac{3}{10}$

Zadanie 14

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że suma jest równa

4

lub

5

, lub

6

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma $4$ : $3$ pary, suma $5$ : $4$ , suma $6$ : $5$ .
2 $∣ A ∣ = 12$ , $P (A) = \frac{12}{36}$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{3}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{3}$

Zadanie 15

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

W pudełku jest

8

kul:

5

białych i

3

czarne. Dołożono

n

kul białych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest teraz równe

\frac{11}{12}

. Oblicz

n

Wskazówka

Ułóż równanie z $n$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{5 + n}{8 + n} = \frac{11}{12}$
2 $60 + 12 n = 88 + 11 n$
3Odpowiedź: $n = 28$

Odpowiedź: $n = 28$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.

Wskazówka

Przy $n$ rzutach monetą $∣Ω∣ = 2^{n}$ . Policz zdarzenie przeciwne: $2$ orły i $2$ reszki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 16$
2Dwa orły: $(2 4) = 6$ wyników.
3 $∣ A ∣ = 16 - 6 = 10$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{8}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{8}$

Zadanie 17

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Wskazówka

Zdarzenie przeciwne: ani razu piątka.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A^{'} ∣ = 5 \cdot 5 = 25$
2 $∣ A ∣ = 36 - 25 = 11$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{36}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{36}$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że cyfra dziesiątek należy do

{1, 3, 5, 7, 9}

i jednocześnie cyfra jedności należy do

{0, 2, 4, 6, 8}

Wskazówka

Reguła mnożenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 90$ , $∣ A ∣ = 5 \cdot 5 = 25$
2Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{18}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{18}$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy sumę oczek równą

16

Wskazówka

$∣Ω∣ = 6^{3} = 216$ ; suma $16$ : zestawy ${6, 6, 4}$ i ${6, 5, 5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Każdy zestaw daje $3$ uporządkowania: $∣ A ∣ = 6$ .
2 $P = \frac{6}{216}$
3Odpowiedź: $P = \frac{1}{36}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{36}$

Zadanie 20

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest nieparzysty.

Wskazówka

Obie liczby muszą być nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$ , $∣ A ∣ = 3 \cdot 3 = 9$
2Odpowiedź: $P (A) = \frac{9}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{9}{25}$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Ze zbioru

A = {- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3}

losujemy liczbę

a

, a ze zbioru

B = {- 1, 0, 1, 2}

liczbę

b

. Są to odpowiednio współczynnik kierunkowy i wyraz wolny funkcji

f (x) = a x + b

. Oblicz prawdopodobieństwo, że funkcja

f

jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

Wskazówka

Rosnąca: $a > 0$ ; miejsce zerowe $x_{0} = - \frac{b}{a} > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 6 \cdot 4 = 24$
2 $a > 0$ i $- \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b < 0$ , czyli $b = - 1$ .
3 $∣ A ∣ = 3 \cdot 1 = 3$
4Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Wskazówka

Przy $n$ rzutach monetą $∣Ω∣ = 2^{n}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 16$
2 $4$ orły: $1$ wynik; $3$ orły: $4$ wyniki.
3 $∣ A ∣ = 5$
4Odpowiedź: $P = \frac{5}{16}$

Odpowiedź: $P = \frac{5}{16}$

Zadanie 23

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Dane są zbiory

A = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700}

B = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

. Z każdego losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez

3

. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Pogrupuj liczby według reszty z dzielenia przez $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 49$
2 $A$ : reszta $0$ : $300, 600$ ; reszta $1$ : $100, 400, 700$ ; reszta $2$ : $200, 500$ .
3 $B$ : reszta $0$ : $12, 15$ ; reszta $1$ : $10, 13, 16$ ; reszta $2$ : $11, 14$ .
4 $∣ A ∣ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 16$
5Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$

Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$

Zadanie 24

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 4, 5, 10}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą jest liczbą całkowitą.

Wskazówka

Rozpatrz po kolei każdą możliwą drugą liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$
2Dzielnik $1$ : $5$ ; $2$ : $2, 4, 10$ ; $4$ : $4$ ; $5$ : $5, 10$ ; $10$ : $10$ .
3 $∣ A ∣ = 5 + 3 + 1 + 2 + 1 = 12$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{12}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{12}{25}$

Zadanie 25

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba

5

Wskazówka

Losujemy zbiór dwóch liczb: $∣Ω∣ = (2 7)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 21$
2Druga liczba z ${1, 2, 3, 4}$ : $∣ A ∣ = 4$ .
3Odpowiedź: $P = \frac{4}{21}$

Odpowiedź: $P = \frac{4}{21}$

Zadanie 26

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie równa

30

. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Pierwsza liczba od $10$ do $20$ , ale bez pary $(15, 15)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 90 \cdot 89 = 8010$
2Pary $(a, 30 - a)$ , $a \in {10, \dots, 20}$ , $a \neq = 15$ : $∣ A ∣ = 10$ .
3 $P = \frac{10}{8010}$
4Odpowiedź: $P = \frac{1}{801}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{801}$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

W pierwszym pudełku jest

6

kul ponumerowanych od

1

6

, w drugim

8

kul ponumerowanych od

1

8

. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową: numer z pierwszego pudełka to cyfra dziesiątek, z drugiego — cyfra jedności. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez

11

Wskazówka

Liczby dwucyfrowe podzielne przez $11$ mają dwie równe cyfry.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 48$
2 $11, 22, 33, 44, 55, 66$ — $6$ .
3 $P = \frac{6}{48}$
4Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę podzielną przez

8

lub przez

12

Wskazówka

Zasada włączeń i wyłączeń: odejmij liczby podzielne przez $24$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Przez $8$ : $16, \dots, 96$ — $11$ ; przez $12$ : $12, \dots, 96$ — $8$ ; przez $24$ : $4$ .
2 $∣ A ∣ = 11 + 8 - 4 = 15$ , $P = \frac{15}{90}$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Zadanie 29

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Wśród

115

osób przeprowadzono ankietę:

76

osób kupiło bilety ulgowe,

41

— bilety normalne, przy czym

27

osób kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Policz osoby, które kupiły co najmniej jeden bilet.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $76 + 41 - 27 = 90$
2Bez biletu: $115 - 90 = 25$ .
3 $P = \frac{25}{115}$
4Odpowiedź: $P = \frac{5}{23}$

Odpowiedź: $P = \frac{5}{23}$

Zadanie 30

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Zakupiono

16

biletów do teatru:

10

biletów na miejsca od

1.

10.

w pierwszym rzędzie i

6

biletów na miejsca od

11.

16.

w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

2

wylosowane bilety będą biletami na sąsiadujące miejsca?

Wskazówka

Losujemy dwa bilety jednocześnie: $∣Ω∣ = (2 16)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 120$
2Sąsiednie pary: w pierwszym rzędzie $9$ , w szesnastym $5$ — $14$ .
3 $P = \frac{14}{120}$
4Odpowiedź: $P = \frac{7}{60}$

Odpowiedź: $P = \frac{7}{60}$

Zadanie 31

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Zbiór

M

tworzą wszystkie liczby dwucyfrowe zapisane dwiema różnymi cyframi spośród

1, 2, 3, 4, 5

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

M

. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od

20

, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.

Wskazówka

$∣ M ∣ = 5 \cdot 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 20$
2 $23, 24, 25, 34, 35, 45$ — $6$ .
3 $P = \frac{6}{20}$
4Odpowiedź: $P = \frac{3}{10}$

Odpowiedź: $P = \frac{3}{10}$

Zadanie 32

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Dane są zbiory

K = {- 4, - 1, 1, 5, 6}

L = {- 3, - 2, 2, 3, 4}

. Z każdego losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których iloczyn jest dodatni.

Wskazówka

Iloczyn dodatni — liczby tego samego znaku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 25$
2Obie ujemne: $2 \cdot 2 = 4$ ; obie dodatnie: $3 \cdot 3 = 9$ .
3 $∣ A ∣ = 13$
4Odpowiedź: $P = \frac{13}{25}$

Odpowiedź: $P = \frac{13}{25}$

Zadanie 33

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, \dots, 8}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że pierwsza liczba jest większa od drugiej o

4

lub o

6

Wskazówka

Wypisz pary.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 64$
2O $4$ : $(5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4)$ ; o $6$ : $(7, 1), (8, 2)$ .
3 $∣ A ∣ = 6$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{32}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{3}{32}$

Zadanie 34

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 29

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że liczba oczek w drugim rzucie jest o

1

większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)$ — $∣ A ∣ = 5$ .
2Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{36}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{36}$

Zadanie 35

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

W czerwonym i w niebieskim pudełku jest po

10

kul ponumerowanych od

1

10

. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że numer kuli z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli z niebieskiego pudełka.

Wskazówka

Pary z równymi numerami odrzuć, pozostałe dzielą się po połowie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 100$ , równe numery: $10$ .
2 $∣ A ∣ = \frac{100 - 10}{2} = 45$
3Odpowiedź: $P = \frac{9}{20}$

Odpowiedź: $P = \frac{9}{20}$

Zadanie 36

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 30

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, \dots, 7}

losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez

3

Wskazówka

Pogrupuj liczby według reszty z dzielenia przez $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Reszta $0$ : $3, 6$ ; reszta $1$ : $1, 4, 7$ ; reszta $2$ : $2, 5$ .
2 $∣ A ∣ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 16$ , $∣Ω∣ = 49$
3Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$

Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$

Zadanie 37

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa od

6

i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.

Wskazówka

Iloczyn nieparzysty — obie liczby nieparzyste.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pary z ${1, 3, 5}$ o sumie większej od $6$ : $(3, 5), (5, 3), (5, 5)$ .
2 $P = \frac{3}{36}$
3Odpowiedź: $P = \frac{1}{12}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{12}$

Zadanie 38

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez

12

. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Rozpatrz pierwszy wynik $2$ , $4$ i $6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwsza $2$ : druga $6$ ; pierwsza $4$ : druga $3, 6$ ; pierwsza $6$ : druga $2, 4, 6$ .
2 $∣ A ∣ = 1 + 2 + 3 = 6$ , $P = \frac{6}{36}$
3Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{6}$

Zadanie 39

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Spośród wszystkich czterocyfrowych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie ona parzysta, a w jej zapisie wystąpią dokładnie jedna cyfra

2

i dokładnie jedna cyfra

3

Wskazówka

Rozpatrz osobno cyfrę jedności równą $2$ oraz cyfrę jedności z ${0, 4, 6, 8}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 9000$
2Jedności $2$ : trójka na miejscu tysięcy: $8 \cdot 8 = 64$ ; trójka na miejscu setek lub dziesiątek: $2 \cdot 7 \cdot 8 = 112$ — razem $176$ .
3Jedności z ${0, 4, 6, 8}$ : cyfry $2$ i $3$ na dwóch z trzech pierwszych miejsc: wolne miejsce tysięcy daje $2 \cdot 7 = 14$ , zajęte daje $4 \cdot 8 = 32$ ; razem $4 \cdot 46 = 184$ .
4 $∣ A ∣ = 176 + 184 = 360$ , $P = \frac{360}{9000}$
5Odpowiedź: $P = \frac{1}{25}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{25}$

Zadanie 40

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie liczba oczek będzie większa od numeru rzutu.

Wskazówka

W $i$ -tym rzucie potrzebujemy więcej niż $i$ oczek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Ω = {(w_{1}, w_{2}, w_{3}) : w_{1}, w_{2}, w_{3} \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}}$ , $∣Ω∣ = 216$
2 $∣ A ∣ = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
3 $P = \frac{60}{216}$
4Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{18}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{5}{18}$

Zadanie 41

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

W pierwszym pojemniku jest

9

kul:

4

białe,

3

czarne i

2

zielone. W drugim jest

6

kul:

2

białe,

3

czarne i

1

zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Wskazówka

Policz pary tego samego koloru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 9 \cdot 6 = 54$
2 $∣ A ∣ = 4 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 19$
3Odpowiedź: $P = \frac{19}{54}$

Odpowiedź: $P = \frac{19}{54}$

Zadanie 42

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 4 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie ściany mają po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o

1

Wskazówka

Ponumeruj ściany: $∣Ω∣ = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pary $1$ i $2$ : $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ ; pary $2$ i $3$ : $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .
2 $∣ A ∣ = 16$ , $P = \frac{16}{36}$
3Odpowiedź: $P = \frac{4}{9}$

Odpowiedź: $P = \frac{4}{9}$

Zadanie 43

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru

{1, 2, \dots, 11}

wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez

3

lub przez

2

Wskazówka

Wypisz liczby.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2, 3, 4, 6, 8, 9, 10$ — $7$ liczb.
2Odpowiedź: $P = \frac{7}{11}$

Odpowiedź: $P = \frac{7}{11}$

Zadanie 44

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Ze zbioru liczb dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez

15

Wskazówka

Liczb dwucyfrowych jest $90$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $15, 30, 45, 60, 75, 90$ — $6$ .
2 $P = \frac{6}{90}$
3Odpowiedź: $P = \frac{1}{15}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{15}$

Zadanie 45

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 2 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego

5

Wskazówka

Przy dwóch rzutach kostką $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(1, 5), (5, 1)$
2 $P = \frac{2}{36}$
3Odpowiedź: $P = \frac{1}{18}$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{18}$

Zadanie 46

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Rachunek prawdopodobieństwa

Temat: Prawdopodobieństwo klasyczne

Matura · 3 pkt

Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka

Zdarzenie przeciwne: oba losy puste.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣Ω∣ = 5 \cdot 4 = 20$ , $∣ A^{'} ∣ = 3 \cdot 2 = 6$
2 $P = 1 - \frac{6}{20}$
3Odpowiedź: $P = \frac{7}{10}$

Odpowiedź: $P = \frac{7}{10}$

Zadanie 1

Dział: Systemy liczbowe

Temat: Zamiana z systemu dwójkowego

Zapisz liczbę

101 1_{(2)}

w systemie dziesiętnym.

Wskazówka

Każdą cyfrę pomnóż przez odpowiednią potęgę dwójki, licząc pozycje od prawej strony od zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpisujemy pozycje: $1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$
2Obliczamy składniki: $8 + 0 + 2 + 1$
3Sumujemy: $11$

Odpowiedź: $11$

Zadanie 2

Dział: Algorytmika

Temat: Pętla i suma

Napisz program w Pythonie, który obliczy sumę liczb od 1 do 100.

Python

suma = 0
for i in range(1, 101):
    suma += i
print(suma)  # 5050

Wskazówka

Użyj pętli `for` z funkcją `range` i zmiennej, w której będziesz gromadzić sumę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Tworzymy zmienną na wynik i ustawiamy ją na 0.
2Przechodzimy pętlą po liczbach od 1 do 100 (pamiętaj, że `range(1, 101)` kończy się na 100).
3W każdym obiegu dodajemy aktualną liczbę do sumy.
4Po zakończeniu pętli wypisujemy wynik: 5050.

Odpowiedź: $5050$

Zadanie 3

Dział: C++

Temat: Instrukcja warunkowa

Napisz program w C++, który wczytuje dwie liczby całkowite i wypisuje większą z nich.

C++

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    if (a > b) cout << a;
    else cout << b;
    return 0;
}

Wskazówka

Wczytaj obie liczby przez `cin`, a następnie porównaj je instrukcją `if`.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dołączamy bibliotekę `iostream` i wczytujemy dwie liczby.
2Porównujemy je instrukcją warunkową.
3Wypisujemy większą liczbę; gdy są równe, wypisujemy dowolną z nich.

Zadanie 4

Dział: SQL

Temat: Zapytanie SELECT z warunkiem

W tabeli `uczniowie` znajdują się kolumny `imie`, `nazwisko`, `klasa`, `srednia`. Napisz zapytanie wypisujące uczniów ze średnią powyżej 4.5, posortowanych malejąco po średniej.

SQL

SELECT imie, nazwisko, klasa, srednia
FROM uczniowie
WHERE srednia > 4.5
ORDER BY srednia DESC;

Wskazówka

Połącz klauzule `WHERE` i `ORDER BY ... DESC`.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wybieramy potrzebne kolumny klauzulą `SELECT`.
2Filtrujemy wiersze warunkiem `WHERE srednia > 4.5`.
3Sortujemy malejąco: `ORDER BY srednia DESC`.

Zadanie 1

Dział: JavaScript

Temat: Porównywanie liczb

Napisz program w JavaScript, który pobiera od użytkownika dwie liczby i wyświetla większą z nich.

JavaScript

const a = Number(prompt("Podaj pierwszą liczbę:"));
const b = Number(prompt("Podaj drugą liczbę:"));

const wieksza = a > b ? a : b;
alert("Większa liczba to: " + wieksza);

Wskazówka

Pamiętaj, że `prompt` zwraca tekst — zamień go na liczbę funkcją `Number`.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pobieramy dwie wartości z okna `prompt`.
2Zamieniamy tekst na liczby funkcją `Number`, inaczej porównanie działałoby alfabetycznie.
3Używamy `Math.max` lub instrukcji `if`, aby wybrać większą liczbę.
4Wypisujemy wynik przez `alert` lub `console.log`.

Zadanie 2

Dział: Formularze

Temat: Formularz z walidacją HTML

Zbuduj formularz rejestracji z polami e-mail i hasło, w którym oba pola są wymagane, a hasło ma mieć co najmniej 8 znaków.

HTML

<form action="rejestracja.php" method="post">
  <label for="email">E-mail</label>
  <input type="email" id="email" name="email" required>

  <label for="haslo">Hasło</label>
  <input type="password" id="haslo" name="haslo" minlength="8" required>

  <button type="submit">Zarejestruj się</button>
</form>

Wskazówka

Wykorzystaj atrybuty `required`, `type="email"` oraz `minlength`.

Rozwiązanie krok po kroku

1Tworzymy element `form` z metodą `post`.
2Pole e-mail dostaje `type="email"` i `required` — przeglądarka sama sprawdzi format.
3Pole hasła dostaje `minlength="8"`, aby wymusić długość.
4Dodajemy etykiety `label` powiązane atrybutem `for` z polami — to wymóg dostępności.

Zadanie 3

Dział: Połączenie PHP z bazą danych

Temat: Bezpieczne zapytanie z PDO

Napisz fragment kodu PHP, który pobiera z bazy MySQL użytkownika o podanym adresie e-mail, zabezpieczając zapytanie przed SQL Injection.

PHP

<?php
$pdo = new PDO("mysql:host=localhost;dbname=szkola;charset=utf8mb4", "user", "pass", [
    PDO::ATTR_ERRMODE => PDO::ERRMODE_EXCEPTION,
]);

$stmt = $pdo->prepare("SELECT id, email FROM uzytkownicy WHERE email = :email");
$stmt->execute([":email" => $_POST["email"]]);
$user = $stmt->fetch(PDO::FETCH_ASSOC);

Wskazówka

Nie wklejaj danych do zapytania — użyj zapytania przygotowanego z parametrem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Łączymy się z bazą przez PDO i włączamy raportowanie błędów wyjątkami.
2Przygotowujemy zapytanie z parametrem `:email` — dane nigdy nie trafiają do treści SQL.
3Wykonujemy zapytanie, przekazując wartość osobno.
4Odbieramy jeden wiersz metodą `fetch`.

Zadanie 4

Dział: Systemy liczbowe

Temat: Zamiana na system szesnastkowy

Zapisz liczbę

20 6_{(10)}

w systemie szesnastkowym.

Wskazówka

Dziel liczbę przez 16 i zapisuj reszty od końca.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy: $206 : 16 = 12$ i reszta $14$
2Reszta $14$ to cyfra $E$ , a $12$ to cyfra $C$
3Czytamy reszty od ostatniej: $C E$

Odpowiedź: $C E_{(16)}$