Matematyka · Poziom podstawowy

Procenty

61zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 10

8. Ciągi – procent składany — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

K_{n} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Zagadnienie:

Rok matury:

Znalezione zadania: 61

Zadanie 1

Matura: wrzesień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 24.3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent z diagramu

Matura · 1 pkt

Firma F zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto: 4000 zł — 75 osób, 4800 zł — 50 osób, 5000 zł — 20 osób, 6000 zł — 10 osób, 7000 zł — 5 osób. Liczba pracowników, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa 5000 zł, stanowi (w zaokrągleniu do 1%)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zsumuj liczby pracowników w tych słupkach, w których płaca jest mniejsza lub równa 5000 zł, a wynik podziel przez 160.

Rozwiązanie krok po kroku

1Płaca nie przewyższa 5000 zł dla słupków 4000, 4800 i 5000 zł.
2 $75 + 50 + 20 = 145$ osób.
3 $\frac{145}{160} = 0, 90625 \approx 91%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $91%$

Prawidłowa odpowiedź: A. $91%$ liczby wszystkich pracowników

Zadanie 2

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Kolejne obniżki

Matura · 1 pkt

Cenę

x

(w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o

30%

, a następnie obniżono o

20%

w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Obniżka o $p %$ to mnożenie ceny przez $(1 - \frac{p}{100})$ — obniżki nakładają się na siebie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Po pierwszej obniżce cena wynosi $0, 7 x$ .
2Po drugiej obniżce: $0, 8 \cdot 0, 7 x$ .
3 $0, 8 \cdot 0, 7 = 0, 56$ , więc cena to $0, 56 x$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. $0, 56 \cdot x$ zł

Prawidłowa odpowiedź: D. $0, 56 \cdot x$ zł

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — równanie

Matura · 1 pkt

30%

liczby

x

jest o 2730 mniejsze od liczby

x

. Liczba

x

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz warunek jako równanie: $0, 3 x = x - 2730$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 3 x = x - 2730$ .
2 $2730 = x - 0, 3 x = 0, 7 x$ .
3 $x = \frac{2730}{0 , 7} = 3900$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $3900$

Prawidłowa odpowiedź: A. $3900$

Zadanie 4

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed obniżkami

Matura · 1 pkt

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o

10%

w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Jeśli cena początkowa to $c$ , to po dwóch obniżkach o $10%$ mamy $0, 9^{2} c$ — zapisz równanie i wyznacz $c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 9^{2} \cdot c = 78732$ , czyli $0, 81 c = 78732$ .
2 $c = \frac{78 732}{0 , 81} = 97200$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. 97 200 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 97 200 zł

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Łączna zmiana procentowa

Matura · 1 pkt

Cenę drukarki obniżono o

20%

, a następnie nową cenę obniżono o

10%

. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz, jaką część ceny początkowej stanowi cena końcowa, a potem odejmij ją od $100%$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Cena końcowa: $0, 9 \cdot 0, 8 c = 0, 72 c$ .
2Cena zmniejszyła się o $c - 0, 72 c = 0, 28 c$ .
3To jest $28%$ ceny początkowej.
4Prawidłowa odpowiedź: B. $28%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $28%$

Zadanie 6

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Liczba 78 stanowi

150%

liczby

c

. Wtedy liczba

c

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$150%$ to mnożnik $1, 5$ — zapisz równanie $1, 5 c = 78$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 5 c = 78$ .
2 $c = \frac{78}{1 , 5} = 52$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $52$

Prawidłowa odpowiedź: B. $52$

Zadanie 7

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed podwyżką

Matura · 1 pkt

Medyczna maseczka ochronna wskutek podwyżki zdrożała o

40%

i kosztuje obecnie 106,40 zł. Cena maseczki przed podwyżką była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cena po podwyżce to $1, 4$ ceny wyjściowej — podziel, a nie odejmuj $40%$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 4 c = 106, 40$ .
2 $c = \frac{106 , 40}{1 , 4} = 76$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. 76,00 zł

Prawidłowa odpowiedź: C. 76,00 zł

Zadanie 8

Matura: sierpień 2020

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Kolejne obniżki

Matura · 1 pkt

Na początku miesiąca komputer kosztował 3500 zł. W drugiej dekadzie cenę obniżono o

10%

, a w trzeciej dekadzie obniżono ją jeszcze raz, tym razem o

15%

. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż cenę początkową przez $0, 9$ , a otrzymany wynik przez $0, 85$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3500 \cdot 0, 9 = 3150$ zł.
2 $3150 \cdot 0, 85 = 2677, 50$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: C. 2677,50 zł

Prawidłowa odpowiedź: C. 2677,50 zł

Zadanie 9

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Powrót do ceny wyjściowej

Matura · 1 pkt

Cenę

x

pewnego towaru obniżono o

20%

i otrzymano cenę

y

. Aby przywrócić cenę

x

, nową cenę

y

należy podnieść o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $y = 0, 8 x$ i sprawdź, ile razy $x$ jest większe od $y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y = 0, 8 x$ , więc $x = \frac{y}{0 , 8} = 1, 25 y$ .
2Cena $y$ musi wzrosnąć o $0, 25 y$ , czyli o $25%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $25%$

Prawidłowa odpowiedź: A. $25%$

Zadanie 10

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Punkty procentowe

Matura · 1 pkt

W pewnym banku prowizja od kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa

4%

. Na początku lutego bank obniżył wysokość prowizji o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja zmniejszyła się o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pytanie dotyczy zmiany względnej: o jaką część swojej wartości zmniejszyła się prowizja z $4%$ do $3%$ ?

Rozwiązanie krok po kroku

1Prowizja spadła z $4%$ do $3%$ , czyli o 1 punkt procentowy.
2Względna zmiana: $\frac{1}{4} = 0, 25$ .
3Prowizja zmniejszyła się o $25%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $25%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $25%$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procenty w wyrażeniach algebraicznych

Matura · 1 pkt

Liczba dodatnia

a

jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o

50%

, a jego mianownik zwiększymy o

50%

, to otrzymamy liczbę

b

taką, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $a = \frac{l}{m}$ i wykonaj obie zmiany na liczniku i mianowniku.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = \frac{l}{m}$ , nowy licznik to $0, 5 l$ , nowy mianownik to $1, 5 m$ .
2 $b = \frac{0 , 5 l}{1 , 5 m} = \frac{1}{3} \cdot \frac{l}{m}$ .
3Zatem $b = \frac{1}{3} a$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $b = \frac{1}{3} a$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b = \frac{1}{3} a$

Zadanie 12

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — równanie

Matura · 1 pkt

Jeżeli

75%

liczby

a

jest równe 177 i

59%

liczby

b

jest równe 177, to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz osobno $a$ i $b$ , dzieląc 177 przez odpowiedni mnożnik procentowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 75 a = 177$ , więc $a = 236$ .
2 $0, 59 b = 177$ , więc $b = 300$ .
3 $b - a = 300 - 236 = 64$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $b - a = 64$

Prawidłowa odpowiedź: B. $b - a = 64$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena po obniżce

Matura · 1 pkt

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o

10%

zmniejszyła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw z kwoty obniżki wyznacz cenę początkową, a dopiero potem policz cenę po obniżce.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 1 c = 2018$ , więc $c = 20180$ zł.
2Cena po obniżce: $20180 - 2018 = 18162$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 18 162 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 18 162 zł

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed obniżkami

Matura · 1 pkt

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o

10%

w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami komputer kosztował

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cena końcowa to $0, 81$ ceny początkowej — podziel 1944 przez $0, 81$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 9^{2} c = 1944$ , czyli $0, 81 c = 1944$ .
2 $c = \frac{1944}{0 , 81} = 2400$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: C. 2400 złotych

Prawidłowa odpowiedź: C. 2400 zł

Zadanie 15

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed obniżką

Matura · 1 pkt

Cena roweru po obniżce o

15%

była równa 850 zł. Przed obniżką rower kosztował

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cena po obniżce stanowi $85%$ ceny wyjściowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 85 c = 850$ .
2 $c = \frac{850}{0 , 85} = 1000$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: C. 1000,00 zł

Prawidłowa odpowiedź: C. 1000,00 zł

Zadanie 16

Matura: sierpień 2017

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procenty w geometrii

Matura · 1 pkt

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o

30%

. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Promień rośnie $1, 3$ razy — sprawdź, ile razy rośnie wtedy pole, które zależy od kwadratu promienia.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $r_{1} = 1, 3 r_{2}$ , więc $P_{1} = π (1, 3 r_{2})^{2} = 1, 69 π r_{2}^{2}$ .
2 $P_{1} = 1, 69 P_{2}$ , czyli pole jest większe o $69%$ .
3 $69% > 60%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: D. o więcej niż $60%$

Prawidłowa odpowiedź: D. o więcej niż $60%$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Układ warunków procentowych

Matura · 1 pkt

Iloczyn dodatnich liczb

a

b

jest równy 1350. Ponadto

15%

liczby

a

jest równe

10%

liczby

b

. Stąd wynika, że

b

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z drugiego warunku wyznacz zależność między $a$ i $b$ , a potem wstaw ją do równania $ab = 1350$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 15 a = 0, 10 b$ , więc $b = 1, 5 a$ .
2 $a \cdot 1, 5 a = 1350$ , czyli $a^{2} = 900$ i $a = 30$ .
3 $b = 1, 5 \cdot 30 = 45$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Zadanie 18

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: O ile procent obniżono

Matura · 1 pkt

Buty, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent obniżono cenę butów?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz kwotę obniżki i podziel ją przez cenę początkową.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obniżka: $220 - 176 = 44$ zł.
2 $\frac{44}{220} = 0, 2 = 20%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $20$

Prawidłowa odpowiedź: B. $20$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Łączna zmiana procentowa

Matura · 1 pkt

Cenę pewnego towaru podwyższono o

20%

, a następnie nową cenę podwyższono o

30%

. Takie dwie podwyżki można zastąpić równoważną im jedną podwyżką

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż mnożniki obu podwyżek i porównaj wynik z $1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 2 \cdot 1, 3 = 1, 56$ .
2Cena wzrosła o $0, 56$ ceny początkowej, czyli o $56%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. o $56%$

Prawidłowa odpowiedź: B. o $56%$

Zadanie 20

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — porównywanie

Matura · 1 pkt

Liczby

a

c

są dodatnie. Liczba

b

stanowi

48%

liczby

a

oraz

32%

liczby

c

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Obie informacje o $b$ przyrównaj do siebie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 48 a = 0, 32 c$ .
2 $c = \frac{0 , 48}{0 , 32} a = 1, 5 a$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $c = 1, 5 a$

Prawidłowa odpowiedź: A. $c = 1, 5 a$

Zadanie 21

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procenty w geometrii

Matura · 1 pkt

Dany jest prostokąt o wymiarach

40 cm \times 100 cm

. Jeżeli każdy z dłuższych boków wydłużymy o

20%

, a każdy z krótszych skrócimy o

20%

, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz nowe długości boków i porównaj nowe pole z polem początkowym.

Rozwiązanie krok po kroku

1Pole początkowe: $40 \cdot 100 = 4000 cm^{2}$ .
2Nowe boki: $100 \cdot 1, 2 = 120$ cm i $40 \cdot 0, 8 = 32$ cm.
3Nowe pole: $120 \cdot 32 = 3840 cm^{2}$ .
4 $\frac{4000 - 3840}{4000} = 0, 04$ , więc pole zmniejszy się o $4%$ .
5Prawidłowa odpowiedź: D. zmniejszy się o $4%$

Prawidłowa odpowiedź: D. zmniejszy się o $4%$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Podatek VAT

Matura · 1 pkt

Przy

23

-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł. Jaka jest cena netto tego samochodu?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Cena brutto to cena netto pomnożona przez $1, 23$ — szukamy ceny netto.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 23 \cdot netto = 45018$ .
2 $netto = \frac{45 018}{1 , 23} = 36600$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 36 600 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 36 600 zł

Zadanie 23

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Lokata i podatek od odsetek

Matura · 1 pkt

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną

4%

w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości

19%

. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podatek zabiera $19%$ odsetek, więc do kapitału dopisywane jest $81%$ odsetek.

Rozwiązanie krok po kroku

1Odsetki brutto: $1000 \cdot \frac{4}{100}$ .
2Po podatku zostaje $81%$ odsetek: $1000 \cdot \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100}$ .
3Kwota do wypłaty: $1000 \cdot (1 + \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100})$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C.

Prawidłowa odpowiedź: C. $1000 \cdot (1 + \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100})$

Zadanie 24

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Łączna zmiana procentowa

Matura · 1 pkt

Cena towaru została podwyższona o

30%

, a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o

10%

. W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podwyżki nie dodają się — pomnóż odpowiednie mnożniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 3 \cdot 1, 1 = 1, 43$ .
2Cena wzrosła o $43%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $43%$

Prawidłowa odpowiedź: D. $43%$

Zadanie 25

Matura: sierpień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent z pozostałej części

Matura · 1 pkt

Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka.

10%

tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Drugi procent liczony jest od reszty, nie od całości.

Rozwiązanie krok po kroku

1Po pierwszym prezencie zostało $50%$ oszczędności.
2Na drugi prezent: $10%$ z $50%$ , czyli $5%$ .
3Zostało $50% - 5% = 45%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Prawidłowa odpowiedź: C. $45$

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent z podziału w stosunku

Matura · 1 pkt

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów wspólników w kapitale zakładowym wyraża stosunek

12 : 8 : 3 : 2

. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj wszystkie części stosunku i sprawdź, jaki udział ma największa z nich.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 + 8 + 3 + 2 = 25$ części.
2 $\frac{12}{25} = 0, 48 = 48%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $48%$

Prawidłowa odpowiedź: C. $48%$

Zadanie 27

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Jeżeli liczba 78 jest o

50%

większa od liczby

c

, to

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

„O $50%$ większa” oznacza mnożnik $1, 5$ przy liczbie $c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 5 c = 78$ .
2 $c = 52$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $c = 52$

Prawidłowa odpowiedź: C. $c = 52$

Zadanie 28

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby elementów

Matura · 1 pkt

W klasie jest cztery razy więcej chłopców niż dziewcząt. Ile procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią dziewczęta?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oznacz liczbę dziewcząt przez $d$ i zapisz liczbę wszystkich uczniów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dziewcząt: $d$ , chłopców: $4 d$ , razem $5 d$ .
2 $\frac{d}{5 d} = 0, 2 = 20%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $20%$

Prawidłowa odpowiedź: C. $20%$

Zadanie 29

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — obliczenia

Matura · 1 pkt

Gdy od

17%

liczby 21 odejmiemy

21%

liczby 17, to otrzymamy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz oba wyrażenia jako iloczyny — zwróć uwagę na kolejność czynników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $17%$ z $21$ to $0, 17 \cdot 21 = 3, 57$ .
2 $21%$ z $17$ to $0, 21 \cdot 17 = 3, 57$ .
3Różnica jest równa $0$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Zadanie 30

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — porównywanie

Matura · 1 pkt

Dodatnia liczba

x

stanowi

70%

liczby

y

. Wówczas

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $x = 0, 7 y$ i wyznacz z tego $y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = \frac{7}{10} y$ .
2 $y = \frac{10}{7} x$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $y = \frac{10}{7} x$

Prawidłowa odpowiedź: C. $y = \frac{10}{7} x$

Zadanie 31

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent liczby — porównywanie

Matura · 1 pkt

Liczby

a

b

są dodatnie oraz

12%

liczby

a

jest równe

15%

liczby

b

. Stąd wynika, że

a

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Z równości $0, 12 a = 0, 15 b$ wyznacz $a$ w zależności od $b$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 12 a = 0, 15 b$ .
2 $a = \frac{0 , 15}{0 , 12} b = 1, 25 b$ .
3Zatem $a$ to $125%$ liczby $b$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $125%$ liczby $b$

Prawidłowa odpowiedź: B. $125%$ liczby $b$

Zadanie 32

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Obniżka a liczba sztuk

Matura · 1 pkt

W pewnym sklepie ceny wszystkich płyt CD obniżono o

20%

. Zatem za dwie płyty kupione w tym sklepie należy zapłacić mniej o

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zmiana procentowa nie zależy od liczby kupionych sztuk.

Rozwiązanie krok po kroku

1Za dwie płyty przed obniżką: $2 c$ , po obniżce: $2 \cdot 0, 8 c = 1, 6 c$ .
2 $\frac{2 c - 1 , 6 c}{2 c} = 0, 2 = 20%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $20%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $20%$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zapis równania procentowego

Matura · 1 pkt

Suma liczby

x

15%

tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przetłumacz słowo „suma” bezpośrednio na dodawanie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $15%$ liczby $x$ to $0, 15 x$ .
2Suma: $x + 0, 15 x = 230$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $x + 0, 15 \cdot x = 230$

Prawidłowa odpowiedź: C. $x + 0, 15 \cdot x = 230$

Zadanie 34

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Pierwsza rata, która stanowi

9%

ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel kwotę raty przez odpowiadający jej mnożnik procentowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 09 c = 189$ .
2 $c = \frac{189}{0 , 09} = 2100$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 2100 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 2100 zł

Zadanie 35

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Kolejne obniżki

Matura · 1 pkt

Samochód kosztował 30 000 zł. Jego cenę obniżono o

10%

, a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o

10%

. Po tych obniżkach samochód kosztował

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Druga obniżka liczona jest od ceny już obniżonej, nie od 30 000 zł.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $30000 \cdot 0, 9 = 27000$ zł.
2 $27000 \cdot 0, 9 = 24300$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: D. 24 300 zł

Prawidłowa odpowiedź: D. 24 300 zł

Zadanie 36

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Podatek VAT

Matura · 1 pkt

Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości

22%

kosztuje

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Do ceny netto dodajemy $22%$ tej ceny.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $60 \cdot 1, 22 = 73, 20$ zł.
2Prawidłowa odpowiedź: A. 73,20 zł

Prawidłowa odpowiedź: A. 73,20 zł

Zadanie 37

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Cena przed obniżką

Matura · 1 pkt

Spodnie po obniżce ceny o

30%

kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

126 zł to $70%$ ceny wyjściowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 7 c = 126$ .
2 $c = \frac{126}{0 , 7} = 180$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 180 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 180 zł

Zadanie 38

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Jaki procent stanowi

Matura · 1 pkt

Na seans filmowy sprzedano 280 biletów, w tym 126 ulgowych. Jaki procent sprzedanych biletów stanowiły bilety ulgowe?

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel liczbę biletów ulgowych przez liczbę wszystkich biletów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{126}{280} = 0, 45$ .
2To $45%$ .
3Prawidłowa odpowiedź: C. $45%$

Prawidłowa odpowiedź: C. $45%$

Zadanie 39

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

6%

liczby

x

jest równe 9. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $0, 06 x = 9$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 06 x = 9$ .
2 $x = \frac{9}{0 , 06} = 150$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 150$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x = 150$

Zadanie 40

Oryginalne zadanie: zad. 40

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Porównywanie procentowe

Matura · 2 pkt

Pensja pana X jest o

50%

wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o

40%

niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania: 1) Pensja pana X jest wyższa od pensji pana Y: A. o

40%

pensji Y, B. o

90%

pensji Y, C. o

150%

pensji Y, D. o

275%

pensji Y. 2) Pensja pana Y jest niższa od pensji pana X: E. o

60%

pensji X, F. o

73%

pensji X, G. o

90%

pensji X, H. o

150%

pensji X.

Wskazówka

Przyjmij, że średnia krajowa to $s$ , i wyraź obie pensje przez $s$ — potem porównuj je zawsze z tą pensją, o którą pyta zdanie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech średnia krajowa to $s$ . Wtedy $X = 1, 5 s$ , $Y = 0, 6 s$ .
2Różnica: $X - Y = 0, 9 s$ .
31) $\frac{0 , 9 s}{0 , 6 s} = 1, 5 = 150%$ pensji pana Y — odpowiedź C.
42) $\frac{0 , 9 s}{1 , 5 s} = 0, 6 = 60%$ pensji pana X — odpowiedź E.
5Prawidłowa odpowiedź: C i E

Odpowiedź: C, E

Zadanie 41

Oryginalne zadanie: zad. 41

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, której

4%

jest równe 8.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel 8 przez $0, 04$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 04 x = 8$ .
2 $x = 200$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $200$

Prawidłowa odpowiedź: D. $200$

Zadanie 42

Oryginalne zadanie: zad. 42

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

Wskaż liczbę, której

6%

jest równe 6.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$6%$ liczby to jej $\frac{6}{100}$ część.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 06 x = 6$ .
2 $x = 100$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $100$

Prawidłowa odpowiedź: D. $100$

Zadanie 43

Oryginalne zadanie: zad. 43

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Jaki procent stanowi

Matura · 1 pkt

Liczba 30 to

p %

liczby 80, zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz dokładnie $\frac{30}{80}$ i porównaj z podanymi wartościami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{30}{80} = 0, 375 = 37, 5%$ .
2 $37, 5 < 40$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $p < 40$

Prawidłowa odpowiedź: A. $p < 40$

Zadanie 44

Oryginalne zadanie: zad. 44

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Liczba na podstawie procentu

Matura · 1 pkt

4%

liczby

x

jest równe 6, zatem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz dokładną wartość $x$ z równania $0, 04 x = 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 04 x = 6$ .
2 $x = \frac{6}{0 , 04} = 150$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 150$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 150$

Zadanie 45

Oryginalne zadanie: zad. 45

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zapis zależności procentowej

Matura · 1 pkt

Liczba

y

120%

liczby

x

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$120%$ liczby $x$ to $1, 2 x$ — porównaj to z podanymi zapisami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y = 1, 2 x$ .
2 $1, 2 x = x + 0, 2 x$ , więc $y = x + 0, 2 x$ .
3Prawidłowa odpowiedź: B. $y = x + 0, 2 x$

Prawidłowa odpowiedź: B. $y = x + 0, 2 x$

Zadanie 46

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — odsetki

Matura · 1 pkt

Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki w wysokości

6%

od kwoty bieżącego kapitału — zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach łączna wartość doliczonych odsetek (bez podatków) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz kwotę końcową ze wzoru $K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , a potem odejmij kapitał początkowy.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $K_{2} = 10000 \cdot 1, 0 6^{2} = 10000 \cdot 1, 1236 = 11236$ zł.
2Odsetki: $11236 - 10000 = 1236$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 1236 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 1236 zł

Zadanie 47

Matura: grudzień 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — oprocentowanie

Matura · 1 pkt

Pani Aniela wpłaciła 60 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki

p %

w skali roku od bieżącego kapitału — zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu kwota na lokacie była równa 67 925,76 zł. Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel kwotę końcową przez początkową — otrzymasz kwadrat mnożnika rocznego.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{67 925 , 76}{60 000} = 1, 13196$ .
2 $1, 13196 = 1, 064$ .
3Mnożnik $1, 064$ oznacza oprocentowanie $6, 4%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $6, 4%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $6, 4%$

Zadanie 48

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — wzór

Matura · 1 pkt

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę

K_{0}

zł. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki w wysokości

6%

od bieżącego kapitału — zgodnie z procentem składanym. Po trzech latach kwota na lokacie (bez podatków) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Kapitalizacja jest roczna, więc wykładnik równa się liczbie lat.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wzór: $K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .
2 $p = 6$ , $n = 3$ , więc $K_{3} = K_{0} \cdot (1, 06)^{3}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: A. $K_{0} \cdot (1, 06)^{3}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $K_{0} \cdot (1, 06)^{3}$

Zadanie 49

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — kapitał początkowy

Matura · 1 pkt

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki w wysokości

5%

od bieżącego kapitału. Po dwóch latach pan Grzegorz odebrał 4851 zł. Kwota wpłacona na tę lokatę była równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podziel kwotę końcową przez $1, 0 5^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $K_{0} \cdot 1, 0 5^{2} = 4851$ , czyli $K_{0} \cdot 1, 1025 = 4851$ .
2 $K_{0} = \frac{4851}{1 , 1025} = 4400$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: B. 4400 zł

Prawidłowa odpowiedź: B. 4400 zł

Zadanie 50

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — odsetki

Matura · 1 pkt

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki w wysokości

7%

od bieżącego kapitału. Po dwóch latach łączna wartość doliczonych odsetek (bez podatków) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw kwota końcowa z procentu składanego, potem różnica z kapitałem początkowym.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $30000 \cdot 1, 0 7^{2} = 30000 \cdot 1, 1449 = 34347$ zł.
2Odsetki: $34347 - 30000 = 4347$ zł.
3Prawidłowa odpowiedź: D. 4347 zł

Prawidłowa odpowiedź: D. 4347 zł

Zadanie 51

Matura: arkusz pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — wzór

Matura · 1 pkt

Klient wpłacił do banku 20 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki w wysokości

3%

od bieżącego kapitału. Po 2 latach kwota na lokacie (bez podatków) jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przy procencie składanym mnożnik podnosimy do potęgi równej liczbie okresów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $K_{2} = 20000 \cdot (1 + \frac{3}{100})^{2}$ .
2 $= 20000 \cdot (1, 03)^{2}$ .
3Prawidłowa odpowiedź: D. $20000 \cdot (1, 03)^{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $20000 \cdot (1, 03)^{2}$

Zadanie 52

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — obligacje

Matura · 1 pkt

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40 000 zł oprocentowane

7%

w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji po dwóch latach będzie równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$7%$ to mnożnik $1, 07$ , a kapitalizacja jest roczna.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $K_{2} = 40000 \cdot (1, 07)^{2}$ zł.
2Prawidłowa odpowiedź: A. $40000 \cdot (1, 07)^{2}$ zł

Prawidłowa odpowiedź: A. $40000 \cdot (1, 07)^{2}$ zł

Zadanie 53

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Procent składany — wzrost kapitału

Matura · 1 pkt

Oprocentowanie długoterminowej lokaty wynosi

3%

w skali roku (już po uwzględnieniu podatków), a odsetki są doliczane po każdym roku zgodnie z procentem składanym. Po 10 latach oszczędzania kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na początku o (w zaokrągleniu do

1%

)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Policz $1, 0 3^{10}$ i sprawdź, o ile ta wartość przewyższa $1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $1, 0 3^{10} \approx 1, 3439$ .
2Kapitał wzrósł o $0, 3439$ swojej wartości.
3 $\approx 34%$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $34%$

Prawidłowa odpowiedź: B. $34%$

Zadanie 54

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — układ równań

Matura · 2 pkt

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku uschło

20%

drzew w pierwszym sadzie i

15%

drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła

70%

liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.

Wskazówka

Oznacz liczby drzew w sadach przez $x$ i $1410 - x$ , a następnie zapisz, ile drzew zostało w każdym sadzie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $x$ — liczba drzew w pierwszym sadzie, $1410 - x$ — w drugim.
2Pozostało: $0, 8 x$ i $0, 85 (1410 - x)$ .
3Warunek: $0, 85 (1410 - x) = 0, 7 \cdot 0, 8 x = 0, 56 x$ .
4 $1198, 5 - 0, 85 x = 0, 56 x$ , więc $1198, 5 = 1, 41 x$ .
5 $x = 850$ .
6Odpowiedź: 850 drzew

Odpowiedź: 850 drzew

Zadanie 55

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — układ równań

Matura · 2 pkt

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych — zespół A wykorzystał

13%

przyznanych mu środków, a zespół B

11%

swoich środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A.

Wskazówka

Oznacz kwotę zespołu A przez $x$ ; zespół B otrzymał wtedy $1200000 - x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 13 x + 0, 11 (1200000 - x) = 146700$ .
2 $0, 13 x + 132000 - 0, 11 x = 146700$ .
3 $0, 02 x = 14700$ .
4 $x = 735000$ .
5Odpowiedź: 735 000 zł

Odpowiedź: 735 000 zł

Zadanie 56

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty w geometrii

Matura · 2 pkt

Dany jest trapez o podstawach długości

a

oraz

b

i wysokości

h

. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o

25%

, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość

h

trapezu.

Wskazówka

Zapisz pole trapezu przed i po zmianie, korzystając ze wzoru $P = \frac{a + b}{2} h$ , i przyrównaj oba pola.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = \frac{a + b}{2} h$ , a nowe podstawy to $1, 25 a$ i $1, 25 b$ .
2 $\frac{1 , 25 a + 1 , 25 b}{2} \cdot h^{'} = \frac{a + b}{2} h$ .
3 $1, 25 \cdot \frac{a + b}{2} h^{'} = \frac{a + b}{2} h$ , więc $h^{'} = \frac{h}{1 , 25} = 0, 8 h$ .
4Wysokość skrócono o $0, 2 h$ , czyli o $20%$ .
5Odpowiedź: $20%$

Odpowiedź: 20%

Zadanie 57

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty z diagramu

Matura · 2 pkt

Ankietowani wybierali tylko jeden rodzaj napoju pitego między posiłkami: soki owocowe

24%

, soki warzywne

25%

, owocowe napoje gazowane

15%

, woda mineralna

36%

. Oblicz: ile procent badanych pije soki owocowe lub wodę mineralną, ile procent nie pije owocowych napojów gazowanych, ile procent nie pije soków warzywnych i nie pije wody mineralnej.

Wskazówka

Każdy ankietowany wybrał dokładnie jedną odpowiedź, więc wszystkie procenty sumują się do $100%$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Soki owocowe lub woda: $24% + 36% = 60%$ .
2Nie pije napojów gazowanych: $100% - 15% = 85%$ .
3Nie pije soków warzywnych ani wody: $100% - 25% - 36% = 39%$ .
4Odpowiedź: $60%$ , $85%$ , $39%$

Odpowiedź: 60%, 85%, 39%

Zadanie 58

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — kapitalizacja odsetek

Matura · 2 pkt

Pan Kowalski wpłaca do banku 2000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru: lokatę A — oprocentowanie

5%

w stosunku rocznym, kapitalizacja po roku; lokatę B —

4, 8%

, kapitalizacja co pół roku; lokatę C —

4, 6%

, kapitalizacja co kwartał. Oceń, wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza.

Wskazówka

Przy kapitalizacji częstszej niż roczna oprocentowanie roczne dziel przez liczbę okresów w roku, a wykładnik zwiększaj o tyle samo razy.

Rozwiązanie krok po kroku

1Lokata A: $2000 \cdot 1, 05 = 2100$ zł.
2Lokata B: $2000 \cdot (1 + 0, 024)^{2} = 2000 \cdot 1, 048576 \approx 2097, 15$ zł.
3Lokata C: $2000 \cdot (1 + 0, 0115)^{4} \approx 2000 \cdot 1, 046795 \approx 2093, 59$ zł.
4Największa kwota końcowa jest przy lokacie A.
5Odpowiedź: lokata A

Odpowiedź: lokata A

Zadanie 59

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty w geometrii

Matura · 3 pkt

Dany jest prostokąt o bokach

a

b

. Zmniejszamy długość boku

a

10%

oraz zwiększamy długość boku

b

20%

. a) O ile procent zwiększy się pole tego prostokąta? b) Wyznacz długość boku

b

, dla której nowy prostokąt będzie miał taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy, jeśli

a = 30

cm.

Wskazówka

W części a) porównaj iloczyny nowych i starych boków; w części b) zapisz równość obwodów.

Rozwiązanie krok po kroku

1a) Nowe pole: $0, 9 a \cdot 1, 2 b = 1, 08 ab$ , więc pole rośnie o $8%$ .
2b) Obwód przed: $2 (a + b)$ , po: $2 (0, 9 a + 1, 2 b)$ .
3 $0, 9 a + 1, 2 b = a + b$ , czyli $0, 2 b = 0, 1 a$ , więc $b = 0, 5 a$ .
4Dla $a = 30$ cm mamy $b = 15$ cm.
5Odpowiedź: a) $8%$ , b) $15$ cm

Odpowiedź: a) 8%, b) 15 cm

Zadanie 60

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty w geometrii

Matura · 3 pkt

Dany jest prostokąt o bokach

a

b

oraz prostokąt o bokach

c

d

. Długość boku

c

90%

długości boku

a

, a długość boku

d

120%

długości boku

b

. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach

a

b

stanowi pole prostokąta o bokach

c

d

Wskazówka

Zapisz $c$ i $d$ jako wielokrotności $a$ i $b$ , a potem porównaj oba pola.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $c = 0, 9 a$ , $d = 1, 2 b$ .
2 $P_{2} = 0, 9 a \cdot 1, 2 b = 1, 08 ab$ .
3 $\frac{P _{2}}{P _{1}} = 1, 08 = 108%$ .
4Odpowiedź: $108%$

Odpowiedź: 108%

Zadanie 61

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Procenty

Temat: Zadanie otwarte — procenty z diagramu

Matura · 1 pkt

Rozkład miesięcznych zarobków netto (w tys. zł) pracowników firmy F: 1,5 — 1 osoba, 2 — 1, 2,5 — 4, 3 — 7, 3,5 — 10, 4 — 14, 4,5 — 13, 5 — 9, 5,5 — 6, 6 — 3, 6,5 — 2, 7 — 1, 7,5 — 1, 8,5 — 1, 10 — 2 osoby. Oblicz, jaki procent liczby wszystkich pracowników stanowią osoby zarabiające 5,5 tys. zł lub mniej.

Wskazówka

Policz osobno liczbę wszystkich pracowników i liczbę osób w słupkach do 5,5 tys. zł włącznie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wszyscy pracownicy: $1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 75$ osób.
2Zarobki $\leq 5, 5$ tys. zł: $1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 = 65$ osób.
3 $\frac{65}{75} \approx 0, 8667$ .
4Odpowiedź: około $87%$

Odpowiedź: ≈ 87%