Matematyka · Poziom podstawowy

Wielomiany

16zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 7

6. Wzory skróconego mnożenia — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

a^{n} - 1 = (a - 1) (a^{n - 1} + a^{n - 2} + \dots + a + 1)

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 16

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany

W

V

oraz

H

określone wzorami:

W (x) = x^{4}

V (x) = x^{3} + 1

H (x) = x - 2

. Wielomian

W (x) - V (x) \cdot H (x)

jest określony wzorem

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw wymnóż $V (x) \cdot H (x)$ , potem odejmij wynik od $W (x)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $V (x) \cdot H (x) = (x^{3} + 1) (x - 2) = x^{4} - 2 x^{3} + x - 2$
2 $W (x) - V (x) \cdot H (x) = x^{4} - x^{4} + 2 x^{3} - x + 2 = 2 x^{3} - x + 2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2 x^{3} - x + 2$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Wielomian

W (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

jest iloczynem wielomianów

F (x) = (2 - 3 x)^{2}

oraz

G (x) = 3 x - 2

. Uzupełnij zdanie: suma

a + b + c + d

współczynników wielomianu

W

jest równa

\dots

Wskazówka

Suma współczynników wielomianu to jego wartość dla $x = 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a + b + c + d = W (1) = F (1) \cdot G (1)$
2 $F (1) = (2 - 3)^{2} = 1$ , $G (1) = 3 - 2 = 1$
3 $W (1) = 1 \cdot 1 = 1$

Odpowiedź: $1$

Zadanie 3

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x

. Oceń prawdziwość stwierdzeń (P/F):

1. Wielomian

W

jest iloczynem wielomianów

F (x) = 3 x

G (x) = x^{2} + 2 x + 3

.
2. Liczba

(- 1)

jest rozwiązaniem równania

W (x) = 0

Wskazówka

Wymnóż $F (x) \cdot G (x)$ i oblicz $W (- 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x (x^{2} + 2 x + 3) = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x = W (x)$ — stwierdzenie 1 prawdziwe.
2 $W (- 1) = - 3 + 6 - 9 = - 6 \neq = 0$ — stwierdzenie 2 fałszywe.

Odpowiedź: 1. P, 2. F

Zadanie 4

Matura: grudzień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + k x + 1

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian

W

można zapisać w postaci

W (x) = (x + 1) \cdot Q (x)

dla pewnego wielomianu

Q

. Liczba

k

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skoro $(x + 1)$ dzieli $W$ , to $W (- 1) = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (- 1) = 3 - 1 - k + 1 = 3 - k$
2 $3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $3$

Zadanie 5

Matura: pokazowy 2023

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = 3 x^{3} + k x^{2} - 12 x - 7 k + 12

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba

(- 2)

jest pierwiastkiem tego wielomianu. Liczba

k

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Podstaw $x = - 2$ i przyrównaj do zera.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (- 2) = - 24 + 4 k + 24 - 7 k + 12 = 12 - 3 k$
2 $12 - 3 k = 0 \Rightarrow k = 4$

Prawidłowa odpowiedź: B. $4$

Zadanie 6

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dany jest wielomian

W

określony wzorem

W (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 6

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wielomian

W

przy rozkładzie na czynniki ma postać

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pogrupuj wyrazy parami.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (x) = x^{2} (x - 2) - 3 (x - 2)$
2 $W (x) = (x - 2) (x^{2} - 3)$

Prawidłowa odpowiedź: B. $W (x) = (x - 2) (x^{2} - 3)$

Zadanie 7

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Punkt

A = (1, 2)

należy do wykresu funkcji

f

, określonej wzorem

f (x) = (m^{2} - 3) x^{3} - m^{2} + m + 1

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wtedy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Warunek: $f (1) = 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (1) = m^{2} - 3 - m^{2} + m + 1 = m - 2$
2 $m - 2 = 2 \Rightarrow m = 4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $m = 4$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Jednym z rozwiązań równania

5 (x + 1) - x^{2} (x + 1) = 0

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz $(x + 1)$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x + 1) (5 - x^{2}) = 0$
2 $x = - 1$ lub $x = 5$ lub $x = - 5$
3Wśród odpowiedzi jest $- 1$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $(- 1)$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Jedną z liczb spełniających nierówność

x^{4} - 3 x^{3} + 3 < 0

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Sprawdź każdą z liczb, podstawiając ją do lewej strony.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 1$ : $1 - 3 + 3 = 1 > 0$
2 $x = - 1$ : $1 + 3 + 3 = 7 > 0$
3 $x = 2$ : $16 - 24 + 3 = - 5 < 0$ ✓
4 $x = - 2$ : $16 + 24 + 3 = 43 > 0$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany:

W (x) = 2 x^{2} - 1

P (x) = x^{3} + x

Q (x) = (1 - x) (x + 1)

. Stopień wielomianu

W (x) \cdot P (x) \cdot Q (x)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Stopień iloczynu to suma stopni czynników.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie: $W$ — $2$ , $P$ — $3$ , $Q$ — $2$ .
2 $2 + 3 + 2 = 7$

Prawidłowa odpowiedź: C. $7$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Iloczyn wielomianów

2 x - 3

oraz

- 4 x^{2} - 6 x - 9

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyłącz minus i skorzystaj ze wzoru na różnicę sześcianów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 x - 3) (- 4 x^{2} - 6 x - 9) = - (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)$
2 $= - (8 x^{3} - 27) = - 8 x^{3} + 27$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 8 x^{3} + 27$

Zadanie 12

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Wielomian

W (x) = (3 x^{2} - 2)^{2}

jest równy wielomianowi

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wzór $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x^{2})^{2} - 2 \cdot 3 x^{2} \cdot 2 + 2^{2} = 9 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $9 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany

W (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x - 11

V (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 1

. Stopień wielomianu

W (x) - V (x)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz różnicę i znajdź najwyższą potęgę $x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (x) - V (x) = x - 12$
2Stopień: $1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 14

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany

W (x) = - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 3

oraz

P (x) = 2 x^{3} + 12 x

. Wielomian

W (x) + P (x)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Dodaj wyrazy podobne.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 x^{3} + 2 x^{3} = 0$
2 $W (x) + P (x) = 5 x^{2} + 12 x - 3$

Prawidłowa odpowiedź: A. $5 x^{2} + 12 x - 3$

Zadanie 15

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Liczba

2

jest pierwiastkiem wielomianu

W (x) = x^{3} + a x^{2} + 6 x - 4

. Współczynnik

a

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Warunek: $W (2) = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $W (2) = 8 + 4 a + 12 - 4 = 4 a + 16$
2 $4 a + 16 = 0 \Rightarrow a = - 4$

Prawidłowa odpowiedź: D. $- 4$

Zadanie 16

Matura: listopad 2009

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Wielomiany

Temat: Wielomiany

Matura · 1 pkt

Dane są wielomiany:

W (x) = x^{3} - 3 x + 1

oraz

V (x) = 2 x^{3}

. Wielomian

W (x) \cdot V (x)

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pomnóż każdy wyraz $W (x)$ przez $2 x^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 x^{3} \cdot x^{3} = 2 x^{6}$ , $2 x^{3} \cdot (- 3 x) = - 6 x^{4}$ , $2 x^{3} \cdot 1 = 2 x^{3}$
2 $W (x) \cdot V (x) = 2 x^{6} - 6 x^{4} + 2 x^{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $2 x^{6} - 6 x^{4} + 2 x^{3}$