Funkcja liniowa

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Współczynnik kierunkowy $a=3>0$, więc funkcja jest rosnąca — PRAWDA.
2. 2Wyraz wolny to $-4$, więc wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$, a nie $(0,4)$ — FAŁSZ.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: P, F

Odpowiedź: P, F

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z warunku $g(0)=-\frac{3}{2}$ wynika $b=-\frac{3}{2}$.
2. 2Miejsce zerowe: $a\cdot (-3)-\frac{3}{2}=0$.
3. 3Stąd $-3a=\frac{3}{2}$, czyli $a=-\frac{1}{2}$.
4. 4Zatem $g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$.
5. 5Prawidłowa odpowiedź: A. $g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Miejsce zerowe: $\frac{1}{2}x-k=0$, czyli $x=2k$.
2. 2Warunek: $2k>2$.
3. 3Stąd $k>1$, czyli $k\in (1,\infty )$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: D. $(1,\infty )$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(1,\infty )$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Masa mleka: $1,03x$ kilograma.
2. 2Masa pustej bańki jest stała i wynosi $6,5$ kg.
3. 3Razem: $f(x)=1,03x+6,5$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: D. $f(x)=1,03x+6,5$

Prawidłowa odpowiedź: D. $f(x)=1,03x+6,5$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Rozwiązujemy $-\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}=0$, czyli $\frac{1}{6}x=\frac{2}{3}$, więc $x=4$ — PRAWDA.
2. 2$f(0)=\frac{2}{3}$, więc punkt przecięcia to $\left(0,\frac{2}{3}\right)$, a nie $\left(0,-\frac{1}{6}\right)$ — FAŁSZ.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: P, F

Odpowiedź: P, F

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z $f(1)=0$: $a+b=0$, więc $b=-a$.
2. 2Z $f(-1)=4$: $-a+b=4$.
3. 3Podstawiamy: $-a-a=4$, czyli $a=-2$, a stąd $b=2$.
4. 4Zatem $f(x)=-2x+2$.
5. 5Prawidłowa odpowiedź: C. $f(x)=-2x+2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $f(x)=-2x+2$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Spadek o 3 jednostki na każdą jednostkę ceny oznacza $a=-3$.
2. 2Podstawiamy dane: $12=-3\cdot 5+b$.
3. 3Stąd $b=12+15=27$.
4. 4Zatem $Q=-3P+27$.
5. 5Prawidłowa odpowiedź: B. $Q=-3P+27$

Prawidłowa odpowiedź: B. $Q=-3P+27$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Porównujemy: $-3x+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x-3$.
2. 2Mnożymy przez 3: $-9x+1=x-9$.
3. 3Stąd $10=10x$, czyli $x_0=1>0$.
4. 4Obliczamy $y_0=\frac{1}{3}-3=-\frac{8}{3}<0$.
5. 5Prawidłowa odpowiedź: B. $x_0>0$ i $y_0<0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $x_0>0$ i $y_0<0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Opuszczamy nawias: $f(x)=-\frac{1}{3}x-1+5=-\frac{1}{3}x+4$.
2. 2Rozwiązujemy $-\frac{1}{3}x+4=0$.
3. 3Stąd $\frac{1}{3}x=4$, czyli $x=12$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: D. $12$

Prawidłowa odpowiedź: D. $12$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Funkcja liniowa rosnąca ani malejąca nie ma wartości najmniejszej.
2. 2Wartość najmniejszą (i największą) ma tylko funkcja stała.
3. 3Zatem współczynnik kierunkowy musi być zerem: $a-1=0$.
4. 4Stąd $a=1$ i wtedy $f(x)=3$.
5. 5Prawidłowa odpowiedź: C. $a=1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $a=1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Prosta równoległa ma współczynnik kierunkowy $-\frac{1}{2}$.
2. 2Punkt $(0,7)$ leży na osi $Oy$, więc wyraz wolny to $7$.
3. 3Zatem $y=-\frac{1}{2}x+7$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: D. $y=-\frac{1}{2}x+7$

Prawidłowa odpowiedź: D. $y=-\frac{1}{2}x+7$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Obie proste przecinają się w punkcie $(0,2)$ — to wierzchołek $C$.
2. 2Pierwsza prosta przecina oś $Ox$: $\frac{2}{3}x+2=0$, więc $x=-3$.
3. 3Druga prosta przecina oś $Ox$: $-x+2=0$, więc $x=2$.
4. 4Podstawa trójkąta ma długość $2-(-3)=5$, a wysokość wynosi $2$.
5. 5Pole: $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$.
6. 6Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Podstawiamy: $3=\frac{3}{4}a+6$.
2. 2Stąd $\frac{3}{4}a=-3$.
3. 3Zatem $a=-4$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: A. $a=-4$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a=-4$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Rozwiązujemy: $3(x+1)=6\sqrt{3}$.
2. 2Dzielimy przez 3: $x+1=2\sqrt{3}$.
3. 3Stąd $x=2\sqrt{3}-1$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: C. $2\sqrt{3}-1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $2\sqrt{3}-1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Podstawiamy: $\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot 1+b$.
2. 2Stąd $b=\sqrt{3}-2\sqrt{3}$.
3. 3Zatem $b=-\sqrt{3}$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: D. $-\sqrt{3}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $-\sqrt{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Brak miejsc zerowych wymaga $1-m^2=0$ oraz $m-1\ne 0$.
2. 2Z pierwszego warunku: $m=1$ lub $m=-1$.
3. 3Drugi warunek odrzuca $m=1$ (wtedy funkcja jest tożsamościowo zerowa).
4. 4Zostaje $m=-1$, wtedy $f(x)=-2$ — brak miejsc zerowych.
5. 5Prawidłowa odpowiedź: C. $m=-1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m=-1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Współczynnik kierunkowy $\frac{1}{3}>0$, więc funkcja jest rosnąca.
2. 2$f(0)=-1$, więc wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-1)$.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: D

Prawidłowa odpowiedź: D. Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-1)$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z równania: $\frac{7}{3}x=21$.
2. 2Mnożymy przez $\frac{3}{7}$: $x=9$.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: C. $9$

Prawidłowa odpowiedź: C. $9$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z $x=m-1$ wynika $m=x+1$.
2. 2Podstawiamy do $y=2m+5$: $y=2(x+1)+5$.
3. 3Upraszczamy: $y=2x+7$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: C. $y=2x+7$

Prawidłowa odpowiedź: C. $y=2x+7$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Mnożymy pierwsze równanie przez 2: $4x-6y=8$.
2. 2Odejmujemy od drugiego: $(5x-6y)-(4x-6y)=7-8$, czyli $x=-1$.
3. 3Podstawiamy do pierwszego: $2\cdot (-1)-3y=4$, więc $-3y=6$ i $y=-2$.
4. 4Zatem $P=(-1,-2)$.
5. 5Prawidłowa odpowiedź: C. $P=(-1,-2)$

Prawidłowa odpowiedź: C. $P=(-1,-2)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z równania: $\frac{3}{4}x=-6$.
2. 2Mnożymy przez $\frac{4}{3}$: $x=-8$.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: D. $-8$

Prawidłowa odpowiedź: D. $-8$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Podstawiamy $x=0$: $y=2\cdot 0-3=-3$.
2. 2Zatem punkt przecięcia to $(0,-3)$.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: A. $(0,-3)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $(0,-3)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Podstawiamy: $-2=(m-1)\cdot 5+3$.
2. 2Stąd $5(m-1)=-5$, czyli $m-1=-1$.
3. 3Zatem $m=0$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: B. $m=0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $m=0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Miejsce zerowe $g$: $-3x+4=0$, czyli $x=\frac{4}{3}$.
2. 2Podstawiamy do $f$: $2\cdot \frac{4}{3}+b=0$.
3. 3Stąd $b=-\frac{8}{3}$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: C. $b=-\frac{8}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $b=-\frac{8}{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Funkcja rosnąca oznacza $a>0$.
2. 2Miejsce zerowe: $x_0=-\frac{b}{a}>0$.
3. 3Skoro $a>0$, to $-b>0$, czyli $b<0$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: D. $a>0$ i $b<0$

Prawidłowa odpowiedź: D. $a>0$ i $b<0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(-2)=-6-4=-10$.
2. 2$f(2)=6-4=2$.
3. 3Funkcja jest rosnąca i przedział jest domknięty, więc zbiorem wartości jest $⟨-10,2⟩$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨-10,2⟩$

Prawidłowa odpowiedź: A. $⟨-10,2⟩$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Z punktu $L=(0,1)$: $b=1$.
2. 2Z punktu $K=(1,0)$: $0=a+1$, czyli $a=-1$.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: A. $a=-1$ i $b=1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $a=-1$ i $b=1$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a=\frac{3-2}{-2-1}=-\frac{1}{3}$.
2. 2Z $f(1)=2$: $-\frac{1}{3}+b=2$, więc $b=\frac{7}{3}$.
3. 3Zatem $f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: B. $f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Współczynnik $\frac{1}{2}>0$, więc funkcja jest rosnąca.
2. 2$f(0)=-6$, więc wykres przechodzi przez punkt $(0,-6)$.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: D

Prawidłowa odpowiedź: D. jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0,-6)$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Rozwiązujemy: $\sqrt{2}x=4$, czyli $x=\frac{4}{\sqrt{2}}$.
2. 2Usuwamy niewymierność: $\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
3. 3Prawidłowa odpowiedź: D. $2\sqrt{2}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $2\sqrt{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwszy wzór: $x-4=0$ daje $x=4$, ale wymagane jest $x⩽3$ — odrzucamy.
2. 2Drugi wzór: $-x+2=0$ daje $x=2$, ale wymagane jest $x>3$ — odrzucamy.
3. 3Żadne rozwiązanie nie spełnia warunków, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Pierwszy wzór: $-3x+4=0$ daje $x=\frac{4}{3}$, ale wymagane jest $x<1$ — odrzucamy.
2. 2Drugi wzór: $2x-1=0$ daje $x=\frac{1}{2}$, ale wymagane jest $x⩾1$ — odrzucamy.
3. 3Funkcja nie ma miejsc zerowych.
4. 4Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Prawidłowa odpowiedź: A. $0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wykres maleje, więc $a<0$ – FAŁSZ.
2. 2Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$, więc $b=-3<0$ – FAŁSZ.
3. 3Odpowiedź: F, F

Odpowiedź: F, F

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Prosta przechodzi przez $(-2,0)$ i $(0,-3)$.
2. 2$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}$
3. 3$\mathrm{tg}\alpha =a=-\frac{3}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: A. $\left(-\frac{3}{2}\right)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$f(-2,5)=2,5$, ale $f(-2)=1$ – większy argument ma mniejszą wartość, więc $f$ nie jest rosnąca w $⟨-4,-2⟩$ – FAŁSZ.
2. 2$f(1)=4$, a dla $x\in (1,3⟩$ wartości maleją od $3$ do $-1$, więc $f$ maleje w $⟨1,3⟩$ – PRAWDA.
3. 3Odpowiedź: F, P

Odpowiedź: F, P

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1$a=\frac{4-0}{0-2}=-2$ – PRAWDA.
2. 2Przyprostokątne mają długości $2$ i $4$, więc $P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\ne 8$ – FAŁSZ.
3. 3Odpowiedź: P, F

Odpowiedź: P, F

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wykres maleje, więc $a<0$.
2. 2Wykres przecina oś $Oy$ powyżej zera, więc $b>0$.

Prawidłowa odpowiedź: C. $a<0$ i $b>0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Wykres rośnie, więc $a>0$.
2. 2Wykres przecina oś $Oy$ poniżej zera, więc $b<0$.

Prawidłowa odpowiedź: B. $a>0$ i $b<0$

Rozwiązanie krok po kroku

1. 1Prosta rosnąca przechodzi przez $(0,-4)$ i $(2,0)$: $y=2x-4$.
2. 2Prosta malejąca przechodzi przez $(0;3,5)$ i $(7,0)$: $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$.
3. 3Proste przecinają się w $(3,2)$ – to układ B.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\end{array}$