Matematyka · Poziom podstawowy

Równania

Równania liniowe, kwadratowe, wymierne i wykładnicze — od prostych przekształceń po typowe zadania maturalne.

57zadań

2przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 7–8

7. Funkcja kwadratowa — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

Δ = b^{2} - 4 a c

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

01Co musisz umieć?

—Przekształcać równania, wykonując te same działania na obu stronach
—Rozwiązywać równania liniowe, w tym z nawiasami i ułamkami
—Obliczać wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego
—Rozkładać wyrażenia na czynniki i korzystać z postaci iloczynowej
—Wyznaczać dziedzinę równania wymiernego i sprawdzać rozwiązania
—Zapisywać treść zadania tekstowego w postaci równania

02Najważniejsza teoria

Równanie liniowe

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą sprowadzamy do postaci ogólnej:

a x + b = 0, a \neq = 0

x = - \frac{b}{a}

Gdy $a = 0$ i $b = 0$ , równanie jest tożsamościowe (spełnia je każda liczba). Gdy $a = 0$ i $b \neq = 0$ , równanie jest sprzeczne.

Równanie kwadratowe

Równanie drugiego stopnia rozwiązujemy przy pomocy wyróżnika:

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

Δ = b^{2} - 4 a c

x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

Dla $Δ > 0$ są dwa pierwiastki, dla $Δ = 0$ jeden ( $x = - \frac{b}{2 a}$ ), a dla $Δ < 0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

UWAGA

Najczęstszy błąd: pominięcie drugiego pierwiastka oraz gubienie znaku przy $b$ w liczniku wzoru.

Postać iloczynowa i wyłączanie czynnika

Jeśli iloczyn jest równy zero, to zeruje się co najmniej jeden z czynników:

a \cdot b = 0 ⟺ a = 0 lub b = 0

x^{2} - a^{2} = (x - a) (x + a)

Równania niepełne, np. $2 x^{2} - 8 x = 0$ , rozwiązujemy szybciej przez wyłączenie czynnika niż przez deltę.

Równania wymierne

Zanim pomnożymy równanie przez mianownik, zapisujemy założenia:

\frac{P ( x )}{Q ( x )} = 0 ⟺ P (x) = 0 i Q (x) \neq = 0

UWAGA

Brak dziedziny to najczęstsza utrata punktów na maturze — rozwiązanie zerujące mianownik trzeba odrzucić.

03Przykłady

Przykład 1 · Równanie liniowe z nawiasem

1Rozwiązujemy $4 (x - 2) = 2 x + 6$ .
2Rozwijamy nawias: $4 x - 8 = 2 x + 6$
3Przenosimy niewiadome na lewo, liczby na prawo: $4 x - 2 x = 6 + 8$
4Redukujemy: $2 x = 14$
5Dzielimy przez 2: $x = 7$

Przykład 2 · Równanie kwadratowe

1Rozwiązujemy $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ .
2Współczynniki: $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 3$
3Wyróżnik: $Δ = 16 - 12 = 4$ , więc $Δ = 2$
4Pierwszy pierwiastek: $x_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$
5Drugi pierwiastek: $x_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

04Zadania

Zagadnienie:

Rok matury:

Znalezione zadania: 57

Zadanie 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Rozwiąż równanie

2 x + 5 = 17

Wskazówka

Spróbuj najpierw odjąć 5 od obu stron równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy równanie: $2 x + 5 = 17$
2Odejmujemy 5 od obu stron, aby zostawić samo $2 x$ : $2 x = 17 - 5$
3Wykonujemy odejmowanie: $2 x = 12$
4Dzielimy obie strony przez 2: $x = \frac{12}{2}$
5Otrzymujemy: $x = 6$

Odpowiedź: $x = 6$

Zadanie 2

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe z nawiasami

Rozwiąż równanie

3 (2 x - 1) = x + 14

Wskazówka

Najpierw rozwiń nawias po lewej stronie, a dopiero potem zbierz wyrazy z $x$ po jednej stronie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwijamy nawias: $6 x - 3 = x + 14$
2Przenosimy $x$ na lewo, a $- 3$ na prawo: $6 x - x = 14 + 3$
3Redukujemy wyrazy podobne: $5 x = 17$
4Dzielimy przez 5: $x = \frac{17}{5}$
5Zapisujemy wynik w postaci dziesiętnej: $x = 3, 4$

Odpowiedź: $x = \frac{17}{5} = 3, 4$

Zadanie 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z ułamkami

Rozwiąż równanie

\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5

Wskazówka

Pomnóż całe równanie przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, czyli przez 6.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mnożymy obie strony przez 6 (NWW mianowników 3 i 2): $6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot 5$
2Skracamy ułamki: $2 x + 3 x = 30$
3Redukujemy wyrazy podobne: $5 x = 30$
4Dzielimy przez 5: $x = 6$

Odpowiedź: $x = 6$

Zadanie 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Rozwiąż równanie

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Wskazówka

Oblicz wyróżnik $Δ = b^{2} - 4 a c$ , a następnie podstaw do wzoru na pierwiastki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Odczytujemy współczynniki: $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$
2Obliczamy wyróżnik: $Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
3Ponieważ $Δ > 0$ , równanie ma dwa pierwiastki. Liczymy $Δ = 1$
4Pierwszy pierwiastek: $x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
5Drugi pierwiastek: $x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Odpowiedź: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$

Zadanie 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe niepełne

Rozwiąż równanie

2 x^{2} - 8 x = 0

Wskazówka

Nie licz delty — wyłącz wspólny czynnik przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy wspólny czynnik $2 x$ : $2 x (x - 4) = 0$
2Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem: $2 x = 0$ lub $x - 4 = 0$
3Z pierwszego warunku: $x = 0$
4Z drugiego warunku: $x = 4$

Odpowiedź: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$

Zadanie 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Postać iloczynowa

Rozwiąż równanie

(x - 3) (x + 7) = 0

Wskazówka

Iloczyn dwóch liczb jest zerem tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Iloczyn równa się zero, więc rozpatrujemy dwa przypadki: $x - 3 = 0$ lub $x + 7 = 0$
2Z pierwszego: $x = 3$
3Z drugiego: $x = - 7$

Odpowiedź: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 7$

Zadanie 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania wymierne

Rozwiąż równanie

\frac{2 x + 1}{x - 3} = 3

Wskazówka

Zapisz założenie $x \neq = 3$ , a potem pomnóż obie strony przez mianownik.

Rozwiązanie krok po kroku

1Ustalamy dziedzinę: mianownik nie może być zerem, więc $x \neq = 3$
2Mnożymy obie strony przez $x - 3$ : $2 x + 1 = 3 (x - 3)$
3Rozwijamy nawias: $2 x + 1 = 3 x - 9$
4Przenosimy niewiadome na jedną stronę: $1 + 9 = 3 x - 2 x$
5Otrzymujemy: $x = 10$
6Sprawdzamy dziedzinę: $10 \neq = 3$ , więc wynik jest poprawny

Odpowiedź: $x = 10$

Zadanie 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie

∣ x - 4∣ = 6

Wskazówka

Wartość bezwzględna równa 6 oznacza, że wyrażenie w środku wynosi $6$ albo $- 6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozpatrujemy dwa przypadki: $x - 4 = 6$ lub $x - 4 = - 6$
2Pierwszy przypadek: $x = 6 + 4 = 10$
3Drugi przypadek: $x = - 6 + 4 = - 2$

Odpowiedź: $x_{1} = 10$ , $x_{2} = - 2$

Zadanie 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania wykładnicze

Rozwiąż równanie

3^{x} = 81

Wskazówka

Przedstaw prawą stronę jako potęgę liczby 3.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisujemy 81 jako potęgę trójki: $81 = 3^{4}$
2Równanie przyjmuje postać: $3^{x} = 3^{4}$
3Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc wykładniki muszą być równe: $x = 4$

Odpowiedź: $x = 4$

Zadanie 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania sześcienne

Rozwiąż równanie

x^{3} - 4 x = 0

Wskazówka

Wyłącz $x$ przed nawias i skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wyłączamy $x$ : $x (x^{2} - 4) = 0$
2Rozkładamy różnicę kwadratów: $x (x - 2) (x + 2) = 0$
3Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: $x = 0$ , $x = 2$ lub $x = - 2$

Odpowiedź: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 0$ , $x_{3} = 2$

Zadanie 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadanie tekstowe

Matura · punktacja niepodana

Liczba o 12 większa od podwojonej liczby

x

jest równa pięciokrotności liczby

x

zmniejszonej o 3. Wyznacz

x

Wskazówka

Zapisz oba opisy jako wyrażenia algebraiczne i połącz je znakiem równości.

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona (o 12 większa od podwojonej liczby): $2 x + 12$
2Prawa strona (pięciokrotność liczby zmniejszonej o 3): $5 (x - 3)$
3Zapisujemy równanie: $2 x + 12 = 5 (x - 3)$
4Rozwijamy nawias: $2 x + 12 = 5 x - 15$
5Porządkujemy: $12 + 15 = 5 x - 2 x$
6Stąd $27 = 3 x$ , czyli $x = 9$

Odpowiedź: $x = 9$

Zadanie 12

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równanie z parametrem

Matura · punktacja niepodana

Dla jakich wartości parametru

m

równanie

x^{2} - 4 x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste?

Wskazówka

Dwa różne pierwiastki istnieją dokładnie wtedy, gdy wyróżnik jest dodatni.

Rozwiązanie krok po kroku

1Odczytujemy współczynniki: $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = m$
2Obliczamy wyróżnik: $Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4 m$
3Warunek dwóch różnych pierwiastków: $Δ > 0$ , czyli $16 - 4 m > 0$
4Przekształcamy: $4 m < 16$
5Dzielimy przez 4: $m < 4$

Odpowiedź: $m \in (- \infty; 4)$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

W pewnym sklepie czekolada C kosztuje

x

złotych, a baton B kosztuje

y

złotych. Piotr kupił w tym sklepie 8 czekolad C oraz 4 batony B i zapłacił za te zakupy 82 złote. Natalia kupiła w tym sklepie 3 czekolady C oraz 9 batonów B i zapłaciła za te zakupy 60 złotych. Oblicz cenę

x

czekolady C.

Wskazówka

Zapisz dwa równania – jedno dla zakupów Piotra, drugie dla zakupów Natalii.

Rozwiązanie krok po kroku

1Układ równań: ${8 x + 4 y = 82 3 x + 9 y = 60$
2Drugie równanie dzielimy przez 3: $x + 3 y = 20$ , więc $x = 20 - 3 y$ .
3Podstawiamy: $8 (20 - 3 y) + 4 y = 82$ , czyli $160 - 20 y = 82$ .
4Stąd $y = 3, 9$ , a $x = 20 - 11, 7 = 8, 3$ .

Odpowiedź: $x = 8, 30$ zł

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według cennika: bilet normalny – 35 zł, bilet ulgowy – 25 zł. Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości

25%

wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.

Wskazówka

Kwota 4665 zł to $75%$ wszystkich wpływów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wpływy $W$ : $0, 75 W = 4665$ , więc $W = 6220$ zł.
2Niech $u$ – liczba biletów ulgowych, $200 - u$ – normalnych.
3 $35 (200 - u) + 25 u = 6220$ , czyli $7000 - 10 u = 6220$ .
4Stąd $u = 78$ .

Odpowiedź: $78$ biletów ulgowych

Zadanie 3

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Właściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów:

x

kg pomidorów malinowych w cenie 11 złotych za kilogram oraz

y

kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych. Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.

Wskazówka

Masz $x + y = 75$ oraz równanie kosztów. Wyznacz $y$ z pierwszego równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1 ${x + y = 75 11 x + 7, 98 y = 752, 52$
2 $y = 75 - x$ , więc $11 x + 7, 98 (75 - x) = 752, 52$ .
3 $11 x + 598, 5 - 7, 98 x = 752, 52$ , czyli $3, 02 x = 154, 02$ .
4 $x = 51$ .

Odpowiedź: $51$ kg

Zadanie 4

Matura: sierpień 2016

Oryginalne zadanie: zad. 27

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę 2. Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę

\frac{8}{17}

. Wyznacz ten ułamek.

Wskazówka

Oznacz ułamek jako $\frac{a}{b}$ i zapisz oba warunki jako równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a + 32}{b} = 2 \Rightarrow a = 2 b - 32$ .
2 $\frac{a - 6}{b - 6} = \frac{8}{17} \Rightarrow 17 (a - 6) = 8 (b - 6)$ .
3Podstawiamy: $17 (2 b - 38) = 8 b - 48$ , czyli $34 b - 646 = 8 b - 48$ .
4 $26 b = 598$ , więc $b = 23$ i $a = 14$ .

Odpowiedź: $\frac{14}{23}$

Zadanie 5

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 31

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 4 pkt

Ala jeździ do szkoły rowerem, a Ola skuterem. Obie pokonują tę samą drogę. Ala wyjechała do szkoły o godzinie

7 : 00

i pokonała całą drogę w ciągu 40 minut. Ola wyjechała 10 minut później niż Ala, a pokonanie całej drogi zajęło jej tylko 20 minut. Oblicz, o której godzinie Ola wyprzedziła Alę.

Wskazówka

Oznacz drogę przez $s$ . Ala w minutę pokonuje $\frac{s}{40}$ , a Ola $\frac{s}{20}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $t$ – czas jazdy Oli (w minutach) do chwili spotkania; Ala jedzie wtedy $t + 10$ minut.
2Przebyte drogi są równe: $\frac{s}{20} t = \frac{s}{40} (t + 10)$ .
3 $2 t = t + 10$ , więc $t = 10$ .
4Ola wyprzedziła Alę o $7 : 10 + 10$ min, czyli o $7 : 20$ .

Odpowiedź: o godzinie $7 : 20$

Zadanie 6

Oryginalne zadanie: zad. 19

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Niech

\frac{m}{n}

będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy 6, a do mianownika dodamy 15, jego wartość nie zmieni się. Oblicz liczby

m

n

Wskazówka

Zapisz równanie $\frac{m + 6}{n + 15} = \frac{m}{n}$ i pomnóż na krzyż.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{m + 6}{n + 15} = \frac{m}{n} \Rightarrow n (m + 6) = m (n + 15)$ .
2 $mn + 6 n = mn + 15 m$ , czyli $6 n = 15 m$ .
3 $\frac{m}{n} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .
4Ułamek jest nieskracalny, więc $m = 2$ , $n = 5$ .

Odpowiedź: $m = 2$ , $n = 5$

Zadanie 7

Oryginalne zadanie: zad. 20

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Dana jest liczba dwucyfrowa

a

, w której suma cyfr jest równa 14. Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o 18 mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr. Oblicz liczbę

a

Wskazówka

Liczba o cyfrach $x$ (dziesiątki) i $y$ (jedności) to $10 x + y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x + y = 14$ oraz $10 x + y - (10 y + x) = 18$ .
2Z drugiego: $9 x - 9 y = 18$ , czyli $x - y = 2$ .
3Dodajemy równania: $2 x = 16$ , więc $x = 8$ , $y = 6$ .

Odpowiedź: $a = 86$

Zadanie 8

Oryginalne zadanie: zad. 21

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 3 pkt

Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była 30 m. Długość każdego skoku psa jest równa 2 m, długość każdego skoku lisa jest równa 1 m. W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy. Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa.

Wskazówka

Policz, o ile metrów pies zbliża się do lisa w czasie trzech skoków lisa.

Rozwiązanie krok po kroku

1W jednym cyklu lis pokonuje $3 \cdot 1 = 3$ m, a pies $2 \cdot 2 = 4$ m.
2Pies zbliża się o $1$ m na cykl, więc dogoni lisa po $30$ cyklach.
3Dystans psa: $30 \cdot 4 = 120$ m.

Odpowiedź: $120$ m

Zadanie 9

Oryginalne zadanie: zad. 22

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Zadania tekstowe

Matura · 2 pkt

Suma liczb rzeczywistych

a

b

równa jest 527. Wiemy, że

8%

liczby

a

jest równe

7, 5%

liczby

b

. Oblicz liczby

a

b

Wskazówka

Zapisz $0, 08 a = 0, 075 b$ i wyznacz $b$ przez $a$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $0, 08 a = 0, 075 b \Rightarrow b = \frac{16}{15} a$ .
2 $a + \frac{16}{15} a = 527$ , czyli $\frac{31}{15} a = 527$ .
3 $a = 255$ , $b = 527 - 255 = 272$ .

Odpowiedź: $a = 255$ , $b = 272$

Zadanie 13

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem równania

x 3 + 2 = 2 x - 8

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zbierz wyrazy z $x$ po jednej stronie i usuń niewymierność z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x 3 - 2 x = - 10 \Rightarrow x (3 - 2) = - 10$
2 $x = \frac{- 10}{3 - 2} = \frac{10}{2 - 3}$
3 $x = \frac{10 ( 2 + 3 )}{4 - 3} = 10 (2 + 3)$

Prawidłowa odpowiedź: A. $10 (2 + 3)$

Zadanie 18

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równanie w postaci iloczynowej

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

x (x - 3) (x + 2) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $x = 0$ , $x = 3$ , $x = - 2$
2Suma: $0 + 3 - 2 = 1$

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 19

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Równość

\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{a} = 1

jest prawdziwa dla

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz najpierw $\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20}$
2 $\frac{1}{a} = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$
3 $a = \frac{20}{11}$

Prawidłowa odpowiedź: D. $a = \frac{20}{11}$

Zadanie 29

Matura: sierpień 2011

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem równania

3 (2 - 3 x) = x - 4

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń nawias i zbierz wyrazy z $x$ po jednej stronie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 - 9 x = x - 4$
2 $10 = 10 x \Rightarrow x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $x = 1$

Zadanie 31

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Rozwiązanie równania

x (x + 3) - 49 = x (x - 4)

należy do przedziału

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Po rozwinięciu nawiasów wyrazy $x^{2}$ się redukują.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 3 x - 49 = x^{2} - 4 x$
2 $7 x = 49 \Rightarrow x = 7$
3 $7 \in (2, + \infty)$

Prawidłowa odpowiedź: D. $(2, + \infty)$

Zadanie 34

Oryginalne zadanie: zad. –

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania liniowe

Matura · 1 pkt

Która z liczb jest rozwiązaniem równania

2 (x - 1) + x = x - 3 (2 - 3 x)

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiń nawiasy po obu stronach.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x - 2 = x - 6 + 9 x = 10 x - 6$
2 $4 = 7 x \Rightarrow x = \frac{4}{7}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $\frac{4}{7}$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2023

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (x - 13)^{2} - 256

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

(- 3)

. Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż $(x - 13)^{2} = 256$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x - 13 = 16$ lub $x - 13 = - 16$
2 $x = 29$ lub $x = - 3$

Prawidłowa odpowiedź: D. $29$

Zadanie 2

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Równanie

x (x - 2) = (x - 2)^{2}

w zbiorze liczb rzeczywistych

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz $(x - 2)$ przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x - 2) (x - (x - 2)) = 0$
2 $2 (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$ .

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Równanie

2 x^{2} + 11 x + 3 = 0

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Oblicz $Δ$ i skorzystaj ze wzorów Viète'a.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 121 - 24 = 97 > 0$ — dwa rozwiązania.
2 $x_{1} x_{2} = \frac{3}{2} > 0$ , $x_{1} + x_{2} = - \frac{11}{2} < 0$ — oba ujemne.

Prawidłowa odpowiedź: D. ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 4

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Pierwiastki

x_{1}

x_{2}

równania

2 (x + 2) (x - 2) = 0

spełniają warunek

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastki odczytasz z postaci iloczynowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$
2 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Prawidłowa odpowiedź: D. $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = 0$

Zadanie 5

Matura: marzec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Liczby

x_{1}

x_{2}

są rozwiązaniami równania

4 (x + 2) (x - 6) = 0

. Suma

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pierwiastki odczytasz z postaci iloczynowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 6$
2 $4 + 36 = 40$

Prawidłowa odpowiedź: C. $40$

Zadanie 6

Matura: listopad 2010

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Liczby

x_{1}

x_{2}

są pierwiastkami równania

x^{2} + 10 x - 24 = 0

x_{1} < x_{2}

. Oblicz

2 x_{1} + x_{2}

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż trójmian na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 10 x - 24 = (x + 12) (x - 2)$
2 $x_{1} = - 12$ , $x_{2} = 2$ ; $2 x_{1} + x_{2} = - 24 + 2 = - 22$

Prawidłowa odpowiedź: A. $- 22$

Zadanie 7

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania kwadratowe

Matura · 1 pkt

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie

x^{2} + 5 x + 6 = 0

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż trójmian na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$
2Rozwiązania: $- 3$ i $- 2$ ; mniejsza: $- 3$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 3$

Zadanie 1

Matura: sierpień 2026

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(x^{2} - 4) (x^{2} - 9) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $\pm 2$ , $\pm 3$ .
2Suma: $0$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Dane jest równanie

3 (x + 3) (x - m) (2 x + 4) = 0

, gdzie

x

jest niewiadomą, natomiast

m

jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa

0

. Liczba

m

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $- 3$ , $m$ , $- 2$ .
2 $- 3 + m - 2 = 0 \Rightarrow m = 5$

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 3

Matura: marzec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2 x + 3) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 0$ lub $x = \pm 3$ .
2 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ : $Δ = 4 - 12 < 0$ — brak rozwiązań.
3Razem: trzy rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. trzy rozwiązania.

Zadanie 4

Matura: sierpień 2025

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(3 x - 12) (10 + 5 x) (x - 3) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $4$ , $- 2$ , $3$ .
2Suma: $5$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $5$

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

4 (x - 1)^{2} (x^{2} - 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $1$ , $5$ , $- 5$ .
2Trzy różne rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: B. trzy rozwiązania.

Zadanie 6

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

2 x (x + 3) (x^{2} + 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 0$ lub $x = - 3$ .
2 $x^{2} + 25 > 0$ — brak rozwiązań.

Prawidłowa odpowiedź: A. dwa rozwiązania: $(- 3)$ oraz $0$ .

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Jednym z rozwiązań równania

3 (x^{2} - 2) (x + 3) = 0

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $\pm 2$ oraz $- 3$ .
2Wśród odpowiedzi: $2$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 8

Matura: sierpień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(2 x - 1) (2 x - 2) (x + 2) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $\frac{1}{2}$ , $1$ , $- 2$ .
2Suma: $- \frac{1}{2}$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- \frac{1}{2}$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

(x^{2} - 27) (x^{2} + 16) = 0

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} = 27 \Rightarrow x = \pm 33$
2 $x^{2} + 16 > 0$ — brak rozwiązań. Razem: dwa.

Prawidłowa odpowiedź: B. dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 10

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania

2 x (x^{2} - 9) (x + 1) = 0

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $0$ , $\pm 3$ , $- 1$ .
2Jednym z nich jest $0$ , więc iloczyn wynosi $0$ .

Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Zadanie 11

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania

2 (x - 4) (x^{2} - 1) = 0

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $4$ , $1$ , $- 1$ .
2Iloczyn: $- 4$ .

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 4$

Zadanie 13

Matura: sierpień 2019

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

x (5 x + 1) = 5 x + 1

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Nie dziel przez $5 x + 1$ — wyłącz ten czynnik przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5 x + 1) (x - 1) = 0$
2 $x = - \frac{1}{5}$ lub $x = 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. dwa rozwiązania: $x = - \frac{1}{5}$ i $x = 1$ .

Zadanie 14

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

x (x - 3) (x^{2} + 25) = 0

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = 0$ lub $x = 3$ ; $x^{2} + 25 > 0$ .
2Dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. dwa rozwiązania: $x = 0$ , $x = 3$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania

(x - 8) (x^{2} - 4) (x^{2} + 16) = 0

, wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $8$ , $\pm 2$ .
2 $8 + (- 2) = 6$

Prawidłowa odpowiedź: C. $6$

Zadanie 16

Matura: sierpień 2015

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniem równania

x^{2} (x + 1) = x^{2} - 8

jest

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wymnóż lewą stronę i uprość.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{3} + x^{2} = x^{2} - 8$
2 $x^{3} = - 8 \Rightarrow x = - 2$

Prawidłowa odpowiedź: B. $- 2$

Zadanie 17

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Liczba niewymiernych rozwiązań równania

x^{2} (x + 5) (2 x - 3) (x^{2} - 7) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $0$ , $- 5$ , $\frac{3}{2}$ , $\pm 7$ .
2Niewymierne: $7$ i $- 7$ — dwa.

Prawidłowa odpowiedź: D. $2$

Zadanie 18

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Suma wszystkich pierwiastków równania

(x + 3) (x + 7) (x - 11) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 3 - 7 + 11 = 1$

Prawidłowa odpowiedź: C. $1$

Zadanie 19

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Rozwiązaniami równania

(x^{3} - 8) (x - 5) (2 x + 1) = 0

są liczby

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2$
2 $x = 5$ , $x = - \frac{1}{2}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $- \frac{1}{2}; 2; 5$

Zadanie 20

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Wspólnym pierwiastkiem równań

(x^{2} - 1) (x - 10) (x - 5) = 0

oraz

\frac{2 x - 10}{x - 1} = 0

jest liczba

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie.

Rozwiązanie krok po kroku

1Drugie równanie: $2 x - 10 = 0$ , $x \neq = 1$ , więc $x = 5$ .
2 $5$ spełnia też pierwsze równanie.

Prawidłowa odpowiedź: B. $5$

Zadanie 21

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Równanie

(2 x - 1) \cdot (x - 2) = (1 - 2 x) \cdot (x + 2)

ma dwa rozwiązania. Są to liczby

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zauważ, że $1 - 2 x = - (2 x - 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 x - 1) (x - 2) + (2 x - 1) (x + 2) = 0$
2 $(2 x - 1) \cdot 2 x = 0$
3 $x = \frac{1}{2}$ lub $x = 0$

Prawidłowa odpowiedź: B. $0$ oraz $\frac{1}{2}$

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 17

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Funkcja

f (x) = 3 x (x^{2} + 5) (2 - x) (x + 1)

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Miejsca zerowe: $0$ , $2$ , $- 1$ ; $x^{2} + 5 > 0$ .
2Trzy miejsca zerowe.

Prawidłowa odpowiedź: B. trzy miejsca zerowe.

Zadanie 23

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 16

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania z iloczynem nawiasów

Matura · 1 pkt

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania

(x + 1) (x + 2) (x^{2} + 3) = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozwiązania: $- 1$ , $- 2$ ; $x^{2} + 3 > 0$ .
2Dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: C. $2$

Zadanie 24

Oryginalne zadanie: zad. informator CKE

Poziom: Podstawowy

Dział: Równania

Temat: Równania wyższych stopni

Matura · 1 pkt

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie

5 x^{4} - 13 = 0

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wyznacz $x^{4}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{4} = \frac{13}{5} > 0$
2 $x = \pm 4 \frac{13}{5}$ — dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: B. $2$