Matematyka · Poziom rozszerzonyPoziom rozszerzony

Wyrażenia algebraiczne

12zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 7

6. Wzory skróconego mnożenia — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 12

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

\frac{1}{3 + 2 + 1}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pogrupuj mianownik jako $(2 + 1) + 3$ i pomnóż licznik oraz mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisz mianownik w postaci $(2 + 1) + 3$ i pomnóż przez $(2 + 1) - 3$ .
2 $((2 + 1))^{2} - (3)^{2} = 3 + 22 - 3 = 22$ .
3Zatem wyrażenie $= \frac{2 + 1 - 3}{2 2}$ .
4Mnożymy licznik i mianownik przez $2$ : $\frac{2 + 2 - 6}{4}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 + 2 - 6}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 + 2 - 6}{4}$

Zadanie 2

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wzór dwumianowy Newtona

Matura · 1 pkt

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego

(x 2 + y 3)^{4}

do postaci

a x^{4} + b x^{3} y + c x^{2} y^{2} + d x y^{3} + e y^{4}

współczynnik

c

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru dwumianowego Newtona i wypisz tylko ten składnik, w którym występuje $x^{2} y^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Składnik z $x^{2} y^{2}$ to $(2 4) (x 2)^{2} (y 3)^{2}$ .
2 $(2 4) = 6$ , $(2)^{2} = 2$ , $(3)^{2} = 3$ .
3 $c = 6 \cdot 2 \cdot 3 = 36$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $36$

Prawidłowa odpowiedź: B. $36$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Pierwiastek z kwadratu i wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Liczba

(1 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że $a^{2} = ∣ a ∣$ — sprawdź najpierw znak każdego wyrażenia pod pierwiastkiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{2} = ∣ a ∣$ , więc obliczamy $∣1 - 2 ∣ + ∣2 - 2 ∣$ .
2 $1 - 2 < 0$ , zatem $∣1 - 2 ∣ = 2 - 1$ .
3 $2 - 2 > 0$ , zatem $∣2 - 2 ∣ = 2 - 2$ .
4 $(2 - 1) + (2 - 2) = 1$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Zadanie 4

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Dane są liczby:

a = \frac{4 8}{2}

b = \frac{1}{2 4 8}

c = 48

d = \frac{2}{4 8}

oraz

k = 2^{- \frac{1}{4}}

. Prawdziwa jest równość

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $48$ jako potęgę liczby $2$ z wykładnikiem wymiernym i porównaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $48 = 2^{\frac{3}{4}}$ .
2 $a = \frac{2 ^{\frac{3}{4}}}{2} = 2^{\frac{3}{4} - 1} = 2^{- \frac{1}{4}}$ .
3To dokładnie liczba $k$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $k = a$

Prawidłowa odpowiedź: A. $k = a$

Zadanie 5

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy pierwiastków

Matura · 1 pkt

Liczba

(2 - 3 - 2 + 3)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zastosuj wzór $(p - q)^{2} = p^{2} - 2 pq + q^{2}$ i zauważ, że iloczyn pod pierwiastkami to różnica kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(p - q)^{2} = p^{2} - 2 pq + q^{2}$ , gdzie $p = 2 - 3$ , $q = 2 + 3$ .
2 $p^{2} + q^{2} = (2 - 3) + (2 + 3) = 4$ .
3 $pq = (2 - 3) (2 + 3) = 4 - 3 = 1$ .
4 $4 - 2 \cdot 1 = 2$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 6

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wzór na sześcian sumy

Matura · 1 pkt

W rozwinięciu wyrażenia

(23 x + 4 y)^{3}

współczynnik przy iloczynie

x y^{2}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wypisz tylko ten wyraz rozwinięcia, w którym $x$ występuje w pierwszej potędze, a $y$ w drugiej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Szukany składnik: $(1 3) (23 x) (4 y)^{2}$ .
2 $(1 3) = 3$ , $(4 y)^{2} = 16 y^{2}$ .
3 $3 \cdot 23 \cdot 16 = 963$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $963$

Prawidłowa odpowiedź: C. $963$

Zadanie 7

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Sześcian różnicy

Matura · 1 pkt

Liczba

(3 - 23)^{3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ dla $a = 3$ i $b = 23$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = 3$ , $b = 23$ .
2 $a^{3} = 27$ , $3 a^{2} b = 3 \cdot 9 \cdot 23 = 543$ .
3 $3 a b^{2} = 3 \cdot 3 \cdot 12 = 108$ , $b^{3} = 8 \cdot 33 = 243$ .
4 $27 - 543 + 108 - 243 = 135 - 783$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $135 - 783$

Prawidłowa odpowiedź: C. $135 - 783$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Zadanie na kodowanie — wyrażenia symetryczne

Matura · 2 pkt

Dane są liczby

a, b

takie, że

a - b = 4

ab = 7

. Oblicz

a^{3} b + a b^{3}

. Zakoduj kolejno cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wskazówka

Wyłącz $ab$ przed nawias, a sumę kwadratów wyraź przez $(a - b)^{2}$ i $ab$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{3} b + a b^{3} = ab (a^{2} + b^{2})$ .
2 $a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab = 16 + 14 = 30$ .
3 $ab (a^{2} + b^{2}) = 7 \cdot 30 = 210$ .
4Cyfra setek: $2$ , dziesiątek: $1$ , jedności: $0$ .
5Odpowiedź: $210$

Odpowiedź: 210 (setek 2, dziesiątek 1, jedności 0)

Zadanie 9

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Działania na potęgach o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 7 ^{665} \cdot 3 3 ^{- 92}}{( \frac{1}{3} ) ^{\frac{152}{3}}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz każdy czynnik jako potęgę liczby $3$ , a następnie dodaj i odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 7^{665} = 3^{1995}$ .
2 $3 3^{- 92} = 3^{- \frac{92}{3}}$ .
3 $(\frac{1}{3})^{\frac{152}{3}} = 3^{- \frac{152}{3}}$ , a dzielenie zmienia znak wykładnika na $+ \frac{152}{3}$ .
4 $1995 - \frac{92}{3} + \frac{152}{3} = 1995 + \frac{60}{3} = 2015$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{2015}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{2015}$

Zadanie 10

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Porównywanie potęg

Matura · 4 pkt

Porównaj liczby

a^{b}

oraz

b^{a}

, gdzie

a = [(2 - 3)^{\frac{1}{2}} + (2 + 3)^{\frac{1}{2}}]^{2}

b = \frac{8 1 ^{- 1} \cdot 3}{2 7 ^{- 2} \cdot 4 9}

Wskazówka

Najpierw uprość osobno $a$ (kwadrat sumy pierwiastków) i $b$ (potęgi o podstawie $3$ ), a dopiero potem porównuj.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = (2 - 3) + (2 + 3) + 2 (2 - 3) (2 + 3) = 4 + 21 = 6$ .
2 $b = \frac{3 ^{- 4} \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{- 6} \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{- 4 + 6} = 9$ .
3Porównujemy $a^{b} = 6^{9}$ i $b^{a} = 9^{6}$ .
4 $6^{9} = 10077696$ , a $9^{6} = 531441$ .
5Odpowiedź: $a^{b} > b^{a}$

Odpowiedź: a^b > b^a (6^9 > 9^6)

Zadanie 11

Matura: maj 2005

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Dowód — pierwiastki sześcienne

Matura · 7 pkt

Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że

3 52 + 7 - 3 52 - 7

jest liczbą całkowitą.

Wskazówka

Sprawdź, czy liczby pod pierwiastkami nie są sześcianami wyrażeń postaci $2 \pm 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 + 1)^{3} = 22 + 3 \cdot 2 + 32 + 1 = 52 + 7$ .
2 $(2 - 1)^{3} = 22 - 3 \cdot 2 + 32 - 1 = 52 - 7$ .
3Zatem $3 52 + 7 = 2 + 1$ i $3 52 - 7 = 2 - 1$ .
4Różnica: $(2 + 1) - (2 - 1) = 2$ , czyli liczba całkowita — co należało wykazać.
5Odpowiedź: różnica jest równa $2$

Odpowiedź: 2

Zadanie 12

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Obliczanie wartości wyrażenia

Matura · 2 pkt

Oblicz

(2 - 3 - 2 + 3)^{2}

Wskazówka

Rozwiń kwadrat różnicy i policz osobno sumę kwadratów oraz iloczyn pierwiastków.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(p - q)^{2} = p^{2} + q^{2} - 2 pq$ .
2 $p^{2} + q^{2} = (2 - 3) + (2 + 3) = 4$ .
3 $pq = (2 - 3) (2 + 3) = 1 = 1$ .
4 $4 - 2 = 2$ .
5Odpowiedź: $2$

Odpowiedź: 2