Matematyka · Poziom rozszerzonyPoziom rozszerzony

Funkcja kwadratowa

60zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 7–9

7. Funkcja kwadratowa — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

f (x) = a x^{2} + b x + c Δ = b^{2} - 4 a c

W = (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})

f (x) = a (x - p)^{2} + q f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 60

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru

m

, gdzie

m \neq = 0

, dla których funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = m^{2} \cdot x^{2} - 2 m x - m + 1

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

należące do przedziału

(- 2, 2)

Wskazówka

Ramiona paraboli są skierowane w górę ( $m^{2} > 0$ ). Potrzebujesz: $Δ > 0$ , $f (- 2) > 0$ , $f (2) > 0$ i wierzchołka w $(- 2, 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 4 m^{2} - 4 m^{2} (1 - m) = 4 m^{3} > 0 \Rightarrow m > 0$
2 $f (2) = 4 m^{2} - 5 m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{4}$ lub $m > 1$
3 $f (- 2) = 4 m^{2} + 3 m + 1 > 0$ — zawsze ( $Δ < 0$ ).
4 $x_{w} = \frac{1}{m} \in (- 2, 2)$ przy $m > 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}$
5Część wspólna: $m \in (1, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (1, \infty)$

Zadanie 2

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

. Fragment wykresu funkcji

g

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto). Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja

g

przyjmuje w przedziale

⟨ 9, 11 ⟩

Wskazówka

Miejsca zerowe trójmianu pod modułem to $2$ i $10$ ; $10$ leży w przedziale.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 12 x + 20 = 0 \Leftrightarrow x \in {2, 10}$
2 $g (9) = - \frac{81}{4} + 22 = \frac{7}{4}$ , $g (10) = 0$ , $g (11) = - \frac{121}{4} + 28 = \frac{9}{4}$
3Na $⟨ 9, 10 ⟩$ funkcja maleje do $0$ , na $⟨ 10, 11 ⟩$ rośnie do $\frac{9}{4}$ .
4Zbiór wartości: $⟨ 0, \frac{9}{4} ⟩$

Odpowiedź: $⟨ 0, \frac{9}{4} ⟩$

Zadanie 3

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2.2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

(wykres na rysunku). Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru

m

, dla których równanie

g (x) = ∣ m ∣

ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Odczytaj z wykresu: $g (0) = 5$ , lokalne maksimum $g (6) = 4$ , zera w $2$ i $10$ . Policz punkty przecięcia z prostą $y = ∣ m ∣$ dla $x > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > 0$ : $g$ maleje od $5$ do $0$ na $(0, 2)$ , rośnie do $4$ na $(2, 6)$ , maleje do $0$ na $(6, 10)$ i rośnie do $\infty$ .
2 $∣ m ∣ = 0$ : rozwiązania $2$ i $10$ — dwa.
3 $0 < ∣ m ∣ < 4$ : cztery; $∣ m ∣ = 4$ : trzy.
4 $4 < ∣ m ∣ < 5$ : dwa (na $(0, 2)$ i na $(10, \infty)$ ); $∣ m ∣ ⩾ 5$ : jedno.
5 $m \in (- 5, - 4) \cup {0} \cup (4, 5)$

Odpowiedź: $m \in (- 5, - 4) \cup {0} \cup (4, 5)$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 3) (x^{2} + (m - 1) x - 6 m^{2} + 2 m) = 0

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Wskazówka

Policz wyróżnik trójmianu — jest pełnym kwadratem, więc pierwiastki da się zapisać jawnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 1)^{2} + 4 (6 m^{2} - 2 m) = (5 m - 1)^{2}$
2Pierwiastki trójmianu: $x = 2 m$ oraz $x = 1 - 3 m$ .
3Zbiór ${3, 2 m, 1 - 3 m}$ ma mieć dokładnie dwa elementy.
4 $2 m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$ (rozwiązania $3$ i $- \frac{7}{2}$ ); $1 - 3 m = 3 \Rightarrow m = - \frac{2}{3}$ (rozwiązania $3$ i $- \frac{4}{3}$ ).
5 $2 m = 1 - 3 m \Rightarrow m = \frac{1}{5}$ : pierwiastek podwójny $\frac{2}{5}$ i $3$ — również dwa rozwiązania.
6Uwaga: klucz w pliku podaje tylko $m = \frac{3}{2}$ i $m = - \frac{2}{3}$ , pomijając przypadek $m = \frac{1}{5}$ .

Odpowiedź: $m \in {- \frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}}$ (klucz z pliku: $m = \frac{3}{2}$ lub $m = - \frac{2}{3}$ )

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których nierówność

(m^{2} + 4 m - 5) \cdot x^{2} + 2 x > 2 m x - 2

jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x

Wskazówka

Zapisz $(m^{2} + 4 m - 5) x^{2} + (2 - 2 m) x + 2 > 0$ i rozpatrz osobno przypadek, gdy współczynnik przy $x^{2}$ jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m^{2} + 4 m - 5 = (m + 5) (m - 1)$
2 $m = 1$ : $2 > 0$ — prawda. $m = - 5$ : $12 x + 2 > 0$ — nie dla każdego $x$ .
3W pozostałych przypadkach: $a > 0$ i $Δ < 0$ .
4 $Δ = 4 (m - 1)^{2} - 8 (m + 5) (m - 1) = - 4 (m - 1) (m + 11) < 0 \Rightarrow m < - 11$ lub $m > 1$
5Z $a > 0$ ( $m < - 5$ lub $m > 1$ ): $m \in (- \infty, - 11) \cup (1, \infty)$ ; dołączamy $m = 1$ .
6 $m \in (- \infty, - 11) \cup ⟨ 1, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 11) \cup ⟨ 1, \infty)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Parametr

m

dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

(4 - m^{2}) \cdot x = m^{2} - 3 m + 2

z niewiadomą

x

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Równanie tożsamościowe: $0 \cdot x = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 - m^{2} = 0 \Rightarrow m = \pm 2$
2 $m^{2} - 3 m + 2 = (m - 1) (m - 2) = 0 \Rightarrow m \in {1, 2}$
3Oba warunki: $m = 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m = 2$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = - x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 1

x_{2} = 12

. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wskazówka

$f (x) = - (x + 1) (x - 12)$ , wierzchołek w środku między miejscami zerowymi.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{w} = \frac{- 1 + 12}{2} = \frac{11}{2}$
2 $f (\frac{11}{2}) = - \frac{13}{2} \cdot (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} = 42, 25$
3Kod: $2, 2, 5$

Odpowiedź: $225$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału

(- \infty, 3)

Wskazówka

Warunki: $Δ > 0$ , $f (3) > 0$ , $x_{w} < 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow m < - 2$ lub $m > 2$
2 $f (3) = 2 m^{2} - 9 m + 10 > 0 \Rightarrow m < 2$ lub $m > \frac{5}{2}$
3 $x_{w} = \frac{3 m}{2} < 3 \Rightarrow m < 2$
4 $m \in (- \infty, - 2)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 2)$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Liczba

m

jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

k^{2} x^{2} + (k - 1) x + 1 = 0, gdzie k \neq = 0.

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem

f (m) = 2^{m}

Wskazówka

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (k - 1)^{2} - 4 k^{2} = - (k + 1) (3 k - 1) > 0 \Rightarrow k \in (- 1, \frac{1}{3})$ , $k \neq = 0$
2 $m = \frac{- ( k - 1 ) / k ^{2}}{1/ k ^{2}} = 1 - k \in (\frac{2}{3}, 2)$ , $m \neq = 1$
3 $f (m) = 2^{m} \in (2^{2/3}, 4) ∖ {2}$

Odpowiedź: $(34, 4) ∖ {2}$

Zadanie 10

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Liczby

(- 1)

3

są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

f

. Oblicz

\frac{f ( 6 )}{f ( 12 )}

Wskazówka

Postać iloczynowa: $f (x) = a (x + 1) (x - 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (6) = a \cdot 7 \cdot 3 = 21 a$
2 $f (12) = a \cdot 13 \cdot 9 = 117 a$
3 $\frac{21 a}{117 a} = \frac{7}{39}$

Odpowiedź: $\frac{7}{39}$

Zadanie 11

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu

y = \frac{1}{4} x^{2} + 1

jest równoodległy od osi

O x

i od punktu

F = (0, 2)

Wskazówka

Porównaj kwadraty odległości punktu $(x, \frac{1}{4} x^{2} + 1)$ od $O x$ i od $F$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Odległość od $O x$ : $y = \frac{1}{4} x^{2} + 1 > 0$ .
2 $∣ P F ∣^{2} = x^{2} + (\frac{1}{4} x^{2} - 1)^{2} = \frac{1}{16} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + 1 = (\frac{1}{4} x^{2} + 1)^{2}$
3Zatem $∣ P F ∣ = \frac{1}{4} x^{2} + 1$ — odległości są równe.

Odpowiedź: Dowód

Zadanie 12

Matura: maj 2007

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 7 pkt

Wierzchołki trójkąta równobocznego

A B C

są punktami paraboli

y = - x^{2} + 6 x

. Punkt

C

jest jej wierzchołkiem, a bok

A B

jest równoległy do osi

O x

. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Wskazówka

$C = (3, 9)$ . Niech $A = (3 - t, y)$ , $B = (3 + t, y)$ ; wysokość trójkąta to $3 t$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y = - (x - 3)^{2} + 9$ , więc $C = (3, 9)$ .
2Dla $A = (3 - t, 9 - t^{2})$ , $B = (3 + t, 9 - t^{2})$ : bok $2 t$ , wysokość $t^{2}$ .
3 $t^{2} = 3 t \Rightarrow t = 3$ , $y = 6$ .
4 $A = (3 - 3, 6)$ , $B = (3 + 3, 6)$ , $C = (3, 9)$

Odpowiedź: $A = (3 - 3, 6)$ , $B = (3 + 3, 6)$ , $C = (3, 9)$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2005

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie liczby całkowite

k

, dla których funkcja

f (x) = x^{2} - 2^{k} \cdot x + 2^{k} + \frac{5}{4}

przyjmuje wartości dodatnie dla każdego

x \in R

Wskazówka

Warunek $Δ < 0$ ; podstaw $t = 2^{k} > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 4^{k} - 4 \cdot 2^{k} - 5 < 0$
2 $t^{2} - 4 t - 5 = (t - 5) (t + 1) < 0 \Rightarrow 0 < t < 5$
3 $2^{k} < 5 \Rightarrow k ⩽ 2$ dla $k$ całkowitych.

Odpowiedź: $k \in {2, 1, 0, - 1, - 2, \dots}$

Zadanie 14

Matura: styczeń 2003

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

f : R \to R

, określonej wzorem

f (x) = (x - 1) \cdot (5 - x)

, w przedziale

⟨ 0, 7 ⟩

Wskazówka

Wierzchołek leży w środku między miejscami zerowymi $1$ i $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{w} = 3 \in ⟨ 0, 7 ⟩$ , $f (3) = 4$
2 $f (0) = - 5$ , $f (7) = 6 \cdot (- 2) = - 12$
3Najmniejsza: $- 12$ , największa: $4$

Odpowiedź: najmniejsza $- 12$ , największa $4$

Zadanie 15

Matura: maj 2002

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - 3 (m + 1) x + m = 0

nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wskazówka

Dla $m = 0$ równanie jest liniowe; dla $m \neq = 0$ żądaj $Δ < 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m = 0$ : $- 3 x = 0$ — ma rozwiązanie.
2 $Δ = 9 (m + 1)^{2} - 4 m^{2} = (m + 3) (5 m + 3) < 0$
3 $m \in (- 3, - \frac{3}{5})$

Odpowiedź: $m \in (- 3, - \frac{3}{5})$

Zadanie 16

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + b x + c = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wartości

b

oraz

c

tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

Wskazówka

Podstaw $x = b$ i $x = c$ do równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = b$ : $2 b^{2} + c = 0 \Rightarrow c = - 2 b^{2}$
2 $x = c$ : $c^{2} + b c + c = 0 \Rightarrow c = 0$ lub $c = - b - 1$
3 $c = 0 \Rightarrow b = 0$
4 $- b - 1 = - 2 b^{2} \Rightarrow 2 b^{2} - b - 1 = 0 \Rightarrow b = 1$ ( $c = - 2$ ) lub $b = - \frac{1}{2}$ ( $c = - \frac{1}{2}$ )

Odpowiedź: $b = 0, c = 0$ lub $b = - \frac{1}{2}, c = - \frac{1}{2}$ lub $b = 1, c = - 2$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + m x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + 4 \cdot x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} ⩾ 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} - 4 m > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > 4$ .
2 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (s^{2} - 2 p)^{2} - 2 p^{2}$ , gdzie $s = - m$ , $p = m$ .
3 $(m^{2} - 2 m)^{2} - 2 m^{2} + 4 m^{3} = m^{4} + 2 m^{2} ⩾ 3 \Rightarrow m^{2} ⩾ 1$
4 $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (4, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (4, \infty)$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + 2 m x + 2 m - 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

m (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = 3 m \cdot x_{1} \cdot x_{2} + 2

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 4 (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 1$ .
2 $m (4 m^{2} - 4 m + 2) = 3 m (2 m - 1) + 2 \Rightarrow 4 m^{3} - 10 m^{2} + 5 m - 2 = 0$
3 $(m - 2) (4 m^{2} - 2 m + 1) = 0$ , drugi czynnik nie ma pierwiastków.
4 $m = 2$

Odpowiedź: $m = 2$

Zadanie 3

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = (2 - m) x^{2} - 2 (2 m + 1) x + m + 8

dla każdej liczby rzeczywistej

x

, gdzie

m \neq = 2

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dokładnie dwa miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

tego samego znaku, które spełniają warunek

(x_{1} - x_{2})^{2} ⩽ 180

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 20 (m^{2} + 2 m - 3) > 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $m > 1$ .
2Ten sam znak: $x_{1} x_{2} = \frac{m + 8}{2 - m} > 0 \Rightarrow m \in (- 8, 2)$ .
3 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{a ^{2}} = \frac{20 ( m ^{2} + 2 m - 3 )}{( 2 - m ) ^{2}} ⩽ 180 \Rightarrow 8 m^{2} - 38 m + 39 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ \frac{3}{2}$ lub $m ⩾ \frac{13}{4}$
4 $m \in (- 8, - 3) \cup (1, 1 \frac{1}{2} ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- 8, - 3) \cup (1, 1 \frac{1}{2} ⟩$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(3 - m) \cdot x^{2} + (m + 1) \cdot x - (m + 1)^{2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} \cdot x_{2} + 7

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 3$ ; $Δ = (m + 1)^{2} (13 - 4 m) > 0 \Rightarrow m \neq = - 1$ i $m < \frac{13}{4}$ .
2Warunek: $s^{2} - 3 p = 7$ , czyli $(m + 1)^{2} (10 - 3 m) = 7 (3 - m)^{2}$ .
3 $3 m^{3} + 3 m^{2} - 59 m + 53 = 0 \Rightarrow (m - 1) (3 m^{2} + 6 m - 53) = 0$
4 $m = 1$ lub $m = \frac{- 3 \pm 2 42}{3}$ ; $\frac{- 3 + 2 42}{3} > \frac{13}{4}$ odpada.

Odpowiedź: $m \in {1, \frac{- 3 - 2 42}{3}}$

Zadanie 5

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (3 m + 1) \cdot x + 2 m^{2} + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2} - 3) ⩽ 3 m - 7

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} + 2 m - 3 > 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $m > 1$ .
2Lewa strona: $s^{3} - 3 p s + 3 p s - 9 p = s^{3} - 9 p$ .
3 $(3 m + 1)^{3} - 9 (2 m^{2} + m + 1) ⩽ 3 m - 7 \Leftrightarrow (3 m + 1)^{2} (3 m - 1) ⩽ 0 \Leftrightarrow m ⩽ \frac{1}{3}$
4 $m \in (- \infty, - 3)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 3)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - (m + 1) x - 2 m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} < 1

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 0$ ; $Δ = 9 m^{2} - 10 m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{9}$ lub $m > 1$ ; $x_{1} x_{2} \neq = 0 \Rightarrow m \neq = \frac{3}{2}$ .
2 $\frac{s ^{2} - 2 p}{p ^{2}} < 1 \Rightarrow (m + 1)^{2} - 2 m (3 - 2 m) < (3 - 2 m)^{2} \Rightarrow m^{2} + 8 m - 8 < 0$
3 $m \in (- 4 - 26, - 4 + 26)$ , przy czym $- 4 + 26 \approx 0, 9$ .
4Z warunkiem $Δ > 0$ : $m \in (- 4 - 26, 0) \cup (0, \frac{1}{9})$ .
5Uwaga: klucz w pliku podaje $(- 4 - 26, 0) \cup (0, - 4 + 26)$ — pomija warunek $Δ > 0$ (np. dla $m = \frac{1}{2}$ równanie nie ma rozwiązań).

Odpowiedź: $m \in (- 4 - 26, 0) \cup (0, \frac{1}{9})$ (klucz z pliku: $(- 4 - 26, 0) \cup (0, - 4 + 26)$ )

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m \neq = 2

, dla których równanie

x^{2} + 4 x - \frac{m - 3}{m - 2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 28

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $16 + \frac{4 ( m - 3 )}{m - 2} > 0 \Rightarrow \frac{5 m - 11}{m - 2} > 0 \Rightarrow m < 2$ lub $m > \frac{11}{5}$ .
2 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = s^{3} - 3 p s = - 64 - \frac{12 ( m - 3 )}{m - 2} > - 28 \Rightarrow \frac{4 m - 9}{m - 2} < 0 \Rightarrow m \in (2, \frac{9}{4})$
3 $m \in (2 \frac{1}{5}, 2 \frac{1}{4})$

Odpowiedź: $m \in (2 \frac{1}{5}, 2 \frac{1}{4})$

Zadanie 8

Matura: pokazowa 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dane jest równanie

(x - 6) \cdot [(m - 2) x^{2} - 4 (m + 3) x + m + 1] = 0

z niewiadomą

x

i parametrem

m \in R

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Trójmian ma mieć dwa różne pierwiastki dodatnie, różne od $6$ ; $m \neq = 2$ .
2 $Δ = 16 (m + 3)^{2} - 4 (m - 2) (m + 1) > 0 \Leftrightarrow 3 m^{2} + 25 m + 38 > 0 \Leftrightarrow m < - \frac{19}{3}$ lub $m > - 2$
3 $x_{1} x_{2} = \frac{m + 1}{m - 2} > 0$ i $x_{1} + x_{2} = \frac{4 ( m + 3 )}{m - 2} > 0$ $\Rightarrow m < - 3$ lub $m > 2$ .
4 $x = 6$ jest pierwiastkiem trójmianu dla $m = 11$ — wykluczamy.
5 $m \in (- \infty, - 6 \frac{1}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)$ (w kluczu w pliku zgubiono minus przy $6 \frac{1}{3}$ ).

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 6 \frac{1}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} < 5 x_{1}^{2} \cdot x_{2} + 5 x_{1} \cdot x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m - 4)^{2} - 4 (m - 3) (m - 4) = - (m - 4) (3 m - 8) > 0 \Rightarrow m \in (\frac{8}{3}, 4)$ .
2 $s^{3} - 3 p s < 5 p s \Leftrightarrow s (s^{2} - 8 p) < 0$ , gdzie $s = m - 4 < 0$ .
3 $s^{2} - 8 p > 0 \Leftrightarrow (m - 4)^{2} - 8 (m - 3) (m - 4) > 0 \Leftrightarrow (m - 4) (- 7 m + 20) > 0 \Leftrightarrow m \in (\frac{20}{7}, 4)$
4 $m \in (2 \frac{6}{7}, 4)$

Odpowiedź: $m \in (2 \frac{6}{7}, 4)$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 4) [x^{2} + (m - 3) x + m^{2} - m - 6] = 0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

oraz

x_{3}

, spełniające warunek

x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} > x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 5 m - 51

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Trójmian: dwa różne pierwiastki różne od $4$ . $Δ = - 3 m^{2} - 2 m + 33 > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{11}{3}, 3)$ .
2 $4$ jest pierwiastkiem dla $m^{2} + 3 m - 2 = 0$ , tj. $m = \frac{- 3 \pm 17}{2}$ — wykluczamy.
3 $x_{3} = 4$ : $4 p > 16 + s^{2} - 2 p - 5 m - 51 \Rightarrow 6 p - s^{2} + 5 m + 35 > 0$
4 $6 (m^{2} - m - 6) - (m - 3)^{2} + 5 m + 35 = 5 m^{2} + 5 m - 10 > 0 \Rightarrow m < - 2$ lub $m > 1$
5 $m \in (- 3 \frac{2}{3}, \frac{- 3 - 17}{2}) \cup (\frac{- 3 - 17}{2}, - 2) \cup (1, 3)$

Odpowiedź: $m \in (- 3 \frac{2}{3}, \frac{- 3 - 17}{2}) \cup (\frac{- 3 - 17}{2}, - 2) \cup (1, 3)$

Zadanie 11

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m + 1) x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + 2 = \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $1$ i $m$ ; warunki $m \neq = 1$ , $m \neq = 0$ .
2 $1 + \frac{1}{m} + 2 = 1 + \frac{1}{m ^{2}} \Rightarrow 2 m^{2} + m - 1 = 0$
3 $m = \frac{1}{2}$ lub $m = - 1$

Odpowiedź: $m \in {- 1, \frac{1}{2}}$

Zadanie 12

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian kwadratowy

4 x^{2} - 2 (m + 1) x + m

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

x_{1} + x_{2} ⩽ \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (m + 1)^{2} - 16 m = 4 (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 1$ ; $p \neq = 0 \Rightarrow m \neq = 0$ .
2 $s ⩽ \frac{s}{p}$ , gdzie $s = \frac{m + 1}{2}$ , $p = \frac{m}{4}$ : $\frac{m + 1}{2} (1 - \frac{4}{m}) ⩽ 0$
3 $\frac{( m + 1 ) ( m - 4 )}{m} ⩽ 0 \Rightarrow m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 4 ⟩$
4 $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 1) \cup (1, 4 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 1) \cup (1, 4 ⟩$

Zadanie 13

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

x^{2} - 2 a x + a^{3} - 2 a = 0

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ > 0$ : $4 a^{2} - 4 a^{3} + 8 a > 0 \Rightarrow a (a^{2} - a - 2) < 0 \Rightarrow a < - 1$ lub $0 < a < 2$
2 $x_{1} + x_{2} = 2 a > 0$ , $x_{1} x_{2} = a (a^{2} - 2) > 0 \Rightarrow a > 2$
3 $a \in (2, 2)$

Odpowiedź: $a \in (2, 2)$

Zadanie 14

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie kwadratowe

x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których różne rozwiązania

x_{1}

x_{2}

tego równania istnieją i spełniają warunek

2 x_{1}^{2} + 5 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = 2

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m - 8)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 8$ .
2 $2 s^{2} + p = 2 \Rightarrow 2 (3 m + 2)^{2} + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 2 \Rightarrow 20 m^{2} + 31 m - 9 = 0$
3 $m = \frac{1}{4}$ lub $m = - \frac{9}{5}$

Odpowiedź: $m \in {- \frac{9}{5}, \frac{1}{4}}$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} + (2 - 4 m) x + m^{2} - m - 2 = 0

ma dwa różne dodatnie rozwiązania

x_{1}, x_{2}

spełniające nierówność

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ⩽ \frac{17}{4}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (2 - 4 m)^{2} - 16 (m^{2} - m - 2) = 36 > 0$ — zawsze.
2Dodatnie: $s = \frac{2 m - 1}{2} > 0$ , $p = \frac{( m - 2 ) ( m + 1 )}{4} > 0 \Rightarrow m > 2$
3 $s^{2} - 2 p = \frac{( 2 m - 1 ) ^{2} - 2 ( m ^{2} - m - 2 )}{4} = \frac{2 m ^{2} - 2 m + 5}{4} ⩽ \frac{17}{4} \Rightarrow m \in ⟨ - 2, 3 ⟩$
4 $m \in (2, 3 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (2, 3 ⟩$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + (m + 1) (2 m - 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania

x_{1}, x_{2}

spełniające warunki:

x_{1} \cdot x_{2} \neq = 0

oraz

0 < \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} ⩽ \frac{2}{3}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m - 2)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 2$ ; $p \neq = 0 \Rightarrow m \neq = - 1, \frac{1}{2}$ .
2 $\frac{s}{p} = \frac{3 m}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} > 0 \Rightarrow m \in (- 1, 0) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$
3 $\frac{3 m}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} ⩽ \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{( 4 m + 1 ) ( m - 2 )}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} ⩾ 0$
4 $m \in ⟨ - \frac{1}{4}, 0) \cup (2, \infty)$

Odpowiedź: $m \in ⟨ - \frac{1}{4}, 0) \cup (2, \infty)$

Zadanie 17

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (m + 1) x - m^{2} + 1 = 0

ma dwa rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

(

x_{1} \neq = x_{2}

), spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 7 x_{1} x_{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m + 1) (5 m - 3) > 0 \Rightarrow m < - 1$ lub $m > \frac{3}{5}$ .
2 $s^{3} - 3 p s + 7 p > 0$ , gdzie $s = - (m + 1)$ , $p = 1 - m^{2}$ .
3 $(m + 1) [- (m + 1)^{2} + 3 (1 - m^{2}) + 7 (1 - m)] = - (m + 1) (4 m - 3) (m + 3) > 0$
4 $(m + 1) (4 m - 3) (m + 3) < 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $- 1 < m < \frac{3}{4}$
5Z warunkiem $Δ > 0$ : $m \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})$

Zadanie 18

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} - 6 m x + (2 m + 3) (m - 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

, przy czym

x_{1} < x_{2}

, spełniające warunek

(4 x_{1} - 4 x_{2} - 1) (4 x_{1} - 4 x_{2} + 1) < 0

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $16 (x_{1} - x_{2})^{2} < 1$ .
2 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{16}$ , $Δ = 36 m^{2} - 16 (2 m^{2} - 3 m - 9) = 4 (m + 6)^{2}$
3 $Δ > 0 \Rightarrow m \neq = - 6$ ; $4 (m + 6)^{2} < 1 \Rightarrow ∣ m + 6∣ < \frac{1}{2}$
4 $m \in (- 6 \frac{1}{2}, - 6) \cup (- 6, - 5 \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in (- 6 \frac{1}{2}, - 6) \cup (- 6, - 5 \frac{1}{2})$

Zadanie 19

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Dany jest trójmian kwadratowy

f (x) = x^{2} + 2 (m + 1) x + 6 m + 1

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru

m

, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

tego samego znaku, spełniające warunek

∣ x_{1} - x_{2} ∣ < 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 4 (m^{2} - 4 m) > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > 4$ .
2Ten sam znak: $6 m + 1 > 0 \Rightarrow m > - \frac{1}{6}$ .
3 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = Δ = 2 m^{2} - 4 m < 3 \Rightarrow 4 m^{2} - 16 m - 9 < 0 \Rightarrow m \in (- \frac{1}{2}, \frac{9}{2})$
4 $m \in (- \frac{1}{6}, 0) \cup (4, 4 \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in (- \frac{1}{6}, 0) \cup (4, 4 \frac{1}{2})$

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{m ^{2} + m - 6}{m - 5} x^{2} - (m - 2) x + m - 5

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wyznacz całkowite wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wartość największa: $a = \frac{( m + 3 ) ( m - 2 )}{m - 5} < 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $2 < m < 5$ .
2Jednakowe znaki: $x_{1} x_{2} = \frac{( m - 5 ) ^{2}}{( m + 3 ) ( m - 2 )} > 0$ — spełnione przy $m < - 3$ lub $m > 2$ .
3 $Δ = (m - 2)^{2} - 4 (m + 3) (m - 2) = - (m - 2) (3 m + 14) > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{14}{3}, 2)$
4Część wspólna: $m \in (- \frac{14}{3}, - 3)$ ; jedyna liczba całkowita: $m = - 4$ .

Odpowiedź: $m = - 4$

Zadanie 21

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dany jest trójmian kwadratowy

f (x) = (m + 1) x^{2} + 2 (m - 2) x - m + 4

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian

f

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = x_{1}^{4} - x_{2}^{4}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = - 1$ ; $Δ = 4 (m - 2)^{2} + 4 (m + 1) (m - 4) = 4 (2 m^{2} - 7 m) > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > \frac{7}{2}$
2 $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$ . Gdy $x_{1} = - x_{2}$ : $s = 0 \Rightarrow m = 2$ — odpada ( $Δ < 0$ ).
3Zatem $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1$ : $\frac{4 ( m - 2 ) ^{2}}{( m + 1 ) ^{2}} - \frac{2 ( 4 - m )}{m + 1} = 1 \Rightarrow 5 m^{2} - 24 m + 7 = 0$
4 $m = \frac{12 \pm 109}{5}$ ; $\frac{12 - 109}{5} \approx 0, 31$ nie spełnia warunku $Δ > 0$ , zostaje $m = \frac{12 + 109}{5} \approx 4, 49$ .

Odpowiedź: $m = \frac{12 + 109}{5}$

Zadanie 22

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(m^{2} - m) x^{2} - x + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

\frac{1}{x _{1} + x _{2}} ⩽ \frac{m}{3} ⩽ \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 0, 1$ ; $Δ = 1 - 4 (m^{2} - m) > 0 \Rightarrow m \in (\frac{1 - 2}{2}, \frac{1 + 2}{2})$
2 $x_{1} + x_{2} = \frac{1}{m ^{2} - m}$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{s}{p} = 1$
3 $m^{2} - m ⩽ \frac{m}{3} ⩽ 1 \Rightarrow m \in ⟨ 0, \frac{4}{3} ⟩$ , $m ⩽ 3$
4 $m \in (0, 1) \cup (1, \frac{1 + 2}{2})$

Odpowiedź: $m \in (0, 1) \cup (1, \frac{1 + 2}{2})$

Zadanie 23

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja kwadratowa

f (x) = x^{2} - (2 m + 2) x + 2 m + 5

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

takie, że suma kwadratów odległości punktów

A = (x_{1}, 0)

B = (x_{2}, 0)

od prostej o równaniu

x + y + 1 = 0

jest równa

6

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (m + 1)^{2} - 4 (2 m + 5) = 4 (m^{2} - 4) > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 2$ .
2 $\frac{( x _{1} + 1 ) ^{2} + ( x _{2} + 1 ) ^{2}}{2} = 6 \Rightarrow s^{2} - 2 p + 2 s + 2 = 12$
3 $(2 m + 2)^{2} - 2 (2 m + 5) + 2 (2 m + 2) - 10 = 0 \Rightarrow 4 m^{2} + 8 m - 12 = 0 \Rightarrow m \in {1, - 3}$
4 $m = 1$ odpada, $m = - 3$

Odpowiedź: $m = - 3$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (2 m - 5) x + 2 m + 3 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

(x_{1} + x_{2})^{2} ⩾ x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} ⩾ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(2 m - 5)^{2} - 4 (2 m + 3) = 4 m^{2} - 28 m + 13 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2}$ lub $m > \frac{13}{2}$ .
2 $s^{2} ⩾ p^{2} \Leftrightarrow (s - p) (s + p) ⩾ 0$ : $(- 4 m + 2) (8) ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ \frac{1}{2}$
3 $p^{2} ⩾ s^{2} - 2 p \Leftrightarrow (2 m + 3)^{2} + 2 (2 m + 3) - (2 m - 5)^{2} ⩾ 0 \Leftrightarrow 36 m - 10 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩾ \frac{5}{18}$
4 $m \in ⟨ \frac{5}{18}, \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in ⟨ \frac{5}{18}, \frac{1}{2})$

Zadanie 25

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + 2 (1 - m) x + m^{2} - m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1} \cdot x_{2} ⩽ 6 m ⩽ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (1 - m)^{2} - 4 (m^{2} - m) = 4 (1 - m) > 0 \Rightarrow m < 1$ .
2 $m^{2} - m ⩽ 6 m \Rightarrow m \in ⟨ 0, 7 ⟩$
3 $6 m ⩽ 4 (1 - m)^{2} - 2 (m^{2} - m) = 2 m^{2} - 6 m + 4 \Rightarrow m^{2} - 6 m + 2 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ 3 - 7$ lub $m ⩾ 3 + 7$
4 $m \in ⟨ 0, 3 - 7 ⟩$

Odpowiedź: $m \in ⟨ 0, 3 - 7 ⟩$

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(m + 1) x^{2} - 3 m x + m + 1 = 0

ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż

2, 5

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = - 1$ ; $Δ = 9 m^{2} - 4 (m + 1)^{2} = (5 m + 2) (m - 2) > 0 \Rightarrow m < - \frac{2}{5}$ lub $m > 2$
2 $\frac{3 m}{m + 1} ⩽ \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{m - 5}{m + 1} ⩽ 0 \Rightarrow m \in (- 1, 5 ⟩$
3 $m \in (- 1, - \frac{2}{5}) \cup (2, 5 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- 1, - \frac{2}{5}) \cup (2, 5 ⟩$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

(x_{1} + x_{2}) (x_{1} + x_{2} - 1) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m \in (\frac{8}{3}, 4)$ (jak w zad. 9).
2 $s^{2} - s = s^{2} - 2 p \Rightarrow s = 2 p$
3 $m - 4 = 2 (m - 3) (m - 4) \Rightarrow (m - 4) (2 m - 7) = 0$
4 $m = 4$ odpada, $m = \frac{7}{2}$

Odpowiedź: $m = 3 \frac{1}{2}$

Zadanie 28

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Oblicz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m + 2) x + m + 4 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = 4 m^{3} + 6 m^{2} - 32 m + 12

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m + 2)^{2} - 4 (m + 4) = m^{2} - 12 > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 23$ .
2 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (s^{2} - 2 p)^{2} - 2 p^{2} = (m^{2} + 2 m - 4)^{2} - 2 (m + 4)^{2}$
3Po przyrównaniu: $m^{4} - 14 m^{2} = 0$ , czyli $m^{2} (m^{2} - 14) = 0$
4 $m = \pm 14$ ( $m = 0$ odpada)

Odpowiedź: $m \in {- 14, 14}$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

2 x^{2} + (3 - 2 m) x - m + 1 = 0

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

takie, że

∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = \frac{Δ}{∣ a ∣}$ , $Δ = (3 - 2 m)^{2} + 8 (m - 1) = 4 m^{2} - 4 m + 1 = (2 m - 1)^{2}$
2 $\frac{∣2 m - 1∣}{2} = 3 \Rightarrow ∣2 m - 1∣ = 6$
3 $m = \frac{7}{2}$ lub $m = - \frac{5}{2}$

Odpowiedź: $m \in {- 2 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}}$

Zadanie 30

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 4 m x - m^{3} + 6 m^{2} + m - 2 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

(x_{1} - x_{2})^{2} < 8 (m + 1)

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x_{1} - x_{2})^{2} = Δ = 16 m^{2} + 4 (m^{3} - 6 m^{2} - m + 2) = 4 (m^{3} - 2 m^{2} - m + 2) = 4 (m - 2) (m - 1) (m + 1)$
2 $Δ > 0 \Rightarrow m \in (- 1, 1) \cup (2, \infty)$
3 $4 (m - 2) (m - 1) (m + 1) < 8 (m + 1) \Leftrightarrow (m + 1) (m^{2} - 3 m) < 0 \Leftrightarrow m (m + 1) (m - 3) < 0$
4 $m \in (0, 1) \cup (2, 3)$

Odpowiedź: $m \in (0, 1) \cup (2, 3)$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

2 x^{2} - (m - 2) x - 3 m = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} ⩽ 25

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 2)^{2} + 24 m = m^{2} + 20 m + 4 > 0 \Rightarrow m < - 10 - 46$ lub $m > - 10 + 46$
2 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{4} ⩽ 25 \Rightarrow m^{2} + 20 m - 96 ⩽ 0 \Rightarrow m \in ⟨ - 24, 4 ⟩$
3 $m \in ⟨ - 24, - 10 - 46) \cup (- 10 + 46, 4 ⟩$

Odpowiedź: $m \in ⟨ - 24, - 10 - 46) \cup (- 10 + 46, 4 ⟩$

Zadanie 32

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + m x + 2 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od

2 m^{2} - 13

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} - 8 > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 22$ .
2 $m^{2} - 4 > 2 m^{2} - 13 \Rightarrow m^{2} < 9$
3 $m \in (- 3, - 22) \cup (22, 3)$

Odpowiedź: $m \in (- 3, - 22) \cup (22, 3)$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 4 m = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od

2 m^{3} - 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m - 4)^{2} - 4 (m^{2} - 4 m) = - 3 m^{2} + 8 m + 16 = - (3 m + 4) (m - 4) > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{4}{3}, 4)$ .
2 $m - 4 < 2 m^{3} - 3 \Leftrightarrow 2 m^{3} - m + 1 > 0 \Leftrightarrow (m + 1) (2 m^{2} - 2 m + 1) > 0 \Leftrightarrow m > - 1$
3 $m \in (- 1, 4)$

Odpowiedź: $m \in (- 1, 4)$

Zadanie 34

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Liczby

x_{1} = 5 + 23

x_{2} = 5 - 23

są rozwiązaniami równania

x^{2} - (p^{2} + q^{2}) x + (p + q) = 0

z niewiadomą

x

. Oblicz wartości

p

q

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} + x_{2} = 10 = p^{2} + q^{2}$
2 $x_{1} x_{2} = 25 - 23 = 2 = p + q$
3 $p^{2} + q^{2} = (p + q)^{2} - 2 pq \Rightarrow pq = - 3$
4 $p, q$ to pierwiastki $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ : ${- 1, 3}$

Odpowiedź: $p = - 1, q = 3$ lub $p = 3, q = - 1$

Zadanie 35

Matura: maj 2005

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 10 pkt

Dane jest równanie:

x^{2} + (m - 5) x + m^{2} + m + \frac{1}{4} = 0

. Zbadaj, dla jakich wartości parametru

m

stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 5)^{2} - 4 (m + \frac{1}{2})^{2} ⩾ 0 \Rightarrow (m - 5 - 2 m - 1) (m - 5 + 2 m + 1) ⩾ 0 \Rightarrow m \in ⟨ - 6, \frac{4}{3} ⟩$ , $m \neq = - \frac{1}{2}$
2 $f (m) = \frac{s}{p} = \frac{5 - m}{( m + \frac{1}{2} ) ^{2}}$
3 $f^{'} (m) = \frac{m - \frac{21}{2}}{( m + \frac{1}{2} ) ^{3}}$ : $f$ rośnie na $⟨ - 6, - \frac{1}{2})$ i maleje na $(- \frac{1}{2}, \frac{4}{3} ⟩$ ; $f (\frac{4}{3}) = \frac{12}{11}$ .
4 $f (- 6) = \frac{11}{\frac{121}{4}} = \frac{4}{11}$

Odpowiedź: $m = - 6$ , najmniejsza wartość $\frac{4}{11}$

Zadanie 36

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + (3 m - 2) x = - m - 2

z niewiadomą

x

. Sformułuj warunki, jakie powinien spełniać parametr

m

, by to równanie miało dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + (3 m - 2) x + m + 2 = 0$ ; $Δ = 9 m^{2} - 16 m - 4 = (9 m + 2) (m - 2) > 0 \Rightarrow m < - \frac{2}{9}$ lub $m > 2$
2 $\frac{s}{p} = \frac{2 - 3 m}{m + 2} > 0 \Rightarrow m \in (- 2, \frac{2}{3})$
3 $m \in (- 2, - \frac{2}{9})$

Odpowiedź: $m \in (- 2, - \frac{2}{9})$

Zadanie 1

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 6 pkt

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty

P

postaci

P = (\frac{1}{2} m + \frac{5}{2}, m)

, gdzie

m \in ⟨ - 1, 7 ⟩

. Oblicz najmniejszą i największą wartość

∣ P Q ∣^{2}

, gdzie

Q = (\frac{55}{2}, 0)

Wskazówka

Zapisz $∣ P Q ∣^{2}$ jako funkcję kwadratową zmiennej $m$ i sprawdź, gdzie leży wierzchołek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ P Q ∣^{2} = (\frac{1}{2} m - 25)^{2} + m^{2} = \frac{5}{4} m^{2} - 25 m + 625$
2 $m_{w} = 10 \in / ⟨ - 1, 7 ⟩$ — funkcja maleje na tym przedziale.
3 $m = 7$ : $511 \frac{1}{4}$ ; $m = - 1$ : $651 \frac{1}{4}$

Odpowiedź: najmniejsza $511 \frac{1}{4}$ , największa $651 \frac{1}{4}$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Na płaszczyźnie dane są punkty

A = (3, - 2)

B = (11, 4)

. Na prostej o równaniu

y = 8 x + 10

znajdź punkt

P

, dla którego suma

∣ A P ∣^{2} + ∣ B P ∣^{2}

jest najmniejsza.

Wskazówka

$P = (x, 8 x + 10)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A P ∣^{2} + ∣ B P ∣^{2} = (x - 3)^{2} + (8 x + 12)^{2} + (x - 11)^{2} + (8 x + 6)^{2} = 130 x^{2} + 260 x + 310$
2Minimum dla $x = - 1$ , wtedy $y = 2$ .

Odpowiedź: $P = (- 1, 2)$

Zadanie 3

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa

24

, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Wskazówka

Krawędzi podstaw jest $12$ , bocznych $6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 a + 6 h = 24 \Rightarrow h = 4 - 2 a$ , $a \in (0, 2)$
2 $P_{b} = 6 ah = 24 a - 12 a^{2}$
3Maksimum dla $a = 1$ .

Odpowiedź: $1$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku równym

2

. Na bokach

B C

C D

wybrano odpowiednio punkty

E

F

, różne od wierzchołków kwadratu, takie że

∣ C E ∣ = ∣ D F ∣ = x

. Oblicz wartość

x

, dla której pole trójkąta

A E F

jest najmniejsze, i oblicz to pole.

Wskazówka

Od pola kwadratu odejmij pola trzech trójkątów prostokątnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = 4 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2 - x) - \frac{1}{2} x (2 - x) - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x = \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$
2Minimum dla $x = 1$ : $P = \frac{3}{2}$

Odpowiedź: $x = 1$ , $P = 1 \frac{1}{2}$

Zadanie 5

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Bok kwadratu

A B C D

ma długość

1

. Na bokach

B C

C D

wybrano odpowiednio punkty

E

F

umieszczone tak, by

∣ C E ∣ = 2∣ D F ∣

. Oblicz wartość

x = ∣ D F ∣

, dla której pole trójkąta

A E F

jest najmniejsze.

Wskazówka

$∣ C E ∣ = 2 x$ , $∣ B E ∣ = 1 - 2 x$ , $∣ C F ∣ = 1 - x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = 1 - \frac{1}{2} (1 - 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 2 x (1 - x) - \frac{1}{2} x = x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$
2Minimum dla $x = \frac{1}{4} \in (0, \frac{1}{2})$ .

Odpowiedź: $x = \frac{1}{4}$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Dane są punkty

A = (1, 5)

B = (9, 3)

i prosta

k

o równaniu

y = x + 1

. Oblicz współrzędne punktu

C

leżącego na prostej

k

, dla którego suma

∣ A C ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2}

jest najmniejsza.

Wskazówka

$C = (x, x + 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A C ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} = (x - 1)^{2} + (x - 4)^{2} + (x - 9)^{2} + (x - 2)^{2} = 4 x^{2} - 32 x + 102$
2Minimum dla $x = 4$ : $C = (4, 5)$ .

Odpowiedź: $C = (4, 5)$

Zadanie 7

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu

y = x^{2}

, a drugi na prostej o równaniu

y = 2 x - 6

. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od

5

. Sporządź odpowiedni rysunek.

Wskazówka

Odcinek jest nie krótszy niż odległość jego końca na paraboli od prostej $2 x - y - 6 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $P = (t, t^{2})$ : $d = \frac{∣2 t - t ^{2} - 6∣}{5} = \frac{( t - 1 ) ^{2} + 5}{5} ⩾ \frac{5}{5} = 5$
2Długość odcinka $⩾ d ⩾ 5$ (równość dla $P = (1, 1)$ ).

Odpowiedź: Dowód

Zadanie 8

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

W skarbcu królewskim było

k

monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił

25

monet, a każdego następnego ranka dorzucał o

2

monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia

50

monet. Oblicz najmniejszą liczbę

k

, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości

k

oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Wskazówka

Dorzucane kwoty tworzą ciąg arytmetyczny $25, 27, 29, \dots$

Rozwiązanie krok po kroku

1Po południu $n$ -tego dnia: $k + (n^{2} + 24 n) - 50 n = k + n^{2} - 26 n$
2Minimum dla $n = 13$ : $k - 169$ .
3 $k - 169 ⩾ 1 \Rightarrow k = 170$

Odpowiedź: $k = 170$ , trzynastego dnia