Matematyka · Poziom rozszerzonyPoziom rozszerzony

Granica ciągu i funkcji

Wskazówki i wzory przed sprawdzianem: obliczanie granic przez podstawianie, przekształcanie postaci nieoznaczonych, granice w nieskończoności i granice jednostronne.

71zadań

4przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 11

8. Ciągi – wybrane granice — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

01Co musisz umieć?

—Rozumieć różnicę między wartością funkcji w punkcie a granicą funkcji
—Stosować prawa działań na granicach i rozpoczynać obliczenia od podstawienia
—Rozpoznawać postać nieoznaczoną $\frac{0}{0}$ i usuwać ją przez rozkład na czynniki
—Usuwać niewymierność za pomocą wyrażenia sprzężonego
—Obliczać granice w nieskończoności przez porównanie najwyższych potęg
—Wyznaczać granice jednostronne i sprawdzać istnienie granicy obustronnej
—Kontrolować znaki wyrażeń, gdy mianownik dąży do zera

02Najważniejsza teoria

Co oznacza granica?

Zapis $lim_{x \to a} f (x) = L$ oznacza, że gdy $x$ zbliża się do liczby $a$ , wartości funkcji zbliżają się do liczby $L$ . Funkcja może nie być określona w punkcie $a$ , a mimo to mieć w nim granicę.

x \to a lim f (x) = L

Wartość funkcji w punkcie i granica funkcji to różne pojęcia.

Podstawowe prawa działań na granicach

Jeżeli $lim_{x \to a} f (x) = A$ oraz $lim_{x \to a} g (x) = B$ , to granicę sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu obliczamy z granic składników.

x \to a lim [f (x) + g (x)] = A + B

x \to a lim [f (x) - g (x)] = A - B

x \to a lim [f (x) g (x)] = A \cdot B

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{A}{B}, B \neq = 0

x \to a lim [c f (x)] = c A

x \to a lim [f (x)]^{n} = A^{n}

x \to a lim c = c, x \to a lim x = a

Zawsze zacznij od podstawienia wartości, do której dąży $x$ . Jeśli otrzymasz zwykłą liczbę i wszystkie działania są określone, obliczenie jest zakończone.

Postać nieoznaczona $\frac{0}{0}$

Wynik $\frac{0}{0}$ nie jest granicą. Trzeba przekształcić wyrażenie: najczęściej rozłożyć je na czynniki i skrócić wspólny czynnik albo zastosować wyrażenie sprzężone.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

UWAGA

Symbol $\frac{0}{0}$ jest postacią nieoznaczoną, a nie wynikiem działania.

Granice w nieskończoności

W ilorazie wielomianów porównaj ich stopnie. Gdy stopień licznika jest mniejszy, granica wynosi $0$ . Przy równych stopniach podziel współczynniki przy najwyższych potęgach. Gdy stopień licznika jest większy, o wyniku decyduje znak ilorazu wyrazów najwyższego stopnia.

x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0, n = 1, 2, \dots

x \to - \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0, n = 1, 2, \dots

x^{2} = ∣ x ∣

UWAGA

Dla $x < 0$ mamy $∣ x ∣ = - x$ . Jest to szczególnie ważne, gdy $x \to - \infty$ .

Granice jednostronne

$x \to a^{-}$ oznacza zbliżanie się do $a$ z lewej strony, a $x \to a^{+}$ — z prawej. Granica obustronna istnieje wtedy, gdy obie granice jednostronne istnieją i są równe.

x \to 2^{-} lim \frac{1}{x - 2} = - \infty

x \to 2^{+} lim \frac{1}{x - 2} = + \infty

Gdy mianownik dąży do zera, a licznik do liczby różnej od zera, sprawdź znaki po obu stronach punktu.

Najczęstsze postacie nieoznaczone

Każda postać nieoznaczona wymaga dalszej analizy lub przekształcenia. W szczególności $\infty - \infty$ nie musi być równe zeru.

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \cdot \infty

Schemat obliczania granicy

Najpierw podstaw, następnie rozpoznaj otrzymaną postać, wybierz właściwą metodę i wykonaj obliczenia. Na końcu sprawdź znaki oraz granice jednostronne, jeśli są potrzebne.

podstaw ⟶ rozpoznaj posta c ˊ ⟶ wybierz metod ę ⟶ oblicz

Ćwicz osobno podstawianie, skracanie, pierwiastki, granice w nieskończoności, granice jednostronne i odczytywanie granic z wykresu.

03Przykłady

Przykład 1 · Bezpośrednie podstawienie

1Obliczamy $lim_{x \to 2} (x^{2} + 3 x - 1)$ .
2Wielomian jest określony dla $x = 2$ , więc podstawiamy tę wartość.
3 $2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9$ .
4Granica wynosi $9$ .

Przykład 2 · Usuwanie postaci $\frac{0}{0}$ przez skracanie

1Obliczamy $lim_{x \to 3} \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ .
2Rozkładamy różnicę kwadratów: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
3Dla $x \neq = 3$ skracamy czynnik $x - 3$ i otrzymujemy $x + 3$ .
4Podstawiamy $x = 3$ : $3 + 3 = 6$ .

Przykład 3 · Wyrażenie sprzężone

1Obliczamy $lim_{x \to 4} \frac{x - 2}{x - 4}$ .
2Mnożymy licznik i mianownik przez $x + 2$ .
3Po skróceniu $x - 4$ otrzymujemy $\frac{1}{x + 2}$ .
4Podstawiamy $x = 4$ : $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .

Przykład 4 · Granica ilorazu wielomianów w nieskończoności

1Obliczamy $lim_{x \to + \infty} \frac{3 x ^{2} - 2 x + 1}{2 x ^{2} + 5}$ .
2Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x^{2}$ .
3Otrzymujemy $\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{2 + \frac{5}{x ^{2}}}$ .
4Składniki z $\frac{1}{x}$ i $\frac{1}{x ^{2}}$ dążą do zera, więc granica wynosi $\frac{3}{2}$ .

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 71

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne z wartością bezwzględną

Matura · 2 pkt

Oblicz granicę

x \to 3^{-} lim \frac{∣ x - 3∣}{x ^{2} - 9}

Wskazówka

Dla $x < 3$ wyrażenie $x - 3$ jest ujemne — zapisz wartość bezwzględną bez modułu i rozłóż mianownik na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozkładamy mianownik: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
2Dla $x < 3$ mamy $x - 3 < 0$ , więc $∣ x - 3∣ = - (x - 3)$ .
3 $\frac{∣ x - 3∣}{x ^{2} - 9} = \frac{- ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = - \frac{1}{x + 3}$ dla $x \neq = 3$ .
4Podstawiamy $x \to 3$ : $- \frac{1}{3 + 3} = - \frac{1}{6}$ .
5Odpowiedź: $- \frac{1}{6}$

Odpowiedź: -1/6

Zadanie 2

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice niewłaściwe

Matura · 2 pkt

Oblicz granicę

x \to 2^{-} lim \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}}

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru na różnicę sześcianów i skróć jeden czynnik $(x - 2)$ ; potem zbadaj znak mianownika przy $x \to 2^{-}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ze wzoru na różnicę sześcianów: $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .
2 $\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$ dla $x \neq = 2$ .
3Licznik dąży do $2^{2} + 2 \cdot 2 + 4 = 12 > 0$ .
4Dla $x \to 2^{-}$ mianownik $x - 2$ dąży do $0$ przez wartości ujemne.
5Iloraz liczby dodatniej i wielkości ujemnej dążącej do zera daje granicę niewłaściwą $- \infty$ .
6Odpowiedź: $- \infty$

Odpowiedź: -∞

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica ilorazu wielomianów w punkcie

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to - 3} \frac{0 , 5 x ^{2} + 3 , 5 x + 6}{- x ^{2} + 2 x + 15}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Licznik i mianownik zerują się dla $x = - 3$ — rozłóż oba trójmiany na czynniki i skróć wspólny czynnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $0, 5 x^{2} + 3, 5 x + 6 = 0, 5 (x^{2} + 7 x + 12) = 0, 5 (x + 3) (x + 4)$ .
2Mianownik: $- x^{2} + 2 x + 15 = - (x^{2} - 2 x - 15) = - (x + 3) (x - 5)$ .
3Skracamy czynnik $(x + 3)$ : $\frac{0 , 5 ( x + 4 )}{- ( x - 5 )}$ .
4Podstawiamy $x = - 3$ : $\frac{0 , 5 \cdot 1}{- ( - 8 )} = \frac{0 , 5}{8} = \frac{1}{16}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{16}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{16}$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to + \infty} (\frac{x ^{3} + 8}{x ^{2} - 4} - x)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw sprowadź oba wyrażenia do wspólnego mianownika — po redukcji zostanie prosty ułamek.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wspólny mianownik: $\frac{x ^{3} + 8 - x ( x ^{2} - 4 )}{x ^{2} - 4}$ .
2Licznik: $x^{3} + 8 - x^{3} + 4 x = 4 x + 8 = 4 (x + 2)$ .
3Mianownik: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
4Po skróceniu $(x + 2)$ otrzymujemy $\frac{4}{x - 2}$ .
5Gdy $x \to + \infty$ , mianownik rośnie nieograniczenie, więc ułamek dąży do $0$ .
6Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Zadanie 5

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne funkcji wymiernej

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 2}{x ^{2} - 5 x + 6}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż mianownik na czynniki i skróć z licznikiem, a następnie zbadaj znak pozostałego wyrażenia dla $x$ nieco mniejszych od $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .
2Licznik: $- x + 2 = - (x - 2)$ .
3Po skróceniu: $\frac{- ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = - \frac{1}{x - 3}$ dla $x \neq = 2$ .
4Dla $x \to 3^{-}$ mamy $x - 3 \to 0^{-}$ , więc $\frac{1}{x - 3} \to - \infty$ .
5Zatem $- \frac{1}{x - 3} \to + \infty$ .
6Prawidłowa odpowiedź: D. $+ \infty$

Prawidłowa odpowiedź: D. $+ \infty$

Zadanie 6

Oryginalne zadanie: zad. 1a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{- x ^{2} + 3 x - 1}{x ^{2} + 4}

Wskazówka

Sprawdź najpierw, czy zwykłe podstawienie daje liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik w $x = 2$ jest różny od zera, więc podstawiamy.
2 $\frac{- 4 + 6 - 1}{4 + 4} = \frac{1}{8}$ .
3Odpowiedź: 1/8

Odpowiedź: 1/8

Zadanie 7

Oryginalne zadanie: zad. 1b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 1 lim \frac{3 x ^{2} - 6 x + 3}{2 x ^{2} - 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x - 1)^{2}$ , $2 x^{2} - 2 = 2 (x - 1) (x + 1)$ .
2Po skróceniu: $\frac{3 ( x - 1 )}{2 ( x + 1 )}$ .
3Dla $x = 1$ : $\frac{0}{4} = 0$ .
4Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 8

Oryginalne zadanie: zad. 1c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 5 lim \frac{2}{5 - x}

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to 5^{-}$ : $5 - x \to 0^{+}$ , więc granica to $+ \infty$ .
2Dla $x \to 5^{+}$ : $5 - x \to 0^{-}$ , więc granica to $- \infty$ .
3Granice jednostronne są różne — granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 9

Oryginalne zadanie: zad. 1d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 25 lim \frac{x - 25}{x - 5}

Wskazówka

Zapisz $x - 25 = (x - 5) (x + 5)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x - 25 = (x - 5) (x + 5)$ .
2Po skróceniu: $x + 5$ .
3 $25 + 5 = 10$ .
4Odpowiedź: 10

Odpowiedź: 10

Zadanie 10

Oryginalne zadanie: zad. 1e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - 3 lim \frac{6 + 2 x}{x ^{2} - 9}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $6 + 2 x = 2 (x + 3)$ , $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
2Po skróceniu: $\frac{2}{x - 3}$ .
3 $\frac{2}{- 6} = - \frac{1}{3}$ .
4Odpowiedź: -1/3

Odpowiedź: -1/3

Zadanie 11

Oryginalne zadanie: zad. 1f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 0^{+} lim (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}})

Wskazówka

Sprowadź do wspólnego mianownika $x^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x - 1}{x ^{2}}$ .
2Licznik dąży do $- 1$ , mianownik do $0^{+}$ .
3Granica wynosi $- \infty$ .
4Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 12

Oryginalne zadanie: zad. 1g

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{- x ^{2} + 5 x}{( 5 - 4 x ) ( x + 3 )}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(5 - 4 x) (x + 3) = - 4 x^{2} - 7 x + 15$ .
2Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{- 1 + \frac{5}{x}}{- 4 - \frac{7}{x} + \frac{15}{x ^{2}}}$ .
3Granica: $\frac{- 1}{- 4} = \frac{1}{4}$ .
4Odpowiedź: 1/4

Odpowiedź: 1/4

Zadanie 13

Oryginalne zadanie: zad. 1h

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{4 x ^{3} - 2 x}{2 x ^{2} + 3 x}

Wskazówka

Stopień licznika jest większy niż stopień mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{4 x - \frac{2}{x}}{2 + \frac{3}{x}}$ .
2Licznik dąży do $- \infty$ , mianownik do $2$ .
3Granica wynosi $- \infty$ .
4Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 14

Oryginalne zadanie: zad. 1i

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - \infty lim (x - x^{2} - 4)

Wskazówka

Zbadaj znak obu składników dla $x \to - \infty$ — tu nie ma nieoznaczoności.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to - \infty$ : $x \to - \infty$ oraz $- x^{2} - 4 \to - \infty$ .
2Suma dwóch wyrażeń dążących do $- \infty$ dąży do $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 15

Oryginalne zadanie: zad. 2a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
2Po skróceniu: $x + 3 \to 6$ .
3Odpowiedź: 6

Odpowiedź: 6

Zadanie 16

Oryginalne zadanie: zad. 2b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + 5 x + 6}{x + 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ .
2Po skróceniu: $x + 3 \to 1$ .
3Odpowiedź: 1

Odpowiedź: 1

Zadanie 17

Oryginalne zadanie: zad. 2c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 4 lim \frac{x - 2}{x - 4}

Wskazówka

Zapisz $x - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 2}$ .
2 $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
3Odpowiedź: 1/4

Odpowiedź: 1/4

Zadanie 18

Oryginalne zadanie: zad. 2d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

Wskazówka

Użyj wzoru na różnicę sześcianów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
2Po skróceniu: $x^{2} + x + 1 \to 3$ .
3Odpowiedź: 3

Odpowiedź: 3

Zadanie 19

Oryginalne zadanie: zad. 2e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x}

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( 1 + x - 1 ) ( 1 + x + 1 )}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{x}{x ( 1 + x + 1 )}$ .
2 $= \frac{1}{1 + x + 1} \to \frac{1}{2}$ .
3Odpowiedź: 1/2

Odpowiedź: 1/2

Zadanie 20

Oryginalne zadanie: zad. 2f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .
2Po skróceniu: $\frac{x + 2}{x - 1} \to \frac{4}{1} = 4$ .
3Odpowiedź: 4

Odpowiedź: 4

Zadanie 21

Oryginalne zadanie: zad. 3a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - x + 4}{x ^{2} + 2}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — granica to iloraz współczynników przy $x^{2}$ .
2 $\frac{3}{1} = 3$ .
3Odpowiedź: 3

Odpowiedź: 3

Zadanie 22

Oryginalne zadanie: zad. 3b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3} + x}{5 x ^{3} - 4}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{3}$ .
2 $\frac{2}{5}$ .
3Odpowiedź: 2/5

Odpowiedź: 2/5

Zadanie 23

Oryginalne zadanie: zad. 3c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{4 x + 1}{x ^{2} - 3}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{1 - \frac{3}{x ^{2}}}$ .
2Licznik $\to 0$ , mianownik $\to 1$ , granica $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 24

Oryginalne zadanie: zad. 3d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{x ^{3} - 2 x}{2 x ^{2} + 1}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{x - \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x ^{2}}}$ .
2Licznik $\to - \infty$ , mianownik $\to 2$ .
3Granica: $- \infty$ .
4Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 25

Oryginalne zadanie: zad. 3e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{5 x ^{2} - 7}{2 x ^{3} + x}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopień mianownika większy niż licznika.
2Granica wynosi $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 26

Oryginalne zadanie: zad. 3f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{- 3 x ^{4} + x}{6 x ^{4} - 2}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{4}$ .
2 $\frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}$ .
3Odpowiedź: -1/2

Odpowiedź: -1/2

Zadanie 27

Oryginalne zadanie: zad. 4a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 2^{-} lim \frac{1}{x - 2}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to 2^{-}$ : $x - 2 \to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 28

Oryginalne zadanie: zad. 4b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 2^{+} lim \frac{1}{x - 2}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to 2^{+}$ : $x - 2 \to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 29

Oryginalne zadanie: zad. 4c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 0^{-} lim \frac{1}{x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik dąży do $0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 30

Oryginalne zadanie: zad. 4d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 0^{+} lim \frac{1}{x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik dąży do $0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 31

Oryginalne zadanie: zad. 4e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 3^{-} lim \frac{2}{3 - x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 3$ : $3 - x \to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 32

Oryginalne zadanie: zad. 4f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 3^{+} lim \frac{2}{3 - x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > 3$ : $3 - x \to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 33

Oryginalne zadanie: zad. 5a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

dla

x \to 0

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 0$ : $f (x) = \frac{- x}{x} = - 1$ , więc granica lewostronna to $- 1$ .
2Dla $x > 0$ : $f (x) = 1$ , granica prawostronna to $1$ .
3 $- 1 \neq = 1$ — granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 34

Oryginalne zadanie: zad. 5b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{x - 1}{∣ x - 1∣}

dla

x \to 1

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 1$ : $∣ x - 1∣ = - (x - 1)$ , więc $f (x) = - 1$ .
2Dla $x > 1$ : $f (x) = 1$ .
3Granice jednostronne $- 1$ i $1$ są różne — granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 35

Oryginalne zadanie: zad. 5c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{1}{x - 2}

dla

x \to 2

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x - 2} = - \infty$ .
2 $lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{x - 2} = + \infty$ .
3Granice jednostronne są różne — granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 36

Oryginalne zadanie: zad. 6a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x}

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( x + 4 ) - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$ .
2 $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
3Odpowiedź: 1/4

Odpowiedź: 1/4

Zadanie 37

Oryginalne zadanie: zad. 6b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (x^{2} + 1 - x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 1 - x = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x ^{2}}{x ^{2} + 1 + x} = \frac{1}{x ^{2} + 1 + x}$ .
2Mianownik $\to + \infty$ , granica $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 38

Oryginalne zadanie: zad. 6c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (x^{2} + 3 x - x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( x ^{2} + 3 x ) - x ^{2}}{x ^{2} + 3 x + x} = \frac{3 x}{x ^{2} + 3 x + x}$ .
2Dzielimy przez $x$ : $\frac{3}{1 + \frac{3}{x} + 1}$ .
3Granica: $\frac{3}{2}$ .
4Odpowiedź: 3/2

Odpowiedź: 3/2

Zadanie 39

Oryginalne zadanie: zad. 1a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - 1 lim \frac{2 x ^{2} + 3 x - 1}{x ^{2} + 5}

Wskazówka

Sprawdź najpierw, czy zwykłe podstawienie daje liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik różny od zera, podstawiamy $x = - 1$ .
2 $\frac{2 - 3 - 1}{1 + 5} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$ .
3Odpowiedź: -1/3

Odpowiedź: -1/3

Zadanie 40

Oryginalne zadanie: zad. 1b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
2Po skróceniu: $x + 2 \to 4$ .
3Odpowiedź: 4

Odpowiedź: 4

Zadanie 41

Oryginalne zadanie: zad. 1c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to - 3 lim \frac{3}{x + 3}

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x \to - 3^{-}$ : $x + 3 \to 0^{-}$ , granica $- \infty$ .
2Dla $x \to - 3^{+}$ : $x + 3 \to 0^{+}$ , granica $+ \infty$ .
3Granica nie istnieje.
4Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 42

Oryginalne zadanie: zad. 1d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 9 lim \frac{x - 3}{x - 9}

Wskazówka

Zapisz $x - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po skróceniu: $\frac{1}{x + 3}$ .
2 $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$ .
3Odpowiedź: 1/6

Odpowiedź: 1/6

Zadanie 43

Oryginalne zadanie: zad. 1e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 4 lim \frac{x - 4}{x ^{2} - 16}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ .
2Po skróceniu: $\frac{1}{x + 4} \to \frac{1}{8}$ .
3Odpowiedź: 1/8

Odpowiedź: 1/8

Zadanie 44

Oryginalne zadanie: zad. 1f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to 0^{-} lim (\frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}})

Wskazówka

Sprowadź do wspólnego mianownika $x^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}} = \frac{x + 2}{x ^{2}}$ .
2Licznik $\to 2$ , mianownik $x^{2} \to 0^{+}$ .
3Granica: $+ \infty$ .
4Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 45

Oryginalne zadanie: zad. 1g

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - x}{( 3 x + 1 ) ( x - 2 )}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(3 x + 1) (x - 2) = 3 x^{2} - 5 x - 2$ .
2Stopnie równe — iloraz współczynników: $\frac{2}{3}$ .
3Odpowiedź: 2/3

Odpowiedź: 2/3

Zadanie 46

Oryginalne zadanie: zad. 1h

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{3} + x}{x ^{2} - 2 x}

Wskazówka

Stopień licznika jest większy niż mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{3 x + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$ .
2Licznik $\to + \infty$ , mianownik $\to 1$ .
3Granica: $+ \infty$ .
4Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 47

Oryginalne zadanie: zad. 1i

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Obliczanie granic

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (x^{2} + 9 - x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( x ^{2} + 9 ) - x ^{2}}{x ^{2} + 9 + x} = \frac{9}{x ^{2} + 9 + x}$ .
2Mianownik $\to + \infty$ , granica $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 48

Oryginalne zadanie: zad. 2a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 4 lim \frac{x ^{2} - 16}{x - 4}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ .
2Po skróceniu: $x + 4 \to 8$ .
3Odpowiedź: 8

Odpowiedź: 8

Zadanie 49

Oryginalne zadanie: zad. 2b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to - 3 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x + 3}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)$ .
2Po skróceniu: $x - 1 \to - 4$ .
3Odpowiedź: -4

Odpowiedź: -4

Zadanie 50

Oryginalne zadanie: zad. 2c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 9 lim \frac{x - 3}{x - 9}

Wskazówka

Zapisz $x - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po skróceniu: $\frac{1}{x + 3}$ .
2 $\frac{1}{6}$ .
3Odpowiedź: 1/6

Odpowiedź: 1/6

Zadanie 51

Oryginalne zadanie: zad. 2d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}

Wskazówka

Użyj wzoru na różnicę sześcianów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .
2Po skróceniu: $x^{2} + 2 x + 4 \to 4 + 4 + 4 = 12$ .
3Odpowiedź: 12

Odpowiedź: 12

Zadanie 52

Oryginalne zadanie: zad. 2e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to 0 lim \frac{1 + 2 x - 1}{x}

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( 1 + 2 x ) - 1}{x ( 1 + 2 x + 1 )} = \frac{2}{1 + 2 x + 1}$ .
2 $\frac{2}{1 + 1} = 1$ .
3Odpowiedź: 1

Odpowiedź: 1

Zadanie 53

Oryginalne zadanie: zad. 2f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Nieoznaczoność 0/0

Oblicz granicę

x \to - 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3 x + 2}

Wskazówka

Podstawienie daje $\frac{0}{0}$ — rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ .
2Po skróceniu: $\frac{x - 1}{x + 2} \to \frac{- 2}{1} = - 2$ .
3Odpowiedź: -2

Odpowiedź: -2

Zadanie 54

Oryginalne zadanie: zad. 3a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{5 x ^{2} + 2 x - 1}{2 x ^{2} + 3}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{2}$ .
2 $\frac{5}{2}$ .
3Odpowiedź: 5/2

Odpowiedź: 5/2

Zadanie 55

Oryginalne zadanie: zad. 3b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{4 x ^{3} - x}{2 x ^{3} + 5}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{3}$ .
2 $\frac{4}{2} = 2$ .
3Odpowiedź: 2

Odpowiedź: 2

Zadanie 56

Oryginalne zadanie: zad. 3c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{3 x - 2}{x ^{2} + 1}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopień mianownika większy niż licznika.
2Granica: $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 57

Oryginalne zadanie: zad. 3d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3} + x}{x ^{2} - 4}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dzielimy przez $x^{2}$ : $\frac{2 x + \frac{1}{x}}{1 - \frac{4}{x ^{2}}}$ .
2Licznik $\to - \infty$ , mianownik $\to 1$ .
3Granica: $- \infty$ .
4Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 58

Oryginalne zadanie: zad. 3e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{4 x ^{3} - 1}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopień mianownika większy niż licznika.
2Granica: $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 59

Oryginalne zadanie: zad. 3f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Oblicz granicę

x \to - \infty lim \frac{2 x ^{4} - 3}{- 4 x ^{4} + x}

Wskazówka

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Stopnie równe — iloraz współczynników przy $x^{4}$ .
2 $\frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$ .
3Odpowiedź: -1/2

Odpowiedź: -1/2

Zadanie 60

Oryginalne zadanie: zad. 4a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to - 1^{-} lim \frac{1}{x + 1}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $x + 1 \to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 61

Oryginalne zadanie: zad. 4b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to - 1^{+} lim \frac{1}{x + 1}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > - 1$ : $x + 1 \to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 62

Oryginalne zadanie: zad. 4c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 0^{-} lim \frac{2}{x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik $\to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 63

Oryginalne zadanie: zad. 4d

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 0^{+} lim \frac{2}{x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik $\to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 64

Oryginalne zadanie: zad. 4e

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 4^{-} lim \frac{3}{4 - x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 4$ : $4 - x \to 0^{+}$ .
2Granica: $+ \infty$ .
3Odpowiedź: +∞

Odpowiedź: +∞

Zadanie 65

Oryginalne zadanie: zad. 4f

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne

Oblicz granicę

x \to 4^{+} lim \frac{3}{4 - x}

Wskazówka

Licznik dąży do stałej różnej od zera, a mianownik do zera — ustal znak mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > 4$ : $4 - x \to 0^{-}$ .
2Granica: $- \infty$ .
3Odpowiedź: -∞

Odpowiedź: -∞

Zadanie 66

Oryginalne zadanie: zad. 5a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{∣ x - 2∣}{x - 2}

dla

x \to 2

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 2$ : $f (x) = - 1$ ; dla $x > 2$ : $f (x) = 1$ .
2Granice jednostronne $- 1$ i $1$ są różne — granica nie istnieje.
3Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 67

Oryginalne zadanie: zad. 5b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{x + 1}{∣ x + 1∣}

dla

x \to - 1

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $f (x) = - 1$ ; dla $x > - 1$ : $f (x) = 1$ .
2Granice jednostronne są różne — granica nie istnieje.
3Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 68

Oryginalne zadanie: zad. 5c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Istnienie granicy

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji

f (x) = \frac{2}{x + 3}

dla

x \to - 3

Wskazówka

Oblicz osobno granicę lewostronną i prawostronną i porównaj je.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $lim_{x \to - 3^{-}} \frac{2}{x + 3} = - \infty$ , $lim_{x \to - 3^{+}} \frac{2}{x + 3} = + \infty$ .
2Granice jednostronne są różne — granica nie istnieje.
3Odpowiedź: nie istnieje

Odpowiedź: nie istnieje

Zadanie 69

Oryginalne zadanie: zad. 6a

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to 0 lim \frac{x + 9 - 3}{x}

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( x + 9 ) - 9}{x ( x + 9 + 3 )} = \frac{1}{x + 9 + 3}$ .
2 $\frac{1}{6}$ .
3Odpowiedź: 1/6

Odpowiedź: 1/6

Zadanie 70

Oryginalne zadanie: zad. 6b

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (x^{2} + 4 - x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{4}{x ^{2} + 4 + x}$ .
2Mianownik $\to + \infty$ , granica $0$ .
3Odpowiedź: 0

Odpowiedź: 0

Zadanie 71

Oryginalne zadanie: zad. 6c

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Wyrażenie sprzężone

Oblicz granicę

x \to + \infty lim (4 x^{2} + x - 2 x)

Wskazówka

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{( 4 x ^{2} + x ) - 4 x ^{2}}{4 x ^{2} + x + 2 x} = \frac{x}{4 x ^{2} + x + 2 x}$ .
2Dzielimy przez $x$ : $\frac{1}{4 + \frac{1}{x} + 2}$ .
3Granica: $\frac{1}{4}$ .
4Odpowiedź: 1/4

Odpowiedź: 1/4

Karta wzorów – wzory do tego działu

01Co musisz umieć?

02Najważniejsza teoria

Co oznacza granica?

Podstawowe prawa działań na granicach

Postać nieoznaczona 00​

Granice w nieskończoności

Granice jednostronne

Najczęstsze postacie nieoznaczone

Schemat obliczania granicy

03Przykłady

04Zadania

Postać nieoznaczona $\frac{0}{0}$