Matematyka · Poziom rozszerzonyPoziom rozszerzony

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

25zadań

0przykładów

Karta wzorów – wzory do tego działu

Tablice, str. 4

1. Wartość bezwzględna liczby — „Wybrane wzory matematyczne” CKE (matura od 2023).

∣ x - a ∣ \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r

∣ x - a ∣ \geq r ⟺ x \leq a - r lub x \geq a + r

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 25

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 6∣ - ∣ x^{2} - 9∣ < 0

Wskazówka

Zauważ, że $∣2 x - 6∣ = 2∣ x - 3∣$ oraz $∣ x^{2} - 9∣ = ∣ x - 3∣ \cdot ∣ x + 3∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2∣ x - 3∣ < ∣ x - 3∣ \cdot ∣ x + 3∣$
2Dla $x = 3$ obie strony są równe $0$ — nierówność nie zachodzi.
3Dla $x \neq = 3$ dzielimy przez $∣ x - 3∣ > 0$ : $∣ x + 3∣ > 2$ , czyli $x < - 5$ lub $x > - 1$ .
4 $x \in (- \infty, - 5) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 5) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Zadanie 2

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ - 2 \cdot ∣ x + 3∣ < - 2

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 3$ : $2 - x + 2 x + 6 < - 2 \Rightarrow x < - 10$ .
2Dla $- 3 ⩽ x < 2$ : $2 - x - 2 x - 6 < - 2 \Rightarrow x > - \frac{2}{3}$ , więc $x \in (- \frac{2}{3}, 2)$ .
3Dla $x ⩾ 2$ : $x - 2 - 2 x - 6 < - 2 \Rightarrow x > - 6$ — cały przedział $⟨ 2, \infty)$ .
4 $x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Zadanie 3

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 < \frac{25}{3} - x^{2} - 6 x + 9

Wskazówka: skorzystaj z tego, że

a^{2} = ∣ a ∣

dla każdej liczby rzeczywistej

a

Wskazówka

Pod pierwiastkami są kwadraty: $(x + 2)^{2}$ i $(x - 3)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ < \frac{25}{3}$
2Dla $x < - 2$ : $- 2 x + 1 < \frac{25}{3} \Rightarrow x > - \frac{11}{3}$ .
3Dla $- 2 ⩽ x < 3$ : $5 < \frac{25}{3}$ — zawsze.
4Dla $x ⩾ 3$ : $2 x - 1 < \frac{25}{3} \Rightarrow x < \frac{14}{3}$ .
5 $x \in (- 3 \frac{2}{3}, 4 \frac{2}{3})$

Odpowiedź: $x \in (- 3 \frac{2}{3}, 4 \frac{2}{3})$

Zadanie 4

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 3 pkt

Rozwiąż równanie:

∣ x - 3∣ = 2 x + 11

Wskazówka

Rozpatrz $x ⩾ 3$ i $x < 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩾ 3$ : $x - 3 = 2 x + 11 \Rightarrow x = - 14$ — sprzeczne z założeniem.
2Dla $x < 3$ : $3 - x = 2 x + 11 \Rightarrow x = - \frac{8}{3}$ — spełnia założenie.
3 $x = - 2 \frac{2}{3}$

Odpowiedź: $x = - 2 \frac{2}{3}$

Zadanie 5

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Liczba różnych pierwiastków równania

3 x + ∣ x - 4∣ = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz $x ⩾ 4$ i $x < 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩾ 4$ : $4 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$ — odpada.
2Dla $x < 4$ : $2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 2$ .
3Jeden pierwiastek.

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 6

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

∣ x - 5∣ = (a - 1)^{2} - 4

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Równanie $∣ x - 5∣ = m$ ma rozwiązania $5 \pm m$ ; oba dodatnie i różne, gdy $0 < m < 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $0 < (a - 1)^{2} - 4 < 5$ , czyli $4 < (a - 1)^{2} < 9$ .
2 $2 < ∣ a - 1∣ < 3$
3 $a - 1 \in (- 3, - 2) \cup (2, 3)$
4 $a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)$

Odpowiedź: $a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż każdą nierówność i policz liczby całkowite w otrzymanym przedziale.

Rozwiązanie krok po kroku

1B: $- 7 < \frac{4}{3} x + 5 < - 3 \Rightarrow - \frac{21}{4} < x < - \frac{9}{4}$
2Liczby całkowite: $- 5, - 4, - 3$ — dokładnie trzy.
3A: $x \in (- \frac{28}{3}, - 4)$ — cztery; C: $x \in (- 10, - \frac{10}{3})$ — sześć; D: $x \in (- \frac{25}{4}, - \frac{5}{4})$ — pięć.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{3} x + 5 < 2$

Zadanie 8

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Równanie

∣∣ x ∣ - 2∣ = ∣ x ∣ + 2

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prawa strona jest dodatnia; rozpatrz $∣ x ∣ - 2 = \pm (∣ x ∣ + 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x ∣ - 2 = ∣ x ∣ + 2$ — sprzeczność.
2 $∣ x ∣ - 2 = - ∣ x ∣ - 2 \Rightarrow ∣ x ∣ = 0 \Rightarrow x = 0$ .
3Dokładnie jedno rozwiązanie.

Prawidłowa odpowiedź: B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Równanie

∣∣ x - 4∣ - 2∣ = 2

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣ x - 4∣ - 2 = 2$ lub $∣ x - 4∣ - 2 = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x - 4∣ = 4 \Rightarrow x = 0$ lub $x = 8$ .
2 $∣ x - 4∣ = 0 \Rightarrow x = 4$ .
3Trzy rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: D. trzy rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x^{2} - 3 x + 2∣ ⩾ ∣ x - 1∣

Wskazówka

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x - 1∣ \cdot ∣ x - 2∣ ⩾ ∣ x - 1∣$
2Dla $x = 1$ : $0 ⩾ 0$ — prawda.
3Dla $x \neq = 1$ : $∣ x - 2∣ ⩾ 1 \Rightarrow x ⩽ 1$ lub $x ⩾ 3$ .
4 $x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 2 pkt

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność

∣ x ∣ < ∣ x - 1025∣

. Zakoduj kolejno cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

Wskazówka

Odległość $x$ od $0$ ma być mniejsza niż od $1025$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Punkty bliższe $0$ niż $1025$ : $x < \frac{1025}{2} = 512, 5$ .
2Największa liczba całkowita: $512$ .

Odpowiedź: $512$

Zadanie 12

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono przedział

⟨ - 1, k ⟩

— zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

∣2 x - 8∣ ⩽ 10

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż $- 10 ⩽ 2 x - 8 ⩽ 10$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 ⩽ 2 x ⩽ 18$
2 $- 1 ⩽ x ⩽ 9$ , więc $k = 9$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $k = 9$

Zadanie 13

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f (x) = {x - 2 ∣∣ x + 3∣ - 4∣ dla x ⩽ 0 dla x > 0

Równanie

f (x) = 1

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz osobno obie części wzoru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩽ 0$ : $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$ — odpada.
2Dla $x > 0$ : $∣ x + 3∣ = x + 3$ , więc $∣ x - 1∣ = 1 \Rightarrow x = 0$ (odpada) lub $x = 2$ .
3Jedno rozwiązanie: $x = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. jedno rozwiązanie

Zadanie 14

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 6∣ + ∣ x + 7∣ ⩾ 17

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 7$ : $- 3 x - 1 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩽ - 6$ — cały przedział.
2Dla $- 7 ⩽ x < 3$ : $- x + 13 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩽ - 4$ .
3Dla $x ⩾ 3$ : $3 x + 1 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩾ \frac{16}{3}$ .
4 $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{1}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{1}{3}, \infty)$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x + 6∣ - 2∣ x - 4∣ ⩽ 2 x - 3

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 6$ : $x - 14 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩾ - 11$ , więc $⟨ - 11, - 6)$ .
2Dla $- 6 ⩽ x < 4$ : $3 x - 2 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩽ - 1$ , więc $⟨ - 6, - 1 ⟩$ .
3Dla $x ⩾ 4$ : $- x + 14 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩾ \frac{17}{3}$ .
4 $x \in ⟨ - 11, - 1 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{2}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 11, - 1 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{2}{3}, \infty)$

Zadanie 16

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 2 pkt

Liczba

n

jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie

2 \cdot ∣ x + 57∣ = ∣ x - 39∣

Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby

∣ n ∣

Wskazówka

$2 (x + 57) = x - 39$ lub $2 (x + 57) = - (x - 39)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 x + 114 = x - 39 \Rightarrow x = - 153$
2 $2 x + 114 = - x + 39 \Rightarrow x = - 25$
3 $n = - 153$ , $∣ n ∣ = 153$

Odpowiedź: $153$

Zadanie 17

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 5∣ - ∣ x + 4∣ ⩽ 2 - 2 x

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 4$ : $- x + 9 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩽ - 7$ .
2Dla $- 4 ⩽ x < \frac{5}{2}$ : $- 3 x + 1 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩾ - 1$ .
3Dla $x ⩾ \frac{5}{2}$ : $x - 9 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩽ \frac{11}{3}$ .
4 $x \in (- \infty, - 7 ⟩ \cup ⟨ - 1, 3 \frac{2}{3} ⟩$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 7 ⟩ \cup ⟨ - 1, 3 \frac{2}{3} ⟩$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 5 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 ⩾ 11 - x^{2} - 6 x + 9

Wskazówka

$a^{2} = ∣ a ∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ ⩾ 11$
2Dla $x < - 2$ : $- 2 x + 1 ⩾ 11 \Rightarrow x ⩽ - 5$ .
3Dla $- 2 ⩽ x < 3$ : $5 ⩾ 11$ — brak.
4Dla $x ⩾ 3$ : $2 x - 1 ⩾ 11 \Rightarrow x ⩾ 6$ .
5 $x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 6, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 6, \infty)$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ + ∣ x + 1∣ ⩾ 3 x - 3

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $- 2 x + 1 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ \frac{4}{5}$ — cały przedział.
2Dla $- 1 ⩽ x < 2$ : $3 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ 2$ — cały przedział.
3Dla $x ⩾ 2$ : $2 x - 1 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ 2$ , więc $x = 2$ .
4 $x \in (- \infty, 2 ⟩$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 2 ⟩$

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 4∣ + ∣ x - 5∣ ⩾ 12

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 2$ : $- 3 x + 9 ⩾ 12 \Rightarrow x ⩽ - 1$ .
2Dla $2 ⩽ x < 5$ : $x + 1 ⩾ 12$ — brak.
3Dla $x ⩾ 5$ : $3 x - 9 ⩾ 12 \Rightarrow x ⩾ 7$ .
4 $x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 7, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 7, \infty)$

Zadanie 21

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x + 4∣ + ∣ x - 1∣ ⩽ 6

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 2$ : $- 3 x - 3 ⩽ 6 \Rightarrow x ⩾ - 3$ .
2Dla $- 2 ⩽ x < 1$ : $x + 5 ⩽ 6$ — cały przedział.
3Dla $x ⩾ 1$ : $3 x + 3 ⩽ 6 \Rightarrow x ⩽ 1$ .
4 $x \in ⟨ - 3, 1 ⟩$

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 3, 1 ⟩$

Zadanie 22

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x + 2∣ + ∣ x - 2∣ > 5

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $- 3 x > 5 \Rightarrow x < - \frac{5}{3}$ .
2Dla $- 1 ⩽ x < 2$ : $x + 4 > 5 \Rightarrow x > 1$ .
3Dla $x ⩾ 2$ : $3 x > 5$ — cały przedział.
4 $x \in (- \infty, - 1 \frac{2}{3}) \cup (1, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 1 \frac{2}{3}) \cup (1, \infty)$

Zadanie 23

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x + 3∣ + ∣3 x + 9∣ < ∣ x + 5∣

Wskazówka

Lewa strona to $4∣ x + 3∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4∣ x + 3∣ < ∣ x + 5∣$
2Dla $x < - 5$ : $- 4 x - 12 < - x - 5 \Rightarrow x > - \frac{7}{3}$ — brak.
3Dla $- 5 ⩽ x < - 3$ : $- 4 x - 12 < x + 5 \Rightarrow x > - \frac{17}{5}$ .
4Dla $x ⩾ - 3$ : $4 x + 12 < x + 5 \Rightarrow x < - \frac{7}{3}$ .
5 $x \in (- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{1}{3})$

Odpowiedź: $x \in (- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{1}{3})$

Zadanie 24

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ + ∣3 x - 6∣ < ∣ x ∣

Wskazówka

Lewa strona to $4∣ x - 2∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4∣ x - 2∣ < ∣ x ∣$
2Dla $x < 0$ : $8 - 4 x < - x \Rightarrow x > \frac{8}{3}$ — brak.
3Dla $0 ⩽ x < 2$ : $8 - 4 x < x \Rightarrow x > \frac{8}{5}$ .
4Dla $x ⩾ 2$ : $4 x - 8 < x \Rightarrow x < \frac{8}{3}$ .
5 $x \in (1 \frac{3}{5}, 2 \frac{2}{3})$

Odpowiedź: $x \in (1 \frac{3}{5}, 2 \frac{2}{3})$

Zadanie 25

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 5 pkt

Niech

A

będzie zbiorem wszystkich liczb

x

, które spełniają równość

∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ = 2

. Niech

B

będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów

4

6

jest nie większa niż

4

. Zaznacz na osi liczbowej zbiory

A

B

oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do

A

i do

B

Wskazówka

$∣ x - a ∣$ to odległość $x$ od $a$ na osi liczbowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma odległości od $1$ i $3$ równa $2$ (odległości między nimi) — tylko punkty odcinka: $A = ⟨ 1, 3 ⟩$ .
2 $∣ x - 4∣ + ∣ x - 6∣ ⩽ 4$ : dla $x < 4$ : $10 - 2 x ⩽ 4 \Rightarrow x ⩾ 3$ ; dla $x > 6$ : $2 x - 10 ⩽ 4 \Rightarrow x ⩽ 7$ .
3 $B = ⟨ 3, 7 ⟩$
4 $A \cap B = {3}$

Odpowiedź: $A = ⟨ 1, 3 ⟩$ , $B = ⟨ 3, 7 ⟩$ , część wspólna: ${3}$