Matematyka · Poziom rozszerzonyPoziom rozszerzony

Funkcje

5zadań

0przykładów

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 5

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

. Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

Wskazówka

Zapisz prostą przez $K$ : $y = a (x - 1) + 2$ i wyznacz jej punkty przecięcia z osiami.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta $A B$ : $y = a (x - 1) + 2$ , przy czym $a < 0$ (przecina dodatnie półosie).
2 $B$ : dla $x = 0$ mamy $y = 2 - a$ , więc $B = (0, 2 - a)$ .
3 $A$ : dla $y = 0$ mamy $x = 1 - \frac{2}{a} = \frac{a - 2}{a}$ , więc $A = (\frac{a - 2}{a}, 0)$ .
4 $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{a - 2}{a} \cdot (2 - a) = \frac{- ( a - 2 ) ^{2}}{2 a} = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}$
5Co należało wykazać.

Odpowiedź: Dowód — $P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}$ dla $a < 0$

Zadanie 2

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których wykresy funkcji

f

g

, określonych wzorami

f (x) = x - 2

oraz

g (x) = 5 - a x

, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Wskazówka

Rozwiąż równanie $f (x) = g (x)$ i zażądaj $x > 0$ oraz $y > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x - 2 = 5 - a x \Rightarrow (1 + a) x = 7$ , więc $a \neq = - 1$ i $x = \frac{7}{1 + a}$ .
2 $x > 0 \Leftrightarrow a > - 1$ .
3 $y = \frac{7}{1 + a} - 2 > 0 \Leftrightarrow 7 > 2 (1 + a)$ (dla $a > - 1$ ) $\Leftrightarrow a < \frac{5}{2}$ .
4 $a \in (- 1, \frac{5}{2})$

Odpowiedź: $a \in (- 1, 2 \frac{1}{2})$

Zadanie 3

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Funkcja liniowa

f

określona jest wzorem

f (x) = a x + b

dla

x \in R

.

a) Dla

a = 2008

b = 2009

zbadaj, czy do wykresu funkcji należy punkt

P = (2009, 200 9^{2})

.

b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór

A = {(x, y) : x \in ⟨ - 1, 3 ⟩ i y = - \frac{1}{2} x + b i b \in ⟨ - 2, 1 ⟩}

Wskazówka

a) Oblicz $f (2009)$ i wyłącz $2009$ przed nawias. b) Zbiór wypełniają odcinki równoległych prostych między $y = - \frac{1}{2} x - 2$ a $y = - \frac{1}{2} x + 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1a) $f (2009) = 2008 \cdot 2009 + 2009 = 2009 \cdot (2008 + 1) = 200 9^{2}$ — punkt $P$ należy do wykresu.
2b) Dla każdego $b \in ⟨ - 2, 1 ⟩$ otrzymujemy odcinek prostej $y = - \frac{1}{2} x + b$ dla $x \in ⟨ - 1, 3 ⟩$ .
3Skrajne proste: $y = - \frac{1}{2} x + 1$ oraz $y = - \frac{1}{2} x - 2$ ; ograniczają zbiór pionowe proste $x = - 1$ i $x = 3$ .
4Zbiór $A$ to równoległobok (z brzegiem) o wierzchołkach $(- 1, \frac{3}{2})$ , $(3, - \frac{1}{2})$ , $(3, - \frac{7}{2})$ , $(- 1, - \frac{3}{2})$ .

Odpowiedź: a) należy; b) równoległobok o wierzchołkach $(- 1, \frac{3}{2})$ , $(3, - \frac{1}{2})$ , $(3, - \frac{7}{2})$ , $(- 1, - \frac{3}{2})$

Zadanie 4

Matura: styczeń 2003

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie postaci

a^{2} \cdot x - 1 = x + a

, w którym niewiadomą jest

x

. Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru

a

Wskazówka

Doprowadź do postaci $(a^{2} - 1) x = a + 1$ i rozpatrz przypadek, gdy współczynnik przy $x$ jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a^{2} - 1) x = a + 1$ , czyli $(a - 1) (a + 1) x = a + 1$ .
2Dla $a \in R ∖ {- 1, 1}$ : jedno rozwiązanie $x = \frac{1}{a - 1}$ .
3Dla $a = 1$ : $0 \cdot x = 2$ — brak rozwiązań.
4Dla $a = - 1$ : $0 \cdot x = 0$ — nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań dla $a = 1$ ; jedno dla $a \in R ∖ {- 1, 1}$ ; nieskończenie wiele dla $a = - 1$

Zadanie 5

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Dane są funkcje liniowe

g

h

określone wzorami:

g (x) = a x + b

h (x) = b x + a

. Wiadomo, że funkcja

g

jest rosnąca, a funkcja

h

malejąca.

a) Wyznacz pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji.

b) Oblicz liczby

a

b

, wiedząc, że wykresy funkcji

g

h

są prostymi prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi

O x

Wskazówka

Z monotoniczności: $a > 0$ , $b < 0$ . Prostopadłość: $a \cdot b = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1a) $a x + b = b x + a \Rightarrow (a - b) x = a - b$ ; ponieważ $a > 0 > b$ , mamy $a - b \neq = 0$ , więc $x = 1$ .
2b) Punkt przecięcia $(1, 0)$ : $g (1) = a + b = 0$ , więc $b = - a$ .
3Prostopadłość: $a \cdot b = - 1 \Rightarrow - a^{2} = - 1 \Rightarrow a = 1$ (bo $a > 0$ ).
4 $a = 1$ , $b = - 1$

Odpowiedź: a) $x = 1$ ; b) $a = 1$ , $b = - 1$