Matematyka · Poziom rozszerzonyPoziom rozszerzony

Dowody algebraiczne

34zadań

0przykładów

Materiały w przygotowaniu

Teoria i przykłady do tego działu są właśnie opracowywane. Struktura działu jest już gotowa — poniżej znajdziesz dostępne zadania, a nauczyciel może dodać kolejne z panelu.

04Zadania

Rok matury:

Znalezione zadania: 34

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sumą kwadratów

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x y + x + y ⩽ x^{2} + y^{2} + 1

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę i pomnóż nierówność przez $2$ — spróbuj zapisać wynik jako sumę trzech kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{2} + y^{2} + 1 - x y - x - y ⩾ 0$ .
2Mnożymy obie strony przez $2$ : $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 - 2 x y - 2 x - 2 y ⩾ 0$ .
3Grupujemy składniki: $(x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 2 y + 1) ⩾ 0$ .
4Czyli $(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $x, y$ . To kończy dowód.

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniami wymiernymi

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} ⩽ \frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}}

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez dodatnią liczbę $x^{2} y^{2}$ — znak nierówności się nie zmieni.

Rozwiązanie krok po kroku

1Ponieważ $x > 0$ i $y > 0$ , liczba $x^{2} y^{2}$ jest dodatnia i możemy przez nią pomnożyć obie strony.
2Otrzymujemy $x y^{2} + x^{2} y ⩽ x^{3} + y^{3}$ .
3Nierówność jest równoważna $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} ⩾ 0$ .
4Grupujemy: $x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y) (x^{2} - y^{2}) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
5Dla $x, y > 0$ mamy $(x - y)^{2} ⩾ 0$ oraz $x + y > 0$ , więc iloczyn jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 3

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sześcianem sumy

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = \frac{1}{2} a

, prawdziwa jest nierówność

(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2}

Wskazówka

Rozwiń $(a + 2 b)^{3}$ i po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę pogrupuj wyrazy tak, aby wyłączyć czynnik $(a - 2 b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a + 2 b)^{3} = a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}$ .
2Nierówność jest równoważna $a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3} - 8 a^{2} b - 16 a b^{2} > 0$ , czyli $a^{3} - 2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 b^{3} > 0$ .
3Grupujemy: $a^{2} (a - 2 b) - 4 b^{2} (a - 2 b) = (a - 2 b) (a^{2} - 4 b^{2}) = (a - 2 b)^{2} (a + 2 b)$ .
4Z założenia $b \neq = \frac{1}{2} a$ , więc $a - 2 b \neq = 0$ i $(a - 2 b)^{2} > 0$ ; ponadto $a + 2 b > 0$ .
5Iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa. To kończy dowód.

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem a+b=1

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

a

i każdej liczby dodatniej

b

takich, że

a + b = 1

, prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} ⩾ \frac{4}{3}

Wskazówka

Wykorzystaj warunek $a + b = 1$ , aby uprościć mianowniki, a następnie oszacuj iloczyn $ab$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z warunku $a + b = 1$ mamy $2 a + b = a + 1$ oraz $a + 2 b = b + 1$ .
2Zatem lewa strona to $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} = \frac{( b + 1 ) + ( a + 1 )}{( a + 1 ) ( b + 1 )} = \frac{3}{ab + a + b + 1} = \frac{3}{ab + 2}$ .
3Z nierówności $(a - b)^{2} ⩾ 0$ wynika $ab ⩽ \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{1}{4}$ .
4Stąd $ab + 2 ⩽ \frac{9}{4}$ , więc $\frac{3}{ab + 2} ⩾ \frac{3}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{3}$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniem wymiernym

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

a

prawdziwa jest nierówność

a^{2} + \frac{16}{a} ⩾ 12

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez dodatnią liczbę $a$ i rozłóż otrzymany wielomian na czynniki (sprawdź $a = 2$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1Ponieważ $a > 0$ , po pomnożeniu przez $a$ otrzymujemy równoważną nierówność $a^{3} + 16 ⩾ 12 a$ , czyli $a^{3} - 12 a + 16 ⩾ 0$ .
2Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu, bo $8 - 24 + 16 = 0$ , więc dzielimy przez $(a - 2)$ : $a^{3} - 12 a + 16 = (a - 2) (a^{2} + 2 a - 8)$ .
3 $a^{2} + 2 a - 8 = (a - 2) (a + 4)$ , zatem $a^{3} - 12 a + 16 = (a - 2)^{2} (a + 4)$ .
4Dla $a > 0$ mamy $(a - 2)^{2} ⩾ 0$ oraz $a + 4 > 0$ , więc iloczyn jest nieujemny.
5To kończy dowód.

Zadanie 6

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód wartości liczb z warunku

Matura · 3 pkt

Liczby rzeczywiste

x

oraz

y

spełniają jednocześnie równanie

x + y = 4

i nierówność

x^{3} - x^{2} y ⩽ x y^{2} - y^{3}

. Wykaż, że

x = 2

oraz

y = 2

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę nierówności i wyłącz wspólny czynnik $(x - y)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność zapisujemy jako $x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3} ⩽ 0$ .
2Grupujemy: $x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y) (x^{2} - y^{2}) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
3Zatem $(x - y)^{2} (x + y) ⩽ 0$ , a z warunku $x + y = 4 > 0$ wynika $(x - y)^{2} ⩽ 0$ .
4Kwadrat jest nieujemny, więc $(x - y)^{2} = 0$ , czyli $x = y$ .
5Podstawiamy do $x + y = 4$ : $2 x = 4$ , stąd $x = 2$ oraz $y = 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 12.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Przekształcanie wyrażeń z logarytmami

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

wyrażenie

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

można równoważnie przekształcić do postaci

x^{4} + x^{2} - 6 x

Wskazówka

Zapisz $81$ jako potęgę trójki, a $27$ jako $3^{\frac{3}{2}}$ i skorzystaj ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 1^{l o g_{3} x} = (3^{4})^{l o g_{3} x} = 3^{4 l o g_{3} x} = (3^{l o g_{3} x})^{4} = x^{4}$ .
2 $lo g_{2} 27 = lo g_{2} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} 3$ .
3 $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1$ , więc $lo g_{2} 27 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{3}{2}$ .
4Współczynnik przy $x^{2}$ wynosi $\frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{3} = 1$ .
5Całe wyrażenie równa się więc $x^{4} + x^{2} - 6 x$ . To kończy dowód.

Zadanie 8

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem x+y≥1

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

oraz dla każdej liczby rzeczywistej

y

, spełniających warunek

x + y ⩾ 1

, prawdziwa jest nierówność

x^{3} + 2 x y + y^{3} ⩾ x^{2} + x y (x + y) + y^{2}

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i spróbuj otrzymać iloczyn $(x - y)^{2}$ oraz wyrażenia zależnego od $x + y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po przeniesieniu: $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} + 2 x y - x^{2} - y^{2} ⩾ 0$ .
2 $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} = x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
3 $2 x y - x^{2} - y^{2} = - (x - y)^{2}$ .
4Lewa strona to więc $(x - y)^{2} (x + y) - (x - y)^{2} = (x - y)^{2} (x + y - 1)$ .
5Z założenia $x + y - 1 ⩾ 0$ , a $(x - y)^{2} ⩾ 0$ , więc iloczyn jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z czwartymi potęgami

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

, spełniona jest nierówność

x^{4} + y^{4} > x y (x^{2} + y^{2})

Wskazówka

Przenieś prawą stronę na lewo i wyłącz czynnik $(x - y)$ , a potem oceń znak drugiego czynnika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{4} + y^{4} - x^{3} y - x y^{3} > 0$ .
2Grupujemy: $x^{3} (x - y) - y^{3} (x - y) = (x - y) (x^{3} - y^{3}) = (x - y)^{2} (x^{2} + x y + y^{2})$ .
3Z założenia $x \neq = y$ , więc $(x - y)^{2} > 0$ .
4Ponadto $x^{2} + x y + y^{2} = (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{3}{4} y^{2}$ , a wyrażenie to jest równe $0$ tylko dla $x = y = 0$ , co jest wykluczone.
5Zatem iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni. To kończy dowód.

Zadanie 10

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem 2x>y

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

2 x > y

, spełniona jest nierówność

7 x^{3} + 4 x^{2} y ⩾ y^{3} + 2 x y^{2} - x^{3}

Wskazówka

Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę pogrupuj wyrazy tak, by pojawił się wspólny czynnik $(2 x + y)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po przeniesieniu: $8 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3} ⩾ 0$ .
2Grupujemy: $4 x^{2} (2 x + y) - y^{2} (2 x + y) = (2 x + y) (4 x^{2} - y^{2})$ .
3 $4 x^{2} - y^{2} = (2 x - y) (2 x + y)$ , więc wyrażenie równa się $(2 x + y)^{2} (2 x - y)$ .
4 $(2 x + y)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $2 x - y > 0$ .
5Iloczyn liczby nieujemnej i dodatniej jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 11

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Zamiana podstawy logarytmu

Matura · 3 pkt

Niech

lo g_{2} 18 = c

. Wykaż, że

lo g_{3} 4 = \frac{4}{c - 1}

Wskazówka

Rozłóż $18$ na czynniki pierwsze i wyznacz $lo g_{2} 3$ w zależności od $c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , więc $c = lo g_{2} 18 = lo g_{2} 2 + 2 lo g_{2} 3 = 1 + 2 lo g_{2} 3$ .
2Stąd $lo g_{2} 3 = \frac{c - 1}{2}$ (zauważ, że $c > 1$ ).
3 $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2 = \frac{2}{l o g _{2} 3}$ .
4Podstawiamy: $lo g_{3} 4 = \frac{2}{\frac{c - 1}{2}} = \frac{4}{c - 1}$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 12

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z dwiema zmiennymi

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

większej od

2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} - 2 x - 4 > 0

Wskazówka

Wydziel z lewej strony wyrażenie $3 (x - y)^{2}$ i sprawdź, co zostaje.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 (x - y)^{2} = 3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2}$ .
2Zatem lewa strona to $3 (x - y)^{2} + 2 x^{2} - 2 x - 4$ .
3 $2 x^{2} - 2 x - 4 = 2 (x^{2} - x - 2) = 2 (x - 2) (x + 1)$ .
4Dla $x > 2$ mamy $x - 2 > 0$ oraz $x + 1 > 0$ , więc $2 (x - 2) (x + 1) > 0$ ; ponadto $3 (x - y)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia. To kończy dowód.

Zadanie 13

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości z warunku

Matura · 3 pkt

Liczby dodatnie

a

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę i spróbuj wyłączyć czynnik $(a - 2 b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z równości otrzymujemy $a^{2} - 4 b^{2} + 2 a - 4 b = 0$ .
2 $a^{2} - 4 b^{2} = (a - 2 b) (a + 2 b)$ oraz $2 a - 4 b = 2 (a - 2 b)$ .
3Zatem $(a - 2 b) (a + 2 b + 2) = 0$ .
4Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$ , mamy $a + 2 b + 2 > 0$ , więc musi być $a - 2 b = 0$ .
5Stąd $a = 2 b$ . To kończy dowód.

Zadanie 14

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z parametrem a

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

y

, takich że

x < y

, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej

a

prawdziwa jest nierówność

\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2

Wskazówka

Porównaj najpierw $\frac{x + a}{y + a}$ z $\frac{x}{y}$ , a potem skorzystaj z nierówności $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Obliczamy różnicę: $\frac{x + a}{y + a} - \frac{x}{y} = \frac{y ( x + a ) - x ( y + a )}{y ( y + a )} = \frac{a ( y - x )}{y ( y + a )}$ .
2Dla $a > 0$ , $0 < x < y$ licznik i mianownik są dodatnie, więc $\frac{x + a}{y + a} > \frac{x}{y}$ .
3Zatem $\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ .
4Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ po podzieleniu przez $x y > 0$ otrzymujemy $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .
5Łącząc oba oszacowania: $\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność jako suma kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + y^{2} - 4 x y + 6 x + 9 ⩾ 0

Wskazówka

Wyrazy $y^{2} - 4 x y$ uzupełnij do kwadratu $(y - 2 x)^{2}$ i zobacz, co zostaje z pozostałych składników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(y - 2 x)^{2} = y^{2} - 4 x y + 4 x^{2}$ .
2Zatem lewa strona to $(y - 2 x)^{2} + x^{2} + 6 x + 9$ .
3 $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ .
4Otrzymujemy $(y - 2 x)^{2} + (x + 3)^{2} ⩾ 0$ , bo suma kwadratów jest nieujemna.
5To kończy dowód.

Zadanie 16

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność ostra jako suma kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

x, y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 > 0

Wskazówka

Zauważ, że $x^{2} y^{2} - 4 x y + 4$ to kwadrat pewnego wyrażenia; resztę zapisz z użyciem $(x - y)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} y^{2} - 4 x y + 4 = (x y - 2)^{2}$ .
2Pozostałe wyrazy: $2 x^{2} + 2 y^{2} - 4 x y = 2 (x - y)^{2}$ .
3Zatem lewa strona równa się $(x y - 2)^{2} + 2 (x - y)^{2}$ .
4Z założenia $x \neq = y$ , więc $2 (x - y)^{2} > 0$ , a $(x y - 2)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma jest dodatnia. To kończy dowód.

Zadanie 17

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem x²+y²=2

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

y

takich, że

x^{2} + y^{2} = 2

, prawdziwa jest nierówność

x + y ⩽ 2

Wskazówka

Podnieś $x + y$ do kwadratu i skorzystaj z nierówności $2 x y ⩽ x^{2} + y^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 2 + 2 x y$ .
2Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ wynika $2 x y ⩽ x^{2} + y^{2} = 2$ .
3Zatem $(x + y)^{2} ⩽ 2 + 2 = 4$ .
4Ponieważ $x + y > 0$ , po spierwiastkowaniu otrzymujemy $x + y ⩽ 2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z pierwiastkami

Matura · 4 pkt

Wykaż, że dla

a, b, c, d > 0

prawdziwa jest nierówność

a + b \cdot c + d ⩾ a c + b d

Wskazówka

Obie strony są dodatnie, więc nierówność możesz zastąpić nierównością ich kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są dodatnie, więc nierówność jest równoważna nierówności kwadratów.
2Lewa strona po podniesieniu: $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .
3Prawa strona po podniesieniu: $(a c + b d)^{2} = a c + b d + 2 a c b d$ .
4Wystarczy więc pokazać, że $a d + b c ⩾ 2 a d \cdot b c$ .
5Jest to prawda, bo $(a d - b c)^{2} ⩾ 0$ . To kończy dowód.

Zadanie 19

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność wielomianowa

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

prawdziwa jest nierówność

x^{4} - x^{2} - 2 x + 3 > 0

Wskazówka

Spróbuj zapisać wyrażenie jako $(x^{2} - 1)^{2}$ powiększone o kwadrat pewnego dwumianu i liczbę dodatnią.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x^{2} - 1)^{2} = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ .
2Zatem $x^{4} - x^{2} - 2 x + 3 = (x^{2} - 1)^{2} + x^{2} - 2 x + 2$ .
3 $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1$ .
4Otrzymujemy $(x^{2} - 1)^{2} + (x - 1)^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 20

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości logarytmicznej

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

różnej od

1

oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

różnej od

1

prawdziwa jest równość

lo g_{x} (x y) \cdot lo g_{y} (\frac{y}{x}) = lo g_{y} (x y) \cdot lo g_{x} (\frac{y}{x})

Wskazówka

Zamień wszystkie logarytmy na wspólną podstawę, np. $10$ , i oznacz $X = lo g x$ , $Y = lo g y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Oznaczmy $X = lo g x$ oraz $Y = lo g y$ ; z założeń $X \neq = 0$ i $Y \neq = 0$ .
2Lewa strona: $\frac{X + Y}{X} \cdot \frac{Y - X}{Y} = \frac{( X + Y ) ( Y - X )}{X Y}$ .
3Prawa strona: $\frac{X + Y}{Y} \cdot \frac{Y - X}{X} = \frac{( X + Y ) ( Y - X )}{X Y}$ .
4Oba wyrażenia są identyczne, więc równość jest prawdziwa.
5To kończy dowód.

Zadanie 21

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniami wymiernymi

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich

x, y

prawdziwa jest nierówność

(x + 1) \frac{x}{y} + (y + 1) \frac{y}{x} > 2

Wskazówka

Rozdziel każdy składnik na dwa i skorzystaj z nierówności $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona to $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{x}{y} + \frac{y ^{2}}{x} + \frac{y}{x}$ .
2Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ po podzieleniu przez $x y > 0$ mamy $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .
3Ponadto dla $x, y > 0$ zachodzi $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} > 0$ .
4Zatem lewa strona jest większa od $2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sumą kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x (x - 1) + y (y - 1) ⩾ x y - 1

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i pomnóż nierówność przez $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{2} + y^{2} - x - y - x y + 1 ⩾ 0$ .
2Mnożymy przez $2$ : $2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 2 ⩾ 0$ .
3Grupujemy: $(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩾ 0$ .
4Suma kwadratów jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa.
5To kończy dowód.

Zadanie 23

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Porównywanie wyrażeń wymiernych

Matura · 3 pkt

Wykaż, że jeżeli

a > b ⩾ 1

, to

\frac{a}{2 + a ^{3}} < \frac{b}{2 + b ^{3}}

Wskazówka

Mianowniki są dodatnie, więc nierówność możesz pomnożyć „na krzyż”.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $a > b ⩾ 1$ mianowniki $2 + a^{3}$ i $2 + b^{3}$ są dodatnie, więc mnożenie na krzyż nie zmienia znaku nierówności.
2Trzeba pokazać, że $a (2 + b^{3}) < b (2 + a^{3})$ , czyli $2 a + a b^{3} - 2 b - a^{3} b < 0$ .
3Grupujemy: $2 (a - b) - ab (a^{2} - b^{2}) = (a - b) [2 - ab (a + b)]$ .
4Mamy $a - b > 0$ ; ponadto $a > 1$ i $b ⩾ 1$ , więc $ab (a + b) > 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ , czyli nawias jest ujemny.
5Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny, zatem nierówność zachodzi. To kończy dowód.

Zadanie 24

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z parametrem

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

m

prawdziwa jest nierówność

20 x^{2} - 24 m x + 18 m^{2} ⩾ 4 x + 12 m - 5

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i spróbuj zapisać wyrażenie jako sumę trzech kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $20 x^{2} - 24 m x + 18 m^{2} - 4 x - 12 m + 5 ⩾ 0$ .
2Zauważmy, że $(4 x - 3 m)^{2} = 16 x^{2} - 24 m x + 9 m^{2}$ .
3Po odjęciu zostaje $4 x^{2} + 9 m^{2} - 4 x - 12 m + 5 = (4 x^{2} - 4 x + 1) + (9 m^{2} - 12 m + 4) = (2 x - 1)^{2} + (3 m - 2)^{2}$ .
4Zatem lewa strona równa się $(4 x - 3 m)^{2} + (2 x - 1)^{2} + (3 m - 2)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma kwadratów jest nieujemna. To kończy dowód.

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Równość z pierwiastkami sześciennymi

Matura · 4 pkt

Wykaż, że prawdziwa jest równość

3 9 + 80 + 3 9 - 80 = 3

Wskazówka

Oznacz lewą stronę literą $s$ i podnieś tę równość do trzeciej potęgi, korzystając ze wzoru na $(p + q)^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $s = 3 9 + 80 + 3 9 - 80$ ; oczywiście $s > 0$ .
2Ze wzoru $(p + q)^{3} = p^{3} + q^{3} + 3 pq (p + q)$ otrzymujemy $s^{3} = (9 + 80) + (9 - 80) + 3 3 (9 + 80) (9 - 80) \cdot s$ .
3 $(9 + 80) (9 - 80) = 81 - 80 = 1$ , więc $s^{3} = 18 + 3 s$ .
4Rozwiązujemy $s^{3} - 3 s - 18 = 0$ ; liczba $3$ jest pierwiastkiem, więc $s^{3} - 3 s - 18 = (s - 3) (s^{2} + 3 s + 6)$ .
5Trójmian $s^{2} + 3 s + 6$ ma wyróżnik $9 - 24 = - 15 < 0$ , więc nie ma pierwiastków rzeczywistych; zatem $s = 3$ . To kończy dowód.

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem 2a+b≥0

Matura · 3 pkt

Uzasadnij, że jeżeli

2 a + b ⩾ 0

, to

2 a^{3} + b^{3} ⩾ 3 a^{2} b

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i sprawdź, że $a = b$ jest pierwiastkiem otrzymanego wyrażenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $2 a^{3} - 3 a^{2} b + b^{3} ⩾ 0$ .
2Dla $a = b$ wyrażenie się zeruje, więc dzieli się ono przez $(a - b)$ : $2 a^{3} - 3 a^{2} b + b^{3} = (a - b) (2 a^{2} - ab - b^{2})$ .
3 $2 a^{2} - ab - b^{2} = (a - b) (2 a + b)$ , zatem wyrażenie równa się $(a - b)^{2} (2 a + b)$ .
4 $(a - b)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $2 a + b ⩾ 0$ .
5Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 27

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem a+b≥0

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że jeżeli

a + b ⩾ 0

, to prawdziwa jest nierówność

a^{3} + b^{3} ⩾ a^{2} b + a b^{2}

Wskazówka

Po przeniesieniu wyrazów pogrupuj je tak, aby wyłączyć czynnik $(a - b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $a^{3} + b^{3} - a^{2} b - a b^{2} ⩾ 0$ .
2Grupujemy: $a^{2} (a - b) - b^{2} (a - b) = (a - b) (a^{2} - b^{2}) = (a - b)^{2} (a + b)$ .
3 $(a - b)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $a + b ⩾ 0$ .
4Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny.
5To kończy dowód.

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich

a, b, c

d

prawdziwa jest nierówność

a c + b d ⩽ a^{2} + b^{2} \cdot c^{2} + d^{2}

Wskazówka

Obie strony są dodatnie — porównaj ich kwadraty i zobacz, jaki kwadrat zostaje po odjęciu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są dodatnie, więc wystarczy porównać kwadraty.
2 $(a^{2} + b^{2} \cdot c^{2} + d^{2})^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}$ .
3 $(a c + b d)^{2} = a^{2} c^{2} + 2 ab c d + b^{2} d^{2}$ .
4Różnica wynosi $a^{2} d^{2} - 2 ab c d + b^{2} c^{2} = (a d - b c)^{2} ⩾ 0$ .
5Zatem kwadrat prawej strony jest nie mniejszy niż kwadrat lewej, co kończy dowód.

Zadanie 29

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości wyrażeń wymiernych

Matura · 4 pkt

Uzasadnij, że jeżeli

a \neq = b

a \neq = c

b \neq = c

a + b = 2 c

, to

\frac{a}{a - c} + \frac{b}{b - c} = 2

Wskazówka

Dodaj ułamki do wspólnego mianownika i wszędzie podstaw $a + b = 2 c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a}{a - c} + \frac{b}{b - c} = \frac{a ( b - c ) + b ( a - c )}{( a - c ) ( b - c )} = \frac{2 ab - c ( a + b )}{ab - c ( a + b ) + c ^{2}}$ .
2Podstawiamy $a + b = 2 c$ : licznik $= 2 ab - 2 c^{2}$ , mianownik $= ab - 2 c^{2} + c^{2} = ab - c^{2}$ .
3Mianownik jest różny od zera, bo $ab - c^{2} = ab - (\frac{a + b}{2})^{2} = - \frac{( a - b ) ^{2}}{4} \neq = 0$ dla $a \neq = b$ .
4Zatem wyrażenie równa się $\frac{2 ( ab - c ^{2} )}{ab - c ^{2}} = 2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 30

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z pierwiastkami wyższych stopni

Matura · 4 pkt

Wykaż, że nierówność

4 \frac{a ^{4} + b ^{4}}{2} ⩾ \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste

a

b

Wskazówka

Obie strony są nieujemne — podnieś nierówność do czwartej potęgi.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są nieujemne, więc nierówność jest równoważna nierówności czwartych potęg.
2Otrzymujemy $\frac{a ^{4} + b ^{4}}{2} ⩾ (\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2})^{2}$ .
3Mnożymy przez $4$ : $2 (a^{4} + b^{4}) ⩾ (a^{2} + b^{2})^{2}$ .
4Po rozwinięciu i przeniesieniu: $a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4} = (a^{2} - b^{2})^{2} ⩾ 0$ .
5Nierówność jest zatem prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych. To kończy dowód.

Zadanie 31

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Działania na potęgach

Matura · 3 pkt

Wykaż, że jeżeli

A = 3^{42 + 2}

B = 3^{22 + 3}

, to

B = 9 A

Wskazówka

Zapisz $A$ jako potęgę o wykładniku będącym połową wykładnika liczby $A$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $A = (3^{42 + 2})^{\frac{1}{2}} = 3^{22 + 1}$ .
2Zatem $9 A = 3^{2} \cdot 3^{22 + 1} = 3^{22 + 3}$ .
3Otrzymana potęga to dokładnie $B$ .
4Stąd $B = 9 A$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 32

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Podzielność liczb naturalnych

Matura · 3 pkt

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne

a

b

takie, że obie są niepodzielne przez

3

. Udowodnij, że liczba

a^{3} + b^{3}

jest podzielna przez

9

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru na sumę sześcianów i zbadaj reszty z dzielenia przez $3$ obu czynników.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $b = a + 1$ . Wśród trzech kolejnych liczb dokładnie jedna dzieli się przez $3$ , więc skoro $a$ i $a + 1$ nie dzielą się przez $3$ , to $a$ daje resztę $1$ z dzielenia przez $3$ : $a = 3 k + 1$ .
2Ze wzoru na sumę sześcianów: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
3 $a + b = 2 a + 1 = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1)$ — czynnik podzielny przez $3$ .
4 $a^{2} - ab + b^{2} = a^{2} - a (a + 1) + (a + 1)^{2} = a^{2} + a + 1 = (3 k + 1)^{2} + (3 k + 1) + 1 = 9 k^{2} + 9 k + 3 = 3 (3 k^{2} + 3 k + 1)$ — również podzielny przez $3$ .
5Iloczyn dwóch liczb podzielnych przez $3$ jest podzielny przez $9$ . To kończy dowód.

Zadanie 33

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Pierwiastek z kwadratu i wartość bezwzględna

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla

a \in (2, 3)

zachodzi równość

\frac{a ^{2} - 6 a + 9}{3 - a} + \frac{a ^{2} - 4 a + 4}{a - 2} = 2

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $t^{2} = ∣ t ∣$ i ustal znaki wyrażeń $a - 3$ oraz $a - 2$ dla $a \in (2, 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{2} - 6 a + 9 = (a - 3)^{2}$ , więc $a^{2} - 6 a + 9 = ∣ a - 3∣$ .
2Dla $a < 3$ mamy $∣ a - 3∣ = 3 - a$ , zatem pierwszy ułamek równa się $\frac{3 - a}{3 - a} = 1$ .
3 $a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$ , więc $a^{2} - 4 a + 4 = ∣ a - 2∣$ .
4Dla $a > 2$ mamy $∣ a - 2∣ = a - 2$ , zatem drugi ułamek równa się $\frac{a - 2}{a - 2} = 1$ .
5Suma wynosi $1 + 1 = 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 34

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Równanie kwadratowe z parametrem

Matura · 2 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + m x + m - 1 = 0

z niewiadomą

x

. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej

m

wszystkie rozwiązania tego równania są liczbami całkowitymi.

Wskazówka

Sprawdź, czy $x = - 1$ spełnia równanie dla każdego $m$ , a potem rozłóż lewą stronę na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x = - 1$ mamy $1 - m + m - 1 = 0$ , więc $- 1$ jest rozwiązaniem dla każdego $m$ .
2Zatem lewą stronę można rozłożyć: $x^{2} + m x + m - 1 = (x + 1) (x + m - 1)$ (po wymnożeniu otrzymujemy wyjściowy trójmian).
3Rozwiązaniami równania są więc $x_{1} = - 1$ oraz $x_{2} = 1 - m$ .
4Dla całkowitego $m$ liczba $1 - m$ jest całkowita, podobnie jak $- 1$ .
5Zatem wszystkie rozwiązania są liczbami całkowitymi. To kończy dowód.