Matura rozszerzona z matematyki

Dowody, rachunek różniczkowy, zaawansowana geometria i kombinatoryka.

Przejdź do działów →

Zadania maturalne

Rok matury:

Znalezione zadania: 141

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika

Matura · 1 pkt

Wyrażenie

\frac{1}{3 + 2 + 1}

jest równe

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pogrupuj mianownik jako $(2 + 1) + 3$ i pomnóż licznik oraz mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Rozwiązanie krok po kroku

1Zapisz mianownik w postaci $(2 + 1) + 3$ i pomnóż przez $(2 + 1) - 3$ .
2 $((2 + 1))^{2} - (3)^{2} = 3 + 22 - 3 = 22$ .
3Zatem wyrażenie $= \frac{2 + 1 - 3}{2 2}$ .
4Mnożymy licznik i mianownik przez $2$ : $\frac{2 + 2 - 6}{4}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 + 2 - 6}{4}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{2 + 2 - 6}{4}$

Zadanie 2

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wzór dwumianowy Newtona

Matura · 1 pkt

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego

(x 2 + y 3)^{4}

do postaci

a x^{4} + b x^{3} y + c x^{2} y^{2} + d x y^{3} + e y^{4}

współczynnik

c

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru dwumianowego Newtona i wypisz tylko ten składnik, w którym występuje $x^{2} y^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Składnik z $x^{2} y^{2}$ to $(2 4) (x 2)^{2} (y 3)^{2}$ .
2 $(2 4) = 6$ , $(2)^{2} = 2$ , $(3)^{2} = 3$ .
3 $c = 6 \cdot 2 \cdot 3 = 36$ .
4Prawidłowa odpowiedź: B. $36$

Prawidłowa odpowiedź: B. $36$

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Pierwiastek z kwadratu i wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Liczba

(1 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Pamiętaj, że $a^{2} = ∣ a ∣$ — sprawdź najpierw znak każdego wyrażenia pod pierwiastkiem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{2} = ∣ a ∣$ , więc obliczamy $∣1 - 2 ∣ + ∣2 - 2 ∣$ .
2 $1 - 2 < 0$ , zatem $∣1 - 2 ∣ = 2 - 1$ .
3 $2 - 2 > 0$ , zatem $∣2 - 2 ∣ = 2 - 2$ .
4 $(2 - 1) + (2 - 2) = 1$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Prawidłowa odpowiedź: A. $1$

Zadanie 4

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Potęgi o wykładniku wymiernym

Matura · 1 pkt

Dane są liczby:

a = \frac{4 8}{2}

b = \frac{1}{2 4 8}

c = 48

d = \frac{2}{4 8}

oraz

k = 2^{- \frac{1}{4}}

. Prawdziwa jest równość

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz $48$ jako potęgę liczby $2$ z wykładnikiem wymiernym i porównaj wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $48 = 2^{\frac{3}{4}}$ .
2 $a = \frac{2 ^{\frac{3}{4}}}{2} = 2^{\frac{3}{4} - 1} = 2^{- \frac{1}{4}}$ .
3To dokładnie liczba $k$ .
4Prawidłowa odpowiedź: A. $k = a$

Prawidłowa odpowiedź: A. $k = a$

Zadanie 5

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Kwadrat różnicy pierwiastków

Matura · 1 pkt

Liczba

(2 - 3 - 2 + 3)^{2}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zastosuj wzór $(p - q)^{2} = p^{2} - 2 pq + q^{2}$ i zauważ, że iloczyn pod pierwiastkami to różnica kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(p - q)^{2} = p^{2} - 2 pq + q^{2}$ , gdzie $p = 2 - 3$ , $q = 2 + 3$ .
2 $p^{2} + q^{2} = (2 - 3) + (2 + 3) = 4$ .
3 $pq = (2 - 3) (2 + 3) = 4 - 3 = 1$ .
4 $4 - 2 \cdot 1 = 2$ .
5Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Prawidłowa odpowiedź: A. $2$

Zadanie 6

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Wzór na sześcian sumy

Matura · 1 pkt

W rozwinięciu wyrażenia

(23 x + 4 y)^{3}

współczynnik przy iloczynie

x y^{2}

jest równy

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Wypisz tylko ten wyraz rozwinięcia, w którym $x$ występuje w pierwszej potędze, a $y$ w drugiej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Szukany składnik: $(1 3) (23 x) (4 y)^{2}$ .
2 $(1 3) = 3$ , $(4 y)^{2} = 16 y^{2}$ .
3 $3 \cdot 23 \cdot 16 = 963$ .
4Prawidłowa odpowiedź: C. $963$

Prawidłowa odpowiedź: C. $963$

Zadanie 7

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Sześcian różnicy

Matura · 1 pkt

Liczba

(3 - 23)^{3}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ dla $a = 3$ i $b = 23$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = 3$ , $b = 23$ .
2 $a^{3} = 27$ , $3 a^{2} b = 3 \cdot 9 \cdot 23 = 543$ .
3 $3 a b^{2} = 3 \cdot 3 \cdot 12 = 108$ , $b^{3} = 8 \cdot 33 = 243$ .
4 $27 - 543 + 108 - 243 = 135 - 783$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $135 - 783$

Prawidłowa odpowiedź: C. $135 - 783$

Zadanie 8

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Zadanie na kodowanie — wyrażenia symetryczne

Matura · 2 pkt

Dane są liczby

a, b

takie, że

a - b = 4

ab = 7

. Oblicz

a^{3} b + a b^{3}

. Zakoduj kolejno cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wskazówka

Wyłącz $ab$ przed nawias, a sumę kwadratów wyraź przez $(a - b)^{2}$ i $ab$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{3} b + a b^{3} = ab (a^{2} + b^{2})$ .
2 $a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab = 16 + 14 = 30$ .
3 $ab (a^{2} + b^{2}) = 7 \cdot 30 = 210$ .
4Cyfra setek: $2$ , dziesiątek: $1$ , jedności: $0$ .
5Odpowiedź: $210$

Odpowiedź: 210 (setek 2, dziesiątek 1, jedności 0)

Zadanie 9

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Działania na potęgach o tej samej podstawie

Matura · 1 pkt

Liczba

\frac{2 7 ^{665} \cdot 3 3 ^{- 92}}{( \frac{1}{3} ) ^{\frac{152}{3}}}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Zapisz każdy czynnik jako potęgę liczby $3$ , a następnie dodaj i odejmij wykładniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 7^{665} = 3^{1995}$ .
2 $3 3^{- 92} = 3^{- \frac{92}{3}}$ .
3 $(\frac{1}{3})^{\frac{152}{3}} = 3^{- \frac{152}{3}}$ , a dzielenie zmienia znak wykładnika na $+ \frac{152}{3}$ .
4 $1995 - \frac{92}{3} + \frac{152}{3} = 1995 + \frac{60}{3} = 2015$ .
5Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{2015}$

Prawidłowa odpowiedź: C. $3^{2015}$

Zadanie 10

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Porównywanie potęg

Matura · 4 pkt

Porównaj liczby

a^{b}

oraz

b^{a}

, gdzie

a = [(2 - 3)^{\frac{1}{2}} + (2 + 3)^{\frac{1}{2}}]^{2}

b = \frac{8 1 ^{- 1} \cdot 3}{2 7 ^{- 2} \cdot 4 9}

Wskazówka

Najpierw uprość osobno $a$ (kwadrat sumy pierwiastków) i $b$ (potęgi o podstawie $3$ ), a dopiero potem porównuj.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a = (2 - 3) + (2 + 3) + 2 (2 - 3) (2 + 3) = 4 + 21 = 6$ .
2 $b = \frac{3 ^{- 4} \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{- 6} \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{- 4 + 6} = 9$ .
3Porównujemy $a^{b} = 6^{9}$ i $b^{a} = 9^{6}$ .
4 $6^{9} = 10077696$ , a $9^{6} = 531441$ .
5Odpowiedź: $a^{b} > b^{a}$

Odpowiedź: a^b > b^a (6^9 > 9^6)

Zadanie 11

Matura: maj 2005

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Dowód — pierwiastki sześcienne

Matura · 7 pkt

Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że

3 52 + 7 - 3 52 - 7

jest liczbą całkowitą.

Wskazówka

Sprawdź, czy liczby pod pierwiastkami nie są sześcianami wyrażeń postaci $2 \pm 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(2 + 1)^{3} = 22 + 3 \cdot 2 + 32 + 1 = 52 + 7$ .
2 $(2 - 1)^{3} = 22 - 3 \cdot 2 + 32 - 1 = 52 - 7$ .
3Zatem $3 52 + 7 = 2 + 1$ i $3 52 - 7 = 2 - 1$ .
4Różnica: $(2 + 1) - (2 - 1) = 2$ , czyli liczba całkowita — co należało wykazać.
5Odpowiedź: różnica jest równa $2$

Odpowiedź: 2

Zadanie 12

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Wyrażenia algebraiczne

Temat: Obliczanie wartości wyrażenia

Matura · 2 pkt

Oblicz

(2 - 3 - 2 + 3)^{2}

Wskazówka

Rozwiń kwadrat różnicy i policz osobno sumę kwadratów oraz iloczyn pierwiastków.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(p - q)^{2} = p^{2} + q^{2} - 2 pq$ .
2 $p^{2} + q^{2} = (2 - 3) + (2 + 3) = 4$ .
3 $pq = (2 - 3) (2 + 3) = 1 = 1$ .
4 $4 - 2 = 2$ .
5Odpowiedź: $2$

Odpowiedź: 2

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sumą kwadratów

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x y + x + y ⩽ x^{2} + y^{2} + 1

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę i pomnóż nierówność przez $2$ — spróbuj zapisać wynik jako sumę trzech kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{2} + y^{2} + 1 - x y - x - y ⩾ 0$ .
2Mnożymy obie strony przez $2$ : $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 - 2 x y - 2 x - 2 y ⩾ 0$ .
3Grupujemy składniki: $(x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 2 y + 1) ⩾ 0$ .
4Czyli $(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $x, y$ . To kończy dowód.

Zadanie 2

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniami wymiernymi

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} ⩽ \frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}}

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez dodatnią liczbę $x^{2} y^{2}$ — znak nierówności się nie zmieni.

Rozwiązanie krok po kroku

1Ponieważ $x > 0$ i $y > 0$ , liczba $x^{2} y^{2}$ jest dodatnia i możemy przez nią pomnożyć obie strony.
2Otrzymujemy $x y^{2} + x^{2} y ⩽ x^{3} + y^{3}$ .
3Nierówność jest równoważna $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} ⩾ 0$ .
4Grupujemy: $x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y) (x^{2} - y^{2}) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
5Dla $x, y > 0$ mamy $(x - y)^{2} ⩾ 0$ oraz $x + y > 0$ , więc iloczyn jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 3

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sześcianem sumy

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = \frac{1}{2} a

, prawdziwa jest nierówność

(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2}

Wskazówka

Rozwiń $(a + 2 b)^{3}$ i po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę pogrupuj wyrazy tak, aby wyłączyć czynnik $(a - 2 b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a + 2 b)^{3} = a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}$ .
2Nierówność jest równoważna $a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3} - 8 a^{2} b - 16 a b^{2} > 0$ , czyli $a^{3} - 2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 b^{3} > 0$ .
3Grupujemy: $a^{2} (a - 2 b) - 4 b^{2} (a - 2 b) = (a - 2 b) (a^{2} - 4 b^{2}) = (a - 2 b)^{2} (a + 2 b)$ .
4Z założenia $b \neq = \frac{1}{2} a$ , więc $a - 2 b \neq = 0$ i $(a - 2 b)^{2} > 0$ ; ponadto $a + 2 b > 0$ .
5Iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa. To kończy dowód.

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem a+b=1

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

a

i każdej liczby dodatniej

b

takich, że

a + b = 1

, prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} ⩾ \frac{4}{3}

Wskazówka

Wykorzystaj warunek $a + b = 1$ , aby uprościć mianowniki, a następnie oszacuj iloczyn $ab$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z warunku $a + b = 1$ mamy $2 a + b = a + 1$ oraz $a + 2 b = b + 1$ .
2Zatem lewa strona to $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} = \frac{( b + 1 ) + ( a + 1 )}{( a + 1 ) ( b + 1 )} = \frac{3}{ab + a + b + 1} = \frac{3}{ab + 2}$ .
3Z nierówności $(a - b)^{2} ⩾ 0$ wynika $ab ⩽ \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{1}{4}$ .
4Stąd $ab + 2 ⩽ \frac{9}{4}$ , więc $\frac{3}{ab + 2} ⩾ \frac{3}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{3}$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniem wymiernym

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

a

prawdziwa jest nierówność

a^{2} + \frac{16}{a} ⩾ 12

Wskazówka

Pomnóż obie strony przez dodatnią liczbę $a$ i rozłóż otrzymany wielomian na czynniki (sprawdź $a = 2$ ).

Rozwiązanie krok po kroku

1Ponieważ $a > 0$ , po pomnożeniu przez $a$ otrzymujemy równoważną nierówność $a^{3} + 16 ⩾ 12 a$ , czyli $a^{3} - 12 a + 16 ⩾ 0$ .
2Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu, bo $8 - 24 + 16 = 0$ , więc dzielimy przez $(a - 2)$ : $a^{3} - 12 a + 16 = (a - 2) (a^{2} + 2 a - 8)$ .
3 $a^{2} + 2 a - 8 = (a - 2) (a + 4)$ , zatem $a^{3} - 12 a + 16 = (a - 2)^{2} (a + 4)$ .
4Dla $a > 0$ mamy $(a - 2)^{2} ⩾ 0$ oraz $a + 4 > 0$ , więc iloczyn jest nieujemny.
5To kończy dowód.

Zadanie 6

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód wartości liczb z warunku

Matura · 3 pkt

Liczby rzeczywiste

x

oraz

y

spełniają jednocześnie równanie

x + y = 4

i nierówność

x^{3} - x^{2} y ⩽ x y^{2} - y^{3}

. Wykaż, że

x = 2

oraz

y = 2

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę nierówności i wyłącz wspólny czynnik $(x - y)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność zapisujemy jako $x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3} ⩽ 0$ .
2Grupujemy: $x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y) (x^{2} - y^{2}) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
3Zatem $(x - y)^{2} (x + y) ⩽ 0$ , a z warunku $x + y = 4 > 0$ wynika $(x - y)^{2} ⩽ 0$ .
4Kwadrat jest nieujemny, więc $(x - y)^{2} = 0$ , czyli $x = y$ .
5Podstawiamy do $x + y = 4$ : $2 x = 4$ , stąd $x = 2$ oraz $y = 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 12.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Przekształcanie wyrażeń z logarytmami

Matura · 2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

wyrażenie

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

można równoważnie przekształcić do postaci

x^{4} + x^{2} - 6 x

Wskazówka

Zapisz $81$ jako potęgę trójki, a $27$ jako $3^{\frac{3}{2}}$ i skorzystaj ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $8 1^{l o g_{3} x} = (3^{4})^{l o g_{3} x} = 3^{4 l o g_{3} x} = (3^{l o g_{3} x})^{4} = x^{4}$ .
2 $lo g_{2} 27 = lo g_{2} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} 3$ .
3 $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1$ , więc $lo g_{2} 27 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{3}{2}$ .
4Współczynnik przy $x^{2}$ wynosi $\frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{3} = 1$ .
5Całe wyrażenie równa się więc $x^{4} + x^{2} - 6 x$ . To kończy dowód.

Zadanie 8

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem x+y≥1

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

oraz dla każdej liczby rzeczywistej

y

, spełniających warunek

x + y ⩾ 1

, prawdziwa jest nierówność

x^{3} + 2 x y + y^{3} ⩾ x^{2} + x y (x + y) + y^{2}

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i spróbuj otrzymać iloczyn $(x - y)^{2}$ oraz wyrażenia zależnego od $x + y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po przeniesieniu: $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} + 2 x y - x^{2} - y^{2} ⩾ 0$ .
2 $x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} = x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) = (x - y)^{2} (x + y)$ .
3 $2 x y - x^{2} - y^{2} = - (x - y)^{2}$ .
4Lewa strona to więc $(x - y)^{2} (x + y) - (x - y)^{2} = (x - y)^{2} (x + y - 1)$ .
5Z założenia $x + y - 1 ⩾ 0$ , a $(x - y)^{2} ⩾ 0$ , więc iloczyn jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z czwartymi potęgami

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

, spełniona jest nierówność

x^{4} + y^{4} > x y (x^{2} + y^{2})

Wskazówka

Przenieś prawą stronę na lewo i wyłącz czynnik $(x - y)$ , a potem oceń znak drugiego czynnika.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{4} + y^{4} - x^{3} y - x y^{3} > 0$ .
2Grupujemy: $x^{3} (x - y) - y^{3} (x - y) = (x - y) (x^{3} - y^{3}) = (x - y)^{2} (x^{2} + x y + y^{2})$ .
3Z założenia $x \neq = y$ , więc $(x - y)^{2} > 0$ .
4Ponadto $x^{2} + x y + y^{2} = (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{3}{4} y^{2}$ , a wyrażenie to jest równe $0$ tylko dla $x = y = 0$ , co jest wykluczone.
5Zatem iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni. To kończy dowód.

Zadanie 10

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem 2x>y

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

2 x > y

, spełniona jest nierówność

7 x^{3} + 4 x^{2} y ⩾ y^{3} + 2 x y^{2} - x^{3}

Wskazówka

Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę pogrupuj wyrazy tak, by pojawił się wspólny czynnik $(2 x + y)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Po przeniesieniu: $8 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3} ⩾ 0$ .
2Grupujemy: $4 x^{2} (2 x + y) - y^{2} (2 x + y) = (2 x + y) (4 x^{2} - y^{2})$ .
3 $4 x^{2} - y^{2} = (2 x - y) (2 x + y)$ , więc wyrażenie równa się $(2 x + y)^{2} (2 x - y)$ .
4 $(2 x + y)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $2 x - y > 0$ .
5Iloczyn liczby nieujemnej i dodatniej jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 11

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Zamiana podstawy logarytmu

Matura · 3 pkt

Niech

lo g_{2} 18 = c

. Wykaż, że

lo g_{3} 4 = \frac{4}{c - 1}

Wskazówka

Rozłóż $18$ na czynniki pierwsze i wyznacz $lo g_{2} 3$ w zależności od $c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , więc $c = lo g_{2} 18 = lo g_{2} 2 + 2 lo g_{2} 3 = 1 + 2 lo g_{2} 3$ .
2Stąd $lo g_{2} 3 = \frac{c - 1}{2}$ (zauważ, że $c > 1$ ).
3 $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2 = \frac{2}{l o g _{2} 3}$ .
4Podstawiamy: $lo g_{3} 4 = \frac{2}{\frac{c - 1}{2}} = \frac{4}{c - 1}$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 12

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z dwiema zmiennymi

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

większej od

2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} - 2 x - 4 > 0

Wskazówka

Wydziel z lewej strony wyrażenie $3 (x - y)^{2}$ i sprawdź, co zostaje.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $3 (x - y)^{2} = 3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2}$ .
2Zatem lewa strona to $3 (x - y)^{2} + 2 x^{2} - 2 x - 4$ .
3 $2 x^{2} - 2 x - 4 = 2 (x^{2} - x - 2) = 2 (x - 2) (x + 1)$ .
4Dla $x > 2$ mamy $x - 2 > 0$ oraz $x + 1 > 0$ , więc $2 (x - 2) (x + 1) > 0$ ; ponadto $3 (x - y)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia. To kończy dowód.

Zadanie 13

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości z warunku

Matura · 3 pkt

Liczby dodatnie

a

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

Wskazówka

Przenieś wszystko na jedną stronę i spróbuj wyłączyć czynnik $(a - 2 b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Z równości otrzymujemy $a^{2} - 4 b^{2} + 2 a - 4 b = 0$ .
2 $a^{2} - 4 b^{2} = (a - 2 b) (a + 2 b)$ oraz $2 a - 4 b = 2 (a - 2 b)$ .
3Zatem $(a - 2 b) (a + 2 b + 2) = 0$ .
4Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$ , mamy $a + 2 b + 2 > 0$ , więc musi być $a - 2 b = 0$ .
5Stąd $a = 2 b$ . To kończy dowód.

Zadanie 14

Matura: maj 2019

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z parametrem a

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

y

, takich że

x < y

, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej

a

prawdziwa jest nierówność

\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2

Wskazówka

Porównaj najpierw $\frac{x + a}{y + a}$ z $\frac{x}{y}$ , a potem skorzystaj z nierówności $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Obliczamy różnicę: $\frac{x + a}{y + a} - \frac{x}{y} = \frac{y ( x + a ) - x ( y + a )}{y ( y + a )} = \frac{a ( y - x )}{y ( y + a )}$ .
2Dla $a > 0$ , $0 < x < y$ licznik i mianownik są dodatnie, więc $\frac{x + a}{y + a} > \frac{x}{y}$ .
3Zatem $\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ .
4Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ po podzieleniu przez $x y > 0$ otrzymujemy $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .
5Łącząc oba oszacowania: $\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność jako suma kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + y^{2} - 4 x y + 6 x + 9 ⩾ 0

Wskazówka

Wyrazy $y^{2} - 4 x y$ uzupełnij do kwadratu $(y - 2 x)^{2}$ i zobacz, co zostaje z pozostałych składników.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(y - 2 x)^{2} = y^{2} - 4 x y + 4 x^{2}$ .
2Zatem lewa strona to $(y - 2 x)^{2} + x^{2} + 6 x + 9$ .
3 $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ .
4Otrzymujemy $(y - 2 x)^{2} + (x + 3)^{2} ⩾ 0$ , bo suma kwadratów jest nieujemna.
5To kończy dowód.

Zadanie 16

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność ostra jako suma kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

x, y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 > 0

Wskazówka

Zauważ, że $x^{2} y^{2} - 4 x y + 4$ to kwadrat pewnego wyrażenia; resztę zapisz z użyciem $(x - y)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} y^{2} - 4 x y + 4 = (x y - 2)^{2}$ .
2Pozostałe wyrazy: $2 x^{2} + 2 y^{2} - 4 x y = 2 (x - y)^{2}$ .
3Zatem lewa strona równa się $(x y - 2)^{2} + 2 (x - y)^{2}$ .
4Z założenia $x \neq = y$ , więc $2 (x - y)^{2} > 0$ , a $(x y - 2)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma jest dodatnia. To kończy dowód.

Zadanie 17

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem x²+y²=2

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

y

takich, że

x^{2} + y^{2} = 2

, prawdziwa jest nierówność

x + y ⩽ 2

Wskazówka

Podnieś $x + y$ do kwadratu i skorzystaj z nierówności $2 x y ⩽ x^{2} + y^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 2 + 2 x y$ .
2Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ wynika $2 x y ⩽ x^{2} + y^{2} = 2$ .
3Zatem $(x + y)^{2} ⩽ 2 + 2 = 4$ .
4Ponieważ $x + y > 0$ , po spierwiastkowaniu otrzymujemy $x + y ⩽ 2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z pierwiastkami

Matura · 4 pkt

Wykaż, że dla

a, b, c, d > 0

prawdziwa jest nierówność

a + b \cdot c + d ⩾ a c + b d

Wskazówka

Obie strony są dodatnie, więc nierówność możesz zastąpić nierównością ich kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są dodatnie, więc nierówność jest równoważna nierówności kwadratów.
2Lewa strona po podniesieniu: $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .
3Prawa strona po podniesieniu: $(a c + b d)^{2} = a c + b d + 2 a c b d$ .
4Wystarczy więc pokazać, że $a d + b c ⩾ 2 a d \cdot b c$ .
5Jest to prawda, bo $(a d - b c)^{2} ⩾ 0$ . To kończy dowód.

Zadanie 19

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność wielomianowa

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

prawdziwa jest nierówność

x^{4} - x^{2} - 2 x + 3 > 0

Wskazówka

Spróbuj zapisać wyrażenie jako $(x^{2} - 1)^{2}$ powiększone o kwadrat pewnego dwumianu i liczbę dodatnią.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x^{2} - 1)^{2} = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ .
2Zatem $x^{4} - x^{2} - 2 x + 3 = (x^{2} - 1)^{2} + x^{2} - 2 x + 2$ .
3 $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1$ .
4Otrzymujemy $(x^{2} - 1)^{2} + (x - 1)^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 20

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości logarytmicznej

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

różnej od

1

oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

różnej od

1

prawdziwa jest równość

lo g_{x} (x y) \cdot lo g_{y} (\frac{y}{x}) = lo g_{y} (x y) \cdot lo g_{x} (\frac{y}{x})

Wskazówka

Zamień wszystkie logarytmy na wspólną podstawę, np. $10$ , i oznacz $X = lo g x$ , $Y = lo g y$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Oznaczmy $X = lo g x$ oraz $Y = lo g y$ ; z założeń $X \neq = 0$ i $Y \neq = 0$ .
2Lewa strona: $\frac{X + Y}{X} \cdot \frac{Y - X}{Y} = \frac{( X + Y ) ( Y - X )}{X Y}$ .
3Prawa strona: $\frac{X + Y}{Y} \cdot \frac{Y - X}{X} = \frac{( X + Y ) ( Y - X )}{X Y}$ .
4Oba wyrażenia są identyczne, więc równość jest prawdziwa.
5To kończy dowód.

Zadanie 21

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z wyrażeniami wymiernymi

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich

x, y

prawdziwa jest nierówność

(x + 1) \frac{x}{y} + (y + 1) \frac{y}{x} > 2

Wskazówka

Rozdziel każdy składnik na dwa i skorzystaj z nierówności $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Lewa strona to $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{x}{y} + \frac{y ^{2}}{x} + \frac{y}{x}$ .
2Z nierówności $(x - y)^{2} ⩾ 0$ po podzieleniu przez $x y > 0$ mamy $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ⩾ 2$ .
3Ponadto dla $x, y > 0$ zachodzi $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x} > 0$ .
4Zatem lewa strona jest większa od $2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 22

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z sumą kwadratów

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x (x - 1) + y (y - 1) ⩾ x y - 1

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i pomnóż nierówność przez $2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $x^{2} + y^{2} - x - y - x y + 1 ⩾ 0$ .
2Mnożymy przez $2$ : $2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 2 ⩾ 0$ .
3Grupujemy: $(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩾ 0$ .
4Suma kwadratów jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa.
5To kończy dowód.

Zadanie 23

Matura: grudzień 2014

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Porównywanie wyrażeń wymiernych

Matura · 3 pkt

Wykaż, że jeżeli

a > b ⩾ 1

, to

\frac{a}{2 + a ^{3}} < \frac{b}{2 + b ^{3}}

Wskazówka

Mianowniki są dodatnie, więc nierówność możesz pomnożyć „na krzyż”.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $a > b ⩾ 1$ mianowniki $2 + a^{3}$ i $2 + b^{3}$ są dodatnie, więc mnożenie na krzyż nie zmienia znaku nierówności.
2Trzeba pokazać, że $a (2 + b^{3}) < b (2 + a^{3})$ , czyli $2 a + a b^{3} - 2 b - a^{3} b < 0$ .
3Grupujemy: $2 (a - b) - ab (a^{2} - b^{2}) = (a - b) [2 - ab (a + b)]$ .
4Mamy $a - b > 0$ ; ponadto $a > 1$ i $b ⩾ 1$ , więc $ab (a + b) > 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ , czyli nawias jest ujemny.
5Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny, zatem nierówność zachodzi. To kończy dowód.

Zadanie 24

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z parametrem

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

m

prawdziwa jest nierówność

20 x^{2} - 24 m x + 18 m^{2} ⩾ 4 x + 12 m - 5

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i spróbuj zapisać wyrażenie jako sumę trzech kwadratów.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $20 x^{2} - 24 m x + 18 m^{2} - 4 x - 12 m + 5 ⩾ 0$ .
2Zauważmy, że $(4 x - 3 m)^{2} = 16 x^{2} - 24 m x + 9 m^{2}$ .
3Po odjęciu zostaje $4 x^{2} + 9 m^{2} - 4 x - 12 m + 5 = (4 x^{2} - 4 x + 1) + (9 m^{2} - 12 m + 4) = (2 x - 1)^{2} + (3 m - 2)^{2}$ .
4Zatem lewa strona równa się $(4 x - 3 m)^{2} + (2 x - 1)^{2} + (3 m - 2)^{2} ⩾ 0$ .
5Suma kwadratów jest nieujemna. To kończy dowód.

Zadanie 25

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Równość z pierwiastkami sześciennymi

Matura · 4 pkt

Wykaż, że prawdziwa jest równość

3 9 + 80 + 3 9 - 80 = 3

Wskazówka

Oznacz lewą stronę literą $s$ i podnieś tę równość do trzeciej potęgi, korzystając ze wzoru na $(p + q)^{3}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $s = 3 9 + 80 + 3 9 - 80$ ; oczywiście $s > 0$ .
2Ze wzoru $(p + q)^{3} = p^{3} + q^{3} + 3 pq (p + q)$ otrzymujemy $s^{3} = (9 + 80) + (9 - 80) + 3 3 (9 + 80) (9 - 80) \cdot s$ .
3 $(9 + 80) (9 - 80) = 81 - 80 = 1$ , więc $s^{3} = 18 + 3 s$ .
4Rozwiązujemy $s^{3} - 3 s - 18 = 0$ ; liczba $3$ jest pierwiastkiem, więc $s^{3} - 3 s - 18 = (s - 3) (s^{2} + 3 s + 6)$ .
5Trójmian $s^{2} + 3 s + 6$ ma wyróżnik $9 - 24 = - 15 < 0$ , więc nie ma pierwiastków rzeczywistych; zatem $s = 3$ . To kończy dowód.

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem 2a+b≥0

Matura · 3 pkt

Uzasadnij, że jeżeli

2 a + b ⩾ 0

, to

2 a^{3} + b^{3} ⩾ 3 a^{2} b

Wskazówka

Przenieś wszystko na lewą stronę i sprawdź, że $a = b$ jest pierwiastkiem otrzymanego wyrażenia.

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $2 a^{3} - 3 a^{2} b + b^{3} ⩾ 0$ .
2Dla $a = b$ wyrażenie się zeruje, więc dzieli się ono przez $(a - b)$ : $2 a^{3} - 3 a^{2} b + b^{3} = (a - b) (2 a^{2} - ab - b^{2})$ .
3 $2 a^{2} - ab - b^{2} = (a - b) (2 a + b)$ , zatem wyrażenie równa się $(a - b)^{2} (2 a + b)$ .
4 $(a - b)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $2 a + b ⩾ 0$ .
5Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny. To kończy dowód.

Zadanie 27

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z warunkiem a+b≥0

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że jeżeli

a + b ⩾ 0

, to prawdziwa jest nierówność

a^{3} + b^{3} ⩾ a^{2} b + a b^{2}

Wskazówka

Po przeniesieniu wyrazów pogrupuj je tak, aby wyłączyć czynnik $(a - b)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Nierówność jest równoważna $a^{3} + b^{3} - a^{2} b - a b^{2} ⩾ 0$ .
2Grupujemy: $a^{2} (a - b) - b^{2} (a - b) = (a - b) (a^{2} - b^{2}) = (a - b)^{2} (a + b)$ .
3 $(a - b)^{2} ⩾ 0$ , a z założenia $a + b ⩾ 0$ .
4Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny.
5To kończy dowód.

Zadanie 28

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

Matura · 3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich

a, b, c

d

prawdziwa jest nierówność

a c + b d ⩽ a^{2} + b^{2} \cdot c^{2} + d^{2}

Wskazówka

Obie strony są dodatnie — porównaj ich kwadraty i zobacz, jaki kwadrat zostaje po odjęciu.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są dodatnie, więc wystarczy porównać kwadraty.
2 $(a^{2} + b^{2} \cdot c^{2} + d^{2})^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}$ .
3 $(a c + b d)^{2} = a^{2} c^{2} + 2 ab c d + b^{2} d^{2}$ .
4Różnica wynosi $a^{2} d^{2} - 2 ab c d + b^{2} c^{2} = (a d - b c)^{2} ⩾ 0$ .
5Zatem kwadrat prawej strony jest nie mniejszy niż kwadrat lewej, co kończy dowód.

Zadanie 29

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Dowód równości wyrażeń wymiernych

Matura · 4 pkt

Uzasadnij, że jeżeli

a \neq = b

a \neq = c

b \neq = c

a + b = 2 c

, to

\frac{a}{a - c} + \frac{b}{b - c} = 2

Wskazówka

Dodaj ułamki do wspólnego mianownika i wszędzie podstaw $a + b = 2 c$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $\frac{a}{a - c} + \frac{b}{b - c} = \frac{a ( b - c ) + b ( a - c )}{( a - c ) ( b - c )} = \frac{2 ab - c ( a + b )}{ab - c ( a + b ) + c ^{2}}$ .
2Podstawiamy $a + b = 2 c$ : licznik $= 2 ab - 2 c^{2}$ , mianownik $= ab - 2 c^{2} + c^{2} = ab - c^{2}$ .
3Mianownik jest różny od zera, bo $ab - c^{2} = ab - (\frac{a + b}{2})^{2} = - \frac{( a - b ) ^{2}}{4} \neq = 0$ dla $a \neq = b$ .
4Zatem wyrażenie równa się $\frac{2 ( ab - c ^{2} )}{ab - c ^{2}} = 2$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 30

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Nierówność z pierwiastkami wyższych stopni

Matura · 4 pkt

Wykaż, że nierówność

4 \frac{a ^{4} + b ^{4}}{2} ⩾ \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste

a

b

Wskazówka

Obie strony są nieujemne — podnieś nierówność do czwartej potęgi.

Rozwiązanie krok po kroku

1Obie strony są nieujemne, więc nierówność jest równoważna nierówności czwartych potęg.
2Otrzymujemy $\frac{a ^{4} + b ^{4}}{2} ⩾ (\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2})^{2}$ .
3Mnożymy przez $4$ : $2 (a^{4} + b^{4}) ⩾ (a^{2} + b^{2})^{2}$ .
4Po rozwinięciu i przeniesieniu: $a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4} = (a^{2} - b^{2})^{2} ⩾ 0$ .
5Nierówność jest zatem prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych. To kończy dowód.

Zadanie 31

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Działania na potęgach

Matura · 3 pkt

Wykaż, że jeżeli

A = 3^{42 + 2}

B = 3^{22 + 3}

, to

B = 9 A

Wskazówka

Zapisz $A$ jako potęgę o wykładniku będącym połową wykładnika liczby $A$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $A = (3^{42 + 2})^{\frac{1}{2}} = 3^{22 + 1}$ .
2Zatem $9 A = 3^{2} \cdot 3^{22 + 1} = 3^{22 + 3}$ .
3Otrzymana potęga to dokładnie $B$ .
4Stąd $B = 9 A$ .
5To kończy dowód.

Zadanie 32

Oryginalne zadanie: zad. 32

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Podzielność liczb naturalnych

Matura · 3 pkt

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne

a

b

takie, że obie są niepodzielne przez

3

. Udowodnij, że liczba

a^{3} + b^{3}

jest podzielna przez

9

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru na sumę sześcianów i zbadaj reszty z dzielenia przez $3$ obu czynników.

Rozwiązanie krok po kroku

1Niech $b = a + 1$ . Wśród trzech kolejnych liczb dokładnie jedna dzieli się przez $3$ , więc skoro $a$ i $a + 1$ nie dzielą się przez $3$ , to $a$ daje resztę $1$ z dzielenia przez $3$ : $a = 3 k + 1$ .
2Ze wzoru na sumę sześcianów: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
3 $a + b = 2 a + 1 = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1)$ — czynnik podzielny przez $3$ .
4 $a^{2} - ab + b^{2} = a^{2} - a (a + 1) + (a + 1)^{2} = a^{2} + a + 1 = (3 k + 1)^{2} + (3 k + 1) + 1 = 9 k^{2} + 9 k + 3 = 3 (3 k^{2} + 3 k + 1)$ — również podzielny przez $3$ .
5Iloczyn dwóch liczb podzielnych przez $3$ jest podzielny przez $9$ . To kończy dowód.

Zadanie 33

Oryginalne zadanie: zad. 33

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Pierwiastek z kwadratu i wartość bezwzględna

Matura · 3 pkt

Wykaż, że dla

a \in (2, 3)

zachodzi równość

\frac{a ^{2} - 6 a + 9}{3 - a} + \frac{a ^{2} - 4 a + 4}{a - 2} = 2

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru $t^{2} = ∣ t ∣$ i ustal znaki wyrażeń $a - 3$ oraz $a - 2$ dla $a \in (2, 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $a^{2} - 6 a + 9 = (a - 3)^{2}$ , więc $a^{2} - 6 a + 9 = ∣ a - 3∣$ .
2Dla $a < 3$ mamy $∣ a - 3∣ = 3 - a$ , zatem pierwszy ułamek równa się $\frac{3 - a}{3 - a} = 1$ .
3 $a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$ , więc $a^{2} - 4 a + 4 = ∣ a - 2∣$ .
4Dla $a > 2$ mamy $∣ a - 2∣ = a - 2$ , zatem drugi ułamek równa się $\frac{a - 2}{a - 2} = 1$ .
5Suma wynosi $1 + 1 = 2$ . To kończy dowód.

Zadanie 34

Oryginalne zadanie: zad. 34

Poziom: Rozszerzony

Dział: Dowody algebraiczne

Temat: Równanie kwadratowe z parametrem

Matura · 2 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + m x + m - 1 = 0

z niewiadomą

x

. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej

m

wszystkie rozwiązania tego równania są liczbami całkowitymi.

Wskazówka

Sprawdź, czy $x = - 1$ spełnia równanie dla każdego $m$ , a potem rozłóż lewą stronę na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x = - 1$ mamy $1 - m + m - 1 = 0$ , więc $- 1$ jest rozwiązaniem dla każdego $m$ .
2Zatem lewą stronę można rozłożyć: $x^{2} + m x + m - 1 = (x + 1) (x + m - 1)$ (po wymnożeniu otrzymujemy wyjściowy trójmian).
3Rozwiązaniami równania są więc $x_{1} = - 1$ oraz $x_{2} = 1 - m$ .
4Dla całkowitego $m$ liczba $1 - m$ jest całkowita, podobnie jak $- 1$ .
5Zatem wszystkie rozwiązania są liczbami całkowitymi. To kończy dowód.

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne z wartością bezwzględną

Matura · 2 pkt

Oblicz granicę

x \to 3^{-} lim \frac{∣ x - 3∣}{x ^{2} - 9}

Wskazówka

Dla $x < 3$ wyrażenie $x - 3$ jest ujemne — zapisz wartość bezwzględną bez modułu i rozłóż mianownik na czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku

1Rozkładamy mianownik: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
2Dla $x < 3$ mamy $x - 3 < 0$ , więc $∣ x - 3∣ = - (x - 3)$ .
3 $\frac{∣ x - 3∣}{x ^{2} - 9} = \frac{- ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = - \frac{1}{x + 3}$ dla $x \neq = 3$ .
4Podstawiamy $x \to 3$ : $- \frac{1}{3 + 3} = - \frac{1}{6}$ .
5Odpowiedź: $- \frac{1}{6}$

Odpowiedź: -1/6

Zadanie 2

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice niewłaściwe

Matura · 2 pkt

Oblicz granicę

x \to 2^{-} lim \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}}

Wskazówka

Skorzystaj ze wzoru na różnicę sześcianów i skróć jeden czynnik $(x - 2)$ ; potem zbadaj znak mianownika przy $x \to 2^{-}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Ze wzoru na różnicę sześcianów: $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .
2 $\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$ dla $x \neq = 2$ .
3Licznik dąży do $2^{2} + 2 \cdot 2 + 4 = 12 > 0$ .
4Dla $x \to 2^{-}$ mianownik $x - 2$ dąży do $0$ przez wartości ujemne.
5Iloraz liczby dodatniej i wielkości ujemnej dążącej do zera daje granicę niewłaściwą $- \infty$ .
6Odpowiedź: $- \infty$

Odpowiedź: -∞

Zadanie 3

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica ilorazu wielomianów w punkcie

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to - 3} \frac{0 , 5 x ^{2} + 3 , 5 x + 6}{- x ^{2} + 2 x + 15}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Licznik i mianownik zerują się dla $x = - 3$ — rozłóż oba trójmiany na czynniki i skróć wspólny czynnik.

Rozwiązanie krok po kroku

1Licznik: $0, 5 x^{2} + 3, 5 x + 6 = 0, 5 (x^{2} + 7 x + 12) = 0, 5 (x + 3) (x + 4)$ .
2Mianownik: $- x^{2} + 2 x + 15 = - (x^{2} - 2 x - 15) = - (x + 3) (x - 5)$ .
3Skracamy czynnik $(x + 3)$ : $\frac{0 , 5 ( x + 4 )}{- ( x - 5 )}$ .
4Podstawiamy $x = - 3$ : $\frac{0 , 5 \cdot 1}{- ( - 8 )} = \frac{0 , 5}{8} = \frac{1}{16}$ .
5Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{16}$

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{1}{16}$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granica w nieskończoności

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to + \infty} (\frac{x ^{3} + 8}{x ^{2} - 4} - x)

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Najpierw sprowadź oba wyrażenia do wspólnego mianownika — po redukcji zostanie prosty ułamek.

Rozwiązanie krok po kroku

1Wspólny mianownik: $\frac{x ^{3} + 8 - x ( x ^{2} - 4 )}{x ^{2} - 4}$ .
2Licznik: $x^{3} + 8 - x^{3} + 4 x = 4 x + 8 = 4 (x + 2)$ .
3Mianownik: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
4Po skróceniu $(x + 2)$ otrzymujemy $\frac{4}{x - 2}$ .
5Gdy $x \to + \infty$ , mianownik rośnie nieograniczenie, więc ułamek dąży do $0$ .
6Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Prawidłowa odpowiedź: C. $0$

Zadanie 5

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Granica ciągu i funkcji

Temat: Granice jednostronne funkcji wymiernej

Matura · 1 pkt

Granica

lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 2}{x ^{2} - 5 x + 6}

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozłóż mianownik na czynniki i skróć z licznikiem, a następnie zbadaj znak pozostałego wyrażenia dla $x$ nieco mniejszych od $3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Mianownik: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .
2Licznik: $- x + 2 = - (x - 2)$ .
3Po skróceniu: $\frac{- ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = - \frac{1}{x - 3}$ dla $x \neq = 2$ .
4Dla $x \to 3^{-}$ mamy $x - 3 \to 0^{-}$ , więc $\frac{1}{x - 3} \to - \infty$ .
5Zatem $- \frac{1}{x - 3} \to + \infty$ .
6Prawidłowa odpowiedź: D. $+ \infty$

Prawidłowa odpowiedź: D. $+ \infty$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 13.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

. Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

Wskazówka

Zapisz prostą przez $K$ : $y = a (x - 1) + 2$ i wyznacz jej punkty przecięcia z osiami.

Rozwiązanie krok po kroku

1Prosta $A B$ : $y = a (x - 1) + 2$ , przy czym $a < 0$ (przecina dodatnie półosie).
2 $B$ : dla $x = 0$ mamy $y = 2 - a$ , więc $B = (0, 2 - a)$ .
3 $A$ : dla $y = 0$ mamy $x = 1 - \frac{2}{a} = \frac{a - 2}{a}$ , więc $A = (\frac{a - 2}{a}, 0)$ .
4 $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{a - 2}{a} \cdot (2 - a) = \frac{- ( a - 2 ) ^{2}}{2 a} = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}$
5Co należało wykazać.

Odpowiedź: Dowód — $P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}$ dla $a < 0$

Zadanie 2

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których wykresy funkcji

f

g

, określonych wzorami

f (x) = x - 2

oraz

g (x) = 5 - a x

, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Wskazówka

Rozwiąż równanie $f (x) = g (x)$ i zażądaj $x > 0$ oraz $y > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x - 2 = 5 - a x \Rightarrow (1 + a) x = 7$ , więc $a \neq = - 1$ i $x = \frac{7}{1 + a}$ .
2 $x > 0 \Leftrightarrow a > - 1$ .
3 $y = \frac{7}{1 + a} - 2 > 0 \Leftrightarrow 7 > 2 (1 + a)$ (dla $a > - 1$ ) $\Leftrightarrow a < \frac{5}{2}$ .
4 $a \in (- 1, \frac{5}{2})$

Odpowiedź: $a \in (- 1, 2 \frac{1}{2})$

Zadanie 3

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Funkcja liniowa

f

określona jest wzorem

f (x) = a x + b

dla

x \in R

.

a) Dla

a = 2008

b = 2009

zbadaj, czy do wykresu funkcji należy punkt

P = (2009, 200 9^{2})

.

b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór

A = {(x, y) : x \in ⟨ - 1, 3 ⟩ i y = - \frac{1}{2} x + b i b \in ⟨ - 2, 1 ⟩}

Wskazówka

a) Oblicz $f (2009)$ i wyłącz $2009$ przed nawias. b) Zbiór wypełniają odcinki równoległych prostych między $y = - \frac{1}{2} x - 2$ a $y = - \frac{1}{2} x + 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1a) $f (2009) = 2008 \cdot 2009 + 2009 = 2009 \cdot (2008 + 1) = 200 9^{2}$ — punkt $P$ należy do wykresu.
2b) Dla każdego $b \in ⟨ - 2, 1 ⟩$ otrzymujemy odcinek prostej $y = - \frac{1}{2} x + b$ dla $x \in ⟨ - 1, 3 ⟩$ .
3Skrajne proste: $y = - \frac{1}{2} x + 1$ oraz $y = - \frac{1}{2} x - 2$ ; ograniczają zbiór pionowe proste $x = - 1$ i $x = 3$ .
4Zbiór $A$ to równoległobok (z brzegiem) o wierzchołkach $(- 1, \frac{3}{2})$ , $(3, - \frac{1}{2})$ , $(3, - \frac{7}{2})$ , $(- 1, - \frac{3}{2})$ .

Odpowiedź: a) należy; b) równoległobok o wierzchołkach $(- 1, \frac{3}{2})$ , $(3, - \frac{1}{2})$ , $(3, - \frac{7}{2})$ , $(- 1, - \frac{3}{2})$

Zadanie 4

Matura: styczeń 2003

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie postaci

a^{2} \cdot x - 1 = x + a

, w którym niewiadomą jest

x

. Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru

a

Wskazówka

Doprowadź do postaci $(a^{2} - 1) x = a + 1$ i rozpatrz przypadek, gdy współczynnik przy $x$ jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(a^{2} - 1) x = a + 1$ , czyli $(a - 1) (a + 1) x = a + 1$ .
2Dla $a \in R ∖ {- 1, 1}$ : jedno rozwiązanie $x = \frac{1}{a - 1}$ .
3Dla $a = 1$ : $0 \cdot x = 2$ — brak rozwiązań.
4Dla $a = - 1$ : $0 \cdot x = 0$ — nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań dla $a = 1$ ; jedno dla $a \in R ∖ {- 1, 1}$ ; nieskończenie wiele dla $a = - 1$

Zadanie 5

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcje

Temat: Funkcja liniowa

Matura · 4 pkt

Dane są funkcje liniowe

g

h

określone wzorami:

g (x) = a x + b

h (x) = b x + a

. Wiadomo, że funkcja

g

jest rosnąca, a funkcja

h

malejąca.

a) Wyznacz pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji.

b) Oblicz liczby

a

b

, wiedząc, że wykresy funkcji

g

h

są prostymi prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi

O x

Wskazówka

Z monotoniczności: $a > 0$ , $b < 0$ . Prostopadłość: $a \cdot b = - 1$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1a) $a x + b = b x + a \Rightarrow (a - b) x = a - b$ ; ponieważ $a > 0 > b$ , mamy $a - b \neq = 0$ , więc $x = 1$ .
2b) Punkt przecięcia $(1, 0)$ : $g (1) = a + b = 0$ , więc $b = - a$ .
3Prostopadłość: $a \cdot b = - 1 \Rightarrow - a^{2} = - 1 \Rightarrow a = 1$ (bo $a > 0$ ).
4 $a = 1$ , $b = - 1$

Odpowiedź: a) $x = 1$ ; b) $a = 1$ , $b = - 1$

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 6∣ - ∣ x^{2} - 9∣ < 0

Wskazówka

Zauważ, że $∣2 x - 6∣ = 2∣ x - 3∣$ oraz $∣ x^{2} - 9∣ = ∣ x - 3∣ \cdot ∣ x + 3∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2∣ x - 3∣ < ∣ x - 3∣ \cdot ∣ x + 3∣$
2Dla $x = 3$ obie strony są równe $0$ — nierówność nie zachodzi.
3Dla $x \neq = 3$ dzielimy przez $∣ x - 3∣ > 0$ : $∣ x + 3∣ > 2$ , czyli $x < - 5$ lub $x > - 1$ .
4 $x \in (- \infty, - 5) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 5) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Zadanie 2

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ - 2 \cdot ∣ x + 3∣ < - 2

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 3$ : $2 - x + 2 x + 6 < - 2 \Rightarrow x < - 10$ .
2Dla $- 3 ⩽ x < 2$ : $2 - x - 2 x - 6 < - 2 \Rightarrow x > - \frac{2}{3}$ , więc $x \in (- \frac{2}{3}, 2)$ .
3Dla $x ⩾ 2$ : $x - 2 - 2 x - 6 < - 2 \Rightarrow x > - 6$ — cały przedział $⟨ 2, \infty)$ .
4 $x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Zadanie 3

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 < \frac{25}{3} - x^{2} - 6 x + 9

Wskazówka: skorzystaj z tego, że

a^{2} = ∣ a ∣

dla każdej liczby rzeczywistej

a

Wskazówka

Pod pierwiastkami są kwadraty: $(x + 2)^{2}$ i $(x - 3)^{2}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ < \frac{25}{3}$
2Dla $x < - 2$ : $- 2 x + 1 < \frac{25}{3} \Rightarrow x > - \frac{11}{3}$ .
3Dla $- 2 ⩽ x < 3$ : $5 < \frac{25}{3}$ — zawsze.
4Dla $x ⩾ 3$ : $2 x - 1 < \frac{25}{3} \Rightarrow x < \frac{14}{3}$ .
5 $x \in (- 3 \frac{2}{3}, 4 \frac{2}{3})$

Odpowiedź: $x \in (- 3 \frac{2}{3}, 4 \frac{2}{3})$

Zadanie 4

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 3 pkt

Rozwiąż równanie:

∣ x - 3∣ = 2 x + 11

Wskazówka

Rozpatrz $x ⩾ 3$ i $x < 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩾ 3$ : $x - 3 = 2 x + 11 \Rightarrow x = - 14$ — sprzeczne z założeniem.
2Dla $x < 3$ : $3 - x = 2 x + 11 \Rightarrow x = - \frac{8}{3}$ — spełnia założenie.
3 $x = - 2 \frac{2}{3}$

Odpowiedź: $x = - 2 \frac{2}{3}$

Zadanie 5

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Liczba różnych pierwiastków równania

3 x + ∣ x - 4∣ = 0

jest równa

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz $x ⩾ 4$ i $x < 4$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩾ 4$ : $4 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$ — odpada.
2Dla $x < 4$ : $2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 2$ .
3Jeden pierwiastek.

Prawidłowa odpowiedź: B. $1$

Zadanie 6

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

∣ x - 5∣ = (a - 1)^{2} - 4

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Równanie $∣ x - 5∣ = m$ ma rozwiązania $5 \pm m$ ; oba dodatnie i różne, gdy $0 < m < 5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $0 < (a - 1)^{2} - 4 < 5$ , czyli $4 < (a - 1)^{2} < 9$ .
2 $2 < ∣ a - 1∣ < 3$
3 $a - 1 \in (- 3, - 2) \cup (2, 3)$
4 $a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)$

Odpowiedź: $a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż każdą nierówność i policz liczby całkowite w otrzymanym przedziale.

Rozwiązanie krok po kroku

1B: $- 7 < \frac{4}{3} x + 5 < - 3 \Rightarrow - \frac{21}{4} < x < - \frac{9}{4}$
2Liczby całkowite: $- 5, - 4, - 3$ — dokładnie trzy.
3A: $x \in (- \frac{28}{3}, - 4)$ — cztery; C: $x \in (- 10, - \frac{10}{3})$ — sześć; D: $x \in (- \frac{25}{4}, - \frac{5}{4})$ — pięć.

Prawidłowa odpowiedź: B. $\frac{4}{3} x + 5 < 2$

Zadanie 8

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Równanie

∣∣ x ∣ - 2∣ = ∣ x ∣ + 2

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Prawa strona jest dodatnia; rozpatrz $∣ x ∣ - 2 = \pm (∣ x ∣ + 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x ∣ - 2 = ∣ x ∣ + 2$ — sprzeczność.
2 $∣ x ∣ - 2 = - ∣ x ∣ - 2 \Rightarrow ∣ x ∣ = 0 \Rightarrow x = 0$ .
3Dokładnie jedno rozwiązanie.

Prawidłowa odpowiedź: B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Równanie

∣∣ x - 4∣ - 2∣ = 2

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

$∣ x - 4∣ - 2 = 2$ lub $∣ x - 4∣ - 2 = - 2$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x - 4∣ = 4 \Rightarrow x = 0$ lub $x = 8$ .
2 $∣ x - 4∣ = 0 \Rightarrow x = 4$ .
3Trzy rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź: D. trzy rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x^{2} - 3 x + 2∣ ⩾ ∣ x - 1∣

Wskazówka

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x - 1∣ \cdot ∣ x - 2∣ ⩾ ∣ x - 1∣$
2Dla $x = 1$ : $0 ⩾ 0$ — prawda.
3Dla $x \neq = 1$ : $∣ x - 2∣ ⩾ 1 \Rightarrow x ⩽ 1$ lub $x ⩾ 3$ .
4 $x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$

Zadanie 11

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 2 pkt

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność

∣ x ∣ < ∣ x - 1025∣

. Zakoduj kolejno cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

Wskazówka

Odległość $x$ od $0$ ma być mniejsza niż od $1025$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Punkty bliższe $0$ niż $1025$ : $x < \frac{1025}{2} = 512, 5$ .
2Największa liczba całkowita: $512$ .

Odpowiedź: $512$

Zadanie 12

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono przedział

⟨ - 1, k ⟩

— zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

∣2 x - 8∣ ⩽ 10

. Stąd wynika, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozwiąż $- 10 ⩽ 2 x - 8 ⩽ 10$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- 2 ⩽ 2 x ⩽ 18$
2 $- 1 ⩽ x ⩽ 9$ , więc $k = 9$ .

Prawidłowa odpowiedź: D. $k = 9$

Zadanie 13

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 1 pkt

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f (x) = {x - 2 ∣∣ x + 3∣ - 4∣ dla x ⩽ 0 dla x > 0

Równanie

f (x) = 1

ma dokładnie

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Rozpatrz osobno obie części wzoru.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x ⩽ 0$ : $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$ — odpada.
2Dla $x > 0$ : $∣ x + 3∣ = x + 3$ , więc $∣ x - 1∣ = 1 \Rightarrow x = 0$ (odpada) lub $x = 2$ .
3Jedno rozwiązanie: $x = 2$ .

Prawidłowa odpowiedź: A. jedno rozwiązanie

Zadanie 14

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 6∣ + ∣ x + 7∣ ⩾ 17

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 7$ : $- 3 x - 1 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩽ - 6$ — cały przedział.
2Dla $- 7 ⩽ x < 3$ : $- x + 13 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩽ - 4$ .
3Dla $x ⩾ 3$ : $3 x + 1 ⩾ 17 \Rightarrow x ⩾ \frac{16}{3}$ .
4 $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{1}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{1}{3}, \infty)$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x + 6∣ - 2∣ x - 4∣ ⩽ 2 x - 3

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 6$ : $x - 14 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩾ - 11$ , więc $⟨ - 11, - 6)$ .
2Dla $- 6 ⩽ x < 4$ : $3 x - 2 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩽ - 1$ , więc $⟨ - 6, - 1 ⟩$ .
3Dla $x ⩾ 4$ : $- x + 14 ⩽ 2 x - 3 \Rightarrow x ⩾ \frac{17}{3}$ .
4 $x \in ⟨ - 11, - 1 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{2}{3}, \infty)$

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 11, - 1 ⟩ \cup ⟨ 5 \frac{2}{3}, \infty)$

Zadanie 16

Matura: grudzień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 2 pkt

Liczba

n

jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie

2 \cdot ∣ x + 57∣ = ∣ x - 39∣

Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby

∣ n ∣

Wskazówka

$2 (x + 57) = x - 39$ lub $2 (x + 57) = - (x - 39)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $2 x + 114 = x - 39 \Rightarrow x = - 153$
2 $2 x + 114 = - x + 39 \Rightarrow x = - 25$
3 $n = - 153$ , $∣ n ∣ = 153$

Odpowiedź: $153$

Zadanie 17

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 5∣ - ∣ x + 4∣ ⩽ 2 - 2 x

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 4$ : $- x + 9 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩽ - 7$ .
2Dla $- 4 ⩽ x < \frac{5}{2}$ : $- 3 x + 1 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩾ - 1$ .
3Dla $x ⩾ \frac{5}{2}$ : $x - 9 ⩽ 2 - 2 x \Rightarrow x ⩽ \frac{11}{3}$ .
4 $x \in (- \infty, - 7 ⟩ \cup ⟨ - 1, 3 \frac{2}{3} ⟩$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 7 ⟩ \cup ⟨ - 1, 3 \frac{2}{3} ⟩$

Zadanie 18

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 5 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 ⩾ 11 - x^{2} - 6 x + 9

Wskazówka

$a^{2} = ∣ a ∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ ⩾ 11$
2Dla $x < - 2$ : $- 2 x + 1 ⩾ 11 \Rightarrow x ⩽ - 5$ .
3Dla $- 2 ⩽ x < 3$ : $5 ⩾ 11$ — brak.
4Dla $x ⩾ 3$ : $2 x - 1 ⩾ 11 \Rightarrow x ⩾ 6$ .
5 $x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 6, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 6, \infty)$

Zadanie 19

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ + ∣ x + 1∣ ⩾ 3 x - 3

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $- 2 x + 1 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ \frac{4}{5}$ — cały przedział.
2Dla $- 1 ⩽ x < 2$ : $3 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ 2$ — cały przedział.
3Dla $x ⩾ 2$ : $2 x - 1 ⩾ 3 x - 3 \Rightarrow x ⩽ 2$ , więc $x = 2$ .
4 $x \in (- \infty, 2 ⟩$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 2 ⟩$

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 4∣ + ∣ x - 5∣ ⩾ 12

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < 2$ : $- 3 x + 9 ⩾ 12 \Rightarrow x ⩽ - 1$ .
2Dla $2 ⩽ x < 5$ : $x + 1 ⩾ 12$ — brak.
3Dla $x ⩾ 5$ : $3 x - 9 ⩾ 12 \Rightarrow x ⩾ 7$ .
4 $x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 7, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 7, \infty)$

Zadanie 21

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x + 4∣ + ∣ x - 1∣ ⩽ 6

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 2$ : $- 3 x - 3 ⩽ 6 \Rightarrow x ⩾ - 3$ .
2Dla $- 2 ⩽ x < 1$ : $x + 5 ⩽ 6$ — cały przedział.
3Dla $x ⩾ 1$ : $3 x + 3 ⩽ 6 \Rightarrow x ⩽ 1$ .
4 $x \in ⟨ - 3, 1 ⟩$

Odpowiedź: $x \in ⟨ - 3, 1 ⟩$

Zadanie 22

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x + 2∣ + ∣ x - 2∣ > 5

Wskazówka

Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrz przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x < - 1$ : $- 3 x > 5 \Rightarrow x < - \frac{5}{3}$ .
2Dla $- 1 ⩽ x < 2$ : $x + 4 > 5 \Rightarrow x > 1$ .
3Dla $x ⩾ 2$ : $3 x > 5$ — cały przedział.
4 $x \in (- \infty, - 1 \frac{2}{3}) \cup (1, \infty)$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - 1 \frac{2}{3}) \cup (1, \infty)$

Zadanie 23

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x + 3∣ + ∣3 x + 9∣ < ∣ x + 5∣

Wskazówka

Lewa strona to $4∣ x + 3∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4∣ x + 3∣ < ∣ x + 5∣$
2Dla $x < - 5$ : $- 4 x - 12 < - x - 5 \Rightarrow x > - \frac{7}{3}$ — brak.
3Dla $- 5 ⩽ x < - 3$ : $- 4 x - 12 < x + 5 \Rightarrow x > - \frac{17}{5}$ .
4Dla $x ⩾ - 3$ : $4 x + 12 < x + 5 \Rightarrow x < - \frac{7}{3}$ .
5 $x \in (- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{1}{3})$

Odpowiedź: $x \in (- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{1}{3})$

Zadanie 24

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ + ∣3 x - 6∣ < ∣ x ∣

Wskazówka

Lewa strona to $4∣ x - 2∣$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4∣ x - 2∣ < ∣ x ∣$
2Dla $x < 0$ : $8 - 4 x < - x \Rightarrow x > \frac{8}{3}$ — brak.
3Dla $0 ⩽ x < 2$ : $8 - 4 x < x \Rightarrow x > \frac{8}{5}$ .
4Dla $x ⩾ 2$ : $4 x - 8 < x \Rightarrow x < \frac{8}{3}$ .
5 $x \in (1 \frac{3}{5}, 2 \frac{2}{3})$

Odpowiedź: $x \in (1 \frac{3}{5}, 2 \frac{2}{3})$

Zadanie 25

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Temat: Wartość bezwzględna

Matura · 5 pkt

Niech

A

będzie zbiorem wszystkich liczb

x

, które spełniają równość

∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ = 2

. Niech

B

będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów

4

6

jest nie większa niż

4

. Zaznacz na osi liczbowej zbiory

A

B

oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do

A

i do

B

Wskazówka

$∣ x - a ∣$ to odległość $x$ od $a$ na osi liczbowej.

Rozwiązanie krok po kroku

1Suma odległości od $1$ i $3$ równa $2$ (odległości między nimi) — tylko punkty odcinka: $A = ⟨ 1, 3 ⟩$ .
2 $∣ x - 4∣ + ∣ x - 6∣ ⩽ 4$ : dla $x < 4$ : $10 - 2 x ⩽ 4 \Rightarrow x ⩾ 3$ ; dla $x > 6$ : $2 x - 10 ⩽ 4 \Rightarrow x ⩽ 7$ .
3 $B = ⟨ 3, 7 ⟩$
4 $A \cap B = {3}$

Odpowiedź: $A = ⟨ 1, 3 ⟩$ , $B = ⟨ 3, 7 ⟩$ , część wspólna: ${3}$

Zadanie 1

Matura: maj 2026

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru

m

, gdzie

m \neq = 0

, dla których funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = m^{2} \cdot x^{2} - 2 m x - m + 1

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

należące do przedziału

(- 2, 2)

Wskazówka

Ramiona paraboli są skierowane w górę ( $m^{2} > 0$ ). Potrzebujesz: $Δ > 0$ , $f (- 2) > 0$ , $f (2) > 0$ i wierzchołka w $(- 2, 2)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 4 m^{2} - 4 m^{2} (1 - m) = 4 m^{3} > 0 \Rightarrow m > 0$
2 $f (2) = 4 m^{2} - 5 m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{4}$ lub $m > 1$
3 $f (- 2) = 4 m^{2} + 3 m + 1 > 0$ — zawsze ( $Δ < 0$ ).
4 $x_{w} = \frac{1}{m} \in (- 2, 2)$ przy $m > 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}$
5Część wspólna: $m \in (1, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (1, \infty)$

Zadanie 2

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2.1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

. Fragment wykresu funkcji

g

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto). Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja

g

przyjmuje w przedziale

⟨ 9, 11 ⟩

Wskazówka

Miejsca zerowe trójmianu pod modułem to $2$ i $10$ ; $10$ leży w przedziale.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $- \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 12 x + 20 = 0 \Leftrightarrow x \in {2, 10}$
2 $g (9) = - \frac{81}{4} + 22 = \frac{7}{4}$ , $g (10) = 0$ , $g (11) = - \frac{121}{4} + 28 = \frac{9}{4}$
3Na $⟨ 9, 10 ⟩$ funkcja maleje do $0$ , na $⟨ 10, 11 ⟩$ rośnie do $\frac{9}{4}$ .
4Zbiór wartości: $⟨ 0, \frac{9}{4} ⟩$

Odpowiedź: $⟨ 0, \frac{9}{4} ⟩$

Zadanie 3

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 2.2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

(wykres na rysunku). Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru

m

, dla których równanie

g (x) = ∣ m ∣

ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Odczytaj z wykresu: $g (0) = 5$ , lokalne maksimum $g (6) = 4$ , zera w $2$ i $10$ . Policz punkty przecięcia z prostą $y = ∣ m ∣$ dla $x > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $x > 0$ : $g$ maleje od $5$ do $0$ na $(0, 2)$ , rośnie do $4$ na $(2, 6)$ , maleje do $0$ na $(6, 10)$ i rośnie do $\infty$ .
2 $∣ m ∣ = 0$ : rozwiązania $2$ i $10$ — dwa.
3 $0 < ∣ m ∣ < 4$ : cztery; $∣ m ∣ = 4$ : trzy.
4 $4 < ∣ m ∣ < 5$ : dwa (na $(0, 2)$ i na $(10, \infty)$ ); $∣ m ∣ ⩾ 5$ : jedno.
5 $m \in (- 5, - 4) \cup {0} \cup (4, 5)$

Odpowiedź: $m \in (- 5, - 4) \cup {0} \cup (4, 5)$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 3) (x^{2} + (m - 1) x - 6 m^{2} + 2 m) = 0

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Wskazówka

Policz wyróżnik trójmianu — jest pełnym kwadratem, więc pierwiastki da się zapisać jawnie.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 1)^{2} + 4 (6 m^{2} - 2 m) = (5 m - 1)^{2}$
2Pierwiastki trójmianu: $x = 2 m$ oraz $x = 1 - 3 m$ .
3Zbiór ${3, 2 m, 1 - 3 m}$ ma mieć dokładnie dwa elementy.
4 $2 m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$ (rozwiązania $3$ i $- \frac{7}{2}$ ); $1 - 3 m = 3 \Rightarrow m = - \frac{2}{3}$ (rozwiązania $3$ i $- \frac{4}{3}$ ).
5 $2 m = 1 - 3 m \Rightarrow m = \frac{1}{5}$ : pierwiastek podwójny $\frac{2}{5}$ i $3$ — również dwa rozwiązania.
6Uwaga: klucz w pliku podaje tylko $m = \frac{3}{2}$ i $m = - \frac{2}{3}$ , pomijając przypadek $m = \frac{1}{5}$ .

Odpowiedź: $m \in {- \frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}}$ (klucz z pliku: $m = \frac{3}{2}$ lub $m = - \frac{2}{3}$ )

Zadanie 5

Matura: czerwiec 2020

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których nierówność

(m^{2} + 4 m - 5) \cdot x^{2} + 2 x > 2 m x - 2

jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x

Wskazówka

Zapisz $(m^{2} + 4 m - 5) x^{2} + (2 - 2 m) x + 2 > 0$ i rozpatrz osobno przypadek, gdy współczynnik przy $x^{2}$ jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m^{2} + 4 m - 5 = (m + 5) (m - 1)$
2 $m = 1$ : $2 > 0$ — prawda. $m = - 5$ : $12 x + 2 > 0$ — nie dla każdego $x$ .
3W pozostałych przypadkach: $a > 0$ i $Δ < 0$ .
4 $Δ = 4 (m - 1)^{2} - 8 (m + 5) (m - 1) = - 4 (m - 1) (m + 11) < 0 \Rightarrow m < - 11$ lub $m > 1$
5Z $a > 0$ ( $m < - 5$ lub $m > 1$ ): $m \in (- \infty, - 11) \cup (1, \infty)$ ; dołączamy $m = 1$ .
6 $m \in (- \infty, - 11) \cup ⟨ 1, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 11) \cup ⟨ 1, \infty)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 1 pkt

Parametr

m

dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

(4 - m^{2}) \cdot x = m^{2} - 3 m + 2

z niewiadomą

x

. Wynika stąd, że

Zaznacz odpowiedź, aby ją sprawdzić

Wskazówka

Równanie tożsamościowe: $0 \cdot x = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $4 - m^{2} = 0 \Rightarrow m = \pm 2$
2 $m^{2} - 3 m + 2 = (m - 1) (m - 2) = 0 \Rightarrow m \in {1, 2}$
3Oba warunki: $m = 2$

Prawidłowa odpowiedź: C. $m = 2$

Zadanie 7

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = - x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 1

x_{2} = 12

. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wskazówka

$f (x) = - (x + 1) (x - 12)$ , wierzchołek w środku między miejscami zerowymi.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{w} = \frac{- 1 + 12}{2} = \frac{11}{2}$
2 $f (\frac{11}{2}) = - \frac{13}{2} \cdot (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} = 42, 25$
3Kod: $2, 2, 5$

Odpowiedź: $225$

Zadanie 8

Matura: czerwiec 2017

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału

(- \infty, 3)

Wskazówka

Warunki: $Δ > 0$ , $f (3) > 0$ , $x_{w} < 3$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow m < - 2$ lub $m > 2$
2 $f (3) = 2 m^{2} - 9 m + 10 > 0 \Rightarrow m < 2$ lub $m > \frac{5}{2}$
3 $x_{w} = \frac{3 m}{2} < 3 \Rightarrow m < 2$
4 $m \in (- \infty, - 2)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 2)$

Zadanie 9

Matura: czerwiec 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Liczba

m

jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

k^{2} x^{2} + (k - 1) x + 1 = 0, gdzie k \neq = 0.

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem

f (m) = 2^{m}

Wskazówka

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (k - 1)^{2} - 4 k^{2} = - (k + 1) (3 k - 1) > 0 \Rightarrow k \in (- 1, \frac{1}{3})$ , $k \neq = 0$
2 $m = \frac{- ( k - 1 ) / k ^{2}}{1/ k ^{2}} = 1 - k \in (\frac{2}{3}, 2)$ , $m \neq = 1$
3 $f (m) = 2^{m} \in (2^{2/3}, 4) ∖ {2}$

Odpowiedź: $(34, 4) ∖ {2}$

Zadanie 10

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 2 pkt

Liczby

(- 1)

3

są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

f

. Oblicz

\frac{f ( 6 )}{f ( 12 )}

Wskazówka

Postać iloczynowa: $f (x) = a (x + 1) (x - 3)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $f (6) = a \cdot 7 \cdot 3 = 21 a$
2 $f (12) = a \cdot 13 \cdot 9 = 117 a$
3 $\frac{21 a}{117 a} = \frac{7}{39}$

Odpowiedź: $\frac{7}{39}$

Zadanie 11

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 7

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu

y = \frac{1}{4} x^{2} + 1

jest równoodległy od osi

O x

i od punktu

F = (0, 2)

Wskazówka

Porównaj kwadraty odległości punktu $(x, \frac{1}{4} x^{2} + 1)$ od $O x$ i od $F$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Odległość od $O x$ : $y = \frac{1}{4} x^{2} + 1 > 0$ .
2 $∣ P F ∣^{2} = x^{2} + (\frac{1}{4} x^{2} - 1)^{2} = \frac{1}{16} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + 1 = (\frac{1}{4} x^{2} + 1)^{2}$
3Zatem $∣ P F ∣ = \frac{1}{4} x^{2} + 1$ — odległości są równe.

Odpowiedź: Dowód

Zadanie 12

Matura: maj 2007

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 7 pkt

Wierzchołki trójkąta równobocznego

A B C

są punktami paraboli

y = - x^{2} + 6 x

. Punkt

C

jest jej wierzchołkiem, a bok

A B

jest równoległy do osi

O x

. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Wskazówka

$C = (3, 9)$ . Niech $A = (3 - t, y)$ , $B = (3 + t, y)$ ; wysokość trójkąta to $3 t$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $y = - (x - 3)^{2} + 9$ , więc $C = (3, 9)$ .
2Dla $A = (3 - t, 9 - t^{2})$ , $B = (3 + t, 9 - t^{2})$ : bok $2 t$ , wysokość $t^{2}$ .
3 $t^{2} = 3 t \Rightarrow t = 3$ , $y = 6$ .
4 $A = (3 - 3, 6)$ , $B = (3 + 3, 6)$ , $C = (3, 9)$

Odpowiedź: $A = (3 - 3, 6)$ , $B = (3 + 3, 6)$ , $C = (3, 9)$

Zadanie 13

Matura: grudzień 2005

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie liczby całkowite

k

, dla których funkcja

f (x) = x^{2} - 2^{k} \cdot x + 2^{k} + \frac{5}{4}

przyjmuje wartości dodatnie dla każdego

x \in R

Wskazówka

Warunek $Δ < 0$ ; podstaw $t = 2^{k} > 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = 4^{k} - 4 \cdot 2^{k} - 5 < 0$
2 $t^{2} - 4 t - 5 = (t - 5) (t + 1) < 0 \Rightarrow 0 < t < 5$
3 $2^{k} < 5 \Rightarrow k ⩽ 2$ dla $k$ całkowitych.

Odpowiedź: $k \in {2, 1, 0, - 1, - 2, \dots}$

Zadanie 14

Matura: styczeń 2003

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

f : R \to R

, określonej wzorem

f (x) = (x - 1) \cdot (5 - x)

, w przedziale

⟨ 0, 7 ⟩

Wskazówka

Wierzchołek leży w środku między miejscami zerowymi $1$ i $5$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{w} = 3 \in ⟨ 0, 7 ⟩$ , $f (3) = 4$
2 $f (0) = - 5$ , $f (7) = 6 \cdot (- 2) = - 12$
3Najmniejsza: $- 12$ , największa: $4$

Odpowiedź: najmniejsza $- 12$ , największa $4$

Zadanie 15

Matura: maj 2002

Oryginalne zadanie: zad. 1

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - 3 (m + 1) x + m = 0

nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wskazówka

Dla $m = 0$ równanie jest liniowe; dla $m \neq = 0$ żądaj $Δ < 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m = 0$ : $- 3 x = 0$ — ma rozwiązanie.
2 $Δ = 9 (m + 1)^{2} - 4 m^{2} = (m + 3) (5 m + 3) < 0$
3 $m \in (- 3, - \frac{3}{5})$

Odpowiedź: $m \in (- 3, - \frac{3}{5})$

Zadanie 16

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Funkcja kwadratowa z parametrem

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + b x + c = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wartości

b

oraz

c

tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

Wskazówka

Podstaw $x = b$ i $x = c$ do równania.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x = b$ : $2 b^{2} + c = 0 \Rightarrow c = - 2 b^{2}$
2 $x = c$ : $c^{2} + b c + c = 0 \Rightarrow c = 0$ lub $c = - b - 1$
3 $c = 0 \Rightarrow b = 0$
4 $- b - 1 = - 2 b^{2} \Rightarrow 2 b^{2} - b - 1 = 0 \Rightarrow b = 1$ ( $c = - 2$ ) lub $b = - \frac{1}{2}$ ( $c = - \frac{1}{2}$ )

Odpowiedź: $b = 0, c = 0$ lub $b = - \frac{1}{2}, c = - \frac{1}{2}$ lub $b = 1, c = - 2$

Zadanie 1

Matura: czerwiec 2026

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + m x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + 4 \cdot x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} ⩾ 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} - 4 m > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > 4$ .
2 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (s^{2} - 2 p)^{2} - 2 p^{2}$ , gdzie $s = - m$ , $p = m$ .
3 $(m^{2} - 2 m)^{2} - 2 m^{2} + 4 m^{3} = m^{4} + 2 m^{2} ⩾ 3 \Rightarrow m^{2} ⩾ 1$
4 $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (4, \infty)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (4, \infty)$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2025

Oryginalne zadanie: zad. 5

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + 2 m x + 2 m - 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

m (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = 3 m \cdot x_{1} \cdot x_{2} + 2

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 4 (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 1$ .
2 $m (4 m^{2} - 4 m + 2) = 3 m (2 m - 1) + 2 \Rightarrow 4 m^{3} - 10 m^{2} + 5 m - 2 = 0$
3 $(m - 2) (4 m^{2} - 2 m + 1) = 0$ , drugi czynnik nie ma pierwiastków.
4 $m = 2$

Odpowiedź: $m = 2$

Zadanie 3

Matura: maj 2025

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = (2 - m) x^{2} - 2 (2 m + 1) x + m + 8

dla każdej liczby rzeczywistej

x

, gdzie

m \neq = 2

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dokładnie dwa miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

tego samego znaku, które spełniają warunek

(x_{1} - x_{2})^{2} ⩽ 180

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 20 (m^{2} + 2 m - 3) > 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $m > 1$ .
2Ten sam znak: $x_{1} x_{2} = \frac{m + 8}{2 - m} > 0 \Rightarrow m \in (- 8, 2)$ .
3 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{a ^{2}} = \frac{20 ( m ^{2} + 2 m - 3 )}{( 2 - m ) ^{2}} ⩽ 180 \Rightarrow 8 m^{2} - 38 m + 39 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ \frac{3}{2}$ lub $m ⩾ \frac{13}{4}$
4 $m \in (- 8, - 3) \cup (1, 1 \frac{1}{2} ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- 8, - 3) \cup (1, 1 \frac{1}{2} ⟩$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(3 - m) \cdot x^{2} + (m + 1) \cdot x - (m + 1)^{2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} \cdot x_{2} + 7

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 3$ ; $Δ = (m + 1)^{2} (13 - 4 m) > 0 \Rightarrow m \neq = - 1$ i $m < \frac{13}{4}$ .
2Warunek: $s^{2} - 3 p = 7$ , czyli $(m + 1)^{2} (10 - 3 m) = 7 (3 - m)^{2}$ .
3 $3 m^{3} + 3 m^{2} - 59 m + 53 = 0 \Rightarrow (m - 1) (3 m^{2} + 6 m - 53) = 0$
4 $m = 1$ lub $m = \frac{- 3 \pm 2 42}{3}$ ; $\frac{- 3 + 2 42}{3} > \frac{13}{4}$ odpada.

Odpowiedź: $m \in {1, \frac{- 3 - 2 42}{3}}$

Zadanie 5

Matura: maj 2024

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (3 m + 1) \cdot x + 2 m^{2} + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2} - 3) ⩽ 3 m - 7

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} + 2 m - 3 > 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $m > 1$ .
2Lewa strona: $s^{3} - 3 p s + 3 p s - 9 p = s^{3} - 9 p$ .
3 $(3 m + 1)^{3} - 9 (2 m^{2} + m + 1) ⩽ 3 m - 7 \Leftrightarrow (3 m + 1)^{2} (3 m - 1) ⩽ 0 \Leftrightarrow m ⩽ \frac{1}{3}$
4 $m \in (- \infty, - 3)$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 3)$

Zadanie 6

Matura: czerwiec 2023

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - (m + 1) x - 2 m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} < 1

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 0$ ; $Δ = 9 m^{2} - 10 m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{9}$ lub $m > 1$ ; $x_{1} x_{2} \neq = 0 \Rightarrow m \neq = \frac{3}{2}$ .
2 $\frac{s ^{2} - 2 p}{p ^{2}} < 1 \Rightarrow (m + 1)^{2} - 2 m (3 - 2 m) < (3 - 2 m)^{2} \Rightarrow m^{2} + 8 m - 8 < 0$
3 $m \in (- 4 - 26, - 4 + 26)$ , przy czym $- 4 + 26 \approx 0, 9$ .
4Z warunkiem $Δ > 0$ : $m \in (- 4 - 26, 0) \cup (0, \frac{1}{9})$ .
5Uwaga: klucz w pliku podaje $(- 4 - 26, 0) \cup (0, - 4 + 26)$ — pomija warunek $Δ > 0$ (np. dla $m = \frac{1}{2}$ równanie nie ma rozwiązań).

Odpowiedź: $m \in (- 4 - 26, 0) \cup (0, \frac{1}{9})$ (klucz z pliku: $(- 4 - 26, 0) \cup (0, - 4 + 26)$ )

Zadanie 7

Matura: maj 2023

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m \neq = 2

, dla których równanie

x^{2} + 4 x - \frac{m - 3}{m - 2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 28

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $16 + \frac{4 ( m - 3 )}{m - 2} > 0 \Rightarrow \frac{5 m - 11}{m - 2} > 0 \Rightarrow m < 2$ lub $m > \frac{11}{5}$ .
2 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = s^{3} - 3 p s = - 64 - \frac{12 ( m - 3 )}{m - 2} > - 28 \Rightarrow \frac{4 m - 9}{m - 2} < 0 \Rightarrow m \in (2, \frac{9}{4})$
3 $m \in (2 \frac{1}{5}, 2 \frac{1}{4})$

Odpowiedź: $m \in (2 \frac{1}{5}, 2 \frac{1}{4})$

Zadanie 8

Matura: pokazowa 2023

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dane jest równanie

(x - 6) \cdot [(m - 2) x^{2} - 4 (m + 3) x + m + 1] = 0

z niewiadomą

x

i parametrem

m \in R

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Trójmian ma mieć dwa różne pierwiastki dodatnie, różne od $6$ ; $m \neq = 2$ .
2 $Δ = 16 (m + 3)^{2} - 4 (m - 2) (m + 1) > 0 \Leftrightarrow 3 m^{2} + 25 m + 38 > 0 \Leftrightarrow m < - \frac{19}{3}$ lub $m > - 2$
3 $x_{1} x_{2} = \frac{m + 1}{m - 2} > 0$ i $x_{1} + x_{2} = \frac{4 ( m + 3 )}{m - 2} > 0$ $\Rightarrow m < - 3$ lub $m > 2$ .
4 $x = 6$ jest pierwiastkiem trójmianu dla $m = 11$ — wykluczamy.
5 $m \in (- \infty, - 6 \frac{1}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)$ (w kluczu w pliku zgubiono minus przy $6 \frac{1}{3}$ ).

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 6 \frac{1}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)$

Zadanie 9

Matura: grudzień 2022

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} < 5 x_{1}^{2} \cdot x_{2} + 5 x_{1} \cdot x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m - 4)^{2} - 4 (m - 3) (m - 4) = - (m - 4) (3 m - 8) > 0 \Rightarrow m \in (\frac{8}{3}, 4)$ .
2 $s^{3} - 3 p s < 5 p s \Leftrightarrow s (s^{2} - 8 p) < 0$ , gdzie $s = m - 4 < 0$ .
3 $s^{2} - 8 p > 0 \Leftrightarrow (m - 4)^{2} - 8 (m - 3) (m - 4) > 0 \Leftrightarrow (m - 4) (- 7 m + 20) > 0 \Leftrightarrow m \in (\frac{20}{7}, 4)$
4 $m \in (2 \frac{6}{7}, 4)$

Odpowiedź: $m \in (2 \frac{6}{7}, 4)$

Zadanie 10

Matura: czerwiec 2022

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 4) [x^{2} + (m - 3) x + m^{2} - m - 6] = 0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

oraz

x_{3}

, spełniające warunek

x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} > x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 5 m - 51

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Trójmian: dwa różne pierwiastki różne od $4$ . $Δ = - 3 m^{2} - 2 m + 33 > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{11}{3}, 3)$ .
2 $4$ jest pierwiastkiem dla $m^{2} + 3 m - 2 = 0$ , tj. $m = \frac{- 3 \pm 17}{2}$ — wykluczamy.
3 $x_{3} = 4$ : $4 p > 16 + s^{2} - 2 p - 5 m - 51 \Rightarrow 6 p - s^{2} + 5 m + 35 > 0$
4 $6 (m^{2} - m - 6) - (m - 3)^{2} + 5 m + 35 = 5 m^{2} + 5 m - 10 > 0 \Rightarrow m < - 2$ lub $m > 1$
5 $m \in (- 3 \frac{2}{3}, \frac{- 3 - 17}{2}) \cup (\frac{- 3 - 17}{2}, - 2) \cup (1, 3)$

Odpowiedź: $m \in (- 3 \frac{2}{3}, \frac{- 3 - 17}{2}) \cup (\frac{- 3 - 17}{2}, - 2) \cup (1, 3)$

Zadanie 11

Matura: maj 2022

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m + 1) x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + 2 = \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Pierwiastki: $1$ i $m$ ; warunki $m \neq = 1$ , $m \neq = 0$ .
2 $1 + \frac{1}{m} + 2 = 1 + \frac{1}{m ^{2}} \Rightarrow 2 m^{2} + m - 1 = 0$
3 $m = \frac{1}{2}$ lub $m = - 1$

Odpowiedź: $m \in {- 1, \frac{1}{2}}$

Zadanie 12

Matura: maj 2021

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian kwadratowy

4 x^{2} - 2 (m + 1) x + m

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0

x_{2} \neq = 0

oraz

x_{1} + x_{2} ⩽ \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (m + 1)^{2} - 16 m = 4 (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 1$ ; $p \neq = 0 \Rightarrow m \neq = 0$ .
2 $s ⩽ \frac{s}{p}$ , gdzie $s = \frac{m + 1}{2}$ , $p = \frac{m}{4}$ : $\frac{m + 1}{2} (1 - \frac{4}{m}) ⩽ 0$
3 $\frac{( m + 1 ) ( m - 4 )}{m} ⩽ 0 \Rightarrow m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 4 ⟩$
4 $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 1) \cup (1, 4 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 1) \cup (1, 4 ⟩$

Zadanie 13

Matura: marzec 2021

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

x^{2} - 2 a x + a^{3} - 2 a = 0

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ > 0$ : $4 a^{2} - 4 a^{3} + 8 a > 0 \Rightarrow a (a^{2} - a - 2) < 0 \Rightarrow a < - 1$ lub $0 < a < 2$
2 $x_{1} + x_{2} = 2 a > 0$ , $x_{1} x_{2} = a (a^{2} - 2) > 0 \Rightarrow a > 2$
3 $a \in (2, 2)$

Odpowiedź: $a \in (2, 2)$

Zadanie 14

Matura: maj 2020

Oryginalne zadanie: zad. 11

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 4 pkt

Dane jest równanie kwadratowe

x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których różne rozwiązania

x_{1}

x_{2}

tego równania istnieją i spełniają warunek

2 x_{1}^{2} + 5 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = 2

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m - 8)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 8$ .
2 $2 s^{2} + p = 2 \Rightarrow 2 (3 m + 2)^{2} + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 2 \Rightarrow 20 m^{2} + 31 m - 9 = 0$
3 $m = \frac{1}{4}$ lub $m = - \frac{9}{5}$

Odpowiedź: $m \in {- \frac{9}{5}, \frac{1}{4}}$

Zadanie 15

Matura: czerwiec 2019

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} + (2 - 4 m) x + m^{2} - m - 2 = 0

ma dwa różne dodatnie rozwiązania

x_{1}, x_{2}

spełniające nierówność

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ⩽ \frac{17}{4}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (2 - 4 m)^{2} - 16 (m^{2} - m - 2) = 36 > 0$ — zawsze.
2Dodatnie: $s = \frac{2 m - 1}{2} > 0$ , $p = \frac{( m - 2 ) ( m + 1 )}{4} > 0 \Rightarrow m > 2$
3 $s^{2} - 2 p = \frac{( 2 m - 1 ) ^{2} - 2 ( m ^{2} - m - 2 )}{4} = \frac{2 m ^{2} - 2 m + 5}{4} ⩽ \frac{17}{4} \Rightarrow m \in ⟨ - 2, 3 ⟩$
4 $m \in (2, 3 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (2, 3 ⟩$

Zadanie 16

Matura: czerwiec 2018

Oryginalne zadanie: zad. 14

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + (m + 1) (2 m - 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania

x_{1}, x_{2}

spełniające warunki:

x_{1} \cdot x_{2} \neq = 0

oraz

0 < \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} ⩽ \frac{2}{3}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m - 2)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq = 2$ ; $p \neq = 0 \Rightarrow m \neq = - 1, \frac{1}{2}$ .
2 $\frac{s}{p} = \frac{3 m}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} > 0 \Rightarrow m \in (- 1, 0) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$
3 $\frac{3 m}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} ⩽ \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{( 4 m + 1 ) ( m - 2 )}{( m + 1 ) ( 2 m - 1 )} ⩾ 0$
4 $m \in ⟨ - \frac{1}{4}, 0) \cup (2, \infty)$

Odpowiedź: $m \in ⟨ - \frac{1}{4}, 0) \cup (2, \infty)$

Zadanie 17

Matura: maj 2018

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (m + 1) x - m^{2} + 1 = 0

ma dwa rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

(

x_{1} \neq = x_{2}

), spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 7 x_{1} x_{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = (m + 1) (5 m - 3) > 0 \Rightarrow m < - 1$ lub $m > \frac{3}{5}$ .
2 $s^{3} - 3 p s + 7 p > 0$ , gdzie $s = - (m + 1)$ , $p = 1 - m^{2}$ .
3 $(m + 1) [- (m + 1)^{2} + 3 (1 - m^{2}) + 7 (1 - m)] = - (m + 1) (4 m - 3) (m + 3) > 0$
4 $(m + 1) (4 m - 3) (m + 3) < 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $- 1 < m < \frac{3}{4}$
5Z warunkiem $Δ > 0$ : $m \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})$

Zadanie 18

Matura: maj 2017

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} - 6 m x + (2 m + 3) (m - 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

, przy czym

x_{1} < x_{2}

, spełniające warunek

(4 x_{1} - 4 x_{2} - 1) (4 x_{1} - 4 x_{2} + 1) < 0

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek: $16 (x_{1} - x_{2})^{2} < 1$ .
2 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{16}$ , $Δ = 36 m^{2} - 16 (2 m^{2} - 3 m - 9) = 4 (m + 6)^{2}$
3 $Δ > 0 \Rightarrow m \neq = - 6$ ; $4 (m + 6)^{2} < 1 \Rightarrow ∣ m + 6∣ < \frac{1}{2}$
4 $m \in (- 6 \frac{1}{2}, - 6) \cup (- 6, - 5 \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in (- 6 \frac{1}{2}, - 6) \cup (- 6, - 5 \frac{1}{2})$

Zadanie 19

Matura: maj 2016

Oryginalne zadanie: zad. 12

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Dany jest trójmian kwadratowy

f (x) = x^{2} + 2 (m + 1) x + 6 m + 1

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru

m

, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

tego samego znaku, spełniające warunek

∣ x_{1} - x_{2} ∣ < 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $Δ = 4 (m^{2} - 4 m) > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > 4$ .
2Ten sam znak: $6 m + 1 > 0 \Rightarrow m > - \frac{1}{6}$ .
3 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = Δ = 2 m^{2} - 4 m < 3 \Rightarrow 4 m^{2} - 16 m - 9 < 0 \Rightarrow m \in (- \frac{1}{2}, \frac{9}{2})$
4 $m \in (- \frac{1}{6}, 0) \cup (4, 4 \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in (- \frac{1}{6}, 0) \cup (4, 4 \frac{1}{2})$

Zadanie 20

Matura: czerwiec 2015

Oryginalne zadanie: zad. 15

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{m ^{2} + m - 6}{m - 5} x^{2} - (m - 2) x + m - 5

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wyznacz całkowite wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Wartość największa: $a = \frac{( m + 3 ) ( m - 2 )}{m - 5} < 0 \Rightarrow m < - 3$ lub $2 < m < 5$ .
2Jednakowe znaki: $x_{1} x_{2} = \frac{( m - 5 ) ^{2}}{( m + 3 ) ( m - 2 )} > 0$ — spełnione przy $m < - 3$ lub $m > 2$ .
3 $Δ = (m - 2)^{2} - 4 (m + 3) (m - 2) = - (m - 2) (3 m + 14) > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{14}{3}, 2)$
4Część wspólna: $m \in (- \frac{14}{3}, - 3)$ ; jedyna liczba całkowita: $m = - 4$ .

Odpowiedź: $m = - 4$

Zadanie 21

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 13

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dany jest trójmian kwadratowy

f (x) = (m + 1) x^{2} + 2 (m - 2) x - m + 4

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian

f

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = x_{1}^{4} - x_{2}^{4}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = - 1$ ; $Δ = 4 (m - 2)^{2} + 4 (m + 1) (m - 4) = 4 (2 m^{2} - 7 m) > 0 \Rightarrow m < 0$ lub $m > \frac{7}{2}$
2 $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$ . Gdy $x_{1} = - x_{2}$ : $s = 0 \Rightarrow m = 2$ — odpada ( $Δ < 0$ ).
3Zatem $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1$ : $\frac{4 ( m - 2 ) ^{2}}{( m + 1 ) ^{2}} - \frac{2 ( 4 - m )}{m + 1} = 1 \Rightarrow 5 m^{2} - 24 m + 7 = 0$
4 $m = \frac{12 \pm 109}{5}$ ; $\frac{12 - 109}{5} \approx 0, 31$ nie spełnia warunku $Δ > 0$ , zostaje $m = \frac{12 + 109}{5} \approx 4, 49$ .

Odpowiedź: $m = \frac{12 + 109}{5}$

Zadanie 22

Matura: maj 2015

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(m^{2} - m) x^{2} - x + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

\frac{1}{x _{1} + x _{2}} ⩽ \frac{m}{3} ⩽ \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = 0, 1$ ; $Δ = 1 - 4 (m^{2} - m) > 0 \Rightarrow m \in (\frac{1 - 2}{2}, \frac{1 + 2}{2})$
2 $x_{1} + x_{2} = \frac{1}{m ^{2} - m}$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{s}{p} = 1$
3 $m^{2} - m ⩽ \frac{m}{3} ⩽ 1 \Rightarrow m \in ⟨ 0, \frac{4}{3} ⟩$ , $m ⩽ 3$
4 $m \in (0, 1) \cup (1, \frac{1 + 2}{2})$

Odpowiedź: $m \in (0, 1) \cup (1, \frac{1 + 2}{2})$

Zadanie 23

Matura: maj 2014

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja kwadratowa

f (x) = x^{2} - (2 m + 2) x + 2 m + 5

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

takie, że suma kwadratów odległości punktów

A = (x_{1}, 0)

B = (x_{2}, 0)

od prostej o równaniu

x + y + 1 = 0

jest równa

6

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (m + 1)^{2} - 4 (2 m + 5) = 4 (m^{2} - 4) > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 2$ .
2 $\frac{( x _{1} + 1 ) ^{2} + ( x _{2} + 1 ) ^{2}}{2} = 6 \Rightarrow s^{2} - 2 p + 2 s + 2 = 12$
3 $(2 m + 2)^{2} - 2 (2 m + 5) + 2 (2 m + 2) - 10 = 0 \Rightarrow 4 m^{2} + 8 m - 12 = 0 \Rightarrow m \in {1, - 3}$
4 $m = 1$ odpada, $m = - 3$

Odpowiedź: $m = - 3$

Zadanie 24

Matura: czerwiec 2014

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (2 m - 5) x + 2 m + 3 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

(x_{1} + x_{2})^{2} ⩾ x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} ⩾ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(2 m - 5)^{2} - 4 (2 m + 3) = 4 m^{2} - 28 m + 13 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2}$ lub $m > \frac{13}{2}$ .
2 $s^{2} ⩾ p^{2} \Leftrightarrow (s - p) (s + p) ⩾ 0$ : $(- 4 m + 2) (8) ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ \frac{1}{2}$
3 $p^{2} ⩾ s^{2} - 2 p \Leftrightarrow (2 m + 3)^{2} + 2 (2 m + 3) - (2 m - 5)^{2} ⩾ 0 \Leftrightarrow 36 m - 10 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩾ \frac{5}{18}$
4 $m \in ⟨ \frac{5}{18}, \frac{1}{2})$

Odpowiedź: $m \in ⟨ \frac{5}{18}, \frac{1}{2})$

Zadanie 25

Matura: maj 2013

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + 2 (1 - m) x + m^{2} - m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1} \cdot x_{2} ⩽ 6 m ⩽ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $4 (1 - m)^{2} - 4 (m^{2} - m) = 4 (1 - m) > 0 \Rightarrow m < 1$ .
2 $m^{2} - m ⩽ 6 m \Rightarrow m \in ⟨ 0, 7 ⟩$
3 $6 m ⩽ 4 (1 - m)^{2} - 2 (m^{2} - m) = 2 m^{2} - 6 m + 4 \Rightarrow m^{2} - 6 m + 2 ⩾ 0 \Rightarrow m ⩽ 3 - 7$ lub $m ⩾ 3 + 7$
4 $m \in ⟨ 0, 3 - 7 ⟩$

Odpowiedź: $m \in ⟨ 0, 3 - 7 ⟩$

Zadanie 26

Matura: czerwiec 2013

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(m + 1) x^{2} - 3 m x + m + 1 = 0

ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż

2, 5

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $m \neq = - 1$ ; $Δ = 9 m^{2} - 4 (m + 1)^{2} = (5 m + 2) (m - 2) > 0 \Rightarrow m < - \frac{2}{5}$ lub $m > 2$
2 $\frac{3 m}{m + 1} ⩽ \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{m - 5}{m + 1} ⩽ 0 \Rightarrow m \in (- 1, 5 ⟩$
3 $m \in (- 1, - \frac{2}{5}) \cup (2, 5 ⟩$

Odpowiedź: $m \in (- 1, - \frac{2}{5}) \cup (2, 5 ⟩$

Zadanie 27

Matura: sierpień 2013

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

(x_{1} + x_{2}) (x_{1} + x_{2} - 1) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m \in (\frac{8}{3}, 4)$ (jak w zad. 9).
2 $s^{2} - s = s^{2} - 2 p \Rightarrow s = 2 p$
3 $m - 4 = 2 (m - 3) (m - 4) \Rightarrow (m - 4) (2 m - 7) = 0$
4 $m = 4$ odpada, $m = \frac{7}{2}$

Odpowiedź: $m = 3 \frac{1}{2}$

Zadanie 28

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Oblicz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m + 2) x + m + 4 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = 4 m^{3} + 6 m^{2} - 32 m + 12

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m + 2)^{2} - 4 (m + 4) = m^{2} - 12 > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 23$ .
2 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (s^{2} - 2 p)^{2} - 2 p^{2} = (m^{2} + 2 m - 4)^{2} - 2 (m + 4)^{2}$
3Po przyrównaniu: $m^{4} - 14 m^{2} = 0$ , czyli $m^{2} (m^{2} - 14) = 0$
4 $m = \pm 14$ ( $m = 0$ odpada)

Odpowiedź: $m \in {- 14, 14}$

Zadanie 29

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

2 x^{2} + (3 - 2 m) x - m + 1 = 0

ma dwa różne pierwiastki

x_{1}, x_{2}

takie, że

∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = \frac{Δ}{∣ a ∣}$ , $Δ = (3 - 2 m)^{2} + 8 (m - 1) = 4 m^{2} - 4 m + 1 = (2 m - 1)^{2}$
2 $\frac{∣2 m - 1∣}{2} = 3 \Rightarrow ∣2 m - 1∣ = 6$
3 $m = \frac{7}{2}$ lub $m = - \frac{5}{2}$

Odpowiedź: $m \in {- 2 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}}$

Zadanie 30

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 4 m x - m^{3} + 6 m^{2} + m - 2 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

takie, że

(x_{1} - x_{2})^{2} < 8 (m + 1)

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $(x_{1} - x_{2})^{2} = Δ = 16 m^{2} + 4 (m^{3} - 6 m^{2} - m + 2) = 4 (m^{3} - 2 m^{2} - m + 2) = 4 (m - 2) (m - 1) (m + 1)$
2 $Δ > 0 \Rightarrow m \in (- 1, 1) \cup (2, \infty)$
3 $4 (m - 2) (m - 1) (m + 1) < 8 (m + 1) \Leftrightarrow (m + 1) (m^{2} - 3 m) < 0 \Leftrightarrow m (m + 1) (m - 3) < 0$
4 $m \in (0, 1) \cup (2, 3)$

Odpowiedź: $m \in (0, 1) \cup (2, 3)$

Zadanie 31

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 2

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

2 x^{2} - (m - 2) x - 3 m = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} ⩽ 25

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 2)^{2} + 24 m = m^{2} + 20 m + 4 > 0 \Rightarrow m < - 10 - 46$ lub $m > - 10 + 46$
2 $(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{4} ⩽ 25 \Rightarrow m^{2} + 20 m - 96 ⩽ 0 \Rightarrow m \in ⟨ - 24, 4 ⟩$
3 $m \in ⟨ - 24, - 10 - 46) \cup (- 10 + 46, 4 ⟩$

Odpowiedź: $m \in ⟨ - 24, - 10 - 46) \cup (- 10 + 46, 4 ⟩$

Zadanie 32

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + m x + 2 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od

2 m^{2} - 13

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $m^{2} - 8 > 0 \Rightarrow ∣ m ∣ > 22$ .
2 $m^{2} - 4 > 2 m^{2} - 13 \Rightarrow m^{2} < 9$
3 $m \in (- 3, - 22) \cup (22, 3)$

Odpowiedź: $m \in (- 3, - 22) \cup (22, 3)$

Zadanie 33

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 4 m = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od

2 m^{3} - 3

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: $(m - 4)^{2} - 4 (m^{2} - 4 m) = - 3 m^{2} + 8 m + 16 = - (3 m + 4) (m - 4) > 0 \Rightarrow m \in (- \frac{4}{3}, 4)$ .
2 $m - 4 < 2 m^{3} - 3 \Leftrightarrow 2 m^{3} - m + 1 > 0 \Leftrightarrow (m + 1) (2 m^{2} - 2 m + 1) > 0 \Leftrightarrow m > - 1$
3 $m \in (- 1, 4)$

Odpowiedź: $m \in (- 1, 4)$

Zadanie 34

Matura: maj 2008

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Liczby

x_{1} = 5 + 23

x_{2} = 5 - 23

są rozwiązaniami równania

x^{2} - (p^{2} + q^{2}) x + (p + q) = 0

z niewiadomą

x

. Oblicz wartości

p

q

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x_{1} + x_{2} = 10 = p^{2} + q^{2}$
2 $x_{1} x_{2} = 25 - 23 = 2 = p + q$
3 $p^{2} + q^{2} = (p + q)^{2} - 2 pq \Rightarrow pq = - 3$
4 $p, q$ to pierwiastki $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ : ${- 1, 3}$

Odpowiedź: $p = - 1, q = 3$ lub $p = 3, q = - 1$

Zadanie 35

Matura: maj 2005

Oryginalne zadanie: zad. 9

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 10 pkt

Dane jest równanie:

x^{2} + (m - 5) x + m^{2} + m + \frac{1}{4} = 0

. Zbadaj, dla jakich wartości parametru

m

stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $Δ = (m - 5)^{2} - 4 (m + \frac{1}{2})^{2} ⩾ 0 \Rightarrow (m - 5 - 2 m - 1) (m - 5 + 2 m + 1) ⩾ 0 \Rightarrow m \in ⟨ - 6, \frac{4}{3} ⟩$ , $m \neq = - \frac{1}{2}$
2 $f (m) = \frac{s}{p} = \frac{5 - m}{( m + \frac{1}{2} ) ^{2}}$
3 $f^{'} (m) = \frac{m - \frac{21}{2}}{( m + \frac{1}{2} ) ^{3}}$ : $f$ rośnie na $⟨ - 6, - \frac{1}{2})$ i maleje na $(- \frac{1}{2}, \frac{4}{3} ⟩$ ; $f (\frac{4}{3}) = \frac{12}{11}$ .
4 $f (- 6) = \frac{11}{\frac{121}{4}} = \frac{4}{11}$

Odpowiedź: $m = - 6$ , najmniejsza wartość $\frac{4}{11}$

Zadanie 36

Oryginalne zadanie: zad. informator

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Wzory Viète'a

Matura · 5 pkt

Dane jest równanie

x^{2} + (3 m - 2) x = - m - 2

z niewiadomą

x

. Sformułuj warunki, jakie powinien spełniać parametr

m

, by to równanie miało dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia.

Wskazówka

Zapisz warunek $Δ > 0$ , a warunek z treści wyraź przez $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ i $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $x^{2} + (3 m - 2) x + m + 2 = 0$ ; $Δ = 9 m^{2} - 16 m - 4 = (9 m + 2) (m - 2) > 0 \Rightarrow m < - \frac{2}{9}$ lub $m > 2$
2 $\frac{s}{p} = \frac{2 - 3 m}{m + 2} > 0 \Rightarrow m \in (- 2, \frac{2}{3})$
3 $m \in (- 2, - \frac{2}{9})$

Odpowiedź: $m \in (- 2, - \frac{2}{9})$

Zadanie 1

Matura: maj 2012

Oryginalne zadanie: zad. 6

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 6 pkt

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty

P

postaci

P = (\frac{1}{2} m + \frac{5}{2}, m)

, gdzie

m \in ⟨ - 1, 7 ⟩

. Oblicz najmniejszą i największą wartość

∣ P Q ∣^{2}

, gdzie

Q = (\frac{55}{2}, 0)

Wskazówka

Zapisz $∣ P Q ∣^{2}$ jako funkcję kwadratową zmiennej $m$ i sprawdź, gdzie leży wierzchołek.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ P Q ∣^{2} = (\frac{1}{2} m - 25)^{2} + m^{2} = \frac{5}{4} m^{2} - 25 m + 625$
2 $m_{w} = 10 \in / ⟨ - 1, 7 ⟩$ — funkcja maleje na tym przedziale.
3 $m = 7$ : $511 \frac{1}{4}$ ; $m = - 1$ : $651 \frac{1}{4}$

Odpowiedź: najmniejsza $511 \frac{1}{4}$ , największa $651 \frac{1}{4}$

Zadanie 2

Matura: czerwiec 2012

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Na płaszczyźnie dane są punkty

A = (3, - 2)

B = (11, 4)

. Na prostej o równaniu

y = 8 x + 10

znajdź punkt

P

, dla którego suma

∣ A P ∣^{2} + ∣ B P ∣^{2}

jest najmniejsza.

Wskazówka

$P = (x, 8 x + 10)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A P ∣^{2} + ∣ B P ∣^{2} = (x - 3)^{2} + (8 x + 12)^{2} + (x - 11)^{2} + (8 x + 6)^{2} = 130 x^{2} + 260 x + 310$
2Minimum dla $x = - 1$ , wtedy $y = 2$ .

Odpowiedź: $P = (- 1, 2)$

Zadanie 3

Matura: maj 2011

Oryginalne zadanie: zad. 8

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa

24

, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Wskazówka

Krawędzi podstaw jest $12$ , bocznych $6$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $12 a + 6 h = 24 \Rightarrow h = 4 - 2 a$ , $a \in (0, 2)$
2 $P_{b} = 6 ah = 24 a - 12 a^{2}$
3Maksimum dla $a = 1$ .

Odpowiedź: $1$

Zadanie 4

Matura: czerwiec 2011

Oryginalne zadanie: zad. 10

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku równym

2

. Na bokach

B C

C D

wybrano odpowiednio punkty

E

F

, różne od wierzchołków kwadratu, takie że

∣ C E ∣ = ∣ D F ∣ = x

. Oblicz wartość

x

, dla której pole trójkąta

A E F

jest najmniejsze, i oblicz to pole.

Wskazówka

Od pola kwadratu odejmij pola trzech trójkątów prostokątnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = 4 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2 - x) - \frac{1}{2} x (2 - x) - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x = \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$
2Minimum dla $x = 1$ : $P = \frac{3}{2}$

Odpowiedź: $x = 1$ , $P = 1 \frac{1}{2}$

Zadanie 5

Matura: maj 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 4 pkt

Bok kwadratu

A B C D

ma długość

1

. Na bokach

B C

C D

wybrano odpowiednio punkty

E

F

umieszczone tak, by

∣ C E ∣ = 2∣ D F ∣

. Oblicz wartość

x = ∣ D F ∣

, dla której pole trójkąta

A E F

jest najmniejsze.

Wskazówka

$∣ C E ∣ = 2 x$ , $∣ B E ∣ = 1 - 2 x$ , $∣ C F ∣ = 1 - x$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $P = 1 - \frac{1}{2} (1 - 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 2 x (1 - x) - \frac{1}{2} x = x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$
2Minimum dla $x = \frac{1}{4} \in (0, \frac{1}{2})$ .

Odpowiedź: $x = \frac{1}{4}$

Zadanie 6

Matura: sierpień 2010

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Dane są punkty

A = (1, 5)

B = (9, 3)

i prosta

k

o równaniu

y = x + 1

. Oblicz współrzędne punktu

C

leżącego na prostej

k

, dla którego suma

∣ A C ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2}

jest najmniejsza.

Wskazówka

$C = (x, x + 1)$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1 $∣ A C ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} = (x - 1)^{2} + (x - 4)^{2} + (x - 9)^{2} + (x - 2)^{2} = 4 x^{2} - 32 x + 102$
2Minimum dla $x = 4$ : $C = (4, 5)$ .

Odpowiedź: $C = (4, 5)$

Zadanie 7

Matura: styczeń 2009

Oryginalne zadanie: zad. 3

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu

y = x^{2}

, a drugi na prostej o równaniu

y = 2 x - 6

. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od

5

. Sporządź odpowiedni rysunek.

Wskazówka

Odcinek jest nie krótszy niż odległość jego końca na paraboli od prostej $2 x - y - 6 = 0$ .

Rozwiązanie krok po kroku

1Dla $P = (t, t^{2})$ : $d = \frac{∣2 t - t ^{2} - 6∣}{5} = \frac{( t - 1 ) ^{2} + 5}{5} ⩾ \frac{5}{5} = 5$
2Długość odcinka $⩾ d ⩾ 5$ (równość dla $P = (1, 1)$ ).

Odpowiedź: Dowód

Zadanie 8

Matura: maj 2009

Oryginalne zadanie: zad. 4

Poziom: Rozszerzony

Dział: Funkcja kwadratowa

Temat: Zadania optymalizacyjne

Matura · 5 pkt

W skarbcu królewskim było

k

monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił

25

monet, a każdego następnego ranka dorzucał o

2

monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia

50

monet. Oblicz najmniejszą liczbę

k

, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości

k

oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Wskazówka

Dorzucane kwoty tworzą ciąg arytmetyczny $25, 27, 29, \dots$

Rozwiązanie krok po kroku

1Po południu $n$ -tego dnia: $k + (n^{2} + 24 n) - 50 n = k + n^{2} - 26 n$
2Minimum dla $n = 13$ : $k - 169$ .
3 $k - 169 ⩾ 1 \Rightarrow k = 170$

Odpowiedź: $k = 170$ , trzynastego dnia